高等数学习题及解答(极限-连续与导数)

高等数学习题库淮南联合大学基础部2008年10月第一章 映射，极限，连续习题一 集合与实数集基本能力层次：1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }.2：证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。

即结论成立。

基本理论层次：习题二 函数、数列与函数极限基本能力层次1：解：2：证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay bx cy a+=-，所以 ()x f y = 所以命题成立 3：（1）22x y -= （2）lg(sin )y x x =+（3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥⎧⎫=⎨⎬<⎩⎭解：4：用极限定义证明： 1lim 1n n n →∞-=(不作要求)证明：因为 ω∀ 有11|1|n n n ω--=<成立,只要1n ω>取N ＝[1ω]，则当n>N 时,就有11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n→∞-=成立5：求下列数列的极限（1）lim 3n n n→∞ （2）222312lim n n n→∞+++L L （3）（4）11n n+解：（1）Q 233n n n n <,又Q 2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n→∞＝0（2）由于2223312(1)(21)111(1)(2)6n n n n n n n n n +++++==++L L 又因为：1111lim (1)(2)63n n n n →∞++=,所以：2223121lim 3n n n →∞+++L L（3）因为：所以：（4） 因为：111lim 11n n n →∞≤+≤+，并且1lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得1lim 11n n→∞+=6：解：由于7：解：8：9：习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限基本理论层次1：解：同理：（3），（4）习题四无穷小的比较、函数的连续及性质基本理论层次1：（1）（2）2：第二章 一元微分学及应用习题一 导数及求导法则、反函数及复合函数的导数.基本理论层次21,1,,,,1()(1)(1)lim lim 1x a b x bx x f x f bx x ⎧+≥⎪⎨-+<⎪⎩-+-==-2222-ax 1.设f(x)=试求常数使f(x)在x=1处可导。

解：首先必须f（x）在x=1处连续,f(1-0)=limf(x)=lim(-x +bx)=b-1f(1+0)=limf(x)=lim(ax +1)=a+1,由f(1-0)=f(1+0)f(1) 得b-1=a+1,即b=a+2-x f'(1)(1){(1)}lim 11()(1)1(1),'(1)lim lim 2.11'(1)'(1)0,a x x a x x f x f a a f a x x f f a ++-+---+=---+-+====--==2ax 又因为由得从而b=2。

()()()()()ln ln ln ln ln ln 2,(0),,1'1'ln 'ln ln '111ln ln ln 0.x x x x xx xx xx xx xx xx eey x eey e x x x ex x x x x x x x +>===++⎛⎫∴=++⋅++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++⋅++> ⎪⎝⎭xx x xxx x x x x x x 2.求函数y=x+x x 解：设x x所以x x x x x()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222233113.(),3211112211111'1212211212111"'12212111!21n n n n nn n n f x f x x x f x x x x x f x x x x x x x x x x x x x n n fx x x ++=-+==-----⎛⎫⎛⎫--∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅-⋅=---Q g g 求解：…由数学归纳法可得出：！()()()111111!.21nn n n x x ++⎡⎤⎛⎫=-⋅- ⎪⎢⎥ ⎪--⎢⎥⎣⎦⎝⎭()()()()()()()()()()()222222323222222223324.,33''''6132666'112122'16663322t dy dt aty at y t dy dx x t at t a t tat a t aty t tt a t at tx t t a a t at a t dy dx a at =⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎪⎝⎭+--+==+++-=+-+-+==-g g 2222求下面的参数方程所确定的函数的导数。

2atx=1+t 求1+t 1+t 解：又因为2at 1+t 23.1t t -习题二 导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的函数的导数、函数的微分略习题三中值定理罗必达法则泰勒公式基本理论层次1.2．3．45.]6.7.习题四导数的应用基本理论层次1．综合练习题一、 填空题1、设()f x 在x a =可导，则0()()limx f a x f a x x →+--=。

2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)lim 2h f h f h→--=。

3、设1()xf x e -=，则0_____________(2)(2)limh f h f h→--=。

4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2x f x f x x x π'==<<-，则0_______________________()f x =。

5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy dx =。

6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。

7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。

8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。

9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++L ，则_________________(0)f '=。

10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。

11、设0()1f x '=-，则0___________00lim(2)()x xf x x f x x →=---。

12、设tan x y y +=，则_________________________dy =。

13、设lny =_______________(0)y '''=。

14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是______________________。

15、1cos 0()00x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是_______________________。

16、知曲线323y x a x b =-+与x 轴相切 ，则2b 可以通过a 表示为____________。

二、 选择题。

17、设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（ ）。

A 充分了必要条件，B 充分但非必要条件，C 必要条件但非充分条件，D 既非充分条件又非必要条件。

18、函数3221()31xx f x xx ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩在1x =处 （ ）A 左右导数均存在，B 左导数存在，右导数不存在，C 左导数不存在，右导数存在，D 左右导数均不存在。

19、设周期函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，周期为4，又0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点(5,(5))f 处的切线斜率为 （ ）A12， B 0 ， C –10， D –2 。

20、设函数11cos (1)1()0ax x f x ⎧⎪--=⎨⎪⎩11x x ≠= 则实常数a 当()f x 在1x =处可导时必满足（ ） A 1a <-； B 10x -≤<； C 01x ≤<； D 1a ≥21、已知212()2x x x ax b x ϕ⎧->=⎨+≤⎩ ，且(2)ϕ'存在，则常数,a b 的值为 （ ）A 2,1;a b ==B 1,5;a b =-=C 4,5;a b ==-D 3, 3.a b ==- 22、函数()f x 在(,)-∞+∞上处处可导，且有(0)1f '=，此外，对任何的实数,x y 恒有()()()2f x y f x f y xy +=++，那么()f x '=（ ）A ;x eB ;xC 21x +；D 1x +。

23、已知函数()f x 具有任何阶导数，且2()[()]f x f x '=，则当n 为大于2的正整数时，()f x 的n 阶导数()()n f x 是 （ ）A 1![()]n n f x +；B 1[()]n n f x +；C 2[()]n f x ；D 2![()].n n f x 24、若函数()y f x =有01()2f x '=，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的微分dy 是x ∆的（ ） A 等价无穷小； B 同阶但不等价的无穷小； C 低阶无穷小； D 高阶无穷小。

25、设曲线1y x=和2y x =在它们交点处两切线的夹角为ϕ，则tan ϕ= （ ） A 1-； B 1; C 2； D 3 。

26、设由方程组2110y x t te y =-⎧⎨++=⎩ 确定了y 是x 的函数，则202t d ydx ==（ ）A 21e ；B 212e ； C 1e -； D 12e- 。