滤波器设计

Chapter 5 滤波器设计

低通滤波器

信号或图像的能量大部分集中在幅度谱的低频和中频段；而在较高频段，感兴趣的信息常被噪声所淹没。因此，一个能降低高频成分幅度的滤波器就能减弱噪声看得见的影响。

简单低通滤波器

Gauss低通滤波器

简单的低通滤波器

矩（箱）形滤波器（box filter）

减弱高频噪声的一种简单方法是对信号进行局部平均。让信号与矩形脉冲做卷积就能实现局部平均。这种滤波器称为滑动平均滤波器。每个像素的灰度级用位于方形或矩形邻域内的像素的灰度级平均值来代替。

三角形滤波器 我们可以使用三角形脉冲作为低通滤波器的冲激响应。有时称这种滤波器为加权平均滤波器。在二维情况下，它表现出金字塔的形式。 三角形脉冲的谱具有[sin(x)/x]2形式，该形式并不会变负，而且随着频率的提高，衰减的速度大大快于矩形滤波器。这种滤波器可以在较大宽度安全地使用而不必担心极性反转。

通过连续两次使用矩形滤波器可以得到与三角形滤波器同样的效果，由于矩形滤波器简单，计算效率比用更高。事实上，连续三次或更多次使用可以模拟诸如高斯滤波器这样一类在频或比较平滑的滤波器。)(x Λ)(x Λ)(x Π

高频截止有时会用一种相当“粗野”的低通滤波方法，它由下面的三步组成：(a)计算信号或图像的傅里叶变换；(b)将幅度谱的高频部分设置为零；(c)求傅里叶逆变换。这种做法等同于用一个矩形脉冲去乘幅度谱，也可以认为是用sin(x)/x函数与信号或图像做卷积。

用sin(x)/x做卷积会在尖峰或边界附近出现振铃效应(ringing)。

带通和带阻滤波器

理想带通过滤波器

假定我们想通过卷积实现一个滤波器，它允许位于频率f 和f 之间(f

(1)⎩⎨⎧≤≤=others

f s f 0121-f 2

令理想带通滤波器的传递函数其冲激响应因为，所以上式描述了一个被频率为的包络线

sin(x)/x 所包围的，频率为s 0的余弦波。图11.3显示了该冲激响应。包络线两个过零点之间所包含的余之间的关系。我们注意固定而变小（即窄通带），那么包络线的两个过零点之间将会包围更多的余弦周期。的时候，冲激响应就趋于一个余弦函数。在这种极限情况下，这里的卷积运算实际上变成了输入信号和频率为s 0的余弦信号之间的互相关12f f s −=∆)

(2/1210f f s +=)]

()([)()(00s s s s s s s G ++−∗∆Π=δδ)2cos()sin(2)(0t s st st s

t g πππ∆∆∆=2/s ∆s ∆

理想带阻滤波器

滤波器的传递函数即

冲激响应为⎩⎨⎧≤≤=others f s f s G 10)(21)]()([)(1)(00s s s s s s s G ++−∗∆Π−=δδ)2cos()sin(2)()(0

t s st st s t t g πππδ∆∆∆−=f 1f 2

通用带通滤波器

考虑一类如下方式构造的带通滤波器：我们选取一个非负单峰函K(s )，并让它跟位于频率s 0处的偶冲激对做卷积。这样得到一带通滤波器的传递函数，如图11.6所示。此传冲激响应为：

是高斯函数，即有冲激响应为：()([)()0s s s K s +−∗=δδ)2cos()(2)(0t s t k t g π=)]

()([)(02/22s s s s Ae s G s ++−∗=−δδα)2cos(22)(0

2/22

2t s e A t g t ππσσ−=

高频增强滤波器

高频增强滤波器，或称高通滤波器，这个词通常用来描述这样一种传递函数：它的频值在0频率处为1，随着频率的增长，传递函数的值逐渐增加；当频率增加到一定值以后传递函数的值通常又回到0值

的值。在前一种情况下，高频增强滤波器实际上是一种带通滤波器，只不过规定0频率处理增益为单位1 。

实际应用中，为减少图像中面积大且缓慢变化的成分的对比度，有时让0频率处的增益小于单位1更合适。如果传递函数通过原点，则可以称为拉普拉斯滤波器。

)

,(),(v u bH a v u H hp hfe +=

高斯差分滤波器

用两个不同宽度的高斯函数之差分来产生一个如图11.8所示的高频增强传递函数：冲激响应：频域里较宽的高斯函数在时域产生较窄的高斯波形，反过来也如此。图11.9所示是带通和高通滤波器的典型冲激响应：在一个负的圆盘中有一个正脉趋于无穷大，那么时域的窄高斯

信号将进一步变窄以致于变成冲激信号，这时的滤11.10所示。注意，在其传递函数的值在高的滤波器与不降为0的滤波器之间的差别正好是时中央脉冲的宽度。事实上，中央脉冲越宽传递函数越早降到0值。])(22221

22/2/ααs s Be Ae s G −−−=21,αα>≥B A 22

22122/222/2122)(σσπσπσt t e B e A t g −−−=i i πα

σ21=

设计高通滤波器的经验规则

估计高频增强滤波器近似成立的两条规则。假定滤波器的冲激响应表示为一个窄脉冲减去一个宽脉冲，即：(14)

其传递函数G(s )将具有通用的高频增强滤波器的开头。目的：1.通过估计传递函数在0频率处的值来确定它对于图像中大目标对比度的影响。2.估计传递函数在任何频率处的最大值。)()()(21t g t g t g −=

最大值

如果对（14）式进行傅里叶变换，并令s=0，则得到(15)

这里A 1和A 2分别代表两个分量函数下的面积

关于由两脉冲的差构成的高频增强滤波器的两条经验规则

(17)

如果g 1(t)是冲激信号图（11.10），那么式

（17）中的两条规则都取等号2

1)()0(A A dt t g G ∫∞∞

−−==21)0(A A G −=1max A G ≤