解直角三角形(1)

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解直角三角形(1)(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)

专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。

教学课件_解直角三角形(第1课时)_2

AC 2
∴∠A=60° ， ∠B=90°-∠A=90°- 60°=30°， AB=2AC=2 2 .
巩固练习
1.在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角
C.已知两边
D.已知两角
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB= 5 ，则
tan A的值为（ C ）
新知讲解
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与
地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已
知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
由于 cosa
AC AB
2.4 6
0.4
B
利用计算器求得 a≈66° ∴当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面
α AC
所成的角大约是66°
巩固练习
5.如图，BD是△ABC的高，AB=6， AC=5 3 ，∠A=30°．
（1）求BD和AD的长；（2）求tan C的值．
解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°
∴sin A= BD，cos A= AD
AB
∵AB=6∠A=30°
AB
∴BD=3，AD=3 3
（2）∵AC=5 3 ∴CD=2 3 在Rt△BCD中，tan C=
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
Ａ
a sinA＝ c
b cosA＝ c
tanA＝ a
b （4）面积公式：S▲ABC
1 2
a•b
1 2
c•h
Ｂ
c a
bＣ
例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，2BC= ，6解这个直角三角形.

25.3解直角三角形(1)shao

例题1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=38°, a=10, 求这个三角形的其他边和角。(附：tan38°≈0.781， cot38°≈1.280，sin38°≈0.616，cos38°≈0.788）
A
b
c
思考：求b有哪些办法？
1.C解直角a三10角38形°的B方①法很Q 多tan，B灵活ab多, 样且，B 38,a 10
A=
邻边对 tan边B=
b a
sin
A=
对边斜 cos边B=
a c
cos
A=
邻边斜 sin边B
=
b c
直角三角形中，已知某些元素
三边关系角角关系
边角关系
求出未知元素
思考:在一个直角三角形中，除直角以外，在其余五个元素中，至少需要知道几个元素，才能求出其它所有元素？
①一个角
B
一个元素
a
c
③2.Q但a为2 +了b避2 免c出2 现大的误差b ， a一 t般an都B 是 7取.8原1 始数据，避开
中间b数=据c．2 a2 ② Q cot B a , 且B 38,a 10 3简.当便=所7. .81求12元.6开而9素方且2 既运如1可0算果2用麻c算乘烦错法！了，b？又可coa用t Bb除法1.时1208，0 则除7用.法8乘1比法乘比法较麻烦！
②一条边
Cb
A
直角三角形中，已知某些元素
三边关系角角关系
边角关系
求出未知元素
思考:在一个直角三角形中，除直角以外，在其余五个元素中，至少需要知道几个元素，才能求出其它所有元素？
①两个角
B
两个元素 ②两条边 (SAS,HL)

沪教版(上海)九年级第一学期教案 25.3解直角三角形(1)

（3）用锐角三角比求出角.
预案：学生可能会用求，问你用的是原始数据吗？
学生用计算器算出b、∠A.
生答：
（1）取原避中，用正切容易出现误差.
（2）用 .
（3）正弦或余弦.
无弦用切.
学生练习.
1. ，
，
2．
.
3.
,
.
学生思考
学生计算器计算：
（6米）
预设：
（1）直角三角形中的等量关系；
（2）在解直角三角形时，除直角外，至少需要知道两个元素，并且至少一条是边，才能求出其它的元素．
我们已经掌握了直角的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，就可以由已知元素求未知元素．
问1：对于一个直角三角形，除直角外的五个元素中，至少需要知道几个元素，才能求出其它的元素？
问2：两个什么元素？两个元素都是角吗？
问３：为什么？一边一角可以吗？
归纳：在直角三角形中，利用以上关系式，知道其中除直角外的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素.这就是我们这堂课要学习的内容.
（3）十六字口诀．
联系实际、创设问题情境，激发学生的求知欲.
这三条关系是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
这样的导语可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，激发了学生的学习热情．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立思考，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生分析比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
板书：2.解直角三角形
（1）定义：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

6-16网课数学A作业纸(8.7一8.13)

