2020年高考数学核按钮专题复习 三角函数、解三角形4.5课件 理 精品
2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课件文
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式 l＝|α|r，扇形的面积公式是 S＝12lr＝ 12|α|r2(其中 l 是扇形的弧长，α 是扇形的圆心角)． (2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中 的任意两个量． [注意] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度 量单位为弧度制．
【答案】 －23
角度二 三角函数值的符号判定
若 sin αtan α＜0，且tcaons αα＜0，则角 α 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解析】 由 sin αtan α＜0 可知 sin α，tan α 异号，则角 α 为 第二或第三象限角． 由tcaons αα＜0 可知 cos α，tan α 异号， 则角 α 为第三或第四象限角． 综上可知，角 α 为第三象限角． 【答案】 C
同分类轴线角：角的终边落在坐标轴上
③所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合：
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
2．弧度制
(1)定义：把长度等于_半__径___长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的
角，正角的弧度数是_正__数___，负角的弧度数是_负__数___，零角的
法二：由于 M 中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)， 2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°， k＋1 是整数，因此必有 M⊆N. (3)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为(π4，56π)， 所以所求角的集合为(2kπ＋π4，2kπ＋56π)(k∈Z)． 【答案】 (1)A (2)B (3)(2kπ＋π4，2kπ＋56π)(k∈Z)
2020高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第4讲三角函数的图象与性质课件
(2)由 kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2， 得 kπ－π4<12x<kπ＋34π. ∴2kπ－π2<x<2kπ＋32π(k∈Z)． ∴y＝tan(12x－π4)的单调增区间为(2kπ－π2，2kπ＋32π)(k∈Z)．
[解析] 由 2x≠kπ＋π2，k∈Z，得 x≠k2π＋π4，k∈Z，所以 y＝tan2x 的定义域
为{x|x≠k2π＋π4，k∈Z}．
2．(教材改编)下列关于函数 y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的
是
( B)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在[－π2，π2]上是增函数，在[－π，－π2]及[π2，π]上是减函数
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
在_[_－__π2_＋__2_k_π_，__π2_＋__2_k_π_]__，k ∈Z 上递增；
在k ∈___[Z_(2_k_－_上_1_)_递π_，__增2_k_π_；]___在，在(－π2＋kπ，π2
单调性
在_[_π2_＋__2_k_π_，__3_2π_＋__2_k_π_]____，
5．(1)函数 y＝sin(x＋π4)的单调递减区间是___[_2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__5_4π_]_(k_∈__Z__)__ (2)函数 y＝tan(12x－π4)的单调递增区间是__(2_k_π_－__π2_，__2_k_π_＋__3_2π_)_(_k_∈__Z_)_______
2020版高考理数：专题(4)三角函数与解三角形ppt课件考点四
考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 核心方法 重点突破
方法1 利用正弦定理解三角形
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考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
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考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
例1、[山东2017·9]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若
△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，
【答案】
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考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 例12、[北京2016·15]在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ 2 ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求 2 cos A＋cos C的最大值．
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考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
方法5 利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状
要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考．主要有以下两条途径： (1)“角化边”：把已知条件(一般是边的一次式，角的正弦、余弦)转
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考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
