可测函数与连续函数

可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。

由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。

【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。

特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。

一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，m(E∖E1)=0，且使得性质P 在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。

2、可测函数：设E⊂ℝ是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。

假如对于任意实数CE(f>C)={x∈E:f(x)>C}都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。

3、几乎处处有限的可测函数：设E⊂ℝ是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1，m(E∖E1)=0，f在E1上有限，假如对于任意实数CE(f>C)={x∈E:f(x)>C}都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设D⊂ℝ，f是定义于D的函数，x∈D，假如lim y→x,y∈D f(y)=f(x)则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。

5、预备定理、引理定理2.2设 f 是一个紧集， { f n}n≥1是一列沿 F连续的函数。

若{ f n}在 F上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。

定理2.3（Egoroff ） 设 f 和 f n (n ≥1) 都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。

若 f n 在 D 上几乎处处收敛于 f ，则对任何 ε>0，有D 的闭子集 F ，使 m ( D − F )<ε，并且 f n 在 F 上一致收敛于 f 。

引理2.1 设 F 是 R 中的闭集，函数 f 沿 F 连续，则 f 可以开拓成 R 上的连续函数 f ∗，并且sup x∈R | f ∗(x )|=sup x∈R| f (x )|。

引理2.2 设 f 是可测集 D 上的简单函数。

则对任何 ε>0，有沿 D 连续的函数 f ∗使 m ( {f ≠f ∗} )<ε 。

二、可测函数和连续的关系1、连续函数的可测性定理1 可测集上的连续函数都是可测函数。

证明: 对任意a ∈R ，设x ∈E (f >a )，则由连续性假设，存在x 的某邻域U (x )，使U (x )∩E ⊂E (f >a )。

因此，令G =⋃U(x)x∈E(f>a)，则：G ∩E =[⋃U(x)x∈E(f>a)]∩E =⋃U(x)x∈E(f>a)∩(f >a)反之，显然有E (f >a )⊂G ，因此：E (f >a )⊂G ∩E (f >a )⊂G ∩E从而：E (f >a )= G ∩E (f >a )但G 是开集（因为它是一族开集这并），而E 为可测集，故其交G ∩E 仍为可测集，即E (f >a )为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。

但可测函数不一定连续例 例：可测函数Dirichlit 函数在[0,1]上处处间断2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性引理1：设F 是R 中的闭集，函数f 没F 连续，则f 可以开拓成R 的连续函数f ∗，并且：sup x∈R |f ∗(x)|=sup x∈R|f(x)| 证明：此时F c =⋃(a n ,b n )是开集，其中开区间族{(a n ,b n )}两两不相交。

今定义f ∗(x )={ f (x ),若x ∈F 线性,若x ∈[a n ,b n ],且[a n ,b n ]有界f (a n ),若x ∈[a n ,b n ),其中b n =∞ f (b n ),若x ∈(a n ,b n ],其中a n =−∞则显然f ∗(x )是R 上的连续函数，它是f 的开拓。

引理得证。

引理2：设 f 是可测集 D 上的简单函数。

则对任何ε>0，有没 D 的连续的函数f ∗ 使m (E (f ≠f ∗})<ε证明：不妨设f (D )={a k }1≤k≤n ,其中a k 都是实数且两两不同。

令E k =E (f =a k ),则{E k }1≤k≤n 两两不相交且D =⋃E k n k=1.现对每一k ，令F k 是E k 的闭子集且m (E k −F k )<εn ,k =1,2,…,n. 此时易知 f 沿闭集F =⋃E k n k=1连续。

由引理1， f 作为 F 上的函数可以开拓成沿 D 连续的函数 f ∗ ，此时m (E (f ≠f ∗})≤m (D −F )=m (⋃E k n k=1−⋃F k n k=1)≤m (⋃(E k −F k )n k=1)≤∑m (E k −F k )n k=1<ε引理证毕。

定理1（Lusin ）设f 为可测集D 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的ε>0，有沿D 连续的函数f ∗使m ({f ≠f ∗})<ε，并且max x∈D |f ∗(x )|≤sup x∈D |f (x )|。