8月7号初三数学作业纸（A ）班级姓名学号家长签名：课题：解直角三角形（1）一、选择题：1．在Rt △ABC 中，∠C =900，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 对式错误的是 ( ) .a csin .b ccos .b a tan .a b tan A A B B C B D A ====2．根据下列所给的条件解直角三角形，结果不能确定的是（）（1）已知一直角边和一锐角；（2）已知两锐角；（3）已知两直角边；（4）已知斜边和一锐角；（5）已知一直角边和斜边．A ．（2）（3）B ．（2）（4）C ．（2）D ．（2）（4）（5） 3.等腰三角形的底角为30°，底边长为2 3，则腰长为 ( )A ．4B ．2 3C ．2D ．2 24．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为（）A. 7sin35°B. 035cos 7C. 7cos35°D. 7tan35° 5．将如图所示三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD ∥AB ，则∠α的正弦值为（） A.12 B.32 C.22D ．1二、填空题：6．在△ABC 中，∠C ＝90°，若sinA=0.314，则cosB= .7．在△ABC 中，∠C ＝90°，a=1，c=2，则∠B= ，b= . 8．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，a=5，则b= .9．（2018•孝感），在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A = . 10．半径为10cm ，弧长为12π的扇形围成圆锥（接缝忽略不计），那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值是．11．（2018•无锡）已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝2，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于．． 12.（2018•北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE ．（填“＞”，“＝”或“＜”）第5题图第12题图B CA三、解答题：11．在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c ．（2）已知b=10，∠B=60°，求a ，c ．12．在ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，tanB=3，AB=10，求各角度数及各边长．13.（2019•盐城）如图，在△ABC 中，BC ＝+，∠C ＝45°，AB ＝AC ，求AC 的长．14．已知:如图在等腰△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，求sinA 的值.8月8号初三数学作业纸（A ）班级姓名学号家长签名：课题：解直角三角形（2）一、选择题：1．在△ABC 中，若tanA=33，sinB=21，你认为最确切的判断是（） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形2．半径为R 的圆内接正三角形的高是（） A .23R B. 2RC. RD. R 23 3．已知正十边形的半径为R ，则它的边长a 10等于（） A. 2Rcos180B. 2Rsin180C. Rsin180D. Rcos1804．（2018•贵阳）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（） A ．B ．1C ．D ．二、填空题：5．如果一个正八边形的半径为2，那么它的面积为 .（结果保留根号形式）6．已知正六边形的面积为33cm 2，则它的外接圆的半径为 cm.三、解答题：7．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，CD ⊥AB ，垂足为D ，求sin ∠ACD 和tan ∠BCD 的值．8．（2019•淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH 沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，求tan∠HAP的值.9．四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，求四边形ABCD 的面积.10．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1=；sin2A2+sin2B2=；sin2A3+sin2B3= ．（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=．（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．8月9号初三数学作业纸（A ）班级姓名学号家长签名：课题：锐角三角形的简单应用（1）一、填空题1．如图，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆15米的C 处，用1.2米高的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角a ＝30°，则电线杆AB 的高度为________.第1题第2题第3题2．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树的高，他测得CB=10米，∠ACB=60°，则树高AB 为3．如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为____ __ 二、解答题：4．如图，在某建筑物AC 上，挂着“多彩淮安”的宣传条幅BC ，小明站在点F 处，看条幅顶端B ，测的仰角为︒30，再往条幅方向前行20米到达点E 处，，看到条幅顶端B ，测的仰角为︒60，求宣传条幅BC 的长．ABC5．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A 处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B 离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到1米，参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）6．如图，在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，CD ＝4米，坡角∠DCE ＝30°，小红在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A ，C ，E 在同一直线上． (1)求斜坡CD 的高度DE ；(2)求大楼AB 的高度．(结果保留根号)7．如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．求：（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由．(参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449=== )8月10号初三数学作业纸（A）班级姓名学号家长签名：课题：锐角三角形的简单应用（2）一、选择题1．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为45°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（）A．12米 B．10.4米 C．13.6米 D．24米2.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2第2题图第3题图第4题图第5题图3.（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（）A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m二、填空题4．已知跷跷板长3m,当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面1.5m.求此时跷跷板与地面的夹角为____cm2.5．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是____cm2.三、解答题6．如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：8秒后船向岸边移动了多少米?7. （2019•徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，求该建筑的高度BC．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）8. 如图，为了测量河的宽度ＡＢ，测量人员在高21ｍ的建筑物CD的顶端Ｄ处测得河岸Ｂ处的俯角45°，测得河对岸Ａ处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为多少m？（精确到0.1ｍ）。

解直角三角形(一)

A 三角形中共有六个元素：三边a、b、c，三角 ∠A、 ∠B、 ∠C。 C B
探究新知：在直角三角形ABC中， ∠C=90°，a、b、c， ∠A、 ∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？它们之间的关系是：
边边关系： a2+b2=c2 角角关系： ∠A+∠B=90°
A
b
C
c a
B
a b a 边角关系： sin A = , cosA= , tanA= c c b
B
A
C
3、如图， ∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BC=2，tanA= 3 ，求AC、CD的值。 C
3
A
D
B
课堂小结
1、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个为边），就可以求出另三个元素。 2、在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形。 3、解直角三角形的方法不止一种，在面临选择时，我们应遵循以下原则：
B
35°
a
C
b ∵sinB= c
b a
b 20 = ∴ a= ≈28.6 tan B tan 35° b 20 ∴c= ≈35.1 = sin B sin 35°
∴∠A=55°，a ≈28.6 , b ≈35.1.
已知一边一角,解直角三角形的方法为:先求另外一角, 求出第三条边;然后选取适当的函数关系式求出边.
练一练
1、在在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 解这个直角三角形. ∠A=∠B=45°，BC=
2
,BA=2 ,
2
2、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C的所对边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个直角三角形（精确到1′，保留四个有效数字） ∠A=47°54′，a≈213.3，b≈192.7

