7.1-7.2 波动方程_理想介质中平面波及偏振

电磁场与电磁波
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r r r 如何求解？ E = E( r , t ) 如何求解？
分解矢量方程为标量方 程……
∂ 2 Ex ∇ 2 E x − µε =0 2 ∂t ∂2Ey =0 ∇ 2 E y − µε 2 ∂t ∂t
∂ 2 Ez ∇ 2 E z − µε =0 2 ∂t
r r ∂ E 2 ∇ E − µε 2 = 0 ∂t ∂t
电磁场与电磁波
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矢量亥姆霍兹方程
对于时谐场, 对于时谐场,
r 2r ∂ E ∇ E − µε 2 = 0 ∂t r r ∂2H ∇2 H − µε =0 2 ∂t
2
∂ ∂2 = jω, = −ω2 ∂t ∂t2
⇒
r r ~ ~ ∇2 E + ω 2 µεE = 0 r r 2~ ~ 2 ∇ H + ω µεH = 0
2
前提是在各向同性, 均匀, 无源, 无损耗的介质中 前提是在各向同性, 均匀, 无源, 无损耗的介质中,否则 方程要复杂得多. 方程要复杂得多.
从概念上讲,波动方程包含了电场、磁场的旋度性质及散度性质 从概念上讲 波动方程包含了电场、磁场的旋度性质及散度性质, 波动方程包含了电场 完整地反应了交变电磁场的相互关系及电场、磁场与源的关系。 完整地反应了交变电磁场的相互关系及电场、磁场与源的关系。 因此,它的解将揭示出交变场的波动规律 它的解将揭示出交变场的波动规律。 因此 它的解将揭示出交变场的波动规律。
E x = E0 sin (ωt − kz ), H y = H 0 sin (ωt − kz )
z z z = E 0 sin ω t − = f t − E x = E0 sin ω t − ω k v v
电磁场与电磁波
(
) (
)
r r ∂ E 2 ∇ E = µε 2 ∂t
2
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电场的波动方程： 电场的波动方程：
同 理
r r ∂ E 2 ∇ E − µε 2 = 0 ∂t
2
r r r E = E( r , t)
磁场的波动方程： 磁场的波动方程：
r r r r r ∂ H 2 H = H( r , t) ∇ H − µε 2 = 0 ∂t ∂t ——都是2阶偏微分矢量方程。 ——都是2阶偏微分矢量方程。
电 磁 场 与 电 磁波
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平面波是最简单、最基本、最典型的电磁波波型。 平面波是最简单、最基本、最典型的电磁波波型。 最简单 所要学习的交变电磁场,都是指达到了稳定 所要学习的交变电磁场,都是指达到了稳定状态的场， 稳定状态的场， 随时间作简谐 随时间作简谐变化 。 简谐变化 采用E 采用E 和H 为基本矢量
电 磁 场 与 电 磁波
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平面波
在自由空间,以电偶极子(小天线) 在自由空间,以电偶极子(小天线)为中心所发射的电磁 波,在r等于常数的球面上各点,场的相位是相同的。该 等于常数的球面上各点, 电磁波称为球面波。 电磁波称为球面波。 而在大球面上一个极小局部上的电磁波,可视为平面 而在大球面上一个极小局部上的电磁波,可视为平面 波。 由相互垂直的电场、磁场构成的平面, 由相互垂直的电场、磁场构成的平面,该平面与传播 方向相垂直,并且,该平面为等相位面( 方向相垂直,并且,该平面为等相位面(即面上的任何一 点的电场或磁场的相位是相等的),这种电磁波称为平 点的电场或磁场的相位是相等的),这种电磁波称为平 面波。 由于电场、磁场都在与传播方向相垂直的横截面上, 由于电场、磁场都在与传播方向相垂直的横截面上, 并无纵向场量,故又称该波为横电磁波(TEM波 并无纵向场量,故又称该波为横电磁波(TEM波)。 所谓均匀平面波,是指等相位面为平面, 所谓均匀平面波,是指等相位面为平面,而且面上场量 的幅度处处都相等,电磁场量仅沿着传播方向变化。 幅度处处都相等,
简振的一维电场有形式解： 见 P178
电磁场与电磁波
z Ex = f t − v
相位因子
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同理：简振的一维电场有另一种形式解：
z Ex = f t + v
综合考虑入射波(z方向)和反射波(反方向) 综合考虑入射波(z方向)和反射波(反方向)：
z Ex = f t − + v
时间t增大, 时间t增大, M点的空间位置 z 也随之增大。 M点沿着＋z方向运动。 点沿着＋z
电磁场与电磁波
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平面波
相互激发的电场和磁场的方向是相互垂直的。 相互垂直的电场和磁场的振荡方向构成曲面, 相互垂直的电场和磁场的振荡方向构成曲面,即等相 位面(某一时刻) 位面(某一时刻)
即面上的任何一点的电场或磁场的相位是相等的 等相位面与传播方向相垂直
为了给出完整的时间空间表示式,往往又恢复e 为了给出完整的时间空间表示式,往往又恢复ejωt因子
