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离散数学第一章数理逻辑
故命题可形式化为:(A∧B∧C) ↔ P
34
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例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
35
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
36
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
37
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
2020/6/30
10
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/30
11
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/30
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例 （解）
34
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例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
35
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
36
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
37
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
2020/6/30
10
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/30
11
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/30
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例 （解）
第六章-图的矩阵表示
e4 e2
v2 e3 v3
v5
v4
v1 M (G) v2
v3 v4 v5
e1 e2
1 1
1
0
0 1
0
0
0 0
e3 e4
0 1
1
0
1 0
0
1
0 0
实例1
例1 求下图的完全关联矩阵。
e1 e2 e3 e4 e5 e6 v1 1 1 0 0 1 1 v2 1 1 1 0 0 0 v3 0 0 1 1 0 1 v4 0 0 0 1 1 0 v5 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
0
0
1
0
1
1
0
4
0 0 0 0 0 1 1
0
0
0
0
0
1
1
() ()
1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0
6
0
0
1
1
1
0
0
0 0 0 1 0 0 1
0
0
0
1
0
0
1
(4) (5)
1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0
0
0
1
1
1
0
0 1
0 0
0 1
→
0 0
1 1
0 1
1 0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
v2 e2
v3
e1
e5
e3
e2 e5
离散数学PPT教学课件 数理逻辑ppt8
或者 ( x)( R(x, 或者 ( y)(P(x)∧Q(y)∧┐ y)(P(x)∧P(y)→ ┐ T(x,y)) y)) （ 1）兔子比乌龟跑得快；
( ( x)(P(x)∧( x) (y)(P(x)∧Q(y)→R(x, y)(Q(y)→R(x, y))) y)) （ 4 ）不存在跑得同样快的两只兔子。
2018/7/1 84-1
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例4.2.4 将下列命题符号化 ┐( ( x)( x) ( y)(P(x)∧Q(y)→R(x, y)) ┐ y)(P(x)∧P(y)∧T(x, y)) （2）有的兔子比所有乌龟跑得快； （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快；
2018/7/1 84-8
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4.3.2
自由变元和约束变元
定义4.3.4 给定一个合适公式G，若变元x出现在使 用变元的量词的辖域之内，则称变元x的出现为约束 出现(Bound Occurrence)，此时的变元x称为约束 变元(Bound Variable)。若x的出现不是约束出现， 则称它为自由出现 (Free Occurrence) ，此时的变 量词辖域的确定方法： 元x 称为自由变元(Free Variable)。 （1）若量词后有括号，则括号内的子公式就是 该量词的辖域； （2）若量词后无括号，则与量词邻接的子公式 为该量词的辖域。
2018/7/1 84-7
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例子
(x)(y)(P(x, y)→(Q(x, y)∨R(x, a, f(z))))，
(x)(P(x)∨(y)R(x, y))，
(x)(P(x) →R(x))。
等都是公式。 而 (x)P(x)→R(x)(y)， (y)(x)(∨P(x,y))。 等则不是公式。
第9章 图 电子科大离散数学内部教学课件
2. 设v∈V，用G-v表示从G中去掉结点v及v 关联的所有边得到的图，称为删除结点v 。又设VV，用G-V 表示从G中删除V 中所有结点及关联的所有边得到的图，称
为删除V。 2020/9/24
定义9.2.3（续）
3. 设e = (u, v)∈E，用G\e表示从G中删除e ，将e的两个端点u, v用一个新的结点w代 替，使w关联除e外的u和v关联的一切边 ，称为边e的收缩。一个图G可以收缩为 图H，是指H可以从G经过若干次边的收 缩而得到。