1.3解直角三角形(1)教案

1.3 解直角三角形(1)一、教学内容解析：本节是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题.本课内容既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下作用.二、教学目标：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．三、教学重难点重点：直角三角形的解法.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用.四、教学手段与教学方法教学手段：多媒体教学.教学方法：启发式教学、小组合作学习.五、教学过程：（一）、设疑，激发兴趣1、组织教学，激情口号：我自信、我出色，我努力、我成功.2、情景导入：同学们，幻灯片上的这幅图片是意大利著名的比萨斜塔，它已经有800多年的历史了，在它落成的时候由于地基等问题就已经发生了倾斜，但是在1972年比萨地区发生地震，造成塔顶中心点偏离垂直中心线达到了5.2米.比萨斜塔的高为54.5米，根据以上信息，我们可以把这道实际问题抽象成什么样的几何图形呢？在这个直角三角形中，AB代表比萨斜塔的高54.5米.BC代表塔顶到垂直中心线的距离5.2米，我们能否根据已知条件求出比萨斜塔的倾斜角∠A，或者∠B以及AB的长呢？你们有多少种求法？这就是本节课我们要学习的内容，解直角三角形.3、板书课题：1.3解直角三角形（1）4、请同学们齐读本节课的学习目标.（二）、活动一：自学初探各组组长检查各小组导学案第二部分主“动”展示完成情况.由各小组举牌主动展示以下三个问题.1、什么叫做解直角三角形？2、在一个直角三角形中，一共有几个元素，这五个元素分别是什么？那这五个元素之间有没有什么关系呢？哪组同学愿意主动展示一下第2道题？(1)三边之间关系：(2)两锐角之间关系：(3)边角之间关系：以上三点就是解直角三角形的依据，我们熟知后就可以拿来运用了.3、在直角三角形中，知道几个已知元素就可以求其余未知元素？（三）、活动二：合作再探现在我们回到比萨斜塔这道题，哪名同学愿意上黑板上写出已知元素和要求的未知元素，把它变成解直角三角形的问题.（教师通过这个过程可以观察到学生是否真的理解了什么叫做解直角三角形。

25.3 解直角三角形(1)

课题：2 5.3 解直角三角形（1 ）累计课时（6 ）授课班级_______ 授课时间_______ 授课教师_______ 审核人_______【学习目标】1.通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。

2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数形结合的数学思想3.培养学生良好的学习，思维习惯．培养学生用数学的意识；【学习重难点】【学习过程】一、自主学习1、直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)三边之间关系： (勾股定理) (2)锐角之间关系：．(3)边角之间关系：_______________________________________________________________________________2、△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=3，BC=6，求：sin ∠BCD 、cos ∠BCD 和tan ∠BCD 的值。

CB A D 二、合作探究1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知∠A=30°，BC=8cm ，则 AB= ， AC= ；（2）已知a ＝156， b ＝56，求c= ;（3）已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a = ；像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做 .2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知a ＝20，c ＝220，求∠B= ；（2）已知b ＝15，∠A ＝30°，求a= ．（3）已知∠A=60°，AC=3cm ，求AB= ，BC= 。

3、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=AC ，6=BC ，解这个直角三角形三、教师精点1、如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC 的长以及拉线下端点A 与杆底D 的距离AD = (精确到0.01米)．2、归纳：a:“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程。

25.3解直角三角形1

图25.3.125.3解直角三角形1【学习目标】1．复习已知两边解直角三角形, 能利用解直角三角形解决实际问题。

2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.【教学重点难点】重点: 灵活应用解直角三角形知识解决实际问题。

难点:由实际问题转化为几何问题(建模)。

【课前预习】自学课本完成下列问题1. 在直角三角形中，的过程，叫做解直角三角形.2．已知1sin 2A =，且∠A 为锐角，则∠A=（） A.30° B.45° C.60° D.75°3.计算:45tan 30cos 60sin -4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ＝10， b ＝24,求(1)斜边c ;(2)求c a + .(请画图)【课堂活动】例1 如图25．3．1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？【随堂检测】 1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ＝3， b ＝3,解这个直角三角形.2.计算 03045tan 831+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛3.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？【问题小结】1. 已知两边,可以解直角三角形;2. 把实际问题转化为数学问题,注意建模.【课后作业】1. 在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°,a ＝1， c ＝2，解这个直角三角形;2. 在Rt △ABC 中，已知∠B ＝90°,c ＝30， ∠A ＝60°，3. 求下列各式的值．（1） 2cos30°＋cot60°－2tan45°；（2） ︒+︒60cos 45sin 22；4.已知直角三角形两条直角边分别为5、12，求斜边上中线的长．【课外拓展】1.如图，在ABC △中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥于D ，若23AC =，32AB =，则tan BCD ∠的值为（）A ．2B ．22C ．63D ．33 2．一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子？A C BD。

25解直角三角形的应用(一)

（参考数据：tan52o≈1.280，cot52o≈0.781，sin52o≈0.788，cos52o≈0.616.）
（三）课内练习 1.某飞时飞机与地面控制点之间的距离是米.（结果保留根号） 2.在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆的仰角为，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为的三角比表示）米.（用含
[说明]在实际问题数学化，运用仰角、俯角概念解直角三角形时，要首先找出它们所在的直角三角形，表示时注意“水平线”，再结合图形中的已知元素，解出要求的未知元素，同时在审题时，要注意题后对结果精确度的要求.
四、课堂小结
• 1．知道仰角、俯角的意义，明确概念强调的是视线与水平线的夹角. • 2．认真分析题意，在原有的图形中寻找或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题. • 3．按照题目中的精确度进行计算.
25.4解直角三角形的应用（1）
一、教学目标
1．掌握仰角、俯角概念； 2．在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力.
二、教学重点与难点
• 将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间关系进行解题.
三、教学过程
• （一）概念学习 • 1．概念辨析 • 在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. • [说明] 在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水平线所夹的角，而不是视线与铅垂线所成的角.
五、课后作业 1. 在高度为h米的飞机上观察地面控制点测得俯角为，那么飞机与控制点的距离是…………………（．）
A
B．
Ｃ．
D
2. 在距地面100米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高为__________米. 3. 为了测量学校教学大楼的高，在操场的点C处架起测角仪，测角仪的高 CD=1.40米，从点D测得教学大楼顶端A的仰角，测角仪底部C到大楼底部B的距离CB=21米，求教学大楼的高.（结果保留根号）

