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2021年上海高考数学 立体几何强化训练(综合版)

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2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之立体几何(文)(Word版,含解析)

2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之立体几何(文)(Word版,含解析)

（8）立体几何（文）——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编1.【2021年新高考Ⅰ卷，3】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A.2B.22C.4D.422.【2021年新高考Ⅱ卷，4】卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O ，半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α.该卫星信号覆盖的地球表面面积22π(1cos )S r α=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为( ) A.26%B.34%C.42%D.50%3.【2021年北京卷，4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )33+ B.1213+3 4.【2021年浙江卷，4】某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是( )A.32B.3C.322D.325.【2021年新高考Ⅱ卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( ) A.5623B.562C.282D.28236.【2021年浙江卷，6】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，,M N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B7.【2021年北京卷，8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度.其中小雨（10<mm ），中雨（10mm —25mm ），大雨（25mm —50mm ），暴雨（50mm —100mm ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨8.【2021年全国乙卷(文)，10】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( ) A.π2B.π3C.π4D.π69.【2021年全国甲卷(文)，14】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__________.10.【2021年上海卷，9】已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，点C 为下底底面圆周上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC △面积的取值范围为____________.11.【2021年全国乙卷(文)，16】以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.12.【2021年全国乙卷(文)，18】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.13.【2021年安徽怀宁模拟，18】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面11,2,ABC AA AC AC AB BC ====，且AB BC ⊥，O 为AC 的中点.（1）求证：平面11A B O ⊥平面1BCA ；（2）若点E 在1BC 上，且//OE 平面1A AB ，求三棱锥1E A BC -的体积.14.【2021年广西桂林模拟(文)，18】如图所示，在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ⊥平面BCD ，F 为线段BD 中点，Q 为线段AB 中点，2π3BCD ∠=，3AB =，2BC CD ==.证明：（1）CF ⊥平面ABD ； （2）求点D 到平面QCF 的距离.15.【2021年全国甲卷(文)，19】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形.2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥，（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.答案以及解析1.答案：B解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题意可得2ππr l =，所以222l r ==. 2.答案：C解析：由题意可知，6400cos 0.1536000640036000r r α==≈++，所以从同步卫星上可望见的地球的表面积222π(1cos )2π(10.15)S r r α=-≈-，此面积与地球表面积之比约为222π(10.15)100%42%4πr r -⨯≈.3.答案：A解析：画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图：1333311(11)2S +=⨯⨯⨯+=表. 4.答案：A解析：本题考查几何体的三视图.该几何体是高为1的四棱柱，其底面为三个全等的直角边为1的等腰直角三角形拼成的梯形，面积为32，故其体积是32. 5.答案：D解析：本题考查棱台的体积.将正四棱台1111A B C D ABCD -补成四棱锥P ABCD -，作PO ⊥底面ABCD 于点O ，交平面1111A B C D 于点1O ，则棱台1111A B C D ABCD -的体积1111P ABCD P A B C D V V V --=-.由题意，11112142PA PO A B PA PO AB ====，易知，4PA =，22AO =22224(22)22PO PA AO --=，所以12PO =，则1322(44)223P ABCD V -=⨯⨯⨯，1111142(22)23P A B C D V -=⨯⨯，所以棱台1111A B C D ABCD -的体积111132242282P ABCD P A B C D V V V --=-==.6.答案：A解析：本题考查空间的线线关系与线面关系.易知1A D ⊥平面1ABD ，故11A D D B ⊥，排除B ，C 项；连接1AD ，可知//MN AB ，所以//MN 平面ABCD ，A 项正确；因为AB 不垂直于平面11BDD B ，//MN AB ，所以直线MN 不垂直于平面11BDD B ，D 项错误.7.答案：B解析：由相似的性质可得，小圆锥的底面半径2002502r ==，故231π5015050π3V =⨯⨯⨯=⋅小圆锥，积水厚度3250π12.5π100V h S ⋅===⋅大小圆锥圆，属于中雨，故选B. 8.答案：D解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a ，则1111112AD C B A C B D a ====，所以1122B P PC a ==，221162BP B P B B a =+=.在1BC P 中，由余弦定理得22211113cos 22PB C B PC PBC PB C B +-∠==⋅，所以1π6PBC ∠=.又因为11//AD BC ，所以1PBC ∠即为直线PB 与1AD 所成的角，所以直线PB 与1AD 所成的角为π6.9.答案：39π解析：本题考查圆锥的体积与侧面积.由题可得圆锥的体积21π12π30π3V r h h ===，可得52h =，故圆锥的母线22132l r h +，所以圆锥的侧面积π39πS rl ==. 10.答案：5]解析：本题主要考查空间几何体.上顶面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ，则12ABCSAB CM =⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABCS 的大小随着CM 长短的变化而变化.当点M 与点O 重合时，22125CM OC ==+=，取得最大值，此时12552ABCS =⨯⨯=.当点M 与点B 重合时，CM 取最小值2，此时12222ABCS=⨯⨯=.综上所述，ABCS 的取值范围为[2,5].11.答案：②⑤或③④解析：本题考查几何体的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC ==，5BA BC =2AC =，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2，PA ⊥平面ABC ，1PA =，5AC AB ==2BC =，此时俯视图为④.12.答案：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， 所以PD AM ⊥.又因为PB AM ⊥，PD PB P ⋂=，PB ，PD ⊂平面PBD ， 所以AM ⊥平面PBD .因为AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）由PD ⊥底面ABCD ，所以PD 即为四棱锥P ABCD -的高，DPB 是直角三角形. 由题可知底面ABCD 是矩形，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.设2AD BC a ==，取CD 的中点为E ，CP 的中点为F ，连接MF ，AF ， EF ，AE ，可得//MF PB ，//EF DP ，那么AM M F ⊥，AM F 为直角三角形，且12EF =，2144AE a =+，21AM a =+，222142AF EF AE a =++因为DPB 是直角三角形，所以根据勾股定理得224BP a =+，则2242a MF +=.由AM F 是直角三角形，可得222AM MF AF +=，解得22a =， 所以底面ABCD 的面积22S a ==，则四棱锥P ABCD -的体积11221333V S h =⋅⋅=⨯⨯-.13.答案：（1）1111,//,AB BC AB A B BC A B ⊥∴⊥，在1A AC 中，112AA AC AC ===，O 是AC 的中点，1AO AC ∴⊥，又平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A O ∴⊥平面ABC .BC ⊂平面1,ABC AO BC ∴⊥. 111,A B AO ⊂平面111111,A B O A B AO A =，BC ∴⊥平面11A B O ， 又BC ⊂平面1BCA ，∴平面1BCA ⊥平面11A B O .（2）如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 交于点E ，连接1,OE AB ， 易得1//OE AB ，1AB ⊂平面11,ABB A OE ⊄平面11ABB A ，//OE ∴平面11ABB A ，∴满足条件的E 为1BC 的中点.11111 1122E A BCC A BC B A CC V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥21133212346=⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥1E A BC -的体积为36.14.答案：（1）AB ⊥平面BCD ，CF ，BD ⊂平面BCD ，AB CF ∴⊥，AB BD ⊥.2BC CD ==，F 为BD 中点，CF BD ∴⊥.又CF AB ⊥，AB BD B =，AB ，BD ⊂平面ABD ，CF ∴⊥平面ABD .（2）在三棱锥Q DCF -中，设D 到平面QFC 距离为d . Q DCF D QCF V V --=，1133DCFQCFQB Sd S ∴⋅⋅=⋅⋅，DCFQCFQB S d S ⋅∴=.1112π322sin 2223DCFDCBSS ==⨯⨯⨯⨯=，2π44222cos 233BD =+-⨯⨯⨯.AB BD ⊥，3AB =，Q ，F 分别为AB ，BD 的中点.22912212ADAB BD QF ++∴====.QCF 中，π2cos 13CF ==，235422CQ ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21QF =. 25211244cos 55212QCF +-∴∠==⨯⨯，21sin QCF ∴∠=. 152121122QCFS∴=⨯⨯=. 33372221d ∴==.15.答案：（1）如图，取BC 的中点为M ，连接EM .由已知易得//EM AB ，2AB BC ==，1CF =，112EM AB ==，11//AB A B ， 由11BF A B ⊥得EM BF ⊥，又易得EM CF ⊥，BF CF F ⋂=，所以EM ⊥平面BCF ， 故1111121132323F EBC E FBC V V BC CF EM --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥.（2）连接1A E ，1B M ，由（1）知11//EM A B ， 所以ED 在平面11EMB A 内.在正方形11CC B B 中，由于F ，M 分别是1CC ，BC 的中点，所以1tan 2CF CBF BC ∠==，111tan 2BM BB M BB ∠==， 且这两个角都是锐角，所以1CBF BB M ∠=∠， 所以111190BHB BMB CBF BMB BB M ∠=∠+∠=∠+∠=︒， 所以1BF B M ⊥，又11BF A B ⊥，1111B M A B B ⋂=，所以BF ⊥平面11EMB A ， 又DE ⊂平面11EMB A ，所以BF DE ⊥.。

上海高中数学之立体几何练习(打印).

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立体几何练习题一、选择题1．已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等,则正确的结论是A. 平面ABC 必平行于αB. 平面ABC 必与α相交C. 平面ABC 必不垂直于αD. 存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内 2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件．3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 （A ）48 （B ）18 （C ）24 （D ）36 4．已知二面角l αβ--的大小为060，m n 、为异面直线，且m n αβ⊥⊥，，则m n 、所成的角为（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）01205．已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B C OA --的大小是（A ）4π （B ）3π （C ）2π（D ）23π 7．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,, D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,I8．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是 A ．AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BCD ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC9．若l 为一条直线，αβγ，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①αγβγαβ⊥⊥⇒⊥，；②αγβγαβ⊥⇒⊥，∥；③l l αβαβ⊥⇒⊥，∥． 其中正确的命题有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图，O 是半径为1的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F分别是大圆弧»AB 与»AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是 （A ）4π （B ）3π （C ）2π（D ）24π11．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为2，E F 、分别为AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）7 12．若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（A ）过P 只能作一条直线与平面α相交（B ）过P 可作无数条直线与平面α垂直 （C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作无数条直线与平面α平行13．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l（A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线 14．对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 15．关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：① 若//m α，//n β且//αβ，则//m n ； ② 若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③ 若m α⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥； ④ 若//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n 。

2021级人教版数学科目+立体几何综合训练(一)

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2021 级数学科自主学习提升课程（一）立体几何综合训练1、如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ， AB = AD ， O 为 BD 的中点. （1）证明： OA ⊥ CD ；（2）若 OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE = 2EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为 45︒ ， 求三棱锥 A - BCD 的体积.2、如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是矩形， PD ⊥ 底面 ABCD ，M 为 BC 的中点，且 PB ⊥ AM ．（1）证明：平面 PAM ⊥ 平面 PBD ；（2）若 PD = DC = 1 ，求四棱锥 P - ABCD 的体积．3、如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， ∠ABC = 120︒, AB = 1, BC = 4, PA = N 分别为 BC, PC 的中点， PD ⊥ DC , PM ⊥ MD . （1）证明： AB ⊥ PM ；（2）求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值.M ，4、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E 是PB 的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若PC＞1，直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为，求二面角P﹣AC﹣E 的余弦值．5、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：AD⊥CD；（2）已知CD＝PD＝4，AB＝AD＝3，∠ADP＝90°．在棱AB 上是否存在一点E，使得平面PAD 与平面PCE 所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．6、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若PA＝PD＝AB＝CD＝2，∠APD＝90°，求点C 到平面BDP 的距离．7、如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD＝DC＝CB，∠ABC＝60°，四边形ACEF 是矩形．（Ⅰ）求证：AC⊥EB；（Ⅱ）若CE＝BC，且CE⊥BC，求EB 与平面FBD 所成角的正弦值．8、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA＝PB＝AB，且∠PBC＝2∠PAD＝90°．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．9、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝3，E为PD 的中点，点F 在PC 上，且；（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P 的余弦值；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且，判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．10、如图，四棱锥P﹣ABCD 中，平面PCD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝3DC＝6，BM＝2MP．（1）求证：CM∥平面PAD；（2）若AD＝1，AD⊥DC，PD⊥PC 且PD＝PC．求直线CM 与平面PAB 所成的角．11、已知平面四边形ABCD 中，AB⊥AC，AB＝AC＝AD＝CD＝2，现将△ABC沿AC 折起，使得点B 移至点P 的位置（如图），且PC＝PD．（1）求证：CD⊥PA；（2）若M 为PD 的中点，求点D 到平面ACM 的距离．12、在四棱锥P﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，以BC 为直径的圆O（O 为圆心）过点A，且AO＝AC ＝AP＝2，PA 底面ABCD，M 为PC 的中点．（1）证明：平面OAM⊥平面PCD；（2）求二面角O﹣MD﹣C 的余弦值．13、在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，M，N 分别为BC，AB1 的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AB＝AC＝AA＝，BC＝2，且A1 在底面ABC 上的正投影恰为点M，求二面角N﹣BC﹣C1 的正弦值．114、如图，在多面体ABCDE 中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE 为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC＝60°，CD＝1，AE＝AC＝2，F 为BE 的中点．（1）当BC 的长为多少时，DF⊥平面ABE．（2）求平面ABE 与平面BCD 所成的锐二面角的大小．15、在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1＝CD＝DD1＝C1D1＝1．（1）证明：AD⊥平面CC1D1D；（2）若AC 与平面CC1D1D 所成角为，求二面角C﹣AA1﹣D 的余弦值．116、在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABCD，四边形ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，AD＝BC，AD＝1，∠ABC＝60°，EF∥AC，EF＝AC．（1）证明：AB⊥CF；（2）当二面角B﹣EF﹣D 的余弦值为时，求线段CF 的长．17、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，BC⊥平面PAB，AB∥CD，若DC＝DP＝2，BC＝，AP＝1，AB＝3．（Ⅰ）求证：AP⊥AB；（Ⅱ）求直线PC 与平面ADP 所成的角的正弦值．18、如图1，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AB＝BC＝2，将△ABD沿BD 折起，使得A 到P 的位置，且二面角P﹣BD﹣C 是直二面角，如图2．（1）求证：CD⊥PB．（2）求二面角P﹣BC﹣D 的余弦值．19、在直角梯形ABCD 中，∠ABC＝90°，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝2，M为线段AD 中点．将△ABC沿AC 折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到几何体B﹣ACD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCD；（Ⅱ）求直线BD 与平面BCM 所成角的正弦值．20、如图所示，四棱锥S﹣ABCD 中，△SAB为等边三角形，四边形ABCD 为菱形，，二面角S﹣AB﹣C 为直二面角，点E 为线段AB 的中点．（1）求证：SC⊥CD；（2）求直线BC 与平面SCD 所成角的余弦值．21、已知正△ABC的边长为3，点D、E 分别是AB、AC 上的三等分点（点E 靠近点A，点D 靠近点B）（如图1），将△ADE沿DE 折起到△ADE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B 的平面角为90°，连接A1B，A1C（如图2）．1（1）求证：AE⊥平面BCED；1（2）在线段BC 上是否存在点P，使得直线PA1 与平面A1EC 所成的角为60°？若存在，求出CP 的长；若不存在，请说明理由．22、如图，AB⊥平面ADE，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝AE＝3，∠DAE＝120°，四边形ABCD 的对角线交于点M，N 为棱DE 上一点，且MN∥平面ABE．（1）求的值；（2）求二面角B﹣AC﹣N 的余弦值．23、如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，△PBC为正三角形，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD＝3，BC＝4，点M，N 分别在线段AD 和PC 上，且．（1）求证：PM∥平面BDN；（2）设二面角P﹣AD﹣B 为θ．若，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．24、如图：P⊥平面ABCD，四边形ABCD 为直角梯形，��//��，∠���= 90 ∘，P = P = 2P = 2A = 2.求证：平面���⊥平面PBC；求二面角�−��−�的余弦值；在棱PA 上是否存在点Q，使得��//平面PBC？若存在，求��的值，若不存在，请说明理由.��25、如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B 的余弦值．。

2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》五(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》五(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》五1.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.2.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，各侧面是全等的等腰梯形，且各侧面的面积之和等于两底面面积之和，求棱台的体积．3.如图所示，平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．(1)若四点F，B，C，E共面，AB=a，求x的值；(2)求证：平面CBE⊥平面EDB．4.如图,已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP//GH.5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等，AA1⊥底面ABC，E，F分别为棱AA1,BC的中点．（1）过FA1作平面α，使得直线BE//平面α，若平面α与直线BB1交于点H，指出点H所在的位置，并说明理由；（2）求二面角B-FH-A1的余弦值．6.如图,一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G,H分别是AE,BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC⊥平面ABC.(1)证明:GH∥平面ACD;(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q．求证：（1）D，B，F，E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P,Q,R三点共线．8.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．9.如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm．（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积；（2）求直线VD与底面ABCD所成角的正弦值．10.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=CD=AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．11.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠A1AB=∠A1AD.（1）证明：四边形BB1D1D为矩形；（2）若AB=A1A,∠BAD=60°，A1A与平面ABCD所成的角为30°，求二面角A1-BB1-D的余弦值.12.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．13.四棱台被过点A1，C1，D的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60°，BB1⊥平面ABCD,BB1=2.（1）求证：平面AB1C⊥平面BB1D；（2）若AA1与底面ABCD所成角的正切值为2，求二面角A1-BD-C1的余弦值.14.如图，三棱柱ABC﹣AB1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AC=AB1．1（1）证明：AB⊥B1C；（2）若∠CAB1=90°，∠CBB1=60°，AB=BC=2，求三棱锥B1﹣ACB的体积．15.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将沿EF折到的位置.（I）证明：；(II)若,求五棱锥体积.答案解析16.答案：(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于O ，连接SO.由题意知SO ⊥AC.在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面SBD ，得AC ⊥SD. (2)解：设正方形边长为a ，则SD=22a ，又OD=22a ，所以∠SDO=60°.连接OP ，由(1)知AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥OP ，且AC ⊥OD ，所以∠POD 是二面角P －AC －D 的平面角.由SD ⊥平面PAC ，知SD ⊥OP ，所以∠POD=30°，即二面角P －AC －D 的大小为30°.(3)解：在棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC.由(2)可得PD=24a ，故可在SP 上取一点N ，使PN=PD.过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E.连接B N ，在△BDN 中，知BN ∥PO.又由于NE ∥PC ，故平面BEN ∥平面PAC ，可得BE ∥平面PAC.由于SN ∶NP=2∶1，故SE ∶EC=2∶1.17.解：如图所示，在三棱台ABC －A′B′C′中，O′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D′ 分别是BC ，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，又C′B′=20 cm ，CB=30 cm ，所以S 侧=3×12×(20＋30)×DD′=75DD′． S 上＋S 下=34×(202＋302)=3253(cm 2)． 由S 侧=S 上＋S 下，得75DD′=3253，所以DD′=1333(cm)， 又因为O′D′=36×20=1033(cm)，OD=36×30=53(cm)， 所以棱台的高h=O′O =D′D 2－(OD －O′D′)2=⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332=43(cm)， 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V=h 3(S 上＋S 下＋S 上S 下)=433×⎝ ⎛⎭⎪⎫3253＋34×20×30=1900(cm 3)． 故棱台的体积为1900 cm 3．18.解：(1)∵AF ∥DE ，AB ∥DC ，AF∩AB=A，DE∩DC=D，∴平面ABF ∥平面DCE ．∵四点F ，B ，C ，E 共面，∴FB ∥CE ，∴△ABF 与△DCE 相似．∵AB=a ，∴ED=a ，CD=2a ，AF=2a x ， 由相似比得AF ED =AB CD ，即2ax a =a 2a，所以x=4． (2)证明：不妨设AB=1，则AD=AB=1，CD=2，在Rt △BAD 中，BD=2，取CD 中点为M ，则MD 与AB 平行且相等， 连接BM ，可得△BMD 为等腰直角三角形，因此BC=2，因为BD 2＋BC 2=CD 2，所以BC ⊥BD ，又因为平面四边形ADEF 所在的平面与梯形ABCD 所在的平面垂直， 平面ADEF∩平面ABCD=AD ，ED ⊥AD ，所以ED ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥DE ，又因为BD∩DE=D，所以BC ⊥平面EDB ，因为BC ⊂平面CBE ，所以平面CBE ⊥平面EDB ．19.20.解：21.解：22.答案：证明：如图．23.24.25.26.27.28.29.30.。

