《平行四边形判定》专题复习

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平行四边形的判定知识点小结

平行四边形的判定知识点小结一、平行四边形的判定方法。

1. 定义判定。

- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

- 用符号语言表示：如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。

这是平行四边形最基本的判定方法，它是从平行四边形的定义直接得出的。

2. 边的判定。

- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若AB = CD，AD = BC，则四边形ABCD是平行四边形。

- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若AB∥CD且AB = CD（或者AD∥BC且AD = BC），则四边形ABCD 是平行四边形。

3. 角的判定。

- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若∠A = ∠C，∠B = ∠D，则四边形ABCD是平行四边形。

4. 对角线的判定。

- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

- 符号语言：若OA = OC，OB = OD（其中O为对角线AC、BD的交点），则四边形ABCD是平行四边形。

二、平行四边形判定方法的证明思路。

1. 定义法证明。

- 一般通过已知条件中的平行关系，如角相等推出直线平行（同位角、内错角相等，两直线平行）等方法来证明两组对边分别平行。

- 例如：已知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，可推出AD∥BC，AB∥CD，从而证明四边形ABCD是平行四边形。

2. 边的判定证明。

- 对于两组对边分别相等的判定方法，通常利用三角形全等的知识来证明。

- 例如：连接AC，在△ABC和△CDA中，已知AB = CD，BC = DA，AC = CA（公共边），通过SSS（边 - 边 - 边）全等判定定理证明△ABC≌△CDA，进而得出∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，所以AD∥BC，AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形。

- 对于一组对边平行且相等的判定方法，可通过平移线段构造平行四边形或者利用三角形全等和平行线的判定来证明。

- 例如：已知AB∥CD且AB = CD，延长AB到E，使BE = CD，连接CE，可证明四边形BECD是平行四边形，从而得出BD∥CE，再结合已知条件证明四边形ABCD是平行四边形。

(完整)平行四边形的判定典型例题及练习

平行四边形一、知识点复习1、平行四边形的判定平行四边形的判定方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

④对角线相互平分的四边形是平行四边形。

2、平行线等分线段和三角形中位线定理（1）平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.（2）平行线等分线段定理的推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.（3）三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（4）三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

3、三角形的重心(1）重心的定义：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心.（2)重心的性质：三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。

二、典型例题讲解模块1:平行四边形的判定题型1：平行四边形的判定例题1：如图所示，在平行四边形ABCD 中,CF AE ,分别是DAB ∠，BCD ∠的平分线,求证：四边形AFCE 是平行四边形.例题2：如图，在等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点，以AD 为边向左侧作等边三角形ADE 。

（1）求CAE ∠的度数.（2）取AB 的中点F ,连接CF 、EF 。

试证明四边形CDEF 是平行四边形.例题3：如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，F E ,是BD 上的点，且DF BE =. 求证：四边形AECF 是平行四边形。

变式练习:1。

如图，在ABC ∆中，中线BD ，CE 相交于点O ,F 、G 分别是OB 、OC 的中点,连接DE GD FG EF ,,,，求证：四边形DEFG 是平行四边形。

2。

如图，已知DE AB //,DE AB =，DC AF =，求证：四边形BCEF 是平行四边形.3.如图,四边形ABCD 中,BC AD //，作DC AE //交BC 于E 。

平行四边形的性质及判定复习课教案

平行四边形的性质及判定复习课教案平行四边形的性质及判定复习课教案「篇一」一教学目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二重点、难点1．重点：平行四边形的判定方法及应用．2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．3．难点的突破方法：平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的．（1）平行四边形的判定方法1、2都是平行四边形性质的逆命题，它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明．（2）平行四边形有四种判定方法，与性质类似，可从边、对角线两方面进行记忆．要注意：①本教材没有把用角来作为判定的方法，教学中可以根据学生的情况作为补充；②本节课只介绍前两个判定方法．（3）教学中，我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形，使学生建立对平行四边形的直觉认识．并复习平行四边形的定义，建立新旧知识间的相互联系．接着提出问题：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？从而组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判别”的方法．然后利用学生手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件．在学生拼图的活动中，教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨，让学生在问题解决中，实现对平行四边形各种判别方法的掌握，并发展了学生说理及简单推理的能力．（4）从本节开始，就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明．应该对学生提出这个要求．（5）平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如，求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．（6）平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容，要使学生熟练地掌握这些知识．三例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的'一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