• （2）E是有限集合，称为边集(Frontier Set)。E中的每个元素都有V中的结点对与 之对应，称之为边(Edge)。
2020/9/24
与边相关的几个概念
• 定义9.2.1中的结点对即可以是无序的，也 可以是有序的。
• 若边e与无A序结点对(u,Dv)相对应，则称e为
无向边(UndirBected EdgeE)，记为e = (u, v) = (v, u)，这时称u、v是边e的两个端点(End
2020/9/24
例9.2.2 解
• G的图形如下图所示。
v3 e6
v5
v4
e4 e5
e2 e3
v2
e1
v1
• G中的e1、e3、e4、e6是无向边，e2、e5是 有向边。
2020/9/24
例9.2.3
• 设图G = <V, E>的图形如下图所示，试写 出G的集合表示。 1
2
4
5
3
• 分 解析图将G的所集有合小表圆示圈为的G记=号<构V,成E结> =点<集{1合, 2，, 3将, 连 4, 接5}，结{点<1对, 的1>直，线<1或, 2曲>，线用 (1,圆4)括，号(1括, 5起)，该(2结, 点 3)，对<表3示, 5无>，向<边4,，3>将，连<接4,结5>点}>对。的有向直线 或曲线用尖括号括起该结点对表示有向边， 2这020/9里/24 箭头指向的结点放在后面。
为删除V。 2020/9/24
定义9.2.3（续）
3. 设e = (u, v)∈E，用G\e表示从G中删除e ，将e的两个端点u, v用一个新的结点w代 替，使w关联除e外的u和v关联的一切边 ，称为边e的收缩。一个图G可以收缩为 图H，是指H可以从G经过若干次边的收 缩而得到。
• （2）E是有限集合，称为边集(Frontier Set)。E中的每个元素都有V中的结点对与 之对应，称之为边(Edge)。
2020/9/24
与边相关的几个概念
• 定义9.2.1中的结点对即可以是无序的，也 可以是有序的。
• 若边e与无A序结点对(u,Dv)相对应，则称e为
无向边(UndirBected EdgeE)，记为e = (u, v) = (v, u)，这时称u、v是边e的两个端点(End
2020/9/24
例9.2.2 解
• G的图形如下图所示。
v3 e6
v5
v4
e4 e5
e2 e3
v2
e1
v1
• G中的e1、e3、e4、e6是无向边，e2、e5是 有向边。
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例9.2.3
• 设图G = <V, E>的图形如下图所示，试写 出G的集合表示。 1
2
4
5
3
• 分 解析图将G的所集有合小表圆示圈为的G记=号<构V,成E结> =点<集{1合, 2，, 3将, 连 4, 接5}，结{点<1对, 的1>直，线<1或, 2曲>，线用 (1,圆4)括，号(1括, 5起)，该(2结, 点 3)，对<表3示, 5无>，向<边4,，3>将，连<接4,结5>点}>对。的有向直线 或曲线用尖括号括起该结点对表示有向边， 2这020/9里/24 箭头指向的结点放在后面。
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例2.2.4
由 Alice 、 Ben 、 Connie 、 Dolph 、 Egbert 和 Francisco六个人组成的委员会，要选出一个主席、 一个秘书和一个出纳员。 （1）共有多少种选法？ （2）若主席必须从Alice和Ben种选出，共有多少 种选法？ （3）若Egbert必须有职位，共有多少种选法？ （4）若Dolph和Francisco都有职位，共有多少种 选法？
2.2.1 乘法原理
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
n1×n2××nt
例2.2.2 Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前50个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病
3
1 离散概率 2 离散概念的计 算公式及性质
表2.2.1
开胃食品
种类
价格 (元)
玉米片 2.15 (Co)
色拉(Sa) 1.90
主食
饮料
种类 价格 种类 价格
汉堡(H) 3.25 茶水(T) 0.70
三明治 3.65 牛奶 0.85
(S)
(M)
鱼排(F) 3.15 可乐(C) 0.75
啤酒(B) 0.75
例2.3.1
从含3个不同元素的集合S中有序选取2个元素的排 列总数。 解 从含3个元素的不同集合S中有序选取2个元素 的排列总数为6种。 如果将这3个元素记为A、B和C，则6个排列为
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
离散数学实验第14章格与布尔代数
定理15.2.1（续）
对任意a, b, c∈L，因为(a*b)*c ≤ a*b ≤ b， (a*b)*c ≤ c，所以
(a*b)*c ≤ b*c
又因为(a*b)*c ≤ a*b ≤ a，于是有
(a*b)*c ≤ a*(b*c)
同样有，a*(b*c) ≤ (a*b)*c。故
(a*b)*c = a*(b*c)
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对偶格
对于集合L的任何偏序关系“ ≤ ”，其逆关系 “≥”也是集合L上的偏序关系； 对L的任意子集T，T在偏序集<L, ≤ >中的最大下 界和最小上界分别是<L, ≥>中的最小上界和最大 下界。 因此偏序集<L, ≤ >是格当且仅当<L, ≥>是格， 我们称此两个格为对偶格； 格<L, ≤ >的保联运算与保交运算分别是对偶格<L, ≥>的保交运算和保联运算。
（2）反对称性：a ≤ b且b ≤ aa = b
a≥b且b≥a a = b
（3）传递性：a ≤ b且b ≤ c a ≤ c；
a≥b且b≥ca≥c
（4）a*b ≤ a； ab≥a
（5）c ≤ a且c ≤ bc ≤ a*b；
c≥a且c≥bc≥ab
2020/12/22
28
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事实上，若有a∧b = a，则由吸收律 a∨b = (a∧b)∨b = b