（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）证明：不失一般性设 f 在 D 上处处有限。

先设 D 是有限可测集。

由定理2.3，有 D 上的简单函数列 { f n },使 f n (x)→f(x)(x ∈D)。

现对每一 n ≥1,由引理2.2，存在沿 D 连续的函数 f n ∗ ，使m ( {f ≠f ∗} )<ε2n+1，n =1,2,…令E =⋃{f n ≠f n ∗}∞n=1, 则 m(E)<ε2 并且在 D −E 上 f n ∗(x)→f(x)。

由于 D 有界,所以存在 D −E 的有界闭子集 F ,使得 f n ∗ 在 F 上一致收敛于 f 并且 m (D −E −F )<ε2 。

再由定理2.2，f 沿 F 连续.这样由引理2.1， f 作为 F 上的函数可以开拓成沿 D 连续的函数 f ∗。

此时 m ( {f ≠f ∗} )≤m(D −F)<ε。

这样我们在 D 有界的条件下证明了定理。

对一般的 D ⊂ R ，此时对每一整数 n ，令D n =D ∩[n,n +1)， n =0,±1,±2,…则 D n 都是有界的。

从而由上段证明，对每一 n ，存在 D n 的闭子集 F n ,使 f 沿 F n 连续，并且m ( D n − F n )<ε2|n |+1， n =0,±1,±2,…此时 F =⋃F n ∞n=−∞ 是闭集，并且 f 沿 F 连续。

由引理2.1，f 作为 F 上的函数可以开拓成 D 上的连续的函数 f ∗，并且m ( {f ≠f ∗} )≤m (D −F )=m(∪D n −∪F n )≤m(∪(D n − F n ))≤∑m(D n − F n )∞n=−∞<∑ε2|n|+1∞n=−∞<ε。

定理证毕。

推论 若f 是[a,b ]上几乎处处有限的可测函数，则对任何ε>0，有[a,b ]上连续函数f ∗，使m ({f ≠f ∗})<ε，并且max |f ∗(x )|≤sup |f (x )|。

定理 2 设E 为可测集，f 为E 上的实函数，如果对任何ε>0，存在闭集F ⊂E ，使f 在F 上连续，且m (E ∖F )<ε，则f 为E 上可测。

定理3 设E 为R 上的可测集，f 是E 上几乎处处有限的可测函数，则对任何ε>0，存在闭集F ⊂E ，及R 上的连续函数Φ(x )，使(1) 在F 上 Φ(x )=f (x )。

(2) m (E ∖F )<ε。

如果在E 上|f (x )|≤M ，还可要求|Φ(x )|≤M .证明：由定理1，有闭集F ⊂E ，使m (E ∖F )<ε，而f (x )是F 上的连续函数，因此问题在于扩张F 上的f (x )，使其在整个空间上连续。

F 是有界闭集，因此是从一闭区间[c,d ]⊂(a,b )中去掉有限个或可数多个互不相交的开区间而成，设这些开区间是(c i ,d i )，现在我们定义一个函数g (x )，使g (x )={ 0,当x ≤a 或x ≥b 时f (x ),当x ∈F 时此外，当x ∈(c i ,d i )时，令g (x )的图形是联(c i ,f (c i ))，(d i ,f (d i ))的直线，当x ∈(a,c )及(d,b )时，分别联(a,0), (c,f (c ))及(b,0), (d,f (d ))的直线，于是g (x )是整个直线上的连续函数，且满足定理的各项要求。

三、小结一方面，可测集上的连续函数是可测的，另一方面，Lusin 定理表明，Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近。

可测集E 上的连续函数一定为可测函数，但可测函数不一定连续。

如Dirichlet 函数,Riemann 函数都是可测函数但都不连续。

显然，可测函数要比连续函数更加广泛。

参考文献：周性伟，实变函数，科学出版社，2007.江泽坚，实变函数论，高等教育出版社，1994.戴培良，可测函数与连续函数的关系，常熟理工学院学报，2008年2月。