《解直角三角形(1)》教学设计

数学教学设计7.5 解直角三角形（1）教学目标1．使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形；2．通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；3．通过问题情境，以及对解直角三角形所需的条件的探究，运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．教学重点直角三角形的解法．教学难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程（教师）学生活动设计思路新课引入——情景导入五星红旗你是我的骄傲，五星红旗我为你自豪……如何测量旗杆的高度？请同学们说说你的想法．积极思考，回答问题——大多数学生会凭直觉发表自己的观点，有的用尺子度量，有的说我们可以构建直角三角形解决．通过身边的情境让学生思考、交流、发言，调动学生的课堂参与的积极性，激发了他们研究的兴趣和探究的激情．实践探索活动一：（课件展示1）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞多远？观察、思考、感悟．上面的例子是给了两条边．那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？请看下面的活动．活动二：（课件展示2）如图，为测量旗杆的高度，在C点测得A点的仰角为30°，点C到点B的距离56.3，求旗杆的高度（精确到0.1m）．解：略．观察、思考，并归纳、小结得出“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）”．（1）转化的数学思想方法的应用，把实际问题转化为数学模型解决；（2）巩固解直角三角形的定义和目标，初步体会解直角三角形的方法——直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少AB C有一个是边）就可以求出其余的3个元素” 交流讨论；归纳总结．归纳总结同学们回答的非常好，通过上面的两个活动，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？如图，在Rt △ABC 中， ∠C 为直角，其余5个元素之间有以下关系：（1）三边之间关系：a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．（3）边角之间的关系：学生交流讨论归纳（课件展示讨论的条件）师总结：解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边）：（1）已知两条边（一直角边一斜边；两直角边）；（2）已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；一斜边一锐角）．自然就可以得出“定义” ．这是这节课的重点，让学生归纳和讨论，能让他们深刻理解解直角三角形有几种情况，必须满足什么条件能解出直角三角形，给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心．例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，a ＝5．解这个直角三角形．例2 已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝104，b ＝ 20.49．（1）求c 的值（精确到0.01）；（2）求∠A 、∠B 的大小（精确到0.01°）．1．根据解直角三角形定义和方法进行分析．2．思考多种方法，选择最简便的方法．例2由学生独立分析，板练完成，并作自我评价，以掌握方法．通过例题学会灵活运用直角三角形有关知识解直角三角形，并能熟练分析问题，掌握所学基础知识及基本方法，并进一步提高学生“执果索因”的能力． sin cos tan a b a A A A c c b===，，．知识巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）：求：（1）a＝9 ，b＝6；（2）∠A＝18°，∠C＝13．2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，求：B、C两地之间的距离．积极思考解决办法——运用本节课所学数学知识解决问题，关键要对知识灵活运用．使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫正．课堂小结通过今天的学习，你学会了什么？共同小结．通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平．布置作业1.必做题：习题7.5第1、2题；2.选做题：如图所示，施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB＝4米，斜面距离BC＝4.25米，斜坡总长DE＝85米．（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95）课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．学生可根据自己的能力去自主选做．这样就能实现《课程标准》中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．解直角三角形的概念（勾股定理）三边之间关系两锐角之间关系边角之间关系（锐角三角函简单应用17cm A BCD E F。

6-16网课数学A学案(8.7一8.13)

8月7号初三数学学案（A）课题：解直角三角形（1）【预习检查】1.如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处。

问大树在折断之前高多少米?2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，b=10，求a，c，∠A【目标展示】1.理解直角三角形中5个元素的之间关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2.经历解直角三角形的过程，概括出解直角三角形的方法，提高分析问题、解决问题的能力.【新知研习】研习1：已知在Rt△ABC中，∠C为直角，在a、b、c、∠A、∠B这五个元素中，知道几个元素，就能求出其它未知元素？研习2：解直角三角形的依据是哪些？【典型例题】例题1．在Rt△ABC中，∠C =900，∠A =300，a=5，求b、c的大小.例2．在Rt△ABC中，∠C =900，a=10，c=20，请解此直角三角形【归纳总结】【巩固拓展】1．在Rt△ABC中，下列情况，三角形可解的是（）A.已知AC=3，∠C=900,B.已知∠C =900，∠B=300，C.已知∠C =900，∠B =600，BC=6,D.已知AC=42.已知△ABC中，AB＝24，∠B＝450，∠C＝600，AH⊥BC于H，则CH＝．3．已知在Rt△ABC中，∠C =900，b=32，c=4，求a 、∠A、∠B4.如图，△ABC中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB的长.5.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，求△ABC的面积。