专题8.8 立体几何综合问题(精练)-2021年新高考数学一轮复习学与练(解析版)

专题8.8 立体几何综合问题(精练)-2021年新高考数学一轮复习学与练(解析版)

专题8.8 立体几何综合问题一、选择题1.（2020·浙江高三月考）“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不必要也不充分条件【答案】B【解析】设命题p：直线l与平面α内无数条直线垂直，命题q：直线l与平面α垂直，⇒，所以p是q的必要不充分条件.则p q，但q p故选：B、是空间两个不同的平面，则“平面α上存在不共线的三点到2．（2020·上海市建平中学月考）已知αβαβ”的（）平面β的距离相等”是“//A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】B【解析】、是空间两个不同的平面，若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，已知αβαβ或相交，可得//αβ，则平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等；反之，若//αβ”的必要不充分条件．所以“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“//故选：B.3.（2020·浙江高三月考）设m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是（）A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件⊥”的充分不必要条件B．当时，“m⊥β”是“αβC．当时，“n//α”是“”必要不充分条件D ．当时，“”是“”的充分不必要条件【答案】C 【解析】A,B,D 正确；C 错误．,////m n m n m n αα⊂⇒或与异面；,////;m n m n n ααα⊂⇒⊂或所以当m α⊂时，//n α是//m n 的既不充分又不必要条件.故选C3．（2020·河北新华·石家庄二中高三月考（理））如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且,PA PE =则点P 的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【答案】A【解析】 连结1AP ，可证11A AP A EP ≌，即11A A A E =，即点E 是体对角线1AC 上的定点，直线AE 也是定直线．PA PE =，∴动点P 必定在线段AE 的中垂面α上，则中垂面α与底面ABCD 的交线就是动点P 的轨迹，所以动点P 的轨迹是线段．故选：A5．（2020·河南月考（理））3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为31 g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（取π 3.14=，精确到0.1）A．609.4g B．447.3g C．398.3g D．357.3g【答案】C【解析】如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为，所以半径为OB=．因为母线与底面所成角的正切值为tan B，所以圆锥的高为10cmPO=．设正方体的棱长为a，DE=1010a-=，解得5a=．所以该模型的体积为(()2331500ππ105125cm33V=⨯⨯-=-．所以制作该模型所需原料的质量为()500π500π1251125398.3g33⎛⎫-⨯=-≈⎪⎝⎭．故选：C．6．（2020·上海浦东新·华师大二附中月考）运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆221916x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A ．64πB ．48πC ．16πD ．32π【答案】B【解析】 构造一个底面半径为3，高为4的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为(04)h h 时，小圆锥的底面半径为r ，则43h r =， 34r h ∴=， 故截面面积为26991h ππ-，把y h =代入椭圆221916x y +=可得x =， ∴橄榄球形几何体的截面面积为221699h x πππ=-， 由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积()1229494483V V V πππ⎛⎫=-=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱圆锥． 故选：B ．7．（2018·浙江高考真题）已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ）A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤【答案】D【解析】 设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ，因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SO EN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.8．（2019·山西高二期中（理））如图，在Rt ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =.现将ABC ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且二面角1A DE B --为60︒，则1AC =（ ）A ．B ．3CD ．【答案】A【解析】 ,D E 分别为,AB AC 中点 //DE BC ∴ DE BD ∴⊥，1DE A D ⊥又1,BD A D ⊂平面1A BD ，1BD A D D = DE ∴⊥平面1A BD二面角1A DE B --的平面角为1A DB ∠ 160A DB ∴∠=12A D BD == 12A B ∴=//BC DE BC ∴⊥平面1A BD ，又1A B ⊂平面1A BD 1BC A B ∴⊥1AC ∴===故选：A9．（2020·浙江诸暨·）正方体1111ABCD A BC D -中，在111A B D ∆内部（不含边界）存在点P ，满足点P 到平面11ACC A 的距离等于点P 到棱1BB 的距离.分别记二面角P AD B --为α，P AC B --为β，P BC A --为γ，则下列说法正确的是（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．以上说法均不正确【答案】C【解析】如图所示，作PQ ⊥面ABCD 于Q ，作QE AD ⊥于E ，QF BC ⊥于F ，QG AC ⊥于G ，连PE ，PF ，PG ， 则PEQ α=∠，PGQ β=∠，PFQ γ=∠. 因此tan PQ QE α=，tan PQ QG β=，tan PQ QFγ=， 作111PE A D ⊥于1E ，111PF B C ⊥于1F ，111PG AC ⊥于1G ，1PG 即点P 到平面11ACC A 的距离，1PB 即点P 到棱1BB 的距离，因此11PB PG =，因为111QF PF PB PG QG =<==，因此tan tan βγ<，因为11QG PG PE QE =<=，因此tan tan αβ<综上有：tan tan tan αβγ<<，即αβγ<<，故选:C10．（2020·安徽合肥·高三三模（理））在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB AD ==，12AA =，M 为棱BC 的中点，动点P 满足APD CPM ∠=∠，则点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线长等于（）A ．23πB ．πC ．43πD【答案】A【解析】如下图所示：当P 在面11DCC D 内时，AD ⊥面11DCC D ，CM ⊥面11DCC D ；又APD MPC ∠=∠， 在Rt PDA △与Rt PCM 中，∵6AD =，则3MC =， ∴tan tan AD MC APD MPC PD PC ∠==∠=，则63PD PC =， 即2PD PC =．在平面11DCC D 中，以DC 所在直线为x 轴，以DC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 则()3,0D -，()3,0C ，设(),P x y ， 由2PD PC ==整理得：221090x x y -++=，即()22516x y -+=．∴点P 的轨迹是以()5,0F 为圆心，半径为4的圆．设圆F 与面11DCC D 的交点为E 、M ，作EK 垂直x 轴于点K ，则21sin 42EK EFK EF ∠===； ∴6EFK π∠=；故点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线为劣弧ME ，所以劣弧ME 的长为2463ππ⨯=. 故选：A ．二、多选题 11．（2020·广东宝安·高三开学考试）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】ABD【解析】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为1134224⨯⨯=为定值，D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD 12．（2020·江苏赣榆一中高一月考）已知在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角B AC D --，若折成的四面体ABCD 内接于球O ，则下列说法正确的是（ ） A ．四面体ABCD 的体积的最大值是245 B ．球的体积随θ的变化而变化C ．球心O 为原矩形的两条对角线的交点D ．球O 的表面积为定值25π 【答案】ACD【解析】如图，（1）当面ACD ⊥面ABC 时，四面体ABCD 的体积最大，此时，如图，过点D 作AC 的垂线，交AC 于点E ，则DE 即为四面体ABCD 的高，由等面积法得：AC DE AD DC ⨯=⨯,∴ 125DE = , ∴四面体ABCD 的最大值为11112243433255ABC V S h =⋅=⨯⨯⨯⨯=， 故A 选项正确； （2）在四面体ABCD 内，AC 的中点O 到点,,,A B C D 的距离相等，∴点O 为外接球的球心，此时球的半径522AC R ==，球的体积242533V R ππ== ，为定值，球的表面积2425S R ππ== ，为定制，故B 选项错误，,C D 正确，故选,,A C D 13．（2020·湖北江岸·期末）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x （01x <<）的液体，旋转容器，下列说法正确的是（ ）A ．当12x =时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同 B ．不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状CD 【答案】AC【解析】对于A ，当12x =时，题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部分， 根据对称性知两部分完全相同，所以A 正确； 对于B ，取12x =，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，所以B 错误； 对于C ，当液面与正方体的体对角线垂直时，液面为如图所示正六边形时面积最大，其中正六边形的顶点均为对应棱的中点，所以液面面积的最大值为162S ==，C 正确； 对于D ，当液面过1DB 时，截面为1B NDG ，将1111D C B A 绕11C D 旋转2π，如图所示；则111DN B N DN B N DB ''+=+≥= 当D 、N 、1B '三点共线时等号成立，所以液面周长最小值为D 错误. 故选：AC.14．（2020·广东深圳·高二月考）（多选题）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1223AA AC AB ===，AB AC ⊥，点D ，E 分别是线段BC ，1BC 上的动点（不含端点），且1EC DC B C BC=．则下列说法正确的是（ ）A ．//ED 平面1ACCB ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线1BC 与1AA 所成角的正切值为32 D ．二面角A EC D --的余弦值为413【答案】AD【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形， 因为1EC DC B C BC=，所以11////ED BB AA ，ED 不在平面1ACC 内，1AA ⊂平面1ACC ， 所以//ED 平面1ACC ，A 项正确； 因为1223AA AC AB ===，所以3AB =， 因为AB AC ⊥，所以BC ==1BC 易知1BC 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为22417πππ=⨯=⎝⎭，所以B 项错误； 因为11//AA BB ，所以异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠．在1Rt B BC 中，12BB =，BC =，所以11tan BC BB C BB ∠==C 项错误； 二面角A EC D --即二面角1A B C B --，以A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图则1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，1(3,0,2)AB ∴=，(3,2,0)BC =-，1(3,2,2)BC =--， 设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =，则1100n AB n B C ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即3203220x z x y z +=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,0,3)n =-， 设平面1BB C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则100m BC m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3203220x y x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,3,0)m = 故二面角A EC D --413=，所以D 项正确． 故选：AD.三、填空题15．（2020·浙江高三月考）在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.已知一个圆锥的高和底面半径都为2，则用与底面呈45的平面截这个圆锥，得到的曲线是___________.【答案】抛物线【解析】因为圆锥的高和底面半径都为2，因此有, ︒tan 145OS SAO SAO AO︒∠==⇒∠=所以母线SA 与底面所成的角为45，因为用与底面呈45的平面截这个圆锥，所以该平面一定会与圆锥的某条母线(如SA )平行，由题中所给的结论可知：用与底面呈45的平面截这个圆锥，得到的曲线是抛物线.故答案为：抛物线16．（2020·江西其他（文））《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.己知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，，答案四舍五入，只取整数．．．．．．．．．．．）【答案】317 【解析】如图，设圆半径为寸（下面长度单位都是寸），连接，已知，， 在中，，即，解得， ︒︒︒1AB =1CD =53.14,sin 22.513π≈≈r ,OA OD 152AD AB ==1OD OC CD r =-=-Rt ADO 222AD OD OA 2225(1)r r +-=13r =由得，所以， 图中阴影部分面积为扇形（平方寸）， 镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯刀长为高的柱体，所以其体积为（立方寸）故答案为：317．17．（2020·河北新华·石家庄二中高二月考）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，且是等边三角形，点是侧面内的一个动点，且满足，则点所形成的轨迹长度是_______.【解析】根据题意，连接AC ，BD ，记其交点为O ，取PC 上一点为M ，连接MB ，MD ，作图如下：5sin 13AD AOD AO ∠==22.5AOD ∠=︒45AOB ∠=︒S S =214131012 6.332522AOB S πππ-=⨯⨯-⨯⨯≈△6.332550317V Sh =≈⨯≈P ABCD -ABCD 2,60,AB DAB PAD =∠=∆PB Q =PBC DQ AC ⊥Q若满足题意，又，故平面DBQ ，则点Q 只要在平面DBQ 与平面PBC 的交线上即可.假设如图所示：平面DBM 与平面DBQ 是同一个平面，则Q 点的轨迹就是线段BM.根据假设，此时直线平面DBM ，则.故三角形MOC 为直角三角形.因为三角形PAD 是等边三角形，三角形BAD 也是等边三角形，故AD ，又因为BC //AD ，故BC PB ，故三角形PBC 为直角三角形，故故在三角形PAC 中，由余弦定理可得：故在直角三角形MOC 中， 在直角三角形PBC 中， 在三角形BCM 中： 故可得：. DQ AC ⊥AC BD ⊥AC ⊥AC ⊥AC MO ⊥PB ⊥⊥2210PC PB BC +2,23,10PA AC PC ===33021023cos PCA ∠==⨯210OC MC cos PCA ==∠BC cos PCB PC ∠=1010=2222829BM BC CM BC CM cos PCB =+-⨯⨯⨯∠=27BM =故答案为. 18．（2021·福建其他）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.①当在上时，______；②点的轨迹的长度为______.【答案】【解析】 (1)当在上时,因为平面,故,又,故平面.故.又,为中点,故所以为中点.故. (2)取中点则由(1)有平面,故,又,设平面则有平面.故点的轨迹为.又此时,,故. 所以3P ABC -PA ⊥ABC 90ACB ∠=︒4CA =2PA =D AB E PAC ∆PC DE ⊥E AC AE =E E AC PA ⊥ABC PA DE ⊥PC DE ⊥DE ⊥PAC DE AC ⊥90ACB ∠=︒D AB //DE BC E AC 122AE AC ==AC F DF ⊥PAC PC DF ⊥PC DE ⊥DEF PC G ⋂=PC ⊥DGF E FG 2CF =1tan 2PA PCA AC ∠==sin PCA ∠==sin 5FG CF PCA =⋅∠==故答案为：19．（2020·全国高三专题练习（文））现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为______个，该足球表面的棱为______条．【答案】12 90【解析】足球每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起.所以设这个足球有x 块正五边形，一共有5x 条边，其中白皮三条边和黑皮相连，又足球表面中的正六边形的面为20个，根据题意可得方程：，解得，该足球表面中的正五边形的面为12个；因为任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱，所以每条棱由两条边组成，该足球表面的棱为：条.故答案为：12；90.20．如图在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，M N 、分别是AB 和SC 的中点．则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为______，直线SM 与面SAC 所成角大小为5203x =⨯12x =()125+206290⨯⨯÷=_________.4π 【解析】 因为2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，所以以S 为坐标原点，SA,SB,SC 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设2SA SB SC ===，则(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1),(2,0,0),(0,0,2).M B N A C因为2(1,1,0),(0,2,1),cos ,2SM BNSM BN -==-==，所以异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为5，面SAC 一个法向量为(0,2,0),SB =则由2cos ,22SM SB ==得π,4SM SB =，即直线SM 与面SAC 所成角大小为π4. 21.（2020·包头市第九中学高一期末）设三棱锥的底面和侧面都是全等的正三角形，是棱的中点.记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则，，中最大的是_________，最小的是________.【答案】【解析】S ABC -P SA PB AC αPB ABC βP AC B --γαβγαβ作交于，由于，， 所以为正三棱锥，由对称性知，取中点，连接，作平面，交平面于，连接， 作平面，交平面于，连接，作，交于，连接，所以， 由于，所以，由于平面，所以，由于，平面，所以，， 因为，在上，平面于，平面于， 所以.所以.所以， 由于都是锐角，所以， 由于在上，由对称性，而，则，由于也是锐角，所以，由,，所以 综上所述，三个角中的最小角是，最大角是.故答案为：①；②.四、解答题//PD CA SC D AB BC CA ==SA SB SC ==S ABC -BD PB =PD E BE EH ⊥ABC ABC H BH PF ⊥ABC ABC F BF PG AC ⊥AC G GF BE PD ⊥//PD AC BPD α=∠PF ⊥ABC PBF β=∠PG AC ⊥PF ⊥ABC PGF γ=∠sin BE EH BP BP BP BPα==>=//PD CA E PD EH ⊥ABC H PF ⊥ABC F EH PF =sin PF EH BP BPβ==sin sin αβ>,αβαβ>P SA PB CP =CP PG >sin sin PF PF PF PG CP BP γβ=>==γγβ>PB BG<sin BE EH PF BP BP BP α==>==sin PF PGγ>=αγβααβ22．（2019·北京西城·高三三模）如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AB =，13AA =，过顶点A ，1C 的平面与棱1BB ，1DD 分别交于M ，N 两点（不在棱的端点处）.（1）求证：四边形1AMC N 是平行四边形；（2）求证：AM 与AN 不垂直；（3）若平面1AMC N 与棱BC 所在直线交于点P ，当四边形1AMC N 为菱形时，求PC 长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）=2PC .【解析】（1）依题意1AM C N ，，，都在平面1AC 上， 因此AM ⊆平面1AC ，1NC ⊆平面1AC ，又AM ⊆平面11ABB A ，1NC ⊆平面11DCC D ，平面11ABB A 与平面11DCC D 平行，即两个平面没有交点，则AM 与1NC 不相交，又AM 与1NC 共面，所以//AM 1NC ，同理可证//AN 1MC ，所以四边形1AMC N 是平行四边形；（2）因为M ，N 两点不在棱的端点处，所以11MN BD AC <=，又四边形1AMC N 是平行四边形，1MN AC ≠，则1AMC N 不可能是矩形，所以AM 与AN 不垂直；（3）如图，延长1C M 交CB 的延长线于点P ，若四边形1AMC N 为菱形，则1AM MC =，易证11Rt ABM Rt C B M ≅，所以1BM B M =，即M 为1BB 的中点， 因此112BM CC =，且1//BM CC ，所以BM 是1PCC 的中位线， 则B 是PC 的中点，所以22PC BC ==.23．（2019·全国高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为4，CD 为AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？如果存在，求出BP BC 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）//AB 平面DEF ，理由见解析；（2）13. 【解析】(1)AB∥平面DEF ，理由如下：在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF∥AB.又因为AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AB∥平面DEF.(2)以点D 为坐标原点，直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，0)，E(01)，故DE ＝(01)．假设存在点P(x ，y ，0)满足条件，则AP ＝(x ，y ，－2)，AP ·DE 20-=，所以y =.又BP ＝(x 2-，y ，0)，PC ＝(－x ，y ，0)，BP ∥PC ，所以(x 2-)(y )＝xy -y +=把y =代入上式得4x 3=，所以BP ＝1BC 3， 所以在线段BC 上存在点P 使AP⊥DE，此时BP 1BC 3=. 24．（2019·上海市金山中学高二月考）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”，如图所示的“椭圆柱”中，A B ''、AB 和O '、O 分别是上下底面两椭圆的长轴和中心，1F 、2F 是下底面椭圆的焦点，其中长轴的长度为2，两中心O '、O M 、N 分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA B B ''的两侧.（1）求证：OM ∥平面A B N ''；（2）求点M 到平面A B N ''的距离；（3）若点Q 是下底面椭圆上的动点，Q '是点Q 在上底面的投影，且1Q F '、2Q F '与下底面所成的角分别为α、β，试求出tan()αβ+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2（3）tan()[5αβ+∈-. 【解析】（1）连接,,O M O N ON '',M N 分别为上下椭圆的短轴端点 //O M ON '∴∴四边形O MPN '为平行四边形 //OM O N '∴O N '⊂平面A B N ''，OM ⊄平面A B N '' //OM ∴平面A B N ''（2）连接OO '由“椭圆柱”定义可知OO '⊥平面12F NFON ⊂平面12F NF OO ON '∴⊥ O N '∴==由对称性可知：A N B N ''= O N A B '''∴⊥1122A B N S A B O N ''∆'''∴=⋅=⨯=又12A B M S A B O M ''∆'''=⨯⋅=，OO '1133N A B M A B M V S OO ''''-∆'∴=⋅==设点M 到平面A B N ''的距离为d ，则13M A B N N A B M A B N V V S d ''''''--∆==⋅==解得：7d =，即点M 到平面A B N ''的距离为7（3）连接12,QF QF由题意知：QQ '⊥平面12F F Q，QQ '=1Q FQ '∴∠即为1Q F'与下底面所成角；2Q F Q '∠即为2Q F '与下底面所成角 即1Q FQ α'∠=，2Q F Q β'∠= 设1QF m =，由椭圆定义知：2QF m =1tan QQ QF α'∴==，2tan QQ QF β'== ()tan tan tan 1tan tan 1αβαβαβ+∴+===-21m ⎡⎤∈⎣⎦[]265,4m∴-+-∈-- ()tan 5αβ⎡∴+∈-⎢⎣⎦25.（2016·天津高考真题（理））如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF ；（Ⅱ）求二面角O −EF −C 的正弦值；（Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且AH=23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）√33；（Ⅲ）√721.【解析】依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为点，分别以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(−1,1,0),B(−1,−1,0),C(1,−1,0),D(1，1,0),E(−1,−1,2),F(0,0,2),G(−1,0,0).（Ⅰ）证明：依题意，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2). 设n 1=(x,y,z)为平面ADF 的法向量，则{n 1⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即{2x =0x −y +2z =0 . 不妨设z =1，可得n 1=(0,2,1)，又EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，可得EG⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1=0， 又因为直线EG ⊄平面ADF ，所以EG//平面ADF .（Ⅱ）解：易证，OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)为平面OEF 的一个法向量. 依题意，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2).设n 2=(x,y,z)为平面CEF 的法向量，则{n 2⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⋅CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即{x +y =0−x +y +2z =0 . 不妨设x =1，可得n 2=(1,−1,1).因此有cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2>=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2|=−√63，于是sin <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2>=√33， 所以，二面角O −EF −C 的正弦值为√33.（Ⅲ）解：由AH =23HF ，得AH =25AF .因为，所以AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25,−25,45)，进而有H(−35,35,45)，从而BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(25,85,45)，因此cos <BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2>=BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2|BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2|=−√721. 所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为√721.26．（2018·天津高考真题（理））如图，且AD =2BC ，,且EG =AD ，且CD =2FG ，，DA =DC =DG =2.（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：；（II ）求二面角的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ). 【解析】依题意，可以建立以D 为原点， 分别以，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），//AD BC AD CD ⊥//EG AD //CD FG DG ABCD ⊥平面MN CDE 平面E BC F --103DA DC DGE （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，，1），N （1，0，2）．（Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n 0=(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则 即不妨令z =–1，可得n 0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN 平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．设n =（x ，y ，z ）为平面BCE 的法向量，则 即 不妨令z =1，可得n =（0，1，1）．设m =（x ，y ，z ）为平面BCF 的法向量，则 即不妨令z =1，可得m =（0，2，1）．因此有cos <m ，n>=，于是sin <m ，n．所以，二面角E –BC–F ． 32DC DE 0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 20220y x z ，，=⎧⎨+=⎩MN 32-00MN n ⋅=⊄BC ()122BE =-，，CF 00n BC n BE ，，⎧⋅=⎨⋅=⎩0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，，00m BC m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，020x y z -=⎧⎨-+=⎩，，10⋅=m nm n（Ⅲ）设线段DP 的长为h （h ∈［0，2］），则点P 的坐标为（0，0，h ），可得． 易知，=（0，2，0）为平面ADGE 的一个法向量，故=sinh0，2］．所以线段27．（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）如图，ABC 为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC 沿BC 翻折.（1）若点A 的射影在BD 上，求AD 的长；（2）若点A 的射影在BCD 中，且直线AB 与平面ACD ，求AD 的长. 【答案】（1）2 （2【解析】（1）过A 作AE BD ⊥交BD 于E ，则AE ⊥平面BCD .取BC 中点O ，连接AO ，OE ，∵AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴AE BC ⊥，又ABC 是正三角形，∴BC AO ⊥，又AE AO A =，AE ，AO ⊂平面AOE ，∴BC ⊥平面AOE ，∴BC OE ⊥.又BC CD ⊥，O 为BC 的中点，∴E 为BD 的中点.()12BP h =--，，DC BP DCcos BP DC BP DC h ⋅⋅==DP∵2BC CD ==，∴112OE CD ==，AO =BD =∴DE =AE =∴2AD =；（2）取BC 中点为,O 过点A 作平面BCD 的垂线，垂足为E ,连接AO ,因为,AB AC OE BC =∴⊥.以O 为原点，以BC 为x 轴，以OE 为y 轴，以平面BCD 的过O 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设二面角D BC A --为θ，因为AE ⊥平面BCD ，与（1）同理可证BC ⊥平面AOE ，OE BC ⊥，AOE θ∴∠=，AO则)A θθ，(1,0,0)B -，(1,0,0)C ，(1,2,0)D .∴(1,)BA θθ=，(0,2,0)CD =，(1)CA θθ=-，设平面ACD 的法向量为(,,)n x yz =，则200n CD y n CA x y z θθ⎧⋅==⎪⎨⋅=-⋅+⋅=⎪⎩， 令1z =，得(3sin ,0,1)n θ=.∴cos ,n BA <>==解得sin 6θ=. ∴1(0,,22A ，又(1,2,0)D ，∴AD ==。

