8-1-1 交通流参数的二项分布

k k n k 其计算公式也表示为： Pk Cn p (1 p) ,
n n 1 pq 1
n k nk p q k
k 1,2,, n
二项分布的图形
例2 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.
例3 某人进行射击, 设每次射击的命中率为 0.02,
独立射击 400 次, 试求至少击中两次的概 率.
解 设击中的次数为X ,
则 X ~ B(400,0.02).
X 的分布律为
400 P{ X k } (0.02)k (0.98)400 k , k 0,1,,400. k 因此 P { X 2} 1 P { X 0} P { X 1}
(1 p)2 p
(1 p)3 p
(1 p)4
1 将 p 代入得 2

0
1
2
3
4
pk
0 .5
0.25
0.125
0.0625
0.0625
2、常见离散型随机变量的概率分布 (1) 两点分布(伯努利分布） Bernoulli distribution
设随机变量 只可能取0与1两个值 , 它的概率分布 为 pk P{ k } pk q1k , k 0,1 1 0 pk 1 p p 则称 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为 ~b(1,p)
0-1分布的实例 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
0, 当 正面, ( ) 1, 当 反面. 随机变量 服从 (0-1) 分布.
其分布律为

pk
0 1 2
1 2
1
说明 两点分布是最简单的一种分布，任何一个只有两种 可能结果的随机现象，比如新生婴儿是男还是女、明天是 否下雨、种籽是否发芽等，都属于两点分布。
k k 令 c , 则击中目标的次数为 ： n n
X
0
5
1
2
5 2 0.6 0.43 2
3
4
5
pk
5 (0.4) 0.6 0.44 1
5 3 2 5 4 0.6 0.4 0.6 0.4 0.6 5 3 4
实例 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就
是 n重伯努利试验. 3) 二项概率公式
若 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数,
则 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n.
当 k (0 k n) 时,
(2) 二项分布 binomial distribution
1) 重复独立试验 重复 n 次观测随机变量 的取值，若各次观测的结果 互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各 次试验的结果，则称这 n 次试验是相互独立的，或称为 n 次重复独立试验。
2) n 重伯努利试验 设随机变量 只可能取0与1两个值 , 它的概率分布 为 pk P{ k } pk q1k , k 0,1 重复 n 次观测随机变量 的取值，若各次观测的结果 互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各 次试验的结果，则称这 n 次重复试验是相互独立的，称为 n 次重复独立试验，或n重伯努利实验。
（4）交通流参数分布的简单检验 : __ 根据观测样本计算 平均值 x 和方差 s 2 ： __ 2 • 当s / x 1时， 观测样本分布服从二项分布； __ 2 • 当s / x 1时， 观测样本分布服从负二项分布； __ 2 • 当s / x 1时， 观测样本分布服从泊松分布。
三、离散型随机变量的复习
（三）交通参数的分布：
1、离散型分布：
–服从离散型分布的交通参数：
• 交通量，描述“单位时间内到达的车辆数”； • 交通密度，描述“单位路段上分布的车辆数”。
–常用的离散型分布：
• 二项分布、负二项分布和泊松分布。
2、连续型分布:
–服从连续型分布的交通参数： –常用的离散型分布：
• 负指数分布。
• 车头时距，描述“相邻两辆车到达特定道路截面的时间间隔”。
即 A 在 n 次试验中发生了k 次.
A A A A A A ,
k次
n k 次
A A A A A A A A
k 1 次
n k 1 次

n 得 A 在 n 次试验中发生k 次的方式共有 种, k 且两两互不相容.
1、离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量 所有可能取的值为 xk ( k 1, 2, ), 取各个可能值的概率 , 即事件 { xk } 的概率, 为 P{ xk } pk , k 1, 2,