E x = E0 e
j(ωt − kz )
′ e j(ωt + kz ) + E0
∂H y ∂E x j(ωt − kz ) j(ωt + kz ) ′ = − jkE0 e + jkE 0 e = −µ = − jωµH y ∂z ∂t
r r r j (ωt − kr • rr ) r 2r ∇2 E + k E = 0 E ( r , t ) = E 0 e r r r j (ωt − kr • rr ) 2r 2r ∇ H + k H = 0 H ( r , t ) = H 0 e r r k 2 = ω 2 µε 1 r r r H (r , t ) = ek × E ( r , t ) µ
r r r ∇ × H = J + ∂D ∂t
——交变的电场产生交变的磁场。 ——交变的电场产生交变的磁场。 r r r r r r ∫ E • dl = − ∫ ∂B ∂t • dS ∇ × E = − ∂B ∂t
C S
——交变磁场又产生交变的电场。 ——交变磁场又产生交变的电场。 这种交变的电场、磁场互相产生的现象无限地 循环下去。 于是它们脱离场源 由近及远地传播出去，我 于是它们脱离场源，由近及远地传播出去，我 脱离场源， 们把这种波动着的电磁场称为电磁波 们把这种波动着的电磁场称为电磁波。 电磁波。
第7章 平面波在无界媒质中的传播
主要内容 1. 波动方程及其解 2. 理想介质中的平面波
电磁波的极化（偏振）
红色为要 求掌握的 内容
3. 导电媒质中的平面波
损耗角正切tanδ及物质分类 损耗角正切tanδ及物质分类
4. 良介质中的平面波 5. 良导体中的平面波
趋肤效应 良导体的表面阻抗 导电媒质的损耗功率
等相位面是平面的电磁波称为平面波。 相位面是平面的电磁波称为平面波。
微观角度或离源很远处等相位面是平面, 故得名. 微观角度或离源很远处等相位面是平面, 故得名.
由于电场、磁场都在与传播方向相垂直的横截面上, 由于电场、磁场都在与传播方向相垂直的横截面上, 并无纵向场量,故又称该波为横电磁波(TEM波 并无纵向场量,故又称该波为横电磁波(TEM波) TEM: transverse electromagnetic 在均匀的各向同性的媒质(Isotropic Homogeneous Media)中, 均匀的各向同性的媒质 等相位面总是平面且和等振幅面重合, 等相位面总是平面且和等振幅面重合, 这时的平面波 称为均匀平面波, 称为均匀平面波, Homogeneous Plane Wave.
电磁场与电磁波
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在各向同性, 均匀, 无源, 无损耗的介质中 各向同性, 均匀, 无源, 无损耗的介质中 r ε和µ都是常数。 ρ = 0 J =0 σ =0
r r r ∇ × H = J + ∂D ∂t r r ∇ × E = − ∂B ∂t r ∇ • B = 0 r ∇ • D = ρ FC r r ∇ × ∇ × E = ∇ × [− µ ∂H
(
)
r r ∇ × H = ε ∂E ∂t r r ∇ × E = − µ ∂H ∂t r ∇ • H = 0 r ∇ • E = 0 r ∂t ] = − µ ∂ (∇ × H ) ∂t
r r 2 2 − µ ∂ (∇ × H ) ∂t = − µε ∂ E ∂t
r r r 2 ∇× ∇× E = ∇ ∇• E −∇ E r 2 = 0−∇ E
电 磁 场 与 电 磁波
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在某个瞬间 在某个 z 值 Hy
Ex
E x = E0 sin (ωt − kz ), H y = H 0 sin (ωt − kz )
电磁场与电磁波
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电磁场与电磁波
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§2. 理想介质中的均匀平面波
在某个瞬间 在某个 z 值 Hy Ex
E x = E0 sin (ωt − kz ), H y = H 0 sin (ωt − kz )
Hy =
电磁场与电磁波
′ E0 E0 j(ωt −kz ) j(ωt + kz ) e − e µ /ε µ /ε
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波动方程的解
Maxwell Eq. Helmholtz eq.
r r ∇ × H = jωεE r r ∇ × E = − jωµH r ∇ • H = 0 r ∇ • E = 0
Solution of eq.
ε
在球坐标系下， 在球坐标系下，波动方程解
r r E = Exex r r H = H y ey r r k = kz ek
r E x ( r , t ) = E 0 e j ( ω t − kz ) r H y ( r , t ) = H 0 e j ( ω t − kz ) r H y (r , t ) = 1
r E x ( r , t ) = E 0 e j ( ω t − kz ) r H y ( r , t ) = H 0 e j ( ω t − kz ) r H y (r , t) = 1