反之，若a∨b = b，再由吸收律 a∧b = a∧(a∨b) = a
因此，a ≤ b a∧b = a a∨b = b。
2020/12/22
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离散数学PPT+课后答案第0章 引言 - 副本
➢ 学生作业要求：独立地完成作业，按时保质保 量交作业。
➢ 上课学习要求：积极思考问题，踊跃发言，配 合教师完成课堂内容。
➢ 课程考试要求：闭卷笔试。
2020/3/6
10-9
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程，双语示范课程
http://222.197.183.243/wlxt/ncourse/ lsxx/web/default.aspx
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离散数学
电子科技大学信息与软件工程学院
2020年3月6日星期五
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
离散数学的研究对象
离散数学是研究各种各样的 离散量的结构及离散量之间的关 系的一门学科，是计算机科学中 基础理论的核心课程。
第二,当今通过计算机运算的绝大多数课题，都是基于 若干离散对象之间的种种联系，即使是诸如求某一连续 函数的积分这样的问题，由计算机来处理时，仍然要将 连续函数做离散化处理，即所谓数值分析方法。
第三,计算机系统本身就是一个有限结构或有限离散结构。
10-4
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
▪ 作业15次（收作业：5次） ▪ 课堂测验3次（包括期中考试） ▪ 期末考试（平时作业占20％＋半期考试（含课堂
测试）10％＋期末考试70％）
2020/3/6
10-7
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
教材与参考书
教材：
离散数学及其应用（第2版） 傅彦,顾小丰,王庆先, 刘启和.高等教育出版社，2013.06 离散数学实验及习题解析. 傅彦,王丽杰,顾小丰,尚 明生.高等教育出版社,2007.11
➢ 上课学习要求：积极思考问题，踊跃发言，配 合教师完成课堂内容。
➢ 课程考试要求：闭卷笔试。
2020/3/6
10-9
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http://222.197.183.243/wlxt/ncourse/ lsxx/web/default.aspx
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离散数学
电子科技大学信息与软件工程学院
2020年3月6日星期五
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离散数学的研究对象
离散数学是研究各种各样的 离散量的结构及离散量之间的关 系的一门学科，是计算机科学中 基础理论的核心课程。
第二,当今通过计算机运算的绝大多数课题，都是基于 若干离散对象之间的种种联系，即使是诸如求某一连续 函数的积分这样的问题，由计算机来处理时，仍然要将 连续函数做离散化处理，即所谓数值分析方法。
第三,计算机系统本身就是一个有限结构或有限离散结构。
10-4
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▪ 作业15次（收作业：5次） ▪ 课堂测验3次（包括期中考试） ▪ 期末考试（平时作业占20％＋半期考试（含课堂
测试）10％＋期末考试70％）
2020/3/6
10-7
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教材与参考书
教材：
离散数学及其应用（第2版） 傅彦,顾小丰,王庆先, 刘启和.高等教育出版社，2013.06 离散数学实验及习题解析. 傅彦,王丽杰,顾小丰,尚 明生.高等教育出版社,2007.11
离散数学PPT教学课件 数理逻辑ppt8
2018/7/1
84-16
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例4.3.3（续）
（2）构造解释I2为
P(a) = 0，P(b) = 1，Q(a) = 0，Q(b) = 1，
则(P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))在此解释I2 下真值为1，(P(a)∨P(b))→(Q(a)∧Q(b))在此解 释I2下真值为0，即I2使得等价联结词前面的 (x)(P(x)→Q(x))为真，而使得等价联结词后面的 ((x)P(x)→(x)Q(x))为假，因此，这样的解释使 得公式(x)(P(x)→Q(x))((x)P(x)→(x)Q(x)) 的真值为假。
2018/7/1 84-8
电子科技大学离散数学课程组——国家级精品课定义4.3.4 给定一个合适公式G，若变元x出现在使 用变元的量词的辖域之内，则称变元x的出现为约束 出现(Bound Occurrence)，此时的变元x称为约束 变元(Bound Variable)。若x的出现不是约束出现， 则称它为自由出现 (Free Occurrence) ，此时的变 量词辖域的确定方法： 元x 称为自由变元(Free Variable)。 （1）若量词后有括号，则括号内的子公式就是 该量词的辖域； （2）若量词后无括号，则与量词邻接的子公式 为该量词的辖域。
规则2(自由变元的代入规则)：
（1）将公式中出现该自由变元的每一处都用新的个 体变元替换； （2）新变元不允许在原公式中以任何约束形式出现
2018/7/1 84-12
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例4.3.2
（1）将公式(x)(P(x)→Q(x, y))∧R(x, y)中的 约束变元x进行改名； （2）将公式(x)(P(x)→Q(x, y))∧R(x, y)中的 自由变元y进行代入。
电子科技大学离散数学课程组国家精品课程汇总