2021版新高考数学：高考中的立体几何问题含答案

2021版新高考数学：高考中的立体几何问题含答案

教学资料范本2021版新高考数学：高考中的立体几何问题含答案编辑:时间:（对应学生用书第138页）［命题解读］立体几何是高考的重要内容，从近五年全国卷高考试题来看，立体几何每年必考一道解答题，难度中等，主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算，考查的热点是平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题，突出三大能力：空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力与两大数学思想：转化化归思想、数形结合思想的考查.［典例示范］（本题满分12分）（20xx全国卷田）图1是由矩形ADEB、RtAABC 和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1, BE=BF = 2, /FBC=60° , 将其沿AB, BC折起使得BE与BF重合，连接DG ,如图2.(1)证明：图2中的A, C, G, D四点共面①，且平面ABC，平面BCGE②；(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小③.［信息提取］看到①想到四边形ACGD共面的条件，想到折叠前后图形中的平行关系；看到②想到面面垂直的判定定理；看到③想到利用坐标法求两平面法向量的夹角余弦值，想到建立空间直角坐标系.［规范解答］(1)由已知得AD//BE, CG//BE,所以AD//CG,故AD, CG确定一个平面，从而A, C, G, D四点共面. ................... 2分由已知得ABXBE, ABXBC,且BEABC=B,故AB,平面BCGE. .................................... 3分又因为AB?平面ABC, 所以平面ABC,平面BCGE. ........... 4分(2)作EHXBC,垂足为H. 因为EH?平面BCGE,平面BCGE,平面ABC, 所以EHL平面ABC. ................................................ 5分由已知，菱形BCGE的边长为2, /EBC = 60° ,可求得BH = 1, EH =>/3. ................................................... 6 分以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则A(—1, 1, 0), C(1, 0, 0), G(2, 0, V3),CG=(1, 0, V3), AC=(2, —1, 0). ........................................................ 8分设平面ACGD的法向量为n = (x, y, z),则CGn = 0,「x+gz= 0, 即................ 9分y= 0.ACn = 0, 2x-所以可取n = (3, 6, -V3). ........................... 10分又平面BCGE的法向量可取为m=(0, 1, 0),…i、n m y3 …八所以cos <n, m> =|nj|mj = 2 . ...................... 11 分因此，二面角B-CG-A的大小为30° . .................. 12分［易错防范］结合折叠后棱柱的侧棱关系：CG=BE 可求出CG,或者 借助折叠前后直角三角形的边角关系，直接求出点G 的 坐标［通性通法］合理建模、建系巧解立体几何问题 (1)建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距离等 的计算模型;(2)建系一一依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求 解. ［规范特训I ］ 1.(20xx 江南十校二模)已知多面体ABC-DEF,四边形BCDE 为矩形，z\ADE 与4BCF 为边长 为2，2的等边三角形，AB= AC= CD = DF = EF = 2.(1)证明：平面 ADE//平面BCF;(2)求BD 与平面BCF 所成角的正弦值.［解］(1)取 BC, DE 中点分别为 O,O i,连接 OA, O i A, OF,O i F. 由 AB = AC=CD = DF = EF = 2, BC= DE = CF = AE = AD = BF = 2\f2,可知AABC, z\DEF 为等腰直角三角形，故OA ，BC, OF^DE, CD± DE, CDXDF,又 DEADF=D,故 CD,平面 DEF,平面 BCDE ，平面 DEF, 因为平面BCDE n 平面DEF = DE, OF^DE,所以O 〔F ，平面BCDE.同理OAL 平面BCDE;所以OF// OA,而O 〔F=OA,故四边形AOFO 1为平 行四边形，所以AO 1 // OF, AO 1?平面BCF, OF?平面BCF,所以AO 1 //平面 BCF,又 BC//DE,故 DE//平面 BCF,而 AO 〔nDE = O 1,所以平面 ADE //平面BCF.(2)以O 为坐标原点,以过O 且平行于AC 的直线作 为x轴，平行于AB 的直线作为y 轴，OO 1为z 轴建立空间 直角坐标系如图.则有 B(1, 1, 0), C(-1, —1, 0), D(-1, —1,2), F(-1, 1, 2),易错点不能恰当的建立直角坐标系防范措施 由(1)的结论入手，结合面面垂直的性质及侧面菱形的边 角关系建立空间直角坐标系建系后写不出点的坐标故BD=( —2, —2, 2), BC=( —2, —2, 0), BF=( —2, 0, 2).2y= 0,、…一 _____________ ，…，…，三 -> ,，L —2x—设平面BCF的法向量为n = (x, y, z),由BC±n, BF，n得,—2x+2z= 0, 取x=1得y=— 1, z=1,故平面BCF的一个法向量为n = (1, —1,1).、一，一一一一一.、二一一. —设BD与平面BCF所成角为9,则sin 8=|cos <B D, n>尸— 2X1— 2X (— 1) +2X1 1小X乖:3.故BD与平面BCF所成角的正弦值为1.32.(20xx河南、河北考前模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=2, BC = 3,点E是边AD上的一点，且AE = 2ED,点H是BE的中点，将^ ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC= SD.(1)证明：SHL平面BCDE.(2)求二面角C-SBE的余弦值.［解］(1)证明：取CD的中点M,连接HM, SM, 由已知得AE = AB=2, ；SE= SB= 2,又点H是BE的中点，「.SH，BE.. SC= SD,点M是线段CD的中点,ASMICD.又「HM // BC, BCXCD,HMXCD,,. SMA HM = M,从而CD,平面SHM,得CDXSH,又CD, BE 不平行，；SH ，平面BCDE.(2)法一：取BS 的中点N, BC 上的点P,使BP=2PC,连接HN, PN, PH,可知 HNXBS, HPXBE.由(1)得 SHL HP, ；HP ，平面 BSE,则 HPXSB,又 HN^BS, HNAHP = H, • . BS,平面 PHN,「•二面角C-SB-E 的平面角为/PNH.又计算得 NH = 1, PH =，2, PN ="3,法二：由(1)知，过H 点作CD 的平行线GH 交BC 于点G,以点H 为坐标原 点，HG, HM , HS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系 H-xyz,则点 B(1, —1, 0), C(1, 2, 0), E(-1, 1, 0), S(0, 0, V2), BC=(0, 3, 0), BE=( —2, 2, 0), BS= (-1, 1, g设平面SBE 的法向量为 m=(x1, y1, Z I ),• .cos /PNH = 1 3 后3.mBE= —2x1 + 2y1 = 0, I m BS= - x1 + y1+ 嫄z1 = 0, 令 yi = 1,得 m = (1, 1, 0).设平面SBC 的法向量为n = (x 2, y 2, z 2), nBC = 3y2= 0, 由 一 _n B S= - x2 + y2+卷z2= 0, 令 z2=1,得 n =(啦，0, 1).••・二面角C-SB-E 的余弦值为平.• .cos <m, n> 一|m| |n| 一［2x73— 3 .。

2021年上海高考数学 立体几何习题集

2021年上海高考数学 立体几何习题集

2021年上海高中数学强化训练立体几何1.能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（）A．底面是正多边形B．各侧棱都相等C．各侧棱与底面都是全等的正三角形D．各侧面都是等腰三角形【答案】C2.一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直【答案】D3.设命题甲：“直四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面1ACB 与对角面11BB D D 垂直”；命题乙：“直四棱柱1111ABCD A B C D -是正方体”．那么甲是乙的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【答案】C4.判断下列说法正确的是_______：①四边相等的四边形是菱形；②若四边形的两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形．③将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体；④平行四边形是一个平面．⑤多面体至少有四个面．【答案】⑤5.下列命题不正确的有．⑴底面是矩形的平行六面体是长方体；⑵棱长相等的直四棱柱是正方体；⑶棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；⑷有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．【答案】①②③④6.下列命题正确的有．⑴棱柱的侧面都是平行四边形；⑵有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；⑶用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；⑷有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．【答案】①7.一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【答案】D8.设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．以上四个命题中，真命题有_______．【答案】④．9.下列说法正确是（）A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成C．圆柱的母线和它的底面不垂直．D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的．【答案】D10.将一个边长为4和8的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为．【答案】2π或4π；11.如图，右边哪一个长方体是由左边的平面图形围成的（）【答案】D12.圆锥的侧面展开图是半径为a 的半圆面，求圆锥的母线与轴的夹角是_______，轴截面的面积是______．【答案】30 ，234a 13.一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A．63B．8C．83D．12【答案】A14.有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm ），该几何体的表面积和体积为（）A．2324πcm ,12πcm B．2315πcm ,12πcm C．2324πcm ,36πcm D．以上都不正确【答案】A15.如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）B．C．D．4【答案】B16.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112B．80C．72D．64【答案】B．17.长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为（）A．22B．32C．4D．52【答案】C.18.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求圆锥的母线长．【答案】40319.一圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1，求轴截面的面积．20.圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求圆台的高____,上下两底面面积之和_______．，25πa 21.圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径为．【答案】a 、2a ．22.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于2392cm ，母线与底面的夹角是45︒，求这个圆台的母线长________．【答案】23.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是14∶，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长______．【答案】9．24.圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1．⑴求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积．【答案】⑴圆锥的轴截面为顶角为120︒的等腰三角形，腰长为1，故高为12011cos 22︒⋅=，底边长为2sin 60︒=，从而轴截面面积为1122=；⑵过顶点的圆锥的截面都是等腰三角形，且腰长为１，设顶角为θ，三角形的面积为1sin 11sin 22θθ⋅⋅⋅=，由轴截面的顶角为120︒知，0120θ︒<≤，故当θ为直角时，过顶点的截面有最大面积12．25.在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π．求球的半径_________．【答案】25．26.已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12π和16π，求这两个截面间的距离______．【答案】2或14．27.设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂直于OP 的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（）A．3:5:6B．3:6:8C．5:7:9D．5:8:9【答案】D28.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18AB =，24BC =、30AC =，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径_____．【答案】R =29.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1D．230.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A．2B．1C．12+【答案】D31.连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD的长度分别等于、，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5④MN 的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C32.如图正方体1111ABCD A B C D -，其棱长为1，,P Q 分别为线段1AA ，11C D 上的两点，且11A P C Q λ==．求在正方体侧面上从P 到Q 的最短距离________．33.已知如图，正三棱柱ABC DEF -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D 点的最短路线的长为____．FEDCBA【答案】10．34.如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，45ASB ∠= ，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN∆的周长的最小值_________．35.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ==12BB =，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为1AA 、11C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为．1A 【答案】322；36.如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，40ASB ∠= ，M 和N分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN∆的周长的最小值________．37.在体积为的球的表面上有A B C ，，三点，1AB =，BC =，A ，C 两点的球面距离为33π，则球心到平面ABC 的距离为．【答案】3238.已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是π4，B 、C 两点的球面距离是π3，则二面角B OA C --的大小是（）A．π4B．π3C．π2D．2π3【答案】C39.A 、B 是半径为R 的球O的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是________【答案】2R 40.已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，且AB AC BC R ===，那么,AB 两点的球面距离为_________，球心到平面ABC 的距离为_________．【答案】π3R ，3R41.如图球O 的半径为2，圆1O是一小圆，1O O =，A 、B 是圆1O 上两点，若，A B 两点间的球面距离为2π3，则1AO B ∠=．【答案】π242.如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠= ，BA BC =，球心O 到平面ABC 的距离是2，则B 、C 两点的球面距离是（）A．π3B．πC．4π3D．2π【答案】C.43.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过3个点的小圆的周长为4π，求这个球的半径．【答案】44.如图，O 是半径为1的球心，点,,A B C 在球面上，,,OA OB OC 两两垂直，,E F 分别是大圆弧AB 与AC的中点，则点,E F 在该球面上的球面距离是（）A．π4B．π3C．π2D．2π4EFGOC BA 【答案】π3。