(2)在应用正弦定理、余弦定理解决有关的解三角形和测量问题的过程 中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，故应该提出自己的解决办 法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问 题甚至可以设计应用程序，得到在实际中可以直接应用的算法．
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考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判 断三角形的形状． (2)“边化角”：把已知条件(边的二次式、两边的积、角的余弦)转化为 内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而 判断三角形的形状，此时要注意A＋B＋C＝π 这个结论．
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2020版高考数学总复习第三篇三角函数、解三角形(必修4、必修5)第4节三角函数的图象与性质应用能
第4节三角函数的图象与性质【选题明细表】知识点、方法题号定义域、值域、最值1，2,6，7，12单调性、单调区间5,8，10奇偶性、周期性、对称性3,9,11，13综合应用4,14,15基础巩固（建议用时:25分钟）1。
x∈［0,2π]，y=+的定义域为( C ）（A）[0,）（B）(，π］（C）［π，) (D）（,2π］解析:法一由题意，所以函数的定义域为［π,）。
故选C。
法二x=π时,函数有意义,排除A，D;x=π时，函数有意义,排除B。
故选C。
2。
(2018·湖北武汉模拟）已知函数f（x）=cos（ωx—）(ω>0）且f（）=f（），若f （x)在区间（，）上有最大值，无最小值,则ω的最大值为( D ）(A）(B）（C)(D)解析:函数f（x)=cos(ωx-) （ω〉0）且f（）=f（）,所以直线x=×(+)=为f（x)=cos(ωx-）（ω〉0）的一条对称轴,且过函数最大值点.所以ω·—=2kπ，k∈Z,所以ω=k+，k∈Z，又ω〉0,且f（x）在区间(，）上有最大值,无最小值,所以T≥—=,所以≥,所以ω≤12，所以当k=4时,ω=+=为最大值.故选D。
3。
(2018·河南安阳模拟）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（-x)=3cos x—sin x，则函数f(2x）图象的对称中心为（ D ）(A）(kπ—,0)(k∈Z) （B)（kπ-，0）（k∈Z）（C）(-,0)（k∈Z）（D）(-，0）(k∈Z)解析:因为对任意x∈R，都有f(x）+2f（-x)=3cos x-sin x,①用-x代替x，得f(-x)+2f（x)=3cos (—x)-sin （—x），即f（—x）+2f(x）=3cos x+sin x,②由①②组成方程组，解得f(x）=sin x+cos x,所以f(x）=sin(x+），所以f（2x）=sin(2x+).令2x+=kπ,k∈Z，求得x=-，故函数f(2x）图象的对称中心为(—，0），k∈Z，故选D.4.(2018·湖南邵阳三模）设函数f(x）=cos(2x—),则下列结论错误的是( D ）(A）函数f(x）的一个周期为π（B）函数f（x）的图象关于直线x=-对称(C）函数f（x)的图象关于点（-,0）对称(D)函数f(x)在区间[-，]上单调递减解析:对于函数f(x）=cos(2x-），它的最小正周期为=π，故A正确.由于当x=-时,f（x)=cos (—2π)=1，为最大值，故函数f（x)的图象关于直线x=—对称，故B正确.由于当x=—时,f（x)=cos（—）=0,故函数f（x)的图象关于点(-,0)对称,故C正确.故选D.5。
2020届高考数学一轮复习第三篇三角函数、解三角形第3节三角函数的图象与性质课件理新人教A版
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解析：(1)要使函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x有意义，
则21s－in2xc－os1x>≥0，0，
sin 即
cos
x>12， x≤12.
解之得 2kπ＋π3≤x<2kπ＋56π，k∈Z. 即函数的定义域为 2kπ＋π3，2kπ＋56π，k∈Z.
(C)32π
(D)53π
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(2)(2018 潍坊模拟)下列函数中，最小正周期为 π，且图象关于直线
x＝π3对称的是( )
(A)y＝sin2x－π3
(B)y＝sin2x－π6
(C)y＝sin2x＋π6 答案：(1)C (2)B
(D)y＝sin2x＋π6
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【教材导读】 1．所有的周期函数都有最小正周期吗？ 提示：不是所有的周期函数都有最小正周期．如函数 f(x)＝c(c 为常 数)的周期为任意非零实数，但没有最小正周期． 2．正切函数 y＝tan x 在定义域是增函数吗？ 提示：不是，正切函数 y＝tan x 在每一个区间 kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z) 上都是增函数，但在定义域内不是单调函数．
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(2)要使函数有意义， tan x－1≠0，
必须有x≠π2＋kπ，k∈Z， 即xx≠≠π4π2＋＋kkππ，，kk∈∈ZZ，. 故函数的定义域为 xx≠π4＋kπ 且 x≠π2＋kπ，k∈Z.
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考点二 三角函数的值域或最值
________．
函数
f(x) ＝ sin2x ＋
Z)
周期
2π
2π
π
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【重要结论】 对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
2020版高考数学一轮复习第三篇三角函数、解三角形(必修4、必修5)平面几何在解三角形中的广泛应用课件理
2 x 1
2 ,AC 的长为 1.
方法点晴
三角形中的内角平分线定理、外角平分线定理、圆中相交弦定理、切割线 定理在实际解题中有很大的作用.
技巧二 构造辅助圆解题
【例 2】 在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,∠B=30°,AB=3 3 ,BC=5,则线段 BD 的长
度为
.