13
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
函数与关系的差别
函数是一种特殊的关系，它与一般关系比较具备 如下差别： 1) 从A到B的不同的关系有2|A||B|个；但从A到B的 不同的函数却仅有|B||A|个。 (个数差别) 2) 关系的第一个元素可以相同；函数的第一元素 一定是互不相同的。 (集合元素的第一个元素存在差别) 3) 每一个函数的基数都为|A|个(|f|=|A|)，但关 系的基数却为从零一直到|A|×|B|。 (集合基数的差别) 2018/9/25
2018/9/25
8
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例8.2.1 解
（1）在f1中，因为A中每个元素都有唯一的象和它对 应，所以f1是函数。其值域是A中每个元素的象的集 合，即ranf1={a,c,d}； （2）在f2中，因为元素2有两个不同的象a和d，与象 的唯一性矛盾，所以f2不是函数； （3）在f3中，因为A中每个元素都有唯一的象和它对 应，所以f3是函数。其值域是A中每个元素的象的集 合，即ranf3={a,b,c,d}； （4）在f4中，因为元素1没有象，所以f4不是函数。
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例8.2.2 解
显然，fp是一个函数。因为，任意一个特殊的输入 对应唯一的输出。 可用任意一个可能的输入集合A对应输出集合B而推 广到一般情形的程序。所以，通常把函数看做输入 －输出的关系。
2018/9/25
11
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14
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离散数学
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2020/10/26
9
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子半群和子含幺半群
将子代数应用于半群，可得下面的定义：
定义13.2.3 如果<S, >是半群，T是S的非空子集， 且运算“” 对T封闭，则称<T，>是半群<S, > 的子半群；
如果<S, , e>是含幺半群，T是S的非空子集， e∈T。且运算“”对T封闭，则称<T, , e>是含 幺半群<S, , e>的子含幺半群。
2020/10/26
5
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例13.2.2
设S是一个集合，P(S)是S的幂集合，试证明代 数系统<P(S), ∪> 与<P(S), ∩>都是可交换的含 幺半群。
分析 运算“∪”和“∩”显然满足交换律，因此 只需说明<P(S), ∪> 与<P(S), ∩>是半群，并计 算它们的幺元即可。
2020/10/26
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例13.2.4
设<S, >是含幺半群， M = {a | a∈S，x∈S 有ax = xa}， 则 <M, >是<S, >的子含幺半群。 分析 需证明两点：幺元存在，运算“” 封闭。 证明 (1) 设e是半群<S, >的幺元，则x∈S， 显然有
12.1 本章学习要求
重点掌握
一般掌握
1
1 半群、群、子
群及性质 2 元素的周期及计 算 3 生成元与循环群 4 陪集与拉氏定理
2
正规子群性质 与同态核
了解
图论 (2)
2013-7-10 143-7
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例9.2.12
求右图中所有结点的度数、出度 和入度，指出悬挂结点和为悬挂 边。 解 deg(v1) = 1，deg+(v
1)
v1 v4 v2
1)
v5
=
0，deg-(v
= 1
v3
deg(v2) = 4，deg+(v2) = 3，deg-(v2) = 1
2013-7-10
143-22
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例9.3.1
判 断 下 图 G1 中 的 回 路 v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3 、 v3e3v2e2v2e1v1e4v3 、v3e3v2e1v1e4v3 是否是简单回路、 基本回路？图G2 中的通路v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6 v5e8v4 、 v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4 、 v1e1v2e6v5e7v3e3v4 是否是简单通路、基本通路？并求其长度。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪 动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件 下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是 同构的。
2013-7-10 143-15
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两个图同构的必要条件
（1）结点数目相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本 小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向 图，否则，将加以说明或分开定义。
2013-7-10
143-20
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例9.2.12
求右图中所有结点的度数、出度 和入度，指出悬挂结点和为悬挂 边。 解 deg(v1) = 1，deg+(v
1)
v1 v4 v2
1)
v5
=
0，deg-(v
= 1
v3