上海高考数学真题专题-立体几何专题

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第七部 立体几何专题【考点1】立体几何判断题公理1 如果直线l上有两个点在平面 上，那么直线l在平面 上.公理2 如果不同的两个平面 、 有一公共点A，那么 、 的交集是过点A的直线. 公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面.公理4 平行于同一直线的两条直线相互平行.推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面.推论2 两条相交的直线确定一个平面.推论3 两条平行的直线确定一个平面.等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.线面平行判定：若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则线面平行.线面平行性质：若线面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则直线和交线平行. 线面垂直判定：若直线l与平面 上的两条相交直线都垂直，则直线l与平面 垂直.推论：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.线面垂直性质：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内的所有直线.推论若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线平行.面面平行判定：若平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行.推论：若平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则面面平行. 推论：垂直于同一条直线的两个平面平行.面面平行性质：若两个平行平面同时和第三个平面相交，则得到的两条交线互相平行.推论：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面.面面垂直判定：若平面经过另一个平面的一条垂线，则面面垂直.面面垂直性质：若面面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.1.（2019春15）已知平面 、 、 两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a ，b ，c ，则直线a 、b 、c 不可能是（ ）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面2.（2017春15）过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A. 三角形 B. 长方形 C. 对角线不相等的菱形 D. 六边形3.（2016春18）设直线l 与平面 平行，直线m 在平面 上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直4.（2014春13）两条异面直线所成的角的范围是（ ）A. (0,)2B. (0,]2C. [0,)2D. [0,]25.（2012春17）已知空间三条直线l 、m 、n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能 6.（2016文16）如图，正方体1111ABCD A B C D中，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，则下列直线中 与直线EF 相交的是（ ）A. 直线1AAB. 直线11A BC. 直线11A DD. 直线11B C【考点2】多面体相关题（1）棱柱如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都相互平行， 那么这个多面体叫做棱柱.侧棱不垂直于底面侧棱垂直于底面底面是正多边形棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱.底面是平行四边形侧棱垂直于底面底面是矩形四棱柱平行六面体直平行六面体长方体底面是正方形棱长都相等正四棱柱正方体. 直柱体的表面积：22S S S ch S 侧全底底（h c 、分别为直柱体的高和底面周长） 棱柱的体积：V S h 棱柱底（h 为棱柱的高）7.（2018春14）如图，在直三棱柱111ABC A B C 的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的 直线的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.（2018年15）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马， 设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面 矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A. 4B. 8C. 12D. 169.（2016理6）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D 中，底面ABCD 边长为3，1BD 与底面 所成角大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于10.（2013春9）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1A B 与1B C 所成角的 大小为11.（2015理4）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为，则a12.（2016春25）如图，已知正三棱柱111ABC A B C 的体积为，底面边长为3， 求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小.13.（2015春25）如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D ，1AB ，1D B 和平面ABCD所成的角的大小为arctan4，求该四棱柱的表面积.14.（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，11AA ，2AB AD ，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成角的大小.15.（2013理19）如图，在长方体ABCD A B C D 中，2AB ，1AD ，1AA ， 证明直线BC 平行于平面D AC ，并求直线BC 到平面D AC 的距离.16.（2013春25）如图，正三棱锥111ABC A B C 中，16AA ，异面直线1BC 与1AA 所成 角的大小为6，求该三棱柱的体积.（2）棱锥如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面 体叫做棱锥. 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个 棱锥叫做正棱锥.正锥体的表面积：12S S S ch S 侧全底底（h c 、分别为斜高和底面周长） 棱锥的体积：13V S h棱锥底（h 为棱锥的高） 17.（2018春7）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，3AB ，4BC ，15AA ，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A A OB 的体积为18.（2012理14）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC ，若2AD c ，且2AB BD AC CD a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 体积最大值是19.（2013文19）如图，正三棱锥O ABC 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.20.（2014年19）底面边长为2的正三棱锥P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ， 如图，求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .【考点3】旋转体相关题（1）圆柱和圆锥圆柱的表面积：2222S S S rh r 侧全底（h r 、分别为圆柱的高和底面半径） 圆锥的表面积：2S S S rh r 侧全底（h r 、分别为母线长和底面半径） 圆柱的体积：2V S h r h 圆柱底（h r 、分别为圆柱的高和底面半径） 圆锥的体积：21133V S h r h圆锥底（h r 、分别为圆锥的高和底面半径）22.（2016春附5）已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30 ，则该圆锥的侧面积为23.（2012文5）一个高为2的圆柱，底面周长为2 ，该圆柱的表面积为24.（2012理8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 的半圆面，则该圆锥的体积为25.（2011理7）若圆锥的侧面积为2 ，底面面积为 ，则该圆锥的体积为26.（2014文7）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）27.（2014理6）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）28.（2015理6）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ，则其母线与轴的夹角的大 小为29.（2019年14）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两 个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 830.（2015春18）底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）A. 2B.C.23D. 331.（2014春24）如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线 PB 中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 432.（2013文10）已知圆柱 母线长为l ，底面半径为r ，O 是 上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线， 若直线OA 与BC 所成角的大小为6，则lr33.（2015文19）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧 AB 的中点，E 为劣弧 CB的中点，已知2PO ，1OA ，求三棱锥P AOC 的 体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.（2）球球的表面积公式：24S r （r 是球的半径）球的体积公式：343V r球（r 是球的半径） 球面距离求法：确定两点的直线距离，求出圆心角34.（2017年4）已知球的体积为36 ，则该球主视图的面积等于 35.（2016春14）半径为1的球的表面积为（ ） A.B. 43C. 2D. 436.（2014春21）若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为（ ）A. 2:3B. 4:9C. 8:27D. 37.（2013春21）若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:1638.（2011春20）某甜品店制作一种蛋筒冰激凌，上部分是半球形，下半部分呈圆锥形 （如图），现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个蛋皮围成圆锥的侧面 （蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰激凌的表面积和体积.（精确0.01）（3）祖暅原理祖暅原理：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等 高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等39.（2013理13）在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x 和22(3)1(3)x y x 、两条直线1y 和1y 围成的封闭图形记为D ，如图阴影部分，记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)y （||1y ）作 的水平截面，所得截面面积为48 ，试利用祖暅原理、一个平放 的圆柱和一个长方体，得出 的体积为【考点4】三视图将三个视图展示在同一个平面上，使俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方，我们 把整个构图叫做这个长方体的三视图.40.（2011文7）若一个圆锥的主视图是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥侧面积为 41.（2014文8）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个 小长方体的体积之和等于【考点5】立体几何综合（1）异面直线所成角异面直线所成角的范围(0,90] . 求异面直线所成的角，主要有以下方法： ① 平移，将异面直线平移至相交，常用“作平行”和“取中点”的方法.② 补形，延长异面直线，或者将题中几何体进行添补，然后再平移至相交.③ 向量法，设空间直线a 与b 所成的角为 ，(0,2，它们的方向向量分别为1d和2d ，1d和2d 的夹角为 ，[0,] ，根据空间两条直线所成角的定义，可知cos |cos | .（2）直线与平面所成角直线与平面所成角的范围[0,90] . 求直线与平面所成的角，主要有以下方法： ① 定义法，根据直线与平面所成角的定义，找斜线及其射影的夹角. ② 垂线法，过直线上某一点作平面的垂线.③ 等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离.④ 向量法，设直线l 与平面 所成角为 ，[0,]2，d是l 的一个方向向量，n 是的一个法向量，d与n 的夹角为 ，根据直线与平面所成角的定义，可知sin |cos | .（3）二面角的平面角二面角的平面角的范围[0,180] . 求二面角的平面角，主要有以下方法： ①定义法，在两个半平面中分别作交线的垂线.②垂线法，过一个平面上一点作另一个平面的垂线，再作交线的垂线. ③垂面法，找到一个与两个半平面均垂直的平面，截得的交线所形成的角.④ 等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离.⑤ 射影法，面积射影定理cos S S. ⑥ 向量法，设二面角大小为 ，[0,] ，二面角两个半平面的法向量分别为1n 和2n，1n 和2n的夹角为 ，根据二面角的定义，可知 或 .（4）距离的计算线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离. 求点到平面的距离，主要有两种方法： ① 垂线法，过点作平面的垂线，求垂线的长度.② 等体积法，通过几何体体积相等，求出高，即点到平面的距离.③ 向量法，已知平面 上一点A 与平面 外一点M ，n是平面 的一个法向量，设点M到平面 的距离为d ，则||||n AM d n . 42.（2019年3）已知向量(1,0,2)a，(2,1,0)b ，则a 与b 的夹角为43.（2017年7）如图，以长方体1111ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为44.（2011春13）有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图）， 则AB 与CD 所成角的大小是45.（2019春17）如图，正三棱锥P ABC 中，侧棱长为2M 、N 分 别是PB 和BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小； （2）求三棱锥P ABC 的体积.46.（2012文19）如图，在三棱锥P ABC 中，PA 底面ABC ，D 是PC 的中点，已知2BAC，2AB ，AC ，2PA ，求：（1）三棱锥P ABC 的体积；（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小.（结果用反三角函数值表示）47.（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB ，AD 2PA ，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.48.（2019年17）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，M 为1BB 上一点，已知2BM ，3CD ，4AD ，15AA .（1）求直线1AC 与平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A MC 的距离.49.（2017春17）如图，长方体1111ABCD A B C D 中，2AB BC ，13AA . （1）求四棱锥1A ABCD 的体积； （2）求异面直线1A C 与1DD 所成角的大小.50.（2017年17）如图，直三棱柱111ABC A B C 的底面为直角三角形，两直角边AB 和 AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C 的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.51.（2011文20）已知1111ABCD A B C D 是底面边长为1的正四棱柱，高12AA ，求： （1）异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四面体11AB D C 的体积.52.（2012春19）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D 的底面边长为1，高为2，M 为线段AB 的中点，求：（1）三棱锥1C MBC 的体积； （2）异面直线CD 与1MC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）53.（2011理21）已知1111ABCD A B C D 是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11A C 与11B D 的交点.（1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为 ，二面角111A B D A 的大小为 ，求证：tan；（2）若点C 到平面11AB D 的距离为43， 求正四棱柱1111ABCD A B C D 的高.54.（2018年17）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO ，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ，M 为 线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.55.（2018春19）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB 于C ，3AB 米， 4.5OC 米.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）.（图1） （图2） （图3）56.（2016文19）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱， 如图， AC 长为56 ， 11A B 长为3，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线11O B 与OC 所成的角的大小.57.（2016理19）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23 ， 11A B 长为3，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧. （1）求三棱锥111C O A B 的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.。

2021年高三数学综合训练7 Word版含答案

2021年高三数学综合训练7 Word版含答案

2021年高三数学综合训练7 Word 版含答案一．填空题：1．已知集合，集合，则________．2．已知向量，，若与垂直，则的值为________．3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ．4．若框图所给的程序运行结果为S=90，那么判断框中应填入的关于的条件是_________________．5．已知张卡片（大小，形状都相同）上分别写有，，，，从中任取张，则这张卡片中最小号码是的概率为 .6.底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积是________________.7．若函数，分别是R 上的奇函数、偶函数且满足+=，其中是自然对数的底数，则，，的大小关系为_________________．8．设是△ABC 内一点，且，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比值是_______________．9．已知等差数列{}的前n 项和为，则的最小值为________．10．△ABC 的内角A 满足tanAsinA<0，sinA+cosA>0，则角A 的取值范围是___________．11设x,y 满足约束条件的取值范围是 __ ．12．已知F 1，F 2是双曲线C ： 的左、右焦点,过F 1的直线与的左、右两支分别交于A ，B 两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为________．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为_____________________.14．已知直线与函数和图象交于点Q ，P ，M 分别是直线与函数的图象上异于点Q 的两150 200 250 300 0.0a0.00.00.003成绩/分频率组距 (第3题图)点，若对于任意点M ，P M ≥PQ 恒成立，则点P 横坐标的取值范围是________________________.二．解答题：15．如图,四边形ABCD 为平行四边形，四边形ADEF 是正方形，且BD ⊥平面CDE ，H 是BE 的中点,G 是AE,DF 的交点. （1）求证:GH ∥平面CDE ； （2）求证:面ADEF ⊥面ABCD.16．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．17．要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为米.市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍.设圆锥母线和底面所成角为（弧度），总费用为（元）.ABD O Cxy(第16题图)（1）写出的取值范围；（2）将表示成的函数关系式；（3）当为何值时，总费用最小?18．在平面直角坐标系中,已知椭圆与直线.四点中有三个点在椭圆上,剩余一个点在直线上. (1)求椭圆的方程;(2)若动点P 在直线上,过P 作直线交椭圆于两点,使得,再过P 作直线.证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.19. 已知函数f (x )＝ax ＋b x e x，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f (x )的极值； （2）设g (x )＝a (x －1)e x －f (x )．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x )为g (x )的导函数．若存在x ＞1，使g (x )＋g′(x )＝0成立，求ba 的取值范围．20.已知数列的前三项分别为，，，且数列的前项和满足，其中，为任意正整数. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求满足的所有正整数，.综合训练7参考答案1、 2、-1 3、300 4、 5、2 6、 7、a<b<c 8、 9、 10、（，） 11、 12、 13、(53，73) 14、15.证明：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，∴中，， ---------------2分 ∵ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD∴， ----------------------------------------------4分 又∵∴平面 -------------------7分 ⑵，所以， -------------------9分 又因为四边形为正方形，， ------------------10分 ，，- -----------------12分. ----------------14分16. （1）因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． ………………………2分所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． ……………………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分 所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17. 解：设圆锥的高为米，母线长为米,圆柱的高为米；圆柱的侧面用料单价为每平方米2元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4元. ..1分 （1） ……………………..3分 （2）圆锥的侧面用料费用为,圆柱的侧面费用为,圆柱的地面费用为, … ……………..6分(每个面积公式1分) 则==,……………………..7分 ==. ……………………..9分 （3）设,其中……………………..10分 则， ……………………..11分 当时，当时，当时，……………………..13分 则当时，取得最小值，则当时，费用最小. ……………………..1 4分18. 解：（1）由题意有3个点在椭圆上， 根据椭圆的对称性，则点一定在椭圆上，即 ①， ……………………………………2分 若点在椭圆上，则点必为的左顶点， 而，则点一定不在椭圆上，故点在椭圆上，点在直线上， …………………………4分 所以 ②，联立①②可解得，所以椭圆的方程为； ……………………………………6分 （2）由（1）可得直线的方程为，设， 当时，设显然， 联立则，即，又，即为线段的中点，故直线的斜率为， ……………………………………10分 又，所以直线的方程为， …………………13分 即，显然恒过定点； ………………………………………15分 当时，直线即，此时为x 轴亦过点；综上所述，恒过定点． ……………………………………16分19. 解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝(2＋1x)e x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x )＝(x ＋1)(2x －1)x 2e x． (2)分令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝12，列表由表知f (x )的极大值是f (－1)＝e －1，f (x )的极小值是f (12)＝4e ．……………………………………4分（2）① 因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －bx －2a )e x ，当a ＝1时，g (x )＝(x －bx－2)e x ．因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立， 所以b ≤x 2－2x－x e x在x ∈（，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分记h (x )＝x 2－2x －xe x （x ＞0），则h ′(x )＝(x －1)(2e x ＋1)e x． 当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，h (x )在（0，1）上是减函数； 当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在（1，＋∞）上是增函数． 所以h (x )min ＝h (1)＝－1－e －1．所以b 的最大值为－1－e －1． …………………………………………10分 解法二：因为g (x )＝(ax －a )e x －f (x )＝(ax －bx －2a )e x ，当a ＝1时，g (x )＝(x －bx－2)e x ．因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，所以g (2)＝－b2e 2＞0，因此b ＜0． (6)分g ′(x )＝(1＋b x 2)e x ＋(x －b x －2)e x＝(x －1)(x 2－b )e x x 2．因为b ＜0，所以：当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )在（0，1）上是减函数；当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )在（1，＋∞）上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝(－1－b )e －1 (8)分因为g (x )≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立， 所以(－1－b )e －1≥1，解得b ≤－1－e －1因此b 的最大值为－1－e －1． …………………………………………10分②解法一：因为g (x )＝(ax －b x －2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx －a )e x ．由g (x )＋g ′(x )＝0，得(ax －b x －2a )e x ＋(b x 2＋ax －bx －a )e x ＝0，整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0． 存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立， 等价于存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分因为a ＞0，所以b a ＝2x 3－3x 22x －1．设u (x )＝2x 3－3x 22x －1（x ＞1），则u ′(x )＝8x [(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x )＞0恒成立，所以u (x )在（1，＋∞）是增函数，所以u (x )＞u (1)＝－1，所以b a＞－1，即b a的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分解法二：因为g (x )＝(ax －b x －2a )e x ，所以g ′(x )＝(b x 2＋ax －bx －a )e x ．由g (x )＋g ′(x )＝0，得(ax －b x －2a )e x ＋(b x 2＋ax －bx －a )e x ＝0，整理得2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0． 存在x ＞1，使g (x )＋g ′(x )＝0成立， 等价于存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分设u (x )＝2ax 3－3ax 2－2bx ＋b (x ≥1)u ′(x )＝6ax 2－6ax －2b ＝6ax (x －1)－2b ≥-2b 当b ≤0时，u ′(x ) ≥0 此时u (x )在[1，＋∞)上单调递增，因此u (x )≥u (1)＝－a －b 因为存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立 所以只要－a－b＜即可，此时－1＜ba≤0 …………………………………………13分当b ＞0时，令x 0＝3a ＋9a 2＋16ab 4a ＞3a ＋9a 24a ＝32＞1，得u (x 0)＝b ＞0，又u (1)＝－a －b ＜0于是u (x )＝0，在(1，x 0)上必有零点即存在x ＞1，2ax 3－3ax 2－2bx ＋b ＝0成立，此时b a＞0 …………………………………………15分综上有ba 的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分 20.（1） （2）长泾中学xx 届高三数学综合训练7 附加题命题：马银萍 审核：刘云彬 姓名 ______________21.[选做题]在B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B．选修4—2：矩阵与变换若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P的直角坐标.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥中，，、相交于点，求：（1）直线与直线所成的角；（2）平面与平面所成的角23、设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，f(n)∈Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表达式．答案：21.B、解：，即，……………………………4分所以解得…………………………………6分所以．由，得．……………10分C、解:因为直线的极坐标方程为所以直线的普通方程为，……………………………………………３分又因为曲线的参数方程为（为参数）所以曲线的直角坐标方程为，………………………６分联立解方程组得或，…………………………………………８分根据的范围应舍去,故点的直角坐标为．……………10分23、（1）因为f (1)f (4)＝f (4)＋f (4)，所以5 f (1)＝10，则f (1)＝2．……………………………………1分因为f (n )是单调增函数，所以2＝f (1)＜f (2)＜f (3)＜f (4)＝5．因为f (n )∈Z ，所以f (2)＝3，f (3)＝4． ………………………………3分(2)由f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝4，f (4)＝5，猜想f (n )＝n ＋1．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1，2，3，4时，命题成立．②假设当n ≤k (k ≥4)时，命题成立，下面讨论n ＝k ＋1的情形．若k 为奇数，则k ＋1为偶数，且k ＋12≤k ，k ＋32≤k ． 根据归纳假设知f (k ＋12)＝k ＋12＋1＝k ＋32，f (k ＋32)＝k ＋32＋1＝k ＋52． 因为f (2) f (k ＋12)＝f (k ＋1)＋f (k ＋12＋2－1)＝f (k ＋1)＋f (k ＋32)，所以3·k ＋32＝(k ＋1)＋k ＋52，即(k ＋1)＝k ＋2． 若k 为偶数，则k ＋2，k ＋4为偶数，且k ＋22≤k ，k ＋42≤k ． 根据归纳假设知f (k ＋22)＝k ＋22＋1＝k ＋42，f (k ＋42)＝k ＋42＋1＝k ＋62． 因为f (2) f (k ＋22)＝f (k ＋2)＋f (k ＋22＋2－1)＝f (k ＋2)＋f (k ＋42)， 所以3·k ＋42＝f (k ＋2)＋k ＋62，即f (k ＋2)＝k ＋3． 又k ＋1＝f (k )＜f (k ＋1)＜f (k ＋2)＝k ＋3．所以f (k ＋1)＝k ＋2因此不论k 的奇偶性如何，总有f (k ＋1)＝k ＋2，即n ＝k ＋1时，命题也成立 于是对一切n ∈N*，f (n )＝n ＋1． ;T22195 56B3 嚳24066 5E02 市"36930 9042 遂R29955 7503 甃035144 8948 襈jS25405 633D 挽33358 824E 艎。

2021年高考数学理科试题汇编 立体几何

2021年高考数学理科试题汇编 立体几何

2021年高考数学理科试题汇编立体几何2021年高考数学理科试题汇编--立体几何2021年高考数学试题分类汇编立体几何一．选择题：1．（上海卷13）取值空间中的直线l及平面?，条件“直线l与平面?内无数条直线都横向”就是“直线l与平面?横向”的（c）条件a．充要b．充分非必要c．必要非充分d．既非充分又非必要2.（全国一11）未知三棱柱abc?a1b1c1的两端棱与底面边长都成正比，a1在底面abc内的射影为△abc的中心，则ab1与底面abc所成角的正弦值等同于（c）a．13b．23c．33d．233.（全国二10）已知正四棱锥s?abcd的侧棱长与底面边长都相等，e是sb的中点，则ae，sd所成的角的余弦值为（c）a．13b．23c．33d．234.（全国二12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（c）a．1b．2c．3d．25.（北京卷8）如图，动点p在正方体abcd?a1b1c1d1的对角线bd1上．过点p作垂直于平面bb1d1d的直线，与正方体表面相交于m，n．设bp?x，mn?y，则函数y?f(x)的图象大致是（b）d1a1da7.（四川卷８）设m,n就是球心o的半径op上的两点，且np?mn?om，分别过n,m,o 作垂线于mc1b1pnbyyyycoa．xob．xoc．xod．xop的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比是：(d)（ａ）3,5,6（ｂ）3,6,8（ｃ）5,7,9（ｄ）5,8,98.（四川卷９）设立直线l?平面?，过平面?外一点a与l,?都变成300角的直线存有且只有：(b)1（ａ）１条（ｂ）２条（ｃ）３条（ｄ）４条9.（天津卷5）设a,b是两条直线，?,?是两个平面，则a?b的一个充分条件是c（a）a??,b//?,（b）a??,b??,?//?（c）a??,b??,?//?（d）a??,b//?,10.（安徽卷4）．已知m,n是两条不同直线，?,?,?是三个不同平面，下列命题中正确的是（d）a．若m‖?,n‖?,则m‖nc．若m‖?,m‖?,则?‖?b．若,,则?‖?d．若m??,n??,则m‖n11.（山东卷6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是d(a)9π（b）10π(c)11π(d)12π12.（江西卷10）连结球面上两点的线段称为球的弦。