解析:∠BAD=∠BCD=90°,即有∠BAD+∠BCD=180°,所以四边形 ABCD 有外接圆☉O, 设☉O 的半径为 R,则 BD 为直径等于 2R.在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+CB2-
技巧三 由三角形的形状确定角、边的范围
【例 3】 在锐角三角形△ABC 中,A=2B,则 BC 的取值范围是( ) AC
(A)(0,2)
(B)( 2 ,2) (C)( 2 , 3 )
(D)(1, 2 )
0
B
π 2,源自解析:BC AC=
sin A sin B
=
sin 2B sin B
=2cos
(1)求 sin B ; sin C
解:(1)如图,过 A 作 AE⊥BC 于 E,因为
SABD
=
1 BD AE 2
=2,所以 BD=2DC,因为 AD 平分∠
SADC 1 DC AE
2
BAC,所以∠BAD=∠DAC,在△ABD 中, BD = AD ,所以 sin B= ADsin BAD ,所以
SABD
=
1 AB DM 2
=2,所以 AB=2AC.令 AC=x,则 AB=2x,
SADC 1 AC DN
2
2x2 12
2
2
高考数学章节总复习：《三角函数、解三角形》(含解析)
第四章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：3.任意角的三角函数[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sin θ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则tan α＝________. 答案：－ 33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”) 答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1 000°是第________象限角， α＝3是第________象限角，72°＝________rad. 答案：一 二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1. 下列命题中，真命题是( ) A ．第一象限角是锐角 B ．直角不是任何象限角 C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B 390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝k π－π4(k ∈Z )，则α在( )A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________． 解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π＋π3，k ∈Z 5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则α2是第________象限角．解析：因为角α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置． 考点二 扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5， ∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cm B. 833π cmC. 4 3 cm D ．8 3 cm解析：选B 设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝6r ， 得r ＝4 3 cm ， ∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm. 3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________． 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10 cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝⎝⎛⎭⎫50π3－253cm 2. [谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 考点三 三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125， 则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |. 当t ＞0时，cos θ＝55； 当t ＜0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sin θ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角． 解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角． 答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( ) A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)， ∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，sin α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则( ) A ．sin α＜0 B ．cos α＞0 C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C 因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为( )A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， 所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12.答案：－22 －12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )A ．－π3B ．2π3C ．－2π3 D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ⎝⎛⎭⎫－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3. 3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2.4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2 018°，cos 2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知， 2 018°角的终边在第三象限， 所以sin 2 018°＜0，cos 2 018°＜0， 即点A 位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3. 答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z )，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综上可得sin β＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________． 解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，sin θ＝ar ＝a2|a |＝⎩⎨⎧22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝⎛⎭⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25， cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15， tan α＝－2aa ＝－2， sin β＝a (2a )2＋a 2＝15， cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12， 故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x . (1)求x 的值； (2)求sin α＋1tan α的值． 解：(1)因为角α的终边经过点P (x ，－2)，且cos α＝36x ， 所以有x x 2＋2＝36x . 因为x ≠0，所以x 2＋2＝12，解得x ＝±10.(2)若x ＝10，则P (10，－2)， 所以sin α＝－212＝－66，tan α＝－210＝－55，所以sin α＋1tan α＝－66－ 5. 若x ＝－10，则P (－10，－2)， 所以sin α＝－212＝－66，tan α＝210＝55，所以sin α＋1tan α＝－66＋ 5. 第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式[小题体验]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______. 答案：－452．若tan θ＝12，则2cos α－3sin α3cos α＋4sin α的值为________．答案：1103．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________． 解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________. 答案：－12132．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________. 答案：(1)22(2) 3考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( ) A ．14B ．－34C ．－32D ．34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫a －3π2的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B 因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝－12. 3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，求f ⎝⎛⎭⎫－23π6的值． 解：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 考点二 同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(m ≠0)，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为________．解析：因为sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，所以sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝8，所以sin θ＝513，cos θ＝－1213，所以tan θ＝sin θcos θ＝－512.所以tan(k π＋θ)(k ∈Z )＝tan θ＝－512.答案：－5123．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________．解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sinθcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0， 所以sin θ－cos θ＝－23. 答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125 C ．512D ．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝13，则sin α－cos 2β的最大值为( )53C ．－1112D ．49解析：选D 因为sin α＋sin β＝13，所以sin α＝13－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－23≤sin β ≤1.所以sin α－cos 2β＝13－sin β－1＋sin 2β＝⎝⎛⎭⎫sin β－122－1112，当sin β＝－23时，sin α－cos 2β有最大值49.3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|， ∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝32，且|α|＜π2，则tan α＝( )33C ．