6.（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．【预习指导】解直角三角形（2）CA B8月8号初三数学学案（A ）课题：解直角三角形（2）1．如图，在Rt △ABC 中，a=6，b=63,解这个直角三角形.【目标展示】1.理解直角三角形中5个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的2个锐角互余及锐角三角函数解有关多边形中的边角问题.2.经历解直角三角形的过程,概括出解多边形的方法,提高分析问题和解决问题的能力. 【新知研习】研习1：遇到在非直角三形中求边长时怎么办？研习2：什么叫做正多边形？什么叫做正多边形的半径？它的中心角怎么计算【典型例题】例1．如图，△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB 的长.【归纳总结】【巩固拓展】1. 一个正六边形的边长为4㎝，则这个正六边形的面积为_______.2.在⊿ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，则BC= .3.在⊿ABC 中，∠C=90°，若sinA+sinB=57，a+b=28，求c4.如图，在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°∠D=∠B=90°，求这个四边形ABCD 的面积.5.一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长．【预习指导】锐角三角函数的简单应用（1）B DCAA BO 8月9号初三数学学案（A ）课题：锐角三角函数的简单应用（1）【预习检查】【预习检查】1．在Rt △ABC 中，其中∠C=90°，则sinA= ,cosA= ,tanA= . 2.小明在荡秋千,已知秋千的长度为2m, 求秋千升高1m 时,秋千与竖直方向所成的角度.【目标展示】1.通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.2.经历由实际问题数学化过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用，要求学生掌握不断探索解决实际问题的方法和规律. 【新知研习】研习1：一个圆绕圆心旋转1周需m （min ）,那么它旋转了n(min)后的旋转角是多少？（m>n ）.【典型例题】例1．“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20m ，旋转1周需要12min .小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m ）开始1周的观光，经过2min 后，小明离地面的高度是多少（精确到0.1m ）?思路点拨：设经过2min 后，小明从点B 到达点C 的位置，由题意知：弧BC 即为圆周长的1/6，作C D ⊥OB,垂足为D ，在Rt △COD 中，OC 与∠COD 已知，则OD 可求，进而可求得小明离地面的高度.例2. （1）在例1的条件下摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达30.5m？（2）小明将有多长时间连续保持在离地面30.5m以上的空中？问：（1）“如何理解首次”（2）“引导学生去思考，此时在空中什么位置”，并画出图形.例3.经过多长时间后，小明离地面的高度将首次达到5m?经过多长时间后，小明离地面的高度将再次达到10.5m?【巩固拓展】1.如图，起重机的机身高AB为20m，吊杆AC的长为36m，•吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度是，离机身的最远水平距离是．（精确到0.1m）2.单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到A B′的位置时，∠BAB′=11°,问这时摆球B′较最低点B升高了多少？（精确到1cm ）【预习指导】锐角三角函数的简单应用（2）B'BAsin110.191,cos110.982,tan110.194︒≈︒≈︒≈8月10号初三数学学案（A ）课题：锐角三角函数的简单应用(2) 【预习检查】__________是仰角。

9、2解直角三角形(1)锐角三角比

三角比
数学符号语言
B
∠A的正弦
c
A
∠A的余弦
BC ∠A的对边 sinA= 斜边 AB
a c b c
a
∠A的对边
∠A的正切
AC ∠A的邻边 cos A= 斜边 AB
b ∠A的邻边
C
tan A=
∠A的余切
BC ∠A的对边 ∠A的邻边 AC
a b
AC ∠A的邻边 cotA= ∠A的对边 BC
a:b=1:2
∴ sin A
a 2 5 c 2 5 5
b 4 2 5 c 2 5 5
c a 2 b 2 x 2 (2 x) 2 5 x
c b
cos A
a
a x 5 ∴ sin A c 5x 5
cos A b 2x 2 5 c 5 5x
斜边
数学文字语言
B
∠A的正弦
sine
sin A= ∠A的对边
斜边
cosine
∠A的余弦
cos A=∠A的邻边
∠A的对边
∠A的正切 tangent
斜边
A
∠A的邻边
C
tan A=
∠A的余切
∠A的对边 ∠A的邻边
cotangent
锐角A的正弦、余弦、正切、余切统称锐角A的
cotA= ∠A的邻边
∠A的对边
D
CD Rt△BCD中，sin B BC
Rt△ABC中，sin B
AC AB AD AC
Rt△ACD中，sin B sin ACD
4
2
b 4 cot A 2 a 2
AC 4 cot A 2 BC 2

九年级同步第13讲：解直角三角形的应用(1)(教案教学设计导学案)