2021年高考数学立体几何多选题与热点解答题组合练及答案

2021年高考数学立体几何多选题与热点解答题组合练及答案

2021年高考数学立体几何多选题与热点解答题组合练及答案一、立体几何多选题1．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点C ．1AA 与平面ABCD 所成角大于45 D ．1BD 与AC 6 【答案】AC 【分析】对A ，分别计算()21++AA AB AD 和2AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算11,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】对A ，由题意，11111cos602⋅=⋅=⋅=⨯⨯=AA AB AA AD AD AB ，所以()2222111112*********++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯=AA AB ADAA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以()222221113=+=+⋅+=++=AC AB ADAB AB AD AD ，所以()()22126++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1A O ，1111111222=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10⋅=O AB A ，又因为21111111111110222222224⎛⎫⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠⎪⎝⎭O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD=+-=+， 所以()()2211=2,=3=+-=+AD A B A AB AC AB AD D ，()()2211111⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD ABAB AD BD ，1116cos ,23⋅<>===⋅B AC D BD BD AC AC，故D 不正确；对C ，112==AC BD ，在1A AC 中，111,2,3===A A AC AC ，所以22211+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 21∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；故选：AC【点睛】方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.2．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ） A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒ B ．点A 到平面BCD 26 C ．四面体ABCD 6πD ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC 【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,22263AF AB BF =-=,即点A 到平面BCD 的距离为263,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径， 因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即62=66OF AO =，, 所以四面体ABCD 的外接球体积3344633V R OA πππ===,故C 正确； 建系如图：26230,0,,0,,0A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ，则262326,,0,,333AP x y AC →→⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=，所以22232481224193972y x y +=++⨯+⨯， 即222388=33y x y +++，平方化简可得：2232340039y x y ----，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【详解】由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确； 取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2=2AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是22，故C 正确； 2=2AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEFS =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为112234⨯=D 正确. 故选：ACD【点睛】求空间中点到平面的距离常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，求垂线；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； （3）向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可.4．（多选题）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（ ）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上 C ．1AP BC ⊥D ．AP ∥平面11AC D【答案】BD 【分析】 对于A ，1111111113326P AA D AA DV S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 对于B,C,D ，如图以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量判即可. 【详解】对于A ，因为点P 在平面11BCC B ，平面11BCC B ∥平面1AA D ， 所以点P 到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长， 所以1111111113326P AA D AA DV S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，A 错误； 对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则11(1,0,0),(,1,),(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)A P x z B D B C所以11(1,1,),(1,1,1),(1,0,1)AP x z BD BC =-=--=--, 因为1AP BD ⊥，所以1110AP BD x z ⋅=--+=，所以x z =，即(,1,)P x x ， 所以(,0,)CP x x =,所以1CP xBC =-，即1,,B C P 三点共线， 所以点P 必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，因为1(1,1,),(1,0,1)AP x x BC =-=-， 所以111AP BC x x ⋅=-+=， 所以1AP BC ⊥不成立，C 错误；对于D ，因为11(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0)A C D , 所以11(1,0,1),(0,1,1)DA DC ==, 设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则110n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1x =，则1,1z y =-=，所以(1,1,1)n =-， 所以110AP n x x ⋅=-+-=，所以AP n ⊥， 所以AP ∥平面11AC D ，D 正确， 故选：BD 【点睛】此题考查了空间线线垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积，考查空间想象能力，考查计算能力，属于较难题.5．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡⎤∈⎣⎦，()2,23,Q b ，[]0,2b∈，设11A R AC λ=，得到()22,23,22R λλλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时11333313,,,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,33R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,33D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推6．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形 B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等 C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直 D ．四边形1BFD E 面积的最大值为2 【答案】BD 【分析】由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,且最大值为2,可判断D 正确. 【详解】 如图所示,对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E 平面11ABB A BE =,平面1BFD E平面111CC D D D F =,所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误; 对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥, 又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D , 当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时, 有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D , 又因为EF ⊂平面1BFD E ,所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD , 当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值, 此时1212S D E BE =⋅=,故D 正确; 故选:BD.本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.7．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确； 对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，3SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确； 对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ，记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数，则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQR S PQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQR V PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅，又13sin 234PSR S PS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQ SPS PQ PS PQ π=⋅=⋅， 13sin 234PQR S PQ PR PQ PR π=⋅=⋅， ()3S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅， ∴()33sin 1212PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQ PR PS α++=为常数，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.8．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使1DE AC ⊥C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE【答案】AC【分析】取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE A C ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ．【详解】解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，∵M ，F 分别为1A C 、CD 中点，∴1MF A D ∥，∵1A D ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ，∴MF 平面1A DE ，∵DF BE ∥且DF BE =，∴四边形BEDF 为平行四边形，∴BF DE ，∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ，∴BF ∥平面1A DE ，又BF MF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，∴平面//BMF 平面1A DE ，∵BM ⊂平面BMF ，∴BM ∥平面1A DE ，即D 错误，设22AB AD a ==， 则112MF A D a ==，2BF DE a ==，145A DE MFB ︒∠=∠=， ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=+-⋅⋅=，即BM 为定值，所以A 正确，∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确， ∵2DE CE a ==，2CD AB a ==，∴222DE CE CD +=，∴DE CE ⊥，设1DE A C ⊥，∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ，1AC CE C =， ∴DE ⊥平面1A CE ，∵1A E ⊂平面1A CE ，∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，所以假设不成立，即B 错误.故选:AC .【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．9．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．A ．棱的高与底边长的比为2B ．侧棱与底面所成的角为4πCD ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB【分析】 设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a =，然后可得侧a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=- 令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增 所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小此时3h = 所以棱锥的高与底面边长的比为22，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误 故选：AB【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.10．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）A ．11A C ⊥平面11BB D DB ．1BD ⊥平面1ACBC ．1BD 与底面11BCC B 2D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条【答案】ABD【分析】由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ．【详解】对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，由于四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 1111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥， 1ACB C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确； 对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且111112tan 2C D C BD BC ∠==，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221cos ,21DA mDA m DA m y z ⋅<>===⋅++， 1122111cos ,221CB m z CB m CB m y z ⋅+<>===⋅⋅++， 整理可得2222341y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-12z =-由已知可得3z ≤，所以，12z =-+22y =±因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．。

(完整word版)上海解析几何综合测试题附答案

(完整word版)上海解析几何综合测试题附答案

1．12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点,点P 在椭圆上运动,则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．2．若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________;以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +32y =1的公共点有_______个.3.P 是抛物线y 2=x 上的动点，Q 是圆(x —3)2+y 2=1的动点，则｜PQ ｜的最小值为 . 4．若圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点。

则实数a 的范围为 。

5．若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范围是 . 6．圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0,－4）、B （0，－2）,则圆C 的方程为____________。

7．经过两圆（x+3）2+y 2=13和x+2(y+3)2=37的交点,且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程为____________8.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点）,则直线PF 的斜率的变化范围是___________.9．已知A （0，7）、B （0,－7)、C(12，2）,以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是___________。

10．设P 1（2，2）、P 2(－2，－2），M 是双曲线y =x1上位于第一象限的点,对于命题①｜MP 2|－｜MP 1|=22；②以线段MP 1为直径的圆与圆x 2+y 2=2相切；③存在常数b ，使得M 到直线y =－x +b 的距离等于22｜MP 1|.其中所有正确命题的序号是____________。

11．到两定点A （0,0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是( ） A.椭圆 B.AB 所在直线 C.线段ABD 。

上海市青浦区2021届新高考数学模拟试题(2)含解析

上海市青浦区2021届新高考数学模拟试题(2)含解析

上海市青浦区2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-【答案】B【解析】【分析】 由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD A B C D ''''-挖去一个以B 为球心以2为半径球体的18， 如图，故其表面积为2124342248πππ-+⨯⨯⨯=-，故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）A3B．36C3D23【答案】C【解析】【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积11(11)12S =⨯⨯+=，高3h = 故体积133V Sh == 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．3．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式可得16a d =-，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解.【详解】 由11a ，31a ，41a 构成等差数列可得 31431111a a a a -=- 即13341413341422a a a a d d a a a a a a a a ----=⇒=⇒= 又()4111323a a d a a d =+⇒=+解得：16a d =-又[]12(1)(12(1))(13)222n n n n S a n d d n d d n =+-=-+-=- 所以0n S =时，13n =.故选：D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.4．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．433C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积113223132V =⨯⨯⨯⨯⨯=，故选C ． 5．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．90【答案】A【解析】【分析】利用频率分布直方图得到支出在[20,40)的同学的频率，再结合支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，即得解【详解】由题意，支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人由频率分布直方图可知，支出在[20,40)的同学的频率为 34(0.010.024)100.34,1000.34n +⨯=∴==． 故选：A【点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AP -=，则51AT ES --=u u u r u u u r （ ）A ．512QR u u u r B ．512RQ u u u r C ．512RD u u u r D ．512RC -u u u r 【答案】A【解析】【分析】 利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【详解】解：5151AT SD SR RD -+-=-==u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r . 故选：A【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

立体几何(文科)小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

立体几何(文科)小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

立体几何（文科）小题大做一、单选题1．（2021·上海青浦·一模）下列条件中，能够确定一个平面的是（）A．两个点B．三个点C．一条直线和一个点D．两条相交直线【答案】D【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；若点在直线上，则一条直线和一个点不能确定一个平面，可判断C；两条直线能确定一个平面，可判断D.【详解】解：对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面；对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，故B不能；对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故C不能；对于D，两条相交直线能确定一个平面，故D能.故选：D.2．（广东省佛山市顺德区郑裕彤中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行：对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：对于选项D ，由于AB ∥CD ∥NQ ，结合线面平行判定定理可知AB ∥平面MNQ ：故选：A ．3．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B【答案】A【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证1//,MN AB A D ⊥平面1ABD ，即可得出结论.【详解】连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊄平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．22B ．32C ．52D ．72【答案】C【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.5．（2020年天津市高考数学试卷）若棱长为23该球的表面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π 【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即()()()22223232332R ++==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6．（2021·四川成都·一模（理））在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）A ．2πB ．22πC ．32πD ．42π【答案】D【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S RL π=计算公式可得．【详解】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中圆锥母线长2L =，圆锥底面半径2R =，22242S ππ∴=⨯⨯⨯= 故选：D ．7．（2021·辽宁·模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m ，顶角为23π的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）A ．36m πB ．333m πC ．393m πD ．312m π【答案】B【分析】 根据给定条件求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式计算即可得解.【详解】 依题意，该圆形攒尖的底面圆半径3r =，高tan 36h r π==，则21333V r h ππ==(3m )， 所以该屋顶的体积约为333m π. 故选：B8．（2021·全国全国·模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 是底面圆的直径，点C 在底面圆上且60ABC ∠=︒，点M 为劣弧AC 的中点，过直线AC 作平面α，使得直线SB ∥平面α，设平面α与SM 交于点N ，则SN SM的值为（ ）A ．13B ．23C ．12D ．34【答案】B【分析】连接BM 交AC 于点D ，连接ND ，根据线面平行的性质定理知//ND SB ，再根据平行线分线段成比例定理得到SN BD SM BM=，然后根据圆的性质得到DAB DCM △△∽，进而得21BD AB DM MC ==，即可求出SN SM 的值. 【详解】解：如图，连接BM 交AC 于点D ，连接ND ，则平面SBM ⋂平面ND α=，又//SB 平面α，所以//ND SB ，所以SN BD SM BM=.因为AB 是底面圆的直径，60ABC ∠=︒，点M 为劣弧AC 的中点，连接MC ，所以30ABM MBC BAC BMC ∠=∠=∠=∠=︒，所以12MC BC AB ==，易得DAB DCM △△∽，所以21BD AB DM MC ==，则23BD SN BM SM ==.故选：B.9．（2021年天津高考数学试题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==， 所以，1BD =，3AD =，CD AB ⊥，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠=，所以，CAD BCD ∠=∠，又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CD CD BD=，3CD AD BD ∴=⋅ 因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=. 故选：B.10．（2021·陕西临渭·一模（理））已知,a b 是两条异面直线，直线c 与,a b 都垂直，则下列说法正确的是（ ）A ．若c ⊂平面α，则a α⊥B ．若c ⊥平面α，则//,//a b ααC ．存在平面α，使得,,//c a b ααα⊥⊂D ．存在平面α，使得,,c a b ααα⊥⊥//【答案】C【分析】在A 中，a 与α相交、平行或a ⊂α；在B 中，a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内；在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c ⊥α，a ⊂α，b ∥α；在D 中，a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾．【详解】由a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，知：在A 中，若c ⊂平面α，则a 与α相交、平行或a ⊂α，故A 错误；在B 中，若c ⊥平面α，则a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内，故B 错误； 在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c ⊥α，a ⊂α，b ∥α，故C 正确； 在D 中，若存在平面α，使得c ∥α，a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾，故D 错误．故选：C11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．2πB ．12πC ．82πD ．10π 【答案】B【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为22 2的圆，且高为2所以其表面积为22(2)222212S πππ=+⋅⋅=，故选B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.12．（2021·云南昆明·模拟预测（理））已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若存在点O 到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于d ，则d =（ ）A ．512-B ．312-C ．322- D ．622- 【答案】A【分析】作出四棱锥，根据题意sin OE O F SE SO α'=='，解方程即可求解. 【详解】由题意可得2211sin 521OE SE α===+，且sin 25O F d SO d α'=='-， 解得51d -=. 故选：A二、填空题13．（2019年北京市高考数学试卷（文科））已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.11【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.14．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________.【答案】39π【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵216303V h ππ=⋅= ∴52h = ∴2222513622l h r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭∴136392S rl πππ==⨯⨯=侧. 故答案为：39π.15．（2019年江苏省高考数学试卷）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.试卷第12页，共14页【答案】10.【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点， 所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.16．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．13【答案】③④（答案不唯一）【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC BB ===，,E F 分别为棱11,B C BC 的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E ADF -.故答案为：③④.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.试卷第14页，共14页15。

2021年新高考数学立体几何练习(含解析)

2021年新高考数学立体几何练习(含解析)