－ 3D ． 3解析：选C 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝32，所以sin α＝－32.因为|α|＜π2，所以α＝－π3，所以tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3. 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为( )A ．56B ．－56C ．43D ．34解析：选B 由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a 3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cosα)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.4．1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22 ＝|sin 2－cos 2|. 又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0. ∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝12. 答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2， 所以α为第三象限的角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 2．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 018)＝5，则f (2 019)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 解析：选B ∵f (2 018)＝5，∴a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3. 3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ()1 009π－2α的值为( )A ．－35B ．35C ．2D ．－12解析：选B 由题意可得tan α＝2，所以cos ()1 009π－2α＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35.4．当θ为第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13， ∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1. 5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A ．35B ．53C ．45D ．54解析：选B 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或x ＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则1sin 2α－2cos 2α＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以1sin 2α－2cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－2＝4＋14－2＝52. 答案：529．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解：因为cos(75°＋α)＝513，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－513－1213＝－1713. 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).[小题体验]1．①y ＝cos 2x; ②y ＝sin 2x; ③y ＝tan 2x; ④y ＝|sin x | 四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案：D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点一 三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y ＝log 21sin x－1的定义域为________． 解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x ＞0，所以有0＜sin x ≤12，解得2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z ，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x ＜2k π＋π，k ∈Z 2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 考点二 三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.2．(2018·浙北联考)函数f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4的最小值为________，最大值为________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9；当sin x ＝1时，f (x )有最大值1.答案：－9 13．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________． 解析：设t ＝sin x －cos x ， 则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b (a ＜0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a ＋b ＝________.解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22. ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 考点三 三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6－π3x 的最小正周期为( ) A ．6 B ．－6 C ．2π3D ．23解析：选A 函数的最小正周期为T ＝2π⎪⎪⎪⎪－π3＝6. 2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ， ∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z . 又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程可以是( ) A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析：选A 由题可得，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z .所以当k ＝0时，函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12. 4．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4内单调递增解析：选A 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f (x )是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减． [通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f (x )＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D 因为函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π(k ∈Z )．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D.2．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________.解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2. 答案：π23．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________． 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1.答案：⎣⎡⎦⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32. 2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称． 3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________． 解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，。
2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第5讲三角函数的图象与性质课件理新人教A版
(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝cos(x＋π3)，则下列结论错 误的是( ) A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线 x＝83π对称 C．f(x＋π)的一个零点为 x＝π6 D．f(x)在(π2，π)单调递减
解析：选 D.根据函数解析式可知函数 f(x)的最小正周期为 2π， 所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当 x＝83π时，x＋π3＝3π， 所以 cosx＋π3＝－1，所以 B 正确；f(x＋π)＝cosx＋π＋π3＝ cosx＋43π，当 x＝π6时，x＋43π＝32π，所以 f(x＋π)＝0，所以 C 正确；函数 f(x)＝cosx＋π3在π2，23π上单调递减，在23π，π上 单调递增，故 D 不正确．所以选 D.
函数 y＝tan 3x 的定义域为( ) A.xx≠32π＋3kπ，k∈Z B.xx≠π6＋kπ，k∈Z C.xx≠－π6＋kπ，k∈Z D.xx≠π6＋k3π，k∈Z
解析：选 D.由 3x≠π2＋kπ(k∈Z)，得 x≠π6＋k3π，k∈Z.故选 D.
三角函数的单调性(高频考点) 三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择 题也有填空题，或解答题某一问出现，难度为中档题． 高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度： (1)求已知三角函数的单调区间； (2)已知三角函数的单调区间求参数； (3)利用三角函数的单调性比较大小； (4)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．(见本节例 1(1)及通 关练习 T1)
sin2x－π6∈－12，1，
故 3sin2x－π6∈－32，3，
即此时函数 f(x)的值域是－32，3.
2．函数 y＝lg sin x＋ cos x －12的定义域为________．
2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课件理新人教A版
D. 3
答案 C
答案
解析 由三角函数的定义得sinα·cosα＝
a －42＋a2 ·
－4 －42＋a2
＝
－－442＋a a2＝ 43，即 3a2＋16a＋16 3＝0，解得a＝－4 3或a＝－433.故选
C.
解析
触类旁通 三角函数定义问题的常见类型及解题策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P到原 点的距离，再用三角函数的定义求解．
1．(2019·山东模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P 35，－45 ，则sinα －cosα的值是( )
A．－75
B．－15
1
7
C.5
D.5
答案 A
答案
解析 由题意知sinα＝－45，cosα＝35，所以sinα－cosα＝－45－35＝－75.故 选A.