解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．1、仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．【例1】如图，，FB// AC，从A看D的仰角是______；从B看D的俯角是______；从A 看B的______角是______；从D看B的______角是______．【难度】★【答案】；；仰；；仰；．【解析】考查仰角、俯角的基本定义．【例2】升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示）【难度】★【答案】．【解析解：如图所示，AB为旗杆，CD为某同学．则，，，在中，，∴，∴，∴．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．【例3】如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为，测得点D的俯角为，则较低建筑物CD的高为（）A．a米B．（）米C．米D．米【难度】★【答案】D【解析】过C作CE⊥AB，垂足为E．由题意有：，，在中，，∴在中，，∴∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解．【例4】如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号）【难度】★★【答案】．【解析】解：由题意可得：，．设，则，在中，，∴，解得：．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．【例5】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m）【难度】★★【答案】277.1米．【解析】解：由题意可得：，，在中，，∴，∴．在中，，∴，∴．∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．【例6】如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A、B两处测得点D和点C的仰角为45°和60°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE = 15米，求这块广告牌的高度．（取，计算结果保留整数）【难度】★★【答案】3【解析】解：由题意可得：，，在中，，∴，∴在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解和运用．【例7】某高层建筑物图中AB所示，小明家住在高层建筑物附近的“祥和”大厦（图中CD所示），小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB的高度．他先在自己家的阳台（图中的Q点）测得AB的顶端（点A）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向AB方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P 处），测得点A的仰角为45°．已知点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB的高度．（参考数据：，，）【难度】★★★【答案】492米．【解析】过Q作AE⊥AB，垂足为E．解：由题意可得：，，，．设，则在中，，∴，∴．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．【例8】如图，为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层的高度为3米，两楼间的距离AC = 30米．现需了解在某一时间段内，甲楼对乙楼采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼的影子长EC= h，太阳光线与水平线的夹角为．（1）用含的式子表示h；（2）当= 30°时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若每小时增加10°，约几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．（结果精确到0.01）【难度】★★★【答案】(1)；（2）第4层，6小时．【解析】解：(1)由题意可得：．过E作FE⊥AB，垂足为F．在中，，∴，∴．∴．（2）如图2，，∴∵若每小时增加10°，∴．∴需要1.5小时才能从30°到90°．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．1、方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．【例9】如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，则由B测点A的方向为（）A．北偏东15°B．北偏西75°C．南偏西15°D．南偏东75°【难度】★【答案】B【解析】考查方向角的定义．【例10】如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走200米到C地，此时小明离A地_____米．【难度】★【答案】100．【解析】解：由题意可知：在中，，∴，∴，．∴．∴．【总结】本题主要考查对方位角的准确理解和运用．【例11】如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里【难度】★【答案】B【解析】解：∵，∴为等边三角形．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例12】在位于O处某海防哨所的北偏东60°相距6海里的A处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B处，则A、B间的距离是______海里．（精确到0.1海里，，）【难度】★★【答案】5.5．【解析】解：由题意可知：，，在中，，∴，∴，．∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例13】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，请问，此时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里，，）【难度】★★【答案】130.23．【解析】解：在中，，∴，∴在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例14】如图，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点．景点B在景点C的正东方向，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向．一游客自景点A驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间？（，精确到1分）【难度】★★【答案】27分．【解析】过A作AD⊥BC的延长线于D．由题意可得：，，．在中，，∴，∴，在中，，∴，∴∴∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例15】如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）B在暗礁区外；（2）有危险．【解析】解：（1）由题意可得：，，．∴，∴∴∴B在暗礁区外．（2）在中，，∴，∴∴若继续向东航行有触礁危险．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，注意在触礁问题中的最小距离指的是垂直距离．【例16】如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A、B、C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB = 2千米，．（1）求B、D之间的距离；（2）求C、D之间的距离．【难度】★★【答案】（1）2；（2）．【解析】解：(1)由题意得：，．∵∴∴∵∴∴∴(2)∵∴∴过C作CG⊥BD，垂足为G在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．【例17】如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度？（结果保留根号）【难度】★★★【答案】（1）4小时；（2）．【解析】解：由题意可得：，，，．在中，，∴，∴，∴，，．∴（1）；（2）．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．【例18】如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2千米，点B位于点A北偏东60°方向且与点A相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A正北方向的点D处．（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度．（结果精确到0.1千米/时）（参考数据：，，，）【难度】★★★【答案】（1）3；（2）40.4．【解析】解：（1）由题意有：，．在中，，，∴．(2)在中，，∴，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题目中给出的条件．1、坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即．坡度通常写成1 : m的形式，如．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．坡度i与坡角之间的关系：．【例19】某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高______米．【难度】★【答案】6．【解析】考查坡度的定义．【例20】某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______．【难度】★【答案】．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例21】如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距离AB为（）A．4米B．米C．米D．米【难度】★【答案】C【解析】考查坡角的定义．【例22】如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，的正切值为，则它的里口宽BC = ______．【难度】★★【答案】33毫米．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例23】河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD的坡度为1 : 3，斜坡CB的坡角为45°，则河堤横断面的面积为______平方米．【难度】★★【答案】96．【解析】考查坡角的基本定义．【例24】如图，一个大坝的横断面是一个梯形ABCD，其中坝顶AB= 3米，经测量背水坡AD= 20米，坝高10米，迎水坡BC的坡度i= 1 : 0.6，求迎水坡BC的坡角的余切值和坝底宽CD．【难度】★★【答案】；．【解析】过A、B作AE⊥CD，BF⊥CD．由题意可得：，，∴．在中，，∴，∴．在中，，∴．【总结】本题主要考查坡脚和坡比的概念．【例25】如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？【难度】★★【答案】2560．【解析】，．【总结】考查等腰梯形双高辅助线的做法和坡度的基本定义．【例26】如图，小杰发现垂直地面的旗杆AB的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC和CD，经测量得BC=10米，CD=10米，斜坡CD的坡度为，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米，求旗杆AB的长度．（答案保留整数，其中）【难度】★★【答案】13．【解析】解：延长AD和BC交于点E，过D作DF⊥BE．由题意可知：，．在中，，∴．设，，则，∴．∴，．在中，，∴，∴在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例27】如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，）【难度】★★【答案】（1）10；（2）19．【解析】解：延长BC交PQ于点E，过A作AD⊥PQ由题意可知：，．在中，，∴．设，，则，∴．∴，．在中，，∴设，，在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例28】如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i为1 : 1.2，坝高为5米．