2021年新高考数学立体几何练习1．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知//AB DC ，1AB AD ==，2BD =，2CD =，6PB PC PD ===．（1）证明：平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，求直线l 与平面ABCD 所成角的大小．2．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，4ABC π∠=，222BC AB ==，1111A B A A ==．（1）证明：1//DD 平面1ACB ； （2）求面角11A B C D --的余弦值．3．如图，直角三角形ABD 所在的平面与半圆弧BD 所在平面相交于BD ，2AB BD ==，E ，EC=．F分别为AD，BD的中点C是BD上异于B，D的点，2（1）证明：平面CEF⊥平面BCD（2）若点C为半圆弧BD上的一个三等分点（靠近点)--的余弦值．D，求二面角A CE B4．如图，在四棱锥中P ABCD⊥，且22AD BC，AD CD-，PA⊥平面ABCD，//==AD CD42BC =，2PA =．（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45︒，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．5．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -底面是边长2的正三角形，D 为ABC ∆所在平面上一点且四边形ABCD 是菱形，ACBD O =，四边形11ACC A 为正方形，平面11A DC ⊥平面111A B C ．（Ⅰ）证明：1B O ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面1CDC 与平面11A DC 所成二面角的正弦值．6．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//BC AD ，90BAD ∠=︒，244PA AD AB BC ====，21PC =（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）线段AB 上是否存在一点M ，使得MC 与平面PCD 所成角的正弦值为221？若存在，请求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．7．如图，三棱柱111ABC A B C -所有棱长都相等，D 为BC 上的点，直线l 为平面1ADC 与平面111A B C 的交线，l ⊥平面11BB C C ． （1）证明：AD ⊥平面11BB C C ；（2）已知160B BC ∠=︒，求二面角1D AC C --的余弦值．8．如图，已知直三棱柱222ABC A B C -的底面为正三角形，侧棱长都为4，1A 、1B 、1C 分别在棱2AA 、2BB 、2CC 上，且121A A =，122B B =，123C C =，过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面．（1）证明：中截面DEFG 是梯形；（2）若直线11A C 与平面222A B C 所成的角为45︒，求平面111A B C 与平面222A B C 所成锐二面角的大小．9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，23AB BD DA ===，2BC CD ==． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值为3，求平面PCD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．10．图1是由正方形ABCD ，Rt ABE ∆，Rt CDF ∆组成的一个平面图形，其中1AB AE DF ===，将其沿AB 、CD 折起使得点E 与点F 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面ABE 与平面ECD 的交线平行于底面ABCD ； （2）求二面角B EC D --的余弦值．2021年新高考数学立体几何练习参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知//AB DC ，1AB AD ==，2BD =，2CD =，6PB PC PD ===．（1）证明：平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，求直线l 与平面ABCD 所成角的大小．【解答】（1）证明：因为1AB AD ==，2BD =，所以222AB AD BD +=，即AB AD ⊥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）又因为//AB DC ，所以AD CD ⊥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）取CD 中点为F 点，连FB ，FP ，因6PC PD ==2CD =．所以5FP ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 因//AB FD ，1AB FD ==，AB AD ⊥， 所以四边形ABFD 是正方形，所以FB CD ⊥．且1AD FB ==，所以222FP FB PB +=，FP FB ∴⊥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）又因为FP CD F =，FP ⊂平面PCD ．CD ⊂平面PCD ．所以FB ⊥平面PCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）又因为FB ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）解：延长DA 和CB ，使其相交于点E ，则平面PAD 与平面PBC 的交线l 即为PE ．⋯⋯⋯⋯（7分） 由（1）知FP FB ⊥，PF FC ⊥，FC FB ⊥，故以点F 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．⋯⋯⋯（8分）则(0,0,5)P ，(1E -，2，0)，(1,2,5)PE =--．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）又平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）设直线l 与平面ABCD 所成角的大小为θ． 则|5|2sin |cos |10PE n θ-=〈⋅〉==，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 故所求直线l 与平面ABCD 所成角的大小为4π．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） （注：此题亦可用几何法，上图中PEF ∠即为所求）2．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，4ABC π∠=，222BC AB ==，1111A B A A ==．（1）证明：1//DD 平面1ACB ； （2）求面角11A B C D --的余弦值．【解答】（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，连接1B O ， 四边形ABCD 是平行四边形，12OD BD ∴=，由棱台的性质可得11//B D OD ，由BC ==2AB =，又111A B =， 可得111112A B B D AB BD ==，则11B D OD =， ∴四边形11B ODD 是平行四边形，则11//B O DD ，又1B O ⊂平面1B AC ，1DD ⊂/平面1B AC ，1//DD ∴平面1ACB ；（2）解：1A A ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，1A A AC ∴⊥，1A A AB ⊥，又4ABC π∠=，BC =2AB =，2AC ∴=，则222AB AC BC +=，故AB AC ⊥，即AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0A ，0，0)，(0C ，2，0)，1(1B ，0，1)，1(1D -，1，1)，∴1(1,2,1)CB =-，(0,2,0)AC =，1(1,1,1)CD =--．设平面1AB C 的一个法向量为(,,)m x y z =，由12020m AC y m CB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，得(1,0,1)m =-；设平面11B CD 的一个法向量为111(,,)n x y z =，由11111111020n CD x y z n CB x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取13z =，得(1,2,3)n =． 设二面角11A B C D --为θ，由图可知，θ为锐角，则2||cos |cos,|||||1m n m n m n θ⋅=<>===+． 故二面角11A B C D --．3．如图，直角三角形ABD 所在的平面与半圆弧BD 所在平面相交于BD ，2AB BD ==，E ，F 分别为AD ，BD 的中点C 是BD 上异于B ，D 的点，2EC =． （1）证明：平面CEF ⊥平面BCD（2）若点C 为半圆弧BD 上的一个三等分点（靠近点)D ，求二面角A CE B --的余弦值．【解答】证明：（1）因为C 半圆弧BD 上的一点，所以BC BD ⊥． 在ABD ∆中，E ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以112EF AB ==，且//EF AB ． 于是在EFC ∆中，222112EF FC EF +=+==，所以EFC ∆为直角三角形，且EF FC ⊥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 因为AB BD ⊥，//EF AB ，所以EF BD ⊥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 因为EF FC ⊥，EF BD ⊥，BD FC F =，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）所以EF ⊥平面BCD ．又EF ⊂平面CEF ，所以平面CEF ⊥平面BCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）解：（2）由已知120BFC ∠=︒，以F 为坐标原点，分别以垂直于平面BCD 向上的方向，向量,FD FE所在方向作为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz-，则31(,,0)2C，(0E，0，1)，(0B，1-，0)，(0A，1-，2)，31(,,1)2CE=--，(0,1,1)BE=，(0,1,1)AE=-．⋯⋯⋯⋯（7分）设平面ACE的一个法向量为1(m x=，1y，1)z，则111113122AE m y zCE m x y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取11z=，得3(3m=，1，1)．⋯⋯⋯⋯（8分）设平面BCE的法向量2(n x=，2y，2)z，则BE nCE n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222312y zx y z+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取21z=，得(3,1,1)n=-．⋯⋯⋯⋯（9分）所以105cos,||||2153m nm nm n⋅<>===⋅⨯，⋯⋯⋯⋯（11分）又二面角A CE B--为锐角，所以二面角A CE B--的余弦值为105．⋯⋯⋯（12分）4．如图，在四棱锥中P ABCD-，PA⊥平面ABCD，//AD BC，AD CD⊥，且22AD CD== 42BC=2PA=．（1）求证：AB PC⊥；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M AC D--的大小为45︒，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：四边形ABCD 是直角梯形， 22AD CD ==42BC =4AC ∴=，22()884AB BC AD CD =-++，ABC ∴∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， PA AB ∴⊥，AB ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，AB PC ∴⊥．（2）假设存在符合条件的点M ，过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，MN ∴⊥平面ABCD ，MN AC ∴⊥．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则AC ⊥平面MNG ，AC NG ∴⊥，即MGN ∠是二面角M AC D --的平面角．若45MGN ∠=︒，则NG MN =，又22AN NG MN ==，1MN ∴=，即M 是线段PD 的中点．∴存在点M 使得二面角M AC D --的大小为45︒．在三棱锥M ABC -中，11184413323M ABC ABC V S MN -∆==⨯⨯⨯⨯=，设点B 到平面MAC 的距离是h ，则13B MAC MAC V S h -∆=，22MG MN ==11422222MAC S AC MG ∆∴==⨯， ∴182233h ⨯=，解得22h = 在ABN ∆中，4AB =，2AN 135BAN ∠=︒，2162242262BN ∴=++⨯⨯⨯= 2233BM BN MN ∴=+=，BM ∴与平面MAC 所成角的正弦值为26h BM =．5．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -底面是边长2的正三角形，D 为ABC ∆所在平面上一点且四边形ABCD 是菱形，AC BD O =，四边形11ACC A 为正方形，平面11A DC ⊥平面111A B C ．（Ⅰ）证明：1B O ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面1CDC 与平面11A DC 所成二面角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取11A C 中点M ，连接MD 、1MB 、MO ， 因为1111A B B C =，所以111B M AC ⊥，因为四边形11ACC A 为正方形，所以11OM A C ⊥， 所以11AC ⊥平面1B MDO ，因为MD ⊂平面1B MDO ， 所以11AC DM ⊥，又因为平面11A DC ⊥平面111A B C ， 所以DM ⊥平面111A B C ，又因为平面//ABCD 平面111A B C ， 所以DM ⊥平面ABCD ，因为1//B M OD 且1B M OD =，所以1//B O DM ， 所以1B O ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，在RT△1B BO中，2222112(3)1 B O B B BO=-=-=，(1CD=-，3，0)，1(0CC=，3，1)，设平面1CDC的法向量为(m x=，y，)z，13030CD m x yCC m y z⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y=，(3m=，1，3)-，平面11A DC的法向量为(0n=，1，0)，所以平面1CDC与平面11A DC所成二面角的余弦值为||11||||717m nm n⋅==⋅⋅，故平面1CDC与平面11A DC所成二面角的正弦值为142177-=．6．如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAB⊥平面ABCD，//BC AD，90BAD∠=︒，244PA AD AB BC====，21PC=．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）线段AB上是否存在一点M，使得MC与平面PCD所成角的正弦值为221？若存在，请求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，90BAD ∠=︒，AD ∴⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，AD PA ∴⊥， 在直角梯形ABCD 中，244AB BC ==， 2222215AC AB BC ∴=+=+=，4PA =，21PC =，222PA AC PC ∴+=，即PA AC ⊥， 又ADAC A =，AD 、AC ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD ．（2）解：以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(0P ，0，4)，(2C ，1，0)，(0D ，4，0)，∴(2AB =，0，0)，(2PC =，1，4)-，(0PD =，4，4)-，设AM AB λ=，[0λ∈，1]，则(2M λ，0，0)∴(22MC λ=-，1，0)，设平面PCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则32x =，1z =，∴3(2n =，1，1)， MC 与平面PCD 221∴221|cos n =<，23(22)12|||||||||911(22)14n MC MC n MC λλ-+⋅>==⋅++⨯-+，化简得216810λλ-+=，解得14λ=， 故线段AB 上存在点M 满足题意，且14AM AB =． 7．如图，三棱柱111ABC A B C -所有棱长都相等，D 为BC 上的点，直线l 为平面1ADC 与平面111A B C 的交线，l ⊥平面11BB C C ． （1）证明：AD ⊥平面11BB C C ；（2）已知160B BC ∠=︒，求二面角1D AC C --的余弦值．【解答】（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，平面//ABC 平面111A B C ， 因为AD ⊂平面ABC ， 所以//AD 平面111A B C ，又因为AD ⊂平面1ADC ，平面1ADC ⋂平面111A B C l =， 所以//AD l ，又因为l ⊥平面11BB C C ， 所以AD ⊥平面11BB C C ；（2）解：由（1）可知，AD ⊥平面11BB C C ， 因为BC ⊂平面11BB C C ，所以AD BC ⊥， 因为AB AC =， 所以D 是BC 的中点，因为AD ⊂平面ABC ，AD ⊥平面11BB C C ， 所以ABC ⊥平面11BB C C ，连结1B D ，1B C ，在菱形11B BCC 中，因为160B BC ∠=︒， 所以△1B BC 是等边三角形， 因为D 是BC 的中点，所以1B D BC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11BB C C ，平面ABC ⋂平面11BB C C BC =，1B D ⊂平面11BB C C ， 所以1B D ⊥平面ABC ，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 不妨设三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2， 则(0D ，0，0)，(1C ，0，0)，1(0,3,0),(2,0,3)A C ， 则1(2,3,3),(0,3,0),(1,3,0)AC DA AC =-==-， 设平面1DAC 的法向量为(,,)m x y z =， 所以1233030AC m x y z DA m y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令3x =，则0y =，2z =-，故(3,0,2)m =-， 设平面1ACC 的法向量为(,,)n a b c =， 所以1233030n AC a b c n AC a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令3a =，则1b =，1c =-，故(3,1,1)n =-，||35|cos ,|||||75n m n m n m ⋅<>===⨯，因为二面角1D AC C --为锐二面角， 所以二面角1D AC C --的余弦值为35．8．如图，已知直三棱柱222ABC A B C -的底面为正三角形，侧棱长都为4，1A 、1B 、1C 分别在棱2AA 、2BB 、2CC 上，且121A A =，122B B =，123C C =，过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面．（1）证明：中截面DEFG 是梯形；（2）若直线11A C 与平面222A B C 所成的角为45︒，求平面111A B C 与平面222A B C 所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：由题意可知，2//AA 截面DEFG ，2AA ⊂平面22ACC A ，且平面22ACC A ⋂截面DEFG NF =，所以2//AA NF ，同理可证2//AA ME ，所以//ME NF ，即//DE GF ， 因为121A A =，122B B =，123C C =，所以四边形1221A A B B 和四边形1221A A C C 均是梯形，又M ，N ，分别为AB ，AC 的中点，所以D ，E ，F ，G 分别为11A B ，22A B ，22A C ，11A C 的中点，故DE ，GF 分别为梯形1221A A B B 和梯形1221A A C C 的中位线，故13(12)22DE =⨯+=，1(13)22GF =⨯+=，所以DE GF ≠，故中截面DEFG 是梯形；（2）解：因为直三棱柱222ABC A B C -的底面为正三角形， 所以222B F A C ⊥，FN ⊥平面222A B C ，以F 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设AB a =，则1113(0,,1),(0,,3),(,0,2)22a a A C B -，2223(0,,0),(,0,0),(0,,0)22a aA B C -，11(0,,2)A C a =，平面222A B C 的一个法向量为(0,0,1)m =，因为直线11A C 与平面222A B C 所成的角为45︒， 所以1111211||2|cos ,|2||||4A C m A C m A C m a ⋅<>===+，解得2a =，所以111(0,1,1),(3,0,2),(0,1,3)AB C -，故1111(3,1,1),(0,2,2)A B A C ==，设平面111A B C 的法向量为(,,)n x y z =，则有111130220n A B x y z n AC y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1y =，则0x =，1z =-，故(0,1,1)n =-，所以||12|cos ,|||||212m n m n m n ⋅<>===⨯， 故平面111A B C 与平面222A B C 所成锐二面角的大小为45︒．9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，23AB BD DA ===，2BC CD ==．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值为3，求平面PCD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：连接AC ，23AB BD DA===，2BC CD==，ABD∴∆为等边三角形，BCD∆为等腰三角形，AC BD∴⊥，PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，PA BD∴⊥，又AC PA A=，AC、PA⊂平面PAC，BD∴⊥平面PAC，BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．（2）解：以A为原点，AD，AP为y、z轴，在平面ABCD内，作Ax⊥面PAD，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0)PA a a=>，则(0P，0，)a，(3B 30)，(2C，230)，(0D ，230)，∴(2CD=-，0，0)，(1BC=-30)，(2PC=，23)a-，设平面PBC的法向量为(m x=，y，)z，则m BCm PC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即302230x yx y az⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，令1y=，则3x43z=，∴(3m=，143)，直线CD与平面PBC3，|cos CD∴<，2233||||||||43231()CD mmCD ma⋅->===⋅⨯++，解得2a=或2-（舍负），∴(2PC =，23，2)-，(3m =，1，23)， 同理可得，平面PCD 的法向量(0n =，1，3)， cos m ∴<，7||||831122m n n m n ⋅>===⋅++⨯， 故平面PCD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为78． 10．图1是由正方形ABCD ，Rt ABE ∆，Rt CDF ∆组成的一个平面图形，其中1AB AE DF ===，将其沿AB 、CD 折起使得点E 与点F 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面ABE 与平面ECD 的交线平行于底面ABCD ；（2）求二面角B EC D --的余弦值．【解答】（1）证明：因为//CD AB ，AB ⊂平面ABE ，CD ⊂/平面ABE ，所以//CD 平面ABE ， 因为CD ⊂平面ECD ，设平面ABE ⋂平面ECD l =，所以//l CD ， 因为l ⊂/平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//l 平面ABCD ，即平面ABE 与平面ECD 的交线平行底面ABCD ；（2）解：建立空间直角坐标系如图所示， 则3111),(1,,0),(1,,0),(0,,0)222E B C D -， 所以13(0,1,0),(1,,),(1,0,0)2BC EC DC ==-=， 设平面EBC 的法向量1(n x =，y ，)z ，平面ECD 的法向量为2(n a =，b ，)c ，则有1101302BC n y EC n x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，2213020EC n a b DC n a ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩， 令1z =，则3x ，令1c =，则3b 所以123(,0,1),(0,3,1)n n ==，所以1212127 cos,||||724n nn nn n⋅<>===⨯，所以二面角B EC D--的余弦值为7-．。

2021年上海市高考数学练习试卷(一)(附答案详解)

2021年上海市高考数学练习试卷(一)(附答案详解)