解析
2．若sinθcosθ<0，则角θ是( ) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
π 2
＜2＜3＜π＜4＜
3π 2
，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴
sin2·cos3·tan4＜0.选A.
解析
角度3 利用三角函数的定义求参数
例4
(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－
4 5
，则m的
值为( )
A．－12
B.12
C．－
3 2
D.
3 2
答案 B
A．2 2
C弦长为2，则这个圆心角所 )
B．2sin1
D．sin2
答案 C
答案
解析 ∵2Rsin1＝2，∴R＝si1n1，l＝|α|R＝si2n1.故选C.
2020届高考数学(理)一轮复习讲义4.5第2课时简单的三角恒等变换(2021年整理)
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第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简1．化简：错误!＝________.答案2错误!cos α解析原式＝错误!＝2错误!cos α。
2．化简：错误!＝________.答案12cos 2x解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!cos 2x.3．化简：错误!－2cos(α＋β)．解原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
思维升华（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角，二看名，三看式子结构与特征．（2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的共同点．题型二三角函数的求值命题点1 给角求值与给值求值例1 （1）（2018·阜新质检）［2sin 50°＋sin 10°（1＋错误!tan 10°）］·错误!＝________。
答案错误!解析原式＝错误!·错误!sin 80°＝错误!·错误!cos 10°＝2错误!［sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝2错误!sin(50°＋10°)＝2错误!×错误!＝错误!。
【精品课件】2020年高考数学复习专题之三角函数、解三角形PPT☆★☆★第六节 简单的三角恒等变换
第六 节
简单的三角恒等变换
考点一 三角函数式的化简
[典例] (1)sin1＋18c0o°s＋22αα·cosc9o0s2°＋ α α等于
(D)
A．－sin α B．－cos α C．sin α D．cos α
(2)化简：sins2inα＋α β－2cos(α＋β)． [解] (1)原式＝2－cossi2nα2－α·csoins2αα＝－22csoins2ααc－ossαin·coαs2α＝cos α.
10°＋sin cos 35°
10°
＝
2
2 2 cos
10°＋
2 2 sin
10°
cos 35°
＝ 2cocso4s53°5－°10°＝ c2ocsos353°5°＝ 2.
答案：C
()
2．已知 α 为第二象限角，sin α＋cos α＝ 33，则 cos 2α＝(
)
A．－
5 3
[解题技法] 三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间 的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另 外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母 相约等)的方式来求值．
考法(二) 给值求值 [典例] 已知 sinα＋π4＝102，α∈π2，π.
＝ccooss 22αα＝1.
考点二 三角函数式的求值
考法(一) 给角求值
[典例]
cos
10°1＋ 3tan cos 50°
10°的值是________．
[解析]
原式＝cos
10°＋ cos
3sin 50°
10°＝2sinco1s0°5＋0°30°＝
核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ))4.5 三角函数模型的应用课件 文
(2)小球开始振动的位置在哪里？ (3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多 少？ (4)小球经过多长时间往复振动一次？ (5)小球 1s 能振动多少次？
解：(1)画出 h＝2sin2t－π4的简图(长度为一个周期)．
按五个关键点列表：
t
π 3π 5π 7π 9π 88 8 8 8
的房(地球上赤道南北各 23°26′处的纬线分别叫南北回归线．冬季 我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上)．
解：设最低高度为 h0，则由题意知，太阳的高度角为 90°
－|21°34′－（－23°26′）|＝45°，∴15＝t2a1n－45h°0 ，得 h0
＝6.
∴最低应选在第 3 层．故填 3.
1≤t≤12k＋5(k∈Z)．在同一天内取 k＝0 或 1，则 1≤t≤5 或 13≤t≤17.
所以该船最早能在凌晨 1 时进港，最晚下午 17 时出港，在港口最多停
留 16 小时．
点拨： (1)这是一道根据生活中的实例编拟的题目，由表中数据抽象 出数学问题(求解析式、解不等式)，从而得出船在港内最多停留 的时间，这一过程体现了数学建模的思想；(2)许多实际问题可以 根据以前的记录数据寻找模拟函数，再结合几个关键数据求出解
点拨： 利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得
对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法．
2020版高考数学大二轮复习第二部分专题1三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质课件理
3．(2019·石家庄模拟)已知 sin α＝13，α∈－π2，π2，则 tan α＝________. 解析：根据三角函数的基本关系式可得 cos2α＝1－sin2α＝1－132＝89，又因为 α∈
－π2，π2，所以
cos
α＝2 3 2，所以
tan
α＝csions
2．已知 sin θ＋cos θ＝13(－π<θ<0)，则 sin θ－cos θ 的值为( )
15 A. 3
B．－
15 3
C.