现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1 : 1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少立方米的土？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少立方米？【难度】★★★【答案】（1）30000；（2）甲：1000；乙：500．【解析】由题意可知：，在中，，∴，∴．∴．在中，，∴，∴．∴．∴．∴．（2）设原计划甲工程队每天完成立方米，乙工程队每天完成立方米，则根据题意可得：，解得：．∴原计划甲工程队每天完成1000立方米，乙工程队每天完成500立方米．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例29】如图所示，在风景区观测塔高时，塔的底部不能直接到达．测绘员从观景台（横截面为梯形）的底部沿坡面方向走30米到达顶部处，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）在点处测得塔顶E的仰角是45°，沿方向走20米到达点处测得塔顶E的仰角是60°．已知坡面的坡度是，根据上述测量数据能否求出塔高？若能，请求出塔高（精确到1米）；若不能，说明还需测出哪些量才能求出塔高．【难度】★★★【答案】能，62米．【解析】由题意可知：，．．过B作BH⊥AD．在中，，∴．设，，在中，，∴，∴．∵，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件，分析清楚仰角分别指的是哪个角．【例30】如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE的大树HD．小智想要测量这棵大树HD的高度．在下午的某个时刻，他观察到这棵大树树梢H的影子落在楼房的外墙面上的点G处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE的木柱AB，它在水平地面BE上的影子BC也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB = 1.6米，BC = 3.2米，DE =7.2米，EF = 2.6米，斜坡EF的坡度i =1 : 2.4，FG = 1.6米．试求大树HD的高．【难度】★★★【答案】7.4米．【解析】解：由题意可得：，过F作FM⊥HD，过F作FN⊥DN在中，，∴．设，，∴则，∴．∴，．∴．在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件．【习题1】某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米．【难度】★【答案】．【解析】考查俯角的定义．【习题2】一船在海上点B处沿南偏东10°方向航行到点C处，这时在小岛A测得点C 在南偏西80°方向，则______．【难度】★【答案】90°【解析】考查方向角的定义．【习题3】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为______．【难度】★【答案】1:2【解析】考查坡度的定义．【习题4】如图，已知楼房AB高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD = 50米，塔高DC为米，下列结论中，正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°【难度】★★【答案】C．【解析】解：由图可知：，∴．在中，，∴．∴由楼顶望塔顶仰角为30°．【总结】本题主要考查利用已知条件解直角三角形，再利用锐角三角比的值求出角的度数．【习题5】A港在B地的正南千米处，一艘轮船由A港开出向西航行，某人第一次在B处望见该船在南偏西30°，半小时后，有望见该船在南偏西60°，则该船速度为______．【难度】★★【答案】40．【解析】解：在中，，∴，解得：．在中，，∴，解得：．∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【习题6】如图，一架飞机在高度为5千米的点A时，测得前方的山顶D的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B时，又测得山顶D的俯角为45°，求这座山的高度DN．（结果可保留根号）【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可得：，，，．设，则．∴，解得：，∴．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的有关概念解决实际问题．【习题7】小岛B正好在深水港口A的东南方向，一艘集装箱货船从港口A出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C处测得小岛B在它的南偏东15°方向，求小岛B离深水港口A的距离．(精确到0.1千米)（参考数据：，，，，）【难度】★★【答案】38.6千米．【解析】解：由题意可得：，，．过C点作CD⊥AB．在中，，∴，解得：，∴．在中，，∴，解得：．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【习题8】如图，以水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB 的坡度，斜坡CD的坡度．（1）求斜坡AB和坝底AD的长度；（2）若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB的坡度由原来的1 : 3变为1 : 5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米．【难度】★★【答案】（1），132.5；（2）598．【解析】解：由题意可得：，，，．在中，，∴，解得：．∴．∴，解得：．∴．（2）由（1）可得：．在中，，∴，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题9】某城市规划期间，欲拆除河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD= 14米，该河岸的坡面CD的坡比为1 : 2，岸高CF 为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否需要将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）【难度】★★★【答案】不需要将此人行道封上．【解析】解：由题意可知：，．在中，，∴，解得：，∴．∴．在中，，∴，解得：，∴．∴．∴不需要将此人行道封上．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题10】如图，小唐同学在操场上放风筝，风筝从A处起飞，一会儿便飞抵C处，此时，在AQ延长线B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°．若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多长？（结果保留根号）【难度】★★★【答案】．【解析】解：（1）由题意可知：，，．在中，，∴，解得：，∵，∴．（2）由题意有：∴．过A作AE⊥BC，在中，，∴，解得：，在中，，∴，解得：．【总结】本题综合性较强，主要是利用已知条件，结合仰角和俯角的运用解直角三角形．【作业1】身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300米，250米，200米，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高【难度】★【答案】D．【解析】由仰角的定义和解直角三角形可得：甲的风筝离地面150米，乙的风筝离地面米，丙的风筝离地面米．∵∴乙的风筝最高．【总结】本题主要考查方位角的概念以及特殊角的锐角三角比的值．【作业2】小明在东西方向是沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为______米．【难度】★【答案】．【解析】解：由题意可知：，．∴∴∴过P作PC⊥AB，垂足为C在中，，∴∴．【总结】本题主要考查方位角的概念及运用．【作业3】某人从地面沿着坡度的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．【难度】★【解析】考查坡度的定义和解直角三角形．【作业4】如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°的方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°的方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．14海里B．海里C．7海里D．海里【难度】★★【答案】D【解析】解：由题意有：，，．∴．过B作BC⊥AM，垂足为C在中，；在中，，∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角结合锐角三角比解决实际问题．【作业5】如图，在同一地面上有甲、乙两幢楼AB、CD，甲楼AB高10米，从甲楼AB 的楼顶测得乙楼CD的楼顶C的仰角为30°，从乙楼CD的楼顶C拉下的节日庆典条幅CE与地面所成的角为60°，这时条幅与地面的固定点E到甲楼B的距离为24米，求条幅CE的长度．【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可知：，在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业6】如图，水坝的横截面是梯形，上底= 4米，坝高米，斜坡的坡比，斜坡的坡比．（1）求坝底的长；（结果保留根号）（2）为了增加水坝的抗洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底米，求水坝增加的高度．（精确到0.1米，参考数据）【难度】★★【答案】（1）；（2）0.7米．【解析】解：（1）在中，，∴，∴．在中，，∴，∴．∴．(2)在中，，∴，在中，，∴，设，则，，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业7】如图，某人在建筑物AB的顶部测得一烟囱CD的顶端C的仰角为45°，测得点C在湖中的倒影C1的俯角为60°，已知AB = 20米，求烟囱CD的高．【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可得：，．过A作AE⊥CD，垂足为E．设，则．∵C和C1关于BD对称，∴．在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题，注意认真分析．【作业8】如图，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现在测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米，求放水后水面上升的高度．【难度】★★【答案】放水后水面上升的高度为0.75米．【解析】解：由题意可知：四边形GEFH为等腰梯形．．过E作EM⊥GH，过F作FN⊥GH由等腰梯形的性质可得：．在中，，∴，∴．∴放水后水面上升的高度为0.75米．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业9】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市的正南方向220千米的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在以每小时15千米的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？（3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【难度】★★★【答案】（1）受影响；（2）；（3）6.5级．【解析】解：（1）会受到台风影响．过A作AD⊥BC．台风在移动时，距离A最近D处时，在中，110÷20=5.5；12-5.5=6.5；6.5超过4级，受台风影响．（2）当台风在移动，其与A距离是时开始受影响或结束影响．持续时间为．（3）由（1）可得：该城市受台风影响的最大风力是6.5级．【总结】本题主要考查对方位角的理解以及是否受影响的理解，解题时要认真分析题意．【作业10】如图，小明发现在小丘上种植着一棵香樟树AB，它的影子恰好落在丘顶平地BC和斜坡的坡面CD上．小明测得BC= 4米，斜坡的坡面CD的坡度为，CD=2.5米．如果小明同时还测得附近的一根垂直于地面的2米高的木柱MN的影长NP= 1.5米，求这棵香樟树AB的高度．【难度】★★★【答案】6.5米．【解析】解：由题意可得：．，设，，∴．∴，∴，，∴．在中，，∴，∴．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，要认真分析题意，并且熟练使用相似的性质以及通过锐角三角比解直角三角形的方法．。