2021年上海市高考数学练习试卷（一）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.(2018·广西壮族自治区河池市·月考试卷)已知P={a⃗|a⃗=(1,0)+m(0,1)，m∈R}，Q={b⃗ |b⃗ =(1,1)+n(−1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=()A. {(1,1)}B. {(−1,1)}C. {(1,0)}D. {(0,1)}2.(2021·上海市·模拟题)已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n∈{0,1，2，3}，a n≠a n+1，a n=a n+3，则S100可能的不同取值的个数为()A. 4B. 6C. 8D. 123.(2021·上海市·模拟题)已知z1，z2∈C，且|z1−4i|=1，|z2−2√3|=|z2−2i|(i是虚数单位)，则|z1−z2|的最小值为()A. 4B. 3C. 2D. 14.(2021·上海市·模拟题)从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形M的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形N的顶点，对于命题：①M的面积可能大于N的面积；②N为直角三角形的概率是M为等腰三角形的概率的2倍．下列判断正确的是()A. ①②都正确B. ①正确，②错误C. ①②都错误D. ①错误，②正确二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）x的最小正5.(2014·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末考试)函数y=tanπ2周期为______ ．6.(2021·上海市·模拟题)写出一个解集为(0,2)的分式不等式______ ．7.(2014·安徽省滁州市·期末考试)双曲线x2−y2=1的焦点到其渐近线的距离为______ ．8.(2021·上海市·模拟题)已知向量a⃗=(2,0)，b⃗ =(−3,4)，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为______ ．9.(2021·上海市·模拟题)已知圆锥侧面展开图的圆心角2π，且侧面积为3π，则圆锥的3体积为______ ．10. (2021·上海市·模拟题)第14届国际数学教育大会将于7月在上海举办，大会一共进行8天.若有4位学者分别作个人大会报告，一天只能安排一个报告，且第一天和最后一天不安排报告，则不同的安排方案种数为______ (用数字作答)． 11. (2021·上海市·模拟题)若函数f(x)=x 2+a x 2−4x+5的反函数的图象关于点(1,2)对称，则a = ______ ．12. (2021·上海市·模拟题)在(x −√y −y 2)6的展开式中，x 2y 5的系数为______ ． 13. (2021·上海市·模拟题)设函数y =cos2x(x ≥0)和函数y =cos10x(x ≥0)的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，…，x n ，若tan(x 3−α)=cosx 4，则sin2α= ______ ．14. (2021·上海市·模拟题)设{a n }是集合{e s −e t |0<t <s ，且s ，t ∈N}(其中e 为自然对数的底数)中所有的数从小到大排成的数列，若lga 2m <10，则m 的最大值为______ ．15. (2021·上海市·模拟题)已知圆C 1：(x −5)2+y 2=16与抛物线Γ：y 2=2px(p >0)恰有两个公共点A 、B ，圆C 2与Γ恰有一个公共点P ，且圆C 2与x 轴相切于Γ的焦点，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 16. (2021·上海市·模拟题)将横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点.已知n ∈N ，将约束条件{x ⩾0x2+|y|3⩽n表示的平面区域内格点的个数记作S n ，若n →∞limS n −an 2n=b ，则ab =______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分） 17. (2021·上海市·模拟题)如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =CC 1=2，∠ABC =45° (1)证明：AC ⊥BC 1；(2)求二面角A −BC 1−C 的大小.(结果用反三角函数值表示)18. (2021·上海市·模拟题)已知a ∈N ∗，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(a,0)，B(−2,2)，C(−3,3).设△ABC 的外接圆为Γ． (1)若a =2，求Γ的标准方程； (2)求Γ面积最小时a 的值．19. (2021·上海市·模拟题)已知函数f(x)=2log a (x −n)−log a (2n −x)，其中a >0且a ≠1，n ∈Z ．(1)若n =6，求不等式f(x)>0的解集； (2)若存在x ∈Z 使f(x)>0，求n 的取值范围．20. (2021·上海市·模拟题)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2=1(a >1)与抛物线C 2：y 2=2px(p >0)在第一象限交于点Q(x Q ,y Q )，A ，B 分别为C 1的左、右顶点． (1)若x Q =1，且QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，求C 2的准线方程； (2)设点F(1,0)是C 1和C 2的一个共同焦点，过点F 的一条直线l 与C 1相交于C ，D 两点，与C 2相交于E ，F 两点，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若直线l 的斜率为1，求λ的值； (3)设直线QA ，直线QB 分别与直线x =a +1交于M ，N 两点，△QMN 与△QAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2的最小值为79，求点Q 的坐标．21. (2021·上海市·模拟题)已知n ∈N ∗，有穷数列{a n }满足a n ∈{1,2}，将所有项之和为n 的可能的不同数列{a n }的个数记为S n ． (1)求S 3，S 4；(2)已知a ，b ∈R ，若n ≥3时，总有S n −aS n−1=b(S n−1−aS n−2)，求出一组实数对(a,b)(3)求S n 关于n 的表达式．答案和解析1.【答案】A【知识点】交集及其运算【解析】解：由已知可求得P ={(1,m)}，Q ={(1−n,1+n)}， 再由交集的含义，有{1=1−n m =1+n ⇒{n =0m =1，所以选A ．先根据向量的线性运算化简集合P ，Q ，求集合的交集就是寻找这两个集合的公共元素，通过列方程组解得．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】D【知识点】数列的递推关系【解析】解：∵a n ∈{0,1，2，3}，a n ≠a n+1，a n =a n+3， ∴数列{a n }是以3为周期的数列，且a 1，a 2，a 3两两不同，从0，1，2，3四个数中取3个，对应a 1，a 2，a 3(其和a 1+a 2+a 3与a 1，a 2，a 3的顺序无关)共有C 43=4种方法，又100=33×3+1，前100项和与最后一位a 1的取值有关，故有3种情况，故S 100可能的不同取值的个数为3C 43=12个，故选：D ．依题意可知数列{a n }是以3为周期的数列，且a 1，a 2，a 3两两不同，且前100项和与最后一位a 1的取值有关，从而可得答案．本题考查数列递推式的应用，分析得到数列{a n }是以3为周期的数列，且a 1，a 2，a 3两两不同是关键，考查数学运算能力，属于中档题．3.【答案】C【知识点】复数的模【解析】解：设复数z 1对应的点为Z 1(x 1,y 1)， 因为|z 1−4i|=1表示点(x,y)到定点(0,4)的距离为1， 所以点Z 1的轨迹是以(0,4)为圆心，1为半径的圆， 设复数z 2对应的点为Z 2(x 2,y 2)，因为|z 2−2√3|=|z 2−2i|，化简可得√3x 2−y 2−2=0， 故点Z 2的轨迹为一条直线，|z 1−z 2|表示点Z 1与点Z 2的距离，即圆上的一点到直线的距离， 因为圆心(0,4)到直线√3x 2−y 2−2=0的距离为d =|−4−2|√(√3)2+12=3，所以|z 1−z 2|的最小值为d −1=3−1=2． 故选：C ．分别求出复数z 1，z 2对应的轨迹方程，然后将问题转化为圆上的点到直线上点的距离问题进行求解，即可得到答案．本题考查了模的几何意义的理解和应用，同时考查了直线与圆位置关系的运用，点到直线距离公式的运用，属于中档题．4.【答案】D【知识点】命题及其关系 【解析】解：对于①，因为M 的面积最大为12⋅QR ⋅PQ =1+√22，而N 的小最面积为12⋅22=2>1+√22，所以①错；对于②，在正八边形中，以P 为顶点的等腰三角形有3个，M 为等腰三角形共有24个， 所以M 为等腰三角形的概率为24C 83=37，在正方体中，N 不是直角三角形个数为8， 所以N 为直角三角形的概率为C 83−8C 83=67，所以②对． 故选：D ．①分别计算三角形面积，比较判断即可；②分别求出概率，比较判断． 本题以命题真假判断为载体，考查了概率计算问题，属于基础题．5.【答案】2【知识点】三角函数的图象和性质、正切函数的图象与性质【解析】解：y =tan π2x 的周期为T =ππ2=2，故答案为：2根据正切函数的周期性进行求解即可．本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础．6.【答案】xx−2<0【知识点】不等式求解【解析】解：一个解集为(0,2)的分式不等式可以是xx−2<0，故答案为：xx−2<0．由题意根据分式不等式的解法，得出结论．本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题．7.【答案】1【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：由题得：其焦点坐标为(−√2,0)，(√2,0).渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d=√2|√12+(±1)2=1．故答案为：1．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题主要考查双曲线的基本性质．在所有的双曲线中，实轴长和虚轴长相等的双曲线被称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x，离心率为√28.【答案】−65【知识点】向量的数量积【解析】解：∵a⃗=(2,0),b⃗ =(−3,4)，∴向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为：a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=−65=−65．故答案为：−65．根据向量a⃗,b⃗ 的坐标及向量投影的计算公式，即可求出a⃗在b⃗ 方向上的投影的值．本题考查了向量坐标的数量积运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】2√2π3【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征【解析】解：∵侧面展开图的圆心角为2π3，圆锥的侧面积为3π，则3π=12⋅2π3⋅l2，故圆锥的母线长l=3，圆锥的底面圆的周长为2π，故圆锥的底面半径r=1由l2=r2+ℎ2，可得ℎ=√9−1=2√2，故圆锥的体积V=13πr2ℎ=2√2π3，故答案为：2√2π3．根据扇形面积公式，可求出圆锥的母线，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式可得答案．本题考查的知识点是圆锥的体积公式，其中根据已知求出圆锥的母线、底面半径和高，是解答的关键，是中档题．10.【答案】360【知识点】排列、组合的综合应用【解析】解：根据题意，大会一共进行8天，第一天和最后一天不安排报告，只需在中间的6天中，任选4天，安排4位学者作报告即可，则有A64=360种安排方法，故答案为：360．根据题意，只需在中间的6天中，任选4天，安排4位学者作报告即可，由排列数公式计算可得答案．本题考查排列组合的应用，注意排列与组合的区别，属于基础题．11.【答案】−3【知识点】反函数【解析】解：由已知可得函数的定义域为R，所以由反函数的性质可得函数f(x)的图象关于点(2,1)对称，则f(2)=1，即22+a22−4×2+5=1，解得a=−3，故答案为：−3．由反函数的性质可得函数f(x)的图象关于点(2,1)对称，则f(2)=1，由此即可求解．本题考查了反函数的性质以及函数的对称性，考查了学生的推理能力，属于基础题．12.【答案】90【知识点】二项式定理【解析】解：∵x2y5=x⋅x⋅√y⋅√y⋅y2⋅y2，∴含有y2的项为C62x⋅x⋅C42(−√y)(−√y)⋅C22(−y2)(−y2)=15×6x2y5=90x2y5，即x2y5的系数为90，故答案为：90．根据多项式乘积的意义，利用直接组合的方法进行计算即可．本题主要考查二项式定理的应用，根据多项式乘积的应用，利用组合法是解决本题的关键，是基础题．13.【答案】35【知识点】二倍角公式及其应用【解析】解：因为cos2x=cos10x(x≥0)，则有10x=2x+2kπ或10x+2x=2nπ，k，n∈N，解得x=14kπ或x=nπ6，k，n∈N，又函数y=cos2x(x≥0)和函数y=cos10x(x≥0)的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，x n，所以x=0，π6,π4,π3,π2,2π3，…，故x3=π4，x4=π3，所以tan(x3−α)=cosx4，即tan(π4−α)=cosπ3，则1−tanα1+tanα=12，解得tanα=13，故sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=35．故答案为：35．利用余弦方程，解出x的值，然后得到x3=π4，x4=π3，代入tan(x3−α)=cosx4，利用正切的两角差公式求出tanα的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可．本题考查了三角函数的求值问题，涉及了三角方程的应用，两角和差公式以及二倍角公式，解题的关键是利用“1”的代换和“弦化切”进行变形，考查了转化化归与计算能力，属于中档题．14.【答案】138【知识点】数列的综合应用【解析】解：记{a n}中的项为a ts，当s=k(k∈N∗)时，t=0，1，2，⋯，k−1，其中t=0时，a n取最大值e k，当s=k+1时，t=0，1，2，⋯，k，其中t=k时，a n取最小值e k+1−e k，显然e k+1−e k>e k，即s=k时的所有项都小于s=k+1的任意一项，故{a n}从小到大排列顺序为a01，a12，a02，a23，a13，a03，⋯，由ln10≈2.303，得23<10ln10<23+ln(e−1)，∴e23<1010<(e−1)e23=e24−e23，又e23−e0为数列的第(1+2+⋯+23)=276项，∴e24−e23为数列的第277项，要使lga2m<10，即a2m<1010，∴2m≤276，m≤138，∴m的最大值为138．故答案为：138．先观察到s=k时的所有项都小于s=k+1的任意一项，然后计算得到e23<1010< (e−1)e23=e24−e23，可知2m≤276，即可得到结果．本题考查了指对数的大小比较，不等式的问题，考查了集合中元素的互异性，灵活程度很高，属于难题．15.【答案】−329【知识点】向量的数量积【解析】解：由题意，圆C1与抛物线Γ均关于x轴对称，则A 、B 关于x 轴对称，即x A =x B ，联立{(x −5)2+y 2=16y 2=2px，得x 2+(2p −10)x +9=0． 则关于x 的方程x 2+(2p −10)x +9=0有两相等实数解，则△=(2p −10)2−36=0，解得p =2或p =8，当p =2时，方程化为x 2−6x +9=0，解得x A =x B =3；当x =8时，方程化为x 2+6x +9=0，解得x A =x B =−3(舍去)．∴p =2，Γ：y 2=4x ，把x =3代入，可得A(3,2√3)，B(3,−2√3)，F(1,0)，设圆C 2的半径为r ，则C 2(1,r)，设P(x 0,y 0)，则有y 02=4x 0，由题意，圆C 2与抛物线相切于P 点，设P 点处抛物线的切线的斜率为k ，对y 2=4x 两边求导得，2yy′=4，∴y′=2y ，则k =2y 0， ∴切线方程为y −y 0=2y 0(x −x 0)， 设切线与x 轴的交点为D ，令y =0，得x =−y 022+x 0=−x 0，可得D(−x 0,0)， 又DP 与圆C 切于点P ，DF 与圆C 2切于点F ，∴|DP|=|DF|，∴√(2x 0)2+y 02=1+x 0，整理得3x 02+2x 0−1=0(x 0>0)， 解得x 0=13或x 0=−1(舍去)．∴P(13,2√33)或(13,−2√33)， 若P(13,2√33)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(83,4√33)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(83,−8√33)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =83×83+4√33×(−8√33)=−329；若P(13,−2√33)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(83,8√33)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(83,−4√33)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =83×83+8√33×(−4√33)=−329．综上所述，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−329． 故答案为：−329．联立圆C 1与抛物线方程，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式等于0求得p ，可得抛物线Γ的方程，求得抛物线焦点坐标，设圆C 2的半径为r ，则C 2(1,r)，设P(x 0,y 0)，则有y 02=4x 0，设圆C 2与抛物线相切于P 点，利用导数可得抛物线在切点处的切线方程，求出切线与x 轴的交点坐标，由|DP|=|DF|列式求得P 点坐标，分类求出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可求．本题考查圆与抛物线综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，难度较大．16.【答案】−32 【知识点】导数的基本概念 【解析】解：作出{x ⩾0x 2+|y|3⩽n 的可行域，如右图所示，考虑到x ，y 都是整数，则x 2∈{z 1,z 1+12}，z 1∈N ，y3∈{z 2,z 2+13,z 2+23}，z 2∈N ， 所以在直线x 2±y 3=n 上，考虑到n 为整数，则x 为2的倍数，y 为3的倍数．取x =2t ，代入x 2±y 3=n ，有y =±3(3n −3t)，即在直线x =2t 上一共有6n −6t +1个格点．则可行域中，共有(6n −6×1+1)+(6n −6×2+1)+⋯…+(6n −6n +1)=6n 2−6×n(n+1)2+n =3n 2−2n ，故S n =3n 2−2n ，又∵n →∞lim S n −an 2n =b ， ∴a =3，b =−2，即a b =−32，故答案为：−32．根据x 2±y 3≤n ，可知x 为2的倍数，y 为3的倍数，从而找到格点的坐标规律．本题考查了数列的定义、等差数列求和、曲线方程、转化与化归的思想，及提取有用信息的能力，属于难题． 17.【答案】(1)证明：因为AC =BC =CC 1=2，∠ABC =45°，所以AC ⊥BC ， 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1， 又因为BC ∩CC 1=C ，BC ，CC 1⊂平面BC 1C ，所以AC ⊥平面BC 1C ，又BC 1⊂平面BC 1C ，所以AC ⊥BC 1；(2)解：连结AC 1，取BC 1的中点O ，连结AO ，CO ，因为AC 1=√AC 2+CC 12=2√2，AB =√AC 2+BC 2=2√2，所以AB =AC 1，又CC 1=BC ，所以AO ⊥BC 1，CO ⊥BC 1，则∠AOC 即为二面角A −BC 1−C 的平面角，由(1)可知，AC ⊥平面BC 1C ，又CO ⊂面BC 1C ，所以AC ⊥CO ，在Rt △ACO 中，AO =√32×2√2=√6，AC =2， 所以sin∠AOC =AC AO=√6=√63， 所以∠AOC =arcsin √63，故二面角A −BC 1−C 的大小为arcsin √63．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)利用线面垂直的判定定理和性质定理进行证明即可；(2)利用二面角的定义找到二面角的平面角，然后在三角形中利用边角关系求解即可． 本题考查了线面垂直的判定定理的应用以及二面角的求解，本题运用了定义法求解二面角，解题的关键是利用定义找到二面角的平面角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵a =2∴A(2,0)，又∵B(−2,2)，C(−3,3)，∴AB 中点D(0,1)，BC 中点E(−52,52)，∴线段AB 的中垂线l 1：y =2x +1，线段BC 的中垂线l 2：y =x +5，∴{y =2x +1y =x +5得{x =4y =9 即圆心Γ(4,9)， 而BΓ=√(4+2)2+(9−2)2=√85，∴Γ的标准方程：(x −4)2+(y −9)2=85．(2)∵A(a,0)，B(−2,2)，∴AB 中点D(a−22,1)，∴线段AB 的中垂线l 1：y =a+22x −a 2−84，由(1)知线段BC 的中垂线l 2：y =x +5，∴{y =a+22x −a 2−84y =x +5 即{x =a 2+122a y =a 2+10a+122a即圆心Γ(a 2+122a ,a 2+10a+122a )， ∴半径BΓ2=(a 2+12)2+10a(a 2+12)+26a 22a 2， ∴S =12πBΓ2=π4[(a +12a )2+10(a +12a )+26]，而a +12a ≥4√3，当且仅当a =2√3时，等号成立，∵a ∈N ∗，∴当a =3时，a +12a 有最小值，此时S 最小．【知识点】圆的标准方程 【解析】(1)由三角形三个顶点坐标求其外接圆，应利用“三角形三边中垂线交点是其外接圆的圆心”来求解；(2)思路基本与第(1)问相同，在计算圆面积时利用基本不等式求最值．本题思路比较简单，就是利用“三角形三边中垂线交点是其外接圆的圆心”解题，在第(2)问最后化简的时候计算量略大，需要利用基本不等式．19.【答案】解：（1）函数f （x ）=2log a （x -n ）-log a （2n -x ），其中a ＞0且a ≠1，n ∈Z ， 若n =6，不等式f （x ）＞0，即2log a （x -6）-log a （12-x ）＞0，即2log a （x -6）＞log a （12-x ），∴当a ＞1时，（x -6）2＞（12-x ），且6＜x ＜12，解得8＜x ＜12，故不等式的解集为（8，12）；当0＜a ＜1时，（x -6）2＜（12-x ），且6＜x ＜12，解得6＜x ＜8，故不等式的解集为（6，8）．（2）因为存在x 0∈Z 使x 0∈（n ，2n ），故n ≥2或n ≤-2，存在x ∈Z 使f （x ）＞0，即log a （x -n ）2＞log a （2n -x ）能成立，当0＜a ＜1时，（x -n ）2＜2n -x ，即x 2+（1-2n ）x +n 2-2n ＜0有解，当a ＞1时，（x -n ）2＞2n -x ，即x 2+（1-2n ）x +n 2-2n ＞0有解，令h （x ）=x 2+（1-2n ）x +n 2-2n ，则存在x 1，x 2∈Z 且x 1，x 2∈（n ，2n ），所以h （x 1）＜0，h （x 2）＞0且△=（1-2n ）2-4（n 2-2n ）＞0，因为h （2n ）=n 2＞0， 则n ＞−14，故n ≥2，又h （n ）=-n ＜0，故h （x ）在（n ，2n ）中有唯一的零点t ， 则t =n +√4n +1−12，此时需要t -n ＞1，2n -t ＞1，解得n ＞52+√7，又n ∈Z ， 所以n 的取值范围为n ≥6且n ∈Z ．【知识点】基本初等函数【解析】（1）分0＜a ＜1和a ＞1两种情况，利用对数不等式的运算性质以及单调性进行分析求解即可；（2）分0＜a ＜1和a ＞1两种情况，分别研究x 2+（1-2n ）x +n 2-2n ＜0和x 2+（1-2n ）x +n 2-2n ＞0有解问题，即可得到答案．本题考查了对数不等式的解法，要注意对a 的范围的讨论，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可知A(a,0)，B(−a,0)，把x Q =1，可得y Q =√2p ，即Q(1,√2p)，把Q 点坐标代入椭圆方程可得1a 2+2p =1，①因为QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1,−√2p)⋅(−a −1,−√2p)=(a −1)(−a −1)+√2p ⋅√2p =−a 2+1+2p =−12，所以a 2−2p =32，②由①②，解得a 2=2，p =14，所以椭圆的方程为x 22+y 2=1，抛物线的方程为y 2=12x ，准线方程为x =−18；(2)根据题意直线l 的方程为y =x −1，因为点F(1,0)是C 1和C 2的一个共同焦点，所以p 2=1，即p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ，所以c =1，所以a 2=b 2+c 2=2，所以椭圆的方程为x 22+y 2=1， 联立{y =x −1x 22+y 2=1，得x =0或43， 所以|CD|=√2√(43)2−0=2√63， 联立{y =x −1y 2=12x ，解得x =2或x =12，所以|EF|=√1+12√(2+12)2−4×2×12=3√22，所以|EF||CD|=3√34， 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，所以λ=±3√34． (3)由A(−a,0)，Q(x Q ,y Q )，，M(a +1,y M )三点共线，可得y M 2a+1=y Q x Q +a ，即有y M =y Qx Q +a (2a +1)，同理可得，由B(a,0)，Q(x Q ,y Q )，，N(a +1,y N )三点共线，可得y N =y Q x Q −a ，则S 1=12y Q ⋅2a =ay Q ，S 2=12(a +1−x Q )|y M −y N |=12(a +1−x Q )⋅|2ayQ x Q 2−a 2|=a+1−x Qay Q， 所以S 1S 2=a+1−x Qa 2y Q 2=a+1−x Q a 2−x Q 2，令a +1−x Q =t(t >0)，即有x Q =a +1−t ， 则S 1S 2=ta 2−(a+1−t)2=12a+2−(t+2a+1t )，由t +2a+1t ≥2√2a +1，可得S 1S 2≥2a+2−2√2a+1=(√2a+1−1)2， 当且仅当t =√2a +1，S 1S 2取得最小值(√2a+1−1)2=79， 即t =√2a +1=1+3√77，a =914+3√77， 则x Q =a +1−√2a +1=914，y Q =√1−x Q 2a 2=√181196(914+3√77)=√7+3√73+2√7， 即有Q(914√7+3√73+2√7).【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(1)求得A ，B 的坐标，以及Q 的坐标，代入椭圆方程，结合向量数量积的坐标表示，解方程可得p ，a ，进而得到抛物线的方程和准线方程；(2)联立直线方程和椭圆方程、抛物线的方程，运用弦长公式，计算可得所求值；(3)由三点共线的条件，分别求得M ，N 的纵坐标，结合基本不等式和点满足椭圆方程，可得Q 的坐标．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于难题．21.【答案】解：(1)根据题意，符合条件的数列分别列举如下：符合S 3的数列有：{1,1，1}，{1,2}，{2,1}，所以S 3=3；符合S 4的数列有：{1,1，1，1}，{1,1，2}，{1,2，1}，{2,1，1}，{2,2}，所以S 4=5．(2)由分析可得：S n =S n−1+S n−2(n ≥3)，∴S n −aS n−1=b(S n−1−aS n−2)，可化简为S n =(b +a)S n−1−abS n−2，∴{a +b =1−ab =1⇒{a =√5+12b =−√5+12，或{a =−√5+12b =√5+12， 则由a ，b 组成的一组实数对为(√5+12,−√5+12).(3)由(2)可知，S n −√5+12S n−1=−√5+12(S n−1−√5+12S n−2)， 则数列{S n −√5+12S n−1}(n ≥3)是公比为−√5+12的等比数列，首项为S 3−√5+12S 2， ∴S n −√5+12S n−1=−√5+12⋅(S n−1−√5+12S n−2)=(−√5+12)2(S n−2−√5+12S n−3)=⋯…=(−√5+12)n−2⋅(S 2−√5+12S 1)， ∴S n =(−√5+12)n−2⋅(3−√52)+√5+12S n−1， 再利用斐波那契数列将S n−1化简，直到化为最简，∴S n =3−√52⋅√5[(1+√52)n−1−(1−√52)n ]．【知识点】数列的递推关系【解析】(1)结合又穷数列的定义，用列举法即可求得S 3，S 4的值；(2)根据题中条件求解得出S n 所满足的通项公式，即可求出实数对的值；(3)利用斐波那契数列求解结果． 本题属于新定义题，可根据定义进行求解，同时考查等比数列的性质，以及斐波那契数列在求解中的使用，属于难题．。