deg(v2) = 4，deg+(v2) = 3，deg-(v2) = 1
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例9.3.1
判 断 下 图 G1 中 的 回 路 v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3 、 v3e3v2e2v2e1v1e4v3 、v3e3v2e1v1e4v3 是否是简单回路、 基本回路？图G2 中的通路v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6 v5e8v4 、 v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4 、 v1e1v2e6v5e7v3e3v4 是否是简单通路、基本通路？并求其长度。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪 动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件 下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是 同构的。
2013-7-10 143-15
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两个图同构的必要条件
（1）结点数目相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本 小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向 图，否则，将加以说明或分开定义。
2013-7-10
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2.2.1 乘法原理
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
n1×n2 × ×nt
2019/11/25
67-6
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例2.2.2 Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前50个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病
1.1 本章学习要求
重点掌握
1
1乘法原理和加 法原理 2排列组合的计 算 3利用容斥原理 计算有限集合的 交与并
2019/11/25
一般掌握
2
1 鸽笼原理 2 鸽笼原理的简 单应用 3 递归关系 4 递归关系的建 立和计算
了解
3
1 离散概率 2 离散概念的计 算公式及性质
67-4
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（1）共有多少种选法？
（2）若主席必须从Alice和Ben种选出，共有多少 种选法？
（3）若Egbert必须有职位，共有多少种选法？
（4）若Dolph和Francisco都有职位，共有多少种 选法？
2019/11/25
67-10
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例2.2.4 解
（1）根据乘法原理，可能的选法种数为6×5×4= 120；
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离散数学
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
n1×n2 × ×nt
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67-6
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例2.2.2 Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前50个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病
1.1 本章学习要求
重点掌握
1
1乘法原理和加 法原理 2排列组合的计 算 3利用容斥原理 计算有限集合的 交与并
2019/11/25
一般掌握
2
1 鸽笼原理 2 鸽笼原理的简 单应用 3 递归关系 4 递归关系的建 立和计算
了解
3
1 离散概率 2 离散概念的计 算公式及性质
67-4
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（1）共有多少种选法？
（2）若主席必须从Alice和Ben种选出，共有多少 种选法？
（3）若Egbert必须有职位，共有多少种选法？
（4）若Dolph和Francisco都有职位，共有多少种 选法？
2019/11/25
67-10
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例2.2.4 解
（1）根据乘法原理，可能的选法种数为6×5×4= 120；
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了解
3
1 离散概率 2 离散概念的计 算公式及性质
4
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表2.2.1
开胃食品
种类
价格 (元)
玉米片 2.15 (Co)
色拉(Sa) 1.90
主食
饮料
种类 价格 种类 价格
汉堡(H) 3.25 茶水(T) 0.70
三明治 3.65 牛奶(M) 0.85 (S)
鱼排(F) 3.15 可乐(C) 0.75
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例2.2.2 Melissa病毒
1990年，一种名叫Melissa的病毒利用侵吞系统资源的 方法来破坏计算机系统，通过以含恶意宏的字处理文 档为附件的电子邮件传播。当字处理文档被打开时， 宏从用户的地址本中找出前50个地址，并将病毒转发 给他们。用户接收到这些被转发的附件并将字处理文 档打开后，病毒会自动继续转发，不断往复扩散。病