.
称此式为离散型随机变量 的概率分布(律)(列） .
说明 (1) pk 0, k 1,2,;
(四)交通参数的离散型分布：
（1）二项分布 • 适用条件：车流密度较大，车流较拥挤的情况。 （2）负二项分布 • 适用条件：车流变化大，调查时间包含了高峰合平峰车 流的情况；或统计单位时间短，交通量变化范围大的情 况。 （3）泊松分布 • 适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基本上不 存在，车流自由度较大的情况。
因此，当k<(n+1)p时，b(k;n,p)单增，当k>(n+1)p时， b(k;n,p)单减，而当k =(n+1)p时，b(k;n,p) 最大。但由于 取整的缘故，m=[(n+1)p],称m为二项分布最可能成功次 数.
例4 设每颗子弹打中飞机的概率为0.01，问在500发 子弹中打中飞机的最大可能次数是多少，其概率为多 少？
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
n k n k 记 q 1 p p (1 p) k
得 的分布律为 0 1
pk q
n
n k n k pq k
k n pn
称这样的分布为二项分布，记为： ~ B( k , n, p). n1 两点分布 二项分布
同理可求D， D npq
当m为已知时，还可计算下 列概率值：
k k 到达数小于k辆车的概率：P( xn k ) Cn p (1 p) n k i 0 k k 到达数大于k辆车的概率：P( xn k ) 1 P( xn k ) 1 Cn p (1 p) n k i 0 k k 1
1 (0.98)
400
400(0.02)(0.98) 0.9972.
399
4) 二项分布的递推公式
k k n k Pk Cn p q k 1 k 1 nk 1 Pk 1 Cn p q
(k 1)(1 p) /{ p * (n k )}
n! n! k n k k 1 n k 1 { p q } /{ p q } k! (n k )! (k 1)!(n k 1)!
则pk1 pk * p * (n k ) /{(k 1)(1 p)}
k k Pk Cn p (1 p) n k k 1 k 1 n k 1 Pk 1 Cn p (1 p)
k 1 1 p k!(n k )! n! p k 1 (1 p) n k 1 n k p (k 1)!(n k 1)!
6）用观测值去估计二项分布的总体均值与方差：
__
观测一组数据时，可用观测的样本均值和样本方差估计总体均值和
方差：
x np, s 2 npq
__ __ 2 __
__ 1 N 2 x , s ( x x ) i i N 1 i 1 i 1 2 N
解得，p 1 s 2 / x , n x /( x s 2 )
二、交通参数及其分布
（一）交通参数：
判断时间、停车视距；交通量、速度、密度；车头间距、 车头时距；车辆空间占有率、车辆时间占有率等。
（二）交通参数的变化：
•
•
人们的出行总是有目的的，出行的现象背后是一定的 生活规律，当影响出行的其它因素不变时，交通量表 现出一定的稳定性，其规律服从随机变量的分布规律。 以某一道路截面的行人或车辆的到达、行为为例，这 些行为具有随机性。
显然，最大可能次数为5, 经计算概率为0.1764。
小
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
结
两点分布
(1)两点分布
n1
二项分布
(2)二项分布
伯努利资料 Jacob Bernoulli
Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland
k
例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四 组信号灯,每组信号灯以 1 2的概率允许或禁止汽
车通过 .以 表示汽车首次停下时, 它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的), 求 的分布列.
解
设 p 为每组信号灯禁止汽车 通过的概率, 则有

0
1
2
3
4
pk p
(1 p ) p
( 2) pk 1.
k 1
数据来源：1）概率论-西北工业大学；2）线性代数与概率统计-北京师范大学珠海分校；3）概率论-石家庄经济 学院；4）概率统计-江西科技学院。
离散型随机变量的概率分布也可表示为：
x1 ~ p1
或：
x2 p2
x1 p1
xn pn
x2 xn p2 pn
第八章 交通流理论
第一节 交通流参数的统计分布 一、分析交通流参数分布的作用 二、交通参数及其分布 三、离散型分布的基础 四、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ通参数的二项分布
本节需要掌握：
一、概念：
1_交通流统计 分布的作用 2_交通参数 3_离散 及其分布 型分布 4_二项 分布
二、规律：
二项分布的应用：
三个推论：方差与均值之比；最有可能发生的次数； 假设检验。
一、分析交通流参数分布的作用
• 在建设或改善交通设施、确定新的交通管理方案 时，需要预测交通流特性：
① 规划道路时，需预测未来交通量，第30小时交通量； ② 信号灯配时设计时，需预测到达的车辆数，到达率、 排队论； ③ 设计行人设施时，需预测行人可以穿越的车头时距频 率，到达率； ④ 规划公交线路时，需预测未来乘客流量、到达率。
nk p Pk k 1 1 p 5）二项分布的均值与方差： 则Pk 1 2、均值和方差 M E ( x) kC p (1 p)
k 0 k n k n n nk
k
k 0
n
n! p k (1 p ) n k k!(n k )!
n n(n 1)! (n 1)! k 1 ( n 1) ( k 1) p (1 p ) p np p k 1 (1 p ) n k k 1 ( k 1)![(n 1) ( k 1)]! k 1 ( k 1)![(n 1) ( k 1)]! i i n 1i np Cn np( p q ) n 1 np; 1 p (1 p ) i 0 n 1


pk
简称分布列。
离散型随机变量的分布函数：
F ( x ) P{ x}
xi x
p P( x
k xi x
k
).
离散型随机变量分布列与分布函数的关系： 分布列
pk P{ xk }
F ( x ) P{ x }
分布函数
xk x
p( x )
1 式中， x N
__
对观测数据，若
当s 2 / x 1时，
__
适合用二项分布拟合观测数据。
7）二项分布的图形
概率会随着k的增加先递增，再递减，并在某处达到最 大。
b( k; n, p) ( n k 1) p ( n 1) p k 由于 1 , b( k 1, n, p) kq kq