上海初三数学25.3解直角三角形(1)

25.3 解直角三角形(1)一、填空题：1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝60°，b＝3，则a＝ .2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝615，b＝65，则∠B＝________.3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若b＝5，∠A＝30°，则c＝__________.4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，若AB=10，则BC=________5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝6，tan B＝53，则AC＝__________.6.在Rt△ABC中，∠C = 90°，用a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边，已知a及∠A，则b= ，c= 。

（用含有a及∠A的式子表示）7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，a＋c＝4＋23，∠A＝60°，则b＝__________.二、选择题：8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，由下列条件不能够解直角三角形的是( )A. 已知a和∠AB. 已知a和bC. 已知∠A和∠BD. 已知∠B和c9. 在△ABC中，若tan A＝1，sin B＝22，你认为最确切的判断是( )A. △ABC是等腰三角形B. △ABC是等腰直角三角形C. △ABC是直角三角形D. △ABC是一般锐角三角形10. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝52，则∠B等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°三、简答题：11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，c＝102，解这个三角形．12. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，b＝4，解这个三角形．13. 在Rt△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AC＝6，解此直角三角形．四、拓展题：14．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CD＝2，BD＝23，解Rt△ABC．25.3 解直角三角形(1)3 30° 3.10 4.6 5.5acottanAb a A==⋅,sinacA= 7.238. C9.B 10.B 11.∠A=45°，∠B=45°，b=10 12.∠C=60°，a=2，c=313.∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，BC=3，AB=33 14.∠B=30°，∠A=60°，BC=4，AB=83 3。