2
排列与组合
3 容斥原理与鸽笼原理
4
离散概率
5
递归关系
2020/10/26
3
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2.1 本章学习要求
重点掌握
1
1乘法原理和加 法原理 2排列组合的计 算 3利用容斥原理 计算有限集合的 交与并
2020/10/26
一般掌握
2
1 鸽笼原理 2 鸽笼原理的简 单应用 3 递归关系 4 递归关系的建 立和计算
2020/10/26
9
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例2.2.4
由Alice、Ben、Connie、Dolph、Egbert和 Francisco六个人组成的委员会，要选出一个主席、 一个秘书和一个出纳员。
Байду номын сангаас
（1）共有多少种选法？
（2）若主席必须从Alice和Ben种选出，共有多少 种选法？
啤酒(B) 0.75
2020/10/26
5
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2.2.1 乘法原理
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
n1 n2 nt
2020/10/26
14
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例2.2.4 解(续)
（4）将给Dolph、Francisco和另一个人指定职位 分为3步：
给Dolph指定职位，有3个职位可选； 给Francisco指定职位，有2个职位可选； 确定最后一个职位的人选，有4个人选。 根据乘法原理，共有3×2×4 = 24种选法。
2020/10/26
15
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2.3 排列与组合
Zeke、Yung、Xeno和Wilma四个候选人竞选同一 职位。为了使选票上人名的次序不对投票者产生影 响，有必要将每一种可能的人名次序打印在选票上。 会有多少种不同的选票呢？ 从某个集合中有序的选取若干个元素的问题，称为 排列问题。
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2020年10月26日星期一
1
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第一篇 预备知识
第2章 计数问题
2020/10/26
2
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2.0 内容提要
1 乘法原理和加法原理
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例2.2.4 解(续)
(3)[法一] 将确定职位分为3步：确定Egbert 的职位,有3种方法；确定余下的较高职位人选, 有5个人选；确定最后一个职位的人选, 有4个 人选。根据乘法原理，共有3×5×4 = 60种选 法；
2020/10/26
13
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例2.2.4 解(续)
[法二] 根据(1)的结论，如果Egbert为主席，有20 种方法确定余下的职位；若Egbert为秘书，有20种 方法确定余下的职位；若Egbert为出纳员，也有20 种方法确定余下的职位。由于三种选法得到的集合 不相交，根据加法原理，共有
20＋20＋20 = 60种选法；
2020/10/26
（3）若Egbert必须有职位，共有多少种选法？
（4）若Dolph和Francisco都有职位，共有多少种
选法？
2020/10/26
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例2.2.4 解
（1）根据乘法原理，可能的选法种数为6×5×4= 120； （2）[法一] 根据题意，确定职位可分为3个步骤： 确定主席有2种选择；主席选定后，秘书有5个人选； 主席和秘书都选定后，出纳有4个人选。根据乘法 原理，可能的选法种数为2×5×4 = 40；
毒解非常根快据速M地el转is发sa邮病件毒，的将扩被散转原发理的，邮经件临过时四存次储转在发， 某共 50个有×磁50盘×上5，0×当5磁0+盘50占×满5后0×，5系0+统50将×会5死0+锁5甚0 至+1崩溃。 问= 经63过77四5次51转个发接，收共者有。多少个接收者？
2020/10/26
2020/10/26
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2.2.2 加法原理
假定X1, X2, …, Xt均为集合，第i个集合Xi有 ni个元素。如{X1, X2, …, Xt}为两两不相交的集 合，则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为：
n1 + n2 + … + nt。
即集合X1∪X2∪…∪Xt含有n1 + n2 + … + nt个元素。
7
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例2.2.3
在一幅数字图像中，若每个像素点用8位进行编码， 问每个点有多少种不同的取值。 分析 用8位进行编码可分为8个步骤：选择第一位， 选择第二位，… ，选择第八位。每一个位有两种 选择，故根据乘法原理，8位编码共有 2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256种取值。 解 每个点有256( = 28) 种不同的取值。
2020/10/26
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例2.2.4 解(续)
[法二] 若Alice被选为主席，共有5×4 = 20种方法确定其 他职位；若Ben为主席，同样有20种方法确定其他 职位。由于两种选法得到的集合不相交，所以根据 加法原理，共有20＋20 = 40种选法；
2020/10/26