17 3
D．－
17 3
解析：由 sin θ＋cos θ＝13可得 1＋2sin θcos θ＝19， ∴sin 2θ＝－89<0，则－π2<θ<0， ∴sin θ－cos θ＝－ sin θ－cos θ2＝－ 1＋89＝－ 317.故选 D. 答案：D
2．(2019·蚌埠模拟)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2图象的相邻两条对称轴之
间的距离为π2，将函数 f(x)的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数 g(x)的图象．若
函数 g(x)为偶函数，则函数 f(x)在区间－π6，π6上的值域是(
)
A.－1，12
第1讲 三角函数的图象与性质
三角函数的定义、诱导公式及基本关系
考情调研
考向分析
考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式
解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合
起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角
1.利用同角三角函数基本关系式求值． 2.诱导公式的应用.
公式进行恒等变换的技能以及基本的运算能
力．题型为选择题和填空题，低档难度.
解析：由图可得T4＝51π2－π6＝π4，故 T＝π＝2ωπ，解得 ω＝2， 将点π6，A代入函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)，即 A＝Asinπ3＋φ，故 sinπ3＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以 φ＝π6，故函数 f(x)＝Asin2x＋π6， 因为将 f(x)图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数 g(x)的图象， 所以 g(x)＝Asin2x＋π4＋π6＝Asin2x＋23π，
2020版高考数学(文)总复习课件：第四章+三角函数+解三角形+4.5
S(α-β):sin(α-β)=_s_i_n__α__c_o_s__β__-_c_o_s__α__s_i_n__β__.
tan tan
T(α+β):tan(α+β)=___1__t_an__t_an_____(α,β,α+β
≠ +kπ,k∈Z).
2 tan tan
T(α-β):tan(α-β)=__1___ta_n__ta_n_____ (α,β,α-β
4
4
()
A.1
B.1-cos 2x
C.1+cos 2x
D.1+sin 2x
【解析】选D. cos2 (x ) sin2 (x )
4
4
1 cos(2x ) 1 cos(2x )
2
2
2
2
= 1 (1+sin 2x+1+sin 2x)=1+sin 2x .
2
2 3 sin ωxcos ωx+λ的图象关于直线x=π对称,其中 ω,λ为常数,且 (1 ,1).
2
①求函数f(x)的最小正周期.
②若y=f(x)的图象经过点 ( ,0) ,求函数f(x)在区间
4
[0，3] 上的取值范围.
5
【解析】(1)连接BP,设∠CBP=α,其中 0 ＜ ,
52
2
2
2
3 sin x 3 3 cos x 6 sin(x ),
5
5
5
3
因为 1 sin(x 3
5
2.计算 2cos 10 2 3cos( 100) ________ .
1 sin 10
高考数学第4章三角函数解三角形第五节解三角形课件理
解 (1)由题，∠BDM＝30°，∠BCM＝60°，得∠CBD＝30°， 所以 BC＝BD＝100，所以 S△BCD＝12CB·CD·sin∠BCD＝12× 100×100×sin 120°＝2 500 3平方米.
(2)由题，∠ADC＝75°，∠ACD＝45°，∠BDA＝45°， 在△ACD 中，sin∠CDCAD＝sin A∠DACD， 即sin16000°＝sinA4D5°，所以 AD＝1030 6， 在△BCD 中，BD＝ BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD
1
1
(2)S＝12absin C＝ 2acsin B ＝ 2bcsin A .
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径).
►解三角形的两个易错点：解的个数；判断三角形形状. (1)[已知两边及其中一边对角解三角形时，易出现丢解或多解的 错误，要对解情况进行讨论，检验方法：1°角正弦值，2°三 角形内角和定理，3°大边对大角]在△ABC 中，角 A，B，C 所 π 对的边分别为 a，b，c，且 a＝1，c＝ 3，角 C＝ 3 ，则角 A＝ ________.
解析 由sina A＝sinc C得 sin A＝asicn C＝12，
所以
π A＝ 6 或
A＝5π6 ，又
a＜c，所以
A＜C，即
π A＝ 6 .
答案
π 6
(2)[1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变
换找出角之间的关系.(2)化角为边，通过代数变形找出边
之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种
________.
解析
宽＝ 8 tan
03000°－ta8n
04050°＝5
856.4(m).