上海2021届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编7：立体几何

上海2021届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编7：立体几何

上海2021届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编7：立体几何姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =A . 1:1.B . 2:1.C . 3:2.D . 4:1. 2 ．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）正方体1111D C B A ABCD -的棱上．．到异面直线AB ,1CC 的距离相等的点的个数为.A 2. .B 3. .C 4. .D 5.3 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)关于直线,m 及平面α,β,下列命题中正确的是（ ）A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥C ．若,//,//ααm l 则m l //D ．若l m l ⊥,//α,则α⊥m二、填空题4 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________(结果保留π).5 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这个圆锥的母线长为_____________cm .6 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）设()z y x M,,为空间直角坐标系内一点,点M 在xOy 平面上的射影P 的极坐标为()θρ,(极坐标系以O 为极点,以x 轴为极轴),则我们称三元数组()z ,,θρ为点M 的柱面坐标.已知M 点的柱面坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-1,3,6π,则直线OM 与xOz 平面所成的角为____. 7 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）半径为r 的球的内接圆柱的最大侧面积为_____.8 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）如图:已知各顶点都在半球面上的正三棱锥S —ABC,若AB=a ,则该三棱锥的体积为__.9 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）已知,,A B C 是球面上三点,且4,90AB AC cm BAC ==∠=,若球心O 到平面ABC 的距离为22,则该球的表面积为__________3cm .10．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）将边长为2的正方形沿对角线AC 折起,以A ,B ,C ,D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于_____________.11．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为045,容器的高为10cm,制作该容器需要_______ cm 2的铁皮12．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)设函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ,则将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得 几何体的体积为____________.13．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）如图为一几何体的的展开图,其中ABCD 是边长为6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S,D,A,Q 及P,D,C,R 共线,沿图中虚线将它们折叠,使P,Q ,R,S 四点重合,则需要________个这样的几何体,就可以拼成一个棱长为12的正方体.cm10045题第)6(14．（2013年上海市高三七校联考（理））如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,Q ∈棱PA ,ACBD O =.有下列命题:①若Q 是PA 的中点,则//PC 平面BDQ ;②若PB PD =,则BD CQ ⊥; ③若PAC ∆是正三角形,则PO ⊥平面ABCD ;④若3PA PC PB PD ===，,60ABC ∠=,则四棱锥P ABCD -的体积为其中正确的命题是__________.15．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）一个圆锥的底面积为4π,且该圆锥的母线与底面所成的角为3π,则该圆锥的侧面积为_______________. 三、解答题16．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,已知111ABC A B C -是正三棱柱,它的底面边长和侧棱长都是2,D 为侧棱1CC 的中点.(1)求异面直线1A D 与BC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求直线11A B 到平面DAB 的距离.17．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））本题共有2小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,F E ,分别为CD B A ,11的中点. (1)求直线EC 与平面11BCC B 所成角的大小;DBCAB 1C 1A 1第21题图ODBCA P Q 第14题图(2)求二面角B AF E --的大小.18．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）本题满分16分,第1小题满分8分,第2小题满分8分和平面解析几何的观点相同,在空间中,空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹.在空间直角坐标系xyz O -中,空间曲面的方程是一个三元方程0),,(=z y x F . 设1F 、2F 为空间中的两个定点,02||21>=c F F ,我们将曲面Γ定义为满足a PF PF 2||||21=+)(c a >的动点P 的轨迹.(1)试建立一个适当的空间直角坐标系xyz O -,求曲面Γ的方程; (2)指出和证明曲面Γ的对称性,并画出曲面Γ的直观图.19．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分某粮仓是如图所示的多面体,多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面ABCD 是矩形,16=AB 米,4=AD 米,腰梁AE 、BF 、CF 、DE 分别与相交的底梁所成角均为60.(1)请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”,并说明理由; (2)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可储存多少立方米粮食?20．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分.已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱,高12AA = 求(1)异面直线BD 与1AB 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). (2)求1C BDC 点到平面的距离及直线111B D CDD C 与平面所成的角.ABDCA 1B 1C 1D 121．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）本大题共有2小题,第1小题6分,第2小题8分.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1(1)求直线DB 与平面11BCD A 所成角的大小;(2)求四棱锥11A BCD D -的体积.22．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,113A D =. (1)求该四棱柱的侧面积与体积;(2)若E 为线段1A D 的中点,求BE 与平面ABCD 所成角的大小.A BCDA 1B 1ED 1C 11ABD A 1B1第21题23．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）如图,⊥PA 平面ABCD ,矩形ABCD的边长1=AB ,2=BC ,E 为BC 的中点. (1)证明:DE PE ⊥;(2)如果2=PA ,求异面直线AE 与PD 所成的角的大小.EDCBAP24．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）长方体1111D C B A ABCD -中,底面ABCD 是正方形,1,21==AB AA ,E 是1DD 上的一点.⑴求异面直线AC 与D B 1所成的角;⑵若⊥D B 1平面ACE ,求三棱锥CDE A -的体积;25．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)如图:已知⊥AB 平面BCD ,CD BC ⊥,AD 与平面BCD 所成的角为︒30,且2==BC AB .(1)求AD 与平面ABC 所成角的大小;(2)求点B 到平面ACD 的距离.26．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）(本题满分12分;第(1)小题6分,第(2)小题6分)如图,已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上,AB 为圆O 的直径,2OA =,120AOP ∠=︒,三棱锥1A APB -的体积为338. (1)求圆柱1OO 的表面积;(2)求异面直线1A B 与OP 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)27．（2013届浦东二模卷理科题）本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分.如图,已知正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长是2,体积是16,,M N 分别是棱1BB 、11C B 的中点.(1)求直线MN 与平面11ACC A 所成的角(结果用反三角函数表示);(2)求过11,,C B A 的平面与该正四棱柱所截得的多面体111AC D ABCD -的体积.ABCDMNCC1D1B1A1BD28．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,2BAC π∠=,2AB AC ==,16AA =,点E F、分别在棱11AA CC 、上,且12AE C F ==. (1)求四棱锥B AEFC -的体积;(2)求BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值.解:A BC E C 1A 1B 1F上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编7：立体几何参考答案一、选择题 1. C 2. C ;3. B二、填空题 4. 12π 5. 176. 371013arcsin等 7. 22r π8. 123a9. 64π10.322; 11. π2100; 12.π 13. 24 14. ①②④ 15. 8π; 三、解答题16.本题共有2题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.解:(1)方法一:以11A B 中点O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系由题意得()()()()11,0,0,0,1,3,1,2,0,0,2,3A D B C -则()()11,1,3,1,0,3A D BC =-= 设θ为向量1A DBC 与的夹角,则()()222225cos 5(1)1313θ==-++⋅+EDBCAB 1C 1A 1异面直线1A D 与BC 所成角的大小为arccos 55方法二:取1B B 中点E ,连结1,A E DE .//DE CB1A DE ∴∠(或其补角)为异面直线1A D BC 与所成的角由题意得:在11Rt A B E ∆中,15A E ;在11Rt A C D ∆中,15A D =;在等腰三角形1A DE 中, 1152cos DEA DE A D ∠==所以异面直线1A D 与BC 所成角的大小为 5arccos(2)方法一:由题意可得11//A B ABD 平面,所以,11A B 到平面DAB 的距离即为1A 到平面DAB 的距离,设为h 设平面ABD 的法向量为n ,(),,1n x y =,zyxOA 1C 1B 1ACBD1222,2ABD S ∆=⋅⋅=由()(()1(1,0,0),1,2,0,,1,2,0A A D B -得()()(1200113AB AD A D =-=--=-，，，，，，,200000x x AB n x y y AD n ⎧-==⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+==⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩即()0,3,1n =所以10n A D h n+⋅===故直线11A B 到平面DAB方法二:由题意可得11//A B ABD 平面,所以,11A B 到平面DAB 的距离即为1A 到平面DAB 的距离,设为h 由题意得12A D AD BD AB ====, 等腰ADB ∆底边AB 2=, 12AAB S ∆=,则且D 到平面11ABB A , 由11A ABDD A AB V V --=得11133ABD A AB S h S ∆∆⋅⋅= ,则h =所以,直线11A B 到平面DAB17.本题共有2小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分 .(1)(理)解法一:建立坐标系平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ,)2,1,2(--=∴EC , 可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴d .设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ,与1n 所成角为ϕ,则31191cos sin 11=⨯=⋅==dn d n ϕθ31arcsin BCC B 11成角大小为与平面故EC【D 】19．(1)解法二:⊥1EB 平面11BCC B ,即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影,故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角,在C EB Rt 1∆中,22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC (2)解法一:建立坐标系.平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =,因为)0,1,2(-=,)2,1,0(= 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ,令1=x ,则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos 2121=++-=⋅=n n n n θ由图知二面角B AF E --为锐二面角,故其大小为66arccos.解法二:过E 作平面ABC 的垂线,垂足为E ',E EG '∠即为所求AB E ∈',过E '作AF 的垂线设垂足为G ,ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan .18.解:(1)如图,以两个定点1F ,2F 的中点为坐标原点O ,以1F ,2F 所在的直线为y 轴,以线段1F 2F 的垂直平分线为x 轴,以与xOy 平面垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系xyz O -, 设02||21>=c F F ,)(2||||21c a a PF PF >=+,),,(z y x Pa z c y x z c y x 2)()(222222=+-+++++∴,222222)(2)(z c y x a z c y x +-+-=+++∴两边平方,得cy a z c y x a -=+-+∴2222)(,两边平方,整理得122222222=-++-c a z a y c a x令b c a =-22,得1222222=++bz a y b x .①若点1F 、2F 在x 轴上,则方程为:2222221x y z a b b++=(2)对称性:由于点),,(z y x 关于坐标原点O 的对称点),,(z y x ---也满足方程①,说明曲面Γ关于坐标原点O 对称; 由于点),,(z y x 关于x 轴的对称点),,(z y x --也满足方程①,说明曲面Γ关于x 轴对称;同理,曲面Γ关于y 轴对称;关于z 轴对称. 由于点),,(z y x 关于xOy 平面的对称点),,(z y x -也满足方程①,说明曲面Γ关于xOy 平面对称;同理,曲面Γ关于xOz 平面对称;关于yOz 平面对称. 图略.19.解:(1)EF 与AD ,EF 与BC ,DE 与BF ,AE 与CF , 由已知,有AB EF //, AD AB ⊥ , .AD EF ⊥∴同理,有.BC EF ⊥过点E 作FB EK //交AB 点K ,则DEK ∠为异面直线DE 与FB 所成的角,4DE FB ==,o 2(4cos 60)4AK =⨯=,42DK =,o 90DEK ∴∠=,即DE BF ⊥,同理AE CF ⊥(2)过点E 分别作AB EM ⊥于点M ,CD EN ⊥于点N ,连接MN ,则AB ⊥平面EMN ,∴平面ABCD ⊥平面EMN ,过点E 作MN EO ⊥于点O ,则EO ⊥平面ABCD 由题意知,4===AD DE AE ,260cos 4=== DN AM ,32==EN EM ,∴O 为MN 中点,22EO ∴=AMND E -的高,同理,再过点F 作AB FP ⊥于点P ,CD ENFQ ⊥于点Q ,连接PQ ,原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱,且122216=--=MP111762=2+=22422+42212=323V V V ∴⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯多面体四棱锥直棱柱（）（） 答:该粮仓可储存17623立方米的粮食 20.解:⑴ 连1111,,,BD AB B D AD ,∵ 1111//,BD B D AB AD =,∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为11AB D ∠,记11AB D θ∠=,222111111110cos 210AB B D AD AB B D θ+-==⨯∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为10arccos 10⑵ 解法1:利用等体积11B CDC C BDC V V --=111133CDC BDC S BC S h ∆∆⋅=⋅ 求解得23h =(解法2:利用向量求解)11B DC ∠是直线111B D CDD C 与平面所成的角,在11B DC ∆中求解得115tan 5B DC ∠=所以直线111B D CDD C 与平面所成的角5arc tan521.解:(1)以D 为坐标原点,分别以射线DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则)0,0,0(D ,)0,1,1(B ,)0,1,0(C ,)1,0,0(1D)0,1,1(=DB ,)0,0,1(-=BC ,)1,1,0(1-=CD设),,(z y x n =是平面11BCD A 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01CD BC n ,即⎩⎨⎧=-=00y z x 令1=z ,则)1,1,0(=n 设直线DB 与平面11BCD A 所成角为θ,则21||||sin ==DB n DB n θ由于20πθ≤≤,所以6πθ=即直线DB 与平面11BCD A 所成角的大小为6π; (2)由(1)得)21,21,0(||0==n n n所以点D 到平面11BCD A 的距离22||0=⋅=DB n d 因为四边形11BCD A 是矩形,所以面积2=S31222313111=⨯⨯==-sh V A BCD D22. 【解析】⑴根据题意可得:在1Rt AA D ∆中,高13AA ==∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥,垂足为F ,连结BF ,则EF ⊥平面ABCD , ∵BE ⊂平面ABCD ,∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中,EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角∵1,EF AD AA AD ⊥⊥,∴1EF AA ∥,又E 是1A D 的中点,∴EF 是1AA D ∆的中位线, ∴11322EF AA == 在Rt AFB ∆中2222125BF AF AB =+=+=∴335tan 5210EBF ∠=÷= ∴35arctanEBF ∠= 23.DCBAP解:(1)连AE ,由1==BE AB ,得2=AE ,同理2=DE ,∴2224AD DE AE ==+,由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ,∴AE DE ⊥由⊥PA 平面ABCD ,得DE PA ⊥.由AE DE ⊥,DE PA ⊥A AE PA =⋂,得⊥DE 平面PAE .∴DE PE ⊥(2)取PA 的中点M ,AD 的中点N ,连MC 、NC 、MN 、AC . AE NC //,PD MN // ,∴MNC ∠的大小等于异面直线PD 与AE 所成的角或其补角的大小由2=PA ,1=AB ,2=BC , 得2==MN NC ,6=MC ,∴21222622cos -=⋅⋅-+=∠MNC ,32π=∠MNC . ∴异面直线PD 与AE 所成的角的大小为3π注:用向量解相应给分.24.以D 为原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系⑴依题意,)0 , 0 , 0(D ,)0 , 0 , 1(A ,)0 , 1 , 0(C ,)2 , 1 , 1(1B , 所以)0 , 1 , 1(-=,)2 , 1 , 1(1=DB所以01=•AC DB , 所以异面直线所成角为2π ⑵设) , 0 , 0(a E ,则) , 0 , 1(a AE -= 因为⊥D B 1平面ACE ,⊂AE 平面ACE ,所以AE D B ⊥1所以01=•AE DB ,所以021=+-a ,21=a 所以12112112131=⨯⨯⨯⨯=-CDE A V 25. (本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)解:(1)因为⊥AB 平面BCD ,所以CD AB ⊥,又CD BC ⊥,所以⊥CD 平面ABC , DAC ∠就是AD 与平面ABC 所成的角因为⊥AB 平面BCD ,AD 与平面BCD 所成的角为︒30,故︒=∠30ADB ,由2==BC AB ,得4=AD ,22=AC , 所以22cos ==∠AD AC DAC , 所以AD 与平面ABC 所成角的大小为︒45(2)设点B 到平面ACD 的距离为d ,由(1)可得32=BD ,22=CD ,则3246131=⋅⋅⋅=⋅=∆-AB CD BC AB S V BCD BCD A , d d CD AC d S V ACD ACD B 346131=⋅⋅⋅=⋅=∆- 由ACD B BCD A V V --=,得2=d .所以点B 到平面ACD 的距离为226.27.解:(1)连结1BC ,1//BC MN ,∴直线MN 与平面11ACC A 所成的角等于直线1BC 与平面11ACC A 所成的角.连结,BD BDAC O =,连结1C O ,1BC O ∴∠是直线1BC 与平面11ACC A 所成的角 1BC O ∆中,12,25BO C B ==111010sin arcsin 1010BC O BC O ∠=∴∠=. ∴直线MN 与平面11ACC A 所成的角等于10arcsin10(2)正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长是2,体积是16,14AA ∴=111118224323B A BC V -=⨯⨯⨯⨯=;11111111118401633A C D ABCD ABCD ABCD B A B C V V V ---∴=-=-=,∴多面体111AC D ABCD -的体积为40328. (理) [解](1)B AEFCV -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=(2)建立如图所示的直角坐标系,则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ,(2,0,2)EF =,(0,2,2)EB =-设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =,则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得, 所以(1,1,1)n =-平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =,则11cos 3n n n n θ⋅===⋅ 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值为3。

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2021年上海高考数学·立体几何习题一、考点分析1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩L底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★底面为矩形底面为正方形侧棱与底面边长相等2. 棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球球的性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；★②r=d、球的半径为R、截面的半径为r）★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2344,3S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径）俯视图1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈︒︒：解题步骤： 一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。

常用中位线平移法二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。

常需要证明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈︒︒：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）； 三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。

3求二面角的平面角[]0,θπ∈解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

二、典型例题1．_________________.第1题侧(左)视图 正(主)视图2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.第2题 第3题3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 .5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则 a .6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 .7.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm3俯视图1 12 a2020正视图 20侧视图1010 20俯视图8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_________m 3。

第7题第8题9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.图910.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为_____________.图1011. 如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_____________.图图11 图12 图1312. 如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________.223221俯视图正(主)视图侧(左)视图2322正视图俯视图俯视图侧视图正视图33413.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其表面积是_____________14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是_____________.图1415．一个棱锥的三视图如图图9-3-7，则该棱锥的全面积（单位：2cm）_____________.正视图左视图俯视图16．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.图16 图1717.如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为______________.18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为______________.图18俯视图正(主)视图侧(左)视图2322考点二 体积、表面积、距离、角注：1-6体积表面积 7-11 异面直线所成角 12-15线面角1. 将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________.2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________.3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为_______________. 4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的21，则它的体积是原来的______________. 5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 . 6.平行六面体1AC 的体积为30，则四面体11AB CD 的体积等于 .7．如图7，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11A D ，11C D 中点，求异面直线1AB 与EF 所成角的角______________.8. 如图8所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为_____________.第8题 第7题9.正方体''''ABCD A B C D -中,异面直线'CD 和'BC 所成的角的度数是_________________.10．如图9-1-3，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知13,AB BC BC CC ==，则异面直线1AA 与1BC 所成的角是_________，异面直线AB 与1CD 所成的角的度数是______________图1311. 如图9-1-4，在空间四边形ABCD 中，AC BD ⊥ AC BD =,,E F 分别是AB 、CD 的中点，则EF 与AC 所成角的大小为_____________.12. 正方体1AC 中，1AB 与平面11ABC D 所成的角为 .13．如图13在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正弦值为_______ 14. 如图9-3-6，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为________图9-3-6 图9-3-1 图715．如图9-3-1，已知ABC ∆为等腰直角三角形,P 为空间一点，且52,AC BC PC AC ==⊥，PC BC ⊥，5PC =，AB 的中点为M ，则PM 与平面ABC 所成的角为16．如图7，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为__________________.17.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是______________. 18．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3， 11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是_________________.19.已知点,,,A B C D 在同一个球面上，,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =213,AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是 .ACPA 1CBAB 1C 1D 1 DO20. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是_________________.21．△ABC 的顶点B 在平面a 内， A 、C 在a 的同一侧，AB 、BC 与a 所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC=24 ，AC=5，则AC 与a 所成的角为_________.22．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为_____________.23．已知点,,,A B C D 在同一个球面上，,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是 .24．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为25.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O表面积等于______.26．已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为323π，则正方体的棱长为_________. 27. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________.1. 正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点．(Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．2.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．AD 11A E CD 1ODB AC 1B 1A 1C3．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 和PC 的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：MN CD ⊥；（Ⅲ）若45PDA ∠=o，求证：MN ⊥平面PCD .4. 如图（1），ABCD 为非直角梯形，点E ，F 分别为上下底AB ，CD 上的动点，且EF CD ⊥。

现将梯形 AEFD 沿EF 折起，得到图（2）（1）若折起后形成的空间图形满足DF BC ⊥，求证：AD CF ⊥；（2）若折起后形成的空间图形满足,,,A B C D 四点共面，求证：//AB 平面DEC ；A B C D E F 图（1） E B CF D A 图（2） N MPD AP DA BC O M 5．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD,AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，N 为AE 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD (I) 证明平面AMD ⊥平面CDE ；(II) 证明//BN 平面CDE ；6．在四棱锥P －ABCD 中,侧面PCD 是正三角形,且与底面ABCD 垂直,已知菱形ABCD 中∠ADC ＝60°,M 是P A 的中点，O 是DC 中点.（1）求证：OM // 平面PCB ；（2）求证:P A ⊥CD ；（3）求证:平面P AB ⊥平面COM .A F EBCD M N7．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明P A //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD8.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长是3，侧棱长是3，点E ，F 分别在BB 1，DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ．(1)求证：A 1C ⊥面AEF ；(2)求二面角A-EF-B 的大小；(3)点B 1到面AEF 的距离.A C考点五异面直线所成的角，线面角，二面角1.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.求证：（1）平面P AC⊥平面PBD；（2）求PC与平面PBD所成的角；2.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 _____________.3．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是___________________.4. 若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________.5. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，,AB AC PA⊥⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点.（1）求证：AC PB⊥；（2）求证：PB//平面AEC；（3）若PA AB AC a===，求三棱锥E－ACD的体积；（4）求二面角E－AC－D的大小.1．已知直线l 、m 、平面α、β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：（1）α∥β，则l ⊥m （2）若l ⊥m ，则α∥β（3）若α⊥β，则l ∥m （4）若l ∥m ，则α⊥β其中正确的是__________________.2. m 、n 是空间两条不同直线，αβ、是空间两条不同平面，下面有四个命题： ①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥P P , ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒P P ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥P P ④,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥P P 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。

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