初中数学教学课例《课题平行四边形的判定专题复习教学设计》课程思政核心素养教学设计及总结反思

2.复习回顾:多媒体展示、特殊多边形的自制教具使用。
3.讨论探究（15 分钟）设疑、提出问题 4.总结方法：设计问题得出解决关于多边形证明过程的方法一、课前导入：回顾旧知（10 分钟） 1、前面能我们学习了平行四边形这一章，大家还记得我们是从哪些方面去研究平行四边形吗？是不是有很多的证明题？证明题大家觉得难不难？其实在平行四边形的证明过程中也便不是没有规律可循，这节课能就让我们一起来探索证明题的一些基教学过程本规律。 2、呈现课题。 3、呈现教学目标： (1).理解掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义和判定； (2).结合三角形全等、中线、中位线，运用其相关
于点 M，若 MA=MC。（1）求证：四边形 ADCN 是平行四边形。（2）请添加一个条件，使得平行四边形是矩形。（3）MA=MC 这个条件还有哪些表述方法？
例 2、已知：如图，D 是△ABC 的边 AB 上一点， CN∥AB，DN 交 AC 于点 M，若 MA=MC，∠BAN=90°，
求证：四边形 ADCN 是矩形。分析：结合上一个题，要证明四边形四边形 ADCN 是矩形，我们可以先证明四边形 ADCN 是平行四边形，再证明它是矩形，要证明四边形是平行四边形，已知： CN∥AD,如果 CNAD,如何证明？（答题展示）
知识进行证明。 (3).感受数学思维过程的条理性和解决问题策略
的多样性。（我们根据具体的问题去分析学习，不要觉得很
难……） 4、回平行四边形的定义。（第十八章平行四边形关于判定的定义多不多？） 2、观看短视频，对平行四边形的判定作整体回顾。
（5 分钟）二、讨论探究、探索运用（10 分钟） 1、讨论探究：谈论完成导学案（教师引导）例 1、如图，在四边形 ADCN 中，CN∥AD，DN 交 AC

平行四边形判定复习

迷你音箱
６.如图, MN 为△ABC 的中位线,若 ∠ABC =61°则∠AMN =61° , 若MN =12 ,则BC = 24 .
A M B
卡西欧数码相机
N
C
大显身手
７如图,在四边形ABCD中，AD∥BC,OＥ=O
Ｆ,OA=OC. 求证:四边形ABCD是平行四边形
D A
E
Hale Waihona Puke O F BC８、已知：AD为△ABC的角平分线，DE∥AB ，在AB上截取BF＝AE。求证：EF＝BD
6分钟后，比谁能正确地完成练习题。
检
测
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学案练习1－８题
小试牛刀
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
1.在 ABCD中，EF∥BC，GH ∥CD ，圣诞帽 EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ c ）
对角线互相平分的四边形是平行四边形
４、下面给出了四边形ABCD中，∠A、 ∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是Ｃ（）Ａ１:２:３:４Ｂ２：２：３：３Ｃ２：３：２：３Ｄ２：３：３:２
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
５.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行四边形的是( ) D (A)两组对边分别相等 (B)两条对角线互相平分 (C)两组对角分别相等 (D)一组对边平行，另一组对边相等
E B H C
A、7个
B、8个
Ｏ
F
C、9个
D、11个
A
G

人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义

辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。

平行四边形的性质和判定复习

ＧＡＦ
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
练习
如图, 如图,在 ABCD中，Ｅ，Ｆ是 D,BC上的点 ABCD中，Ｅ，Ｆ是ＡD,BC上的点, 上的点, 且AE=CF.AF,BE交于点G,DF,CE交于点H.图中除 AE=CF.AF,BE交于点G,DF,CE交于点H.图中除交于点G,DF,CE交于点H. ABCD外还有几个平行四边形? ABCD外,还有几个平行四边形?
2 5 (A) 11
(C) 15 4 7
36 (B) 13
(D) 17 B 5 8
5
2 O2 5
F
C
再展雄姿
7. 如图：平行四边形如图：平行四边形ABCD中, 中 AC、BD相交于点相交于点O, AB=8, 、相交于点则以下列两条线段长为对角线的长, 则以下列两条线段长为对角线的长 AC=12, BD=20.则△AOB的周长为 24 则的周长为能组成平行四边形的是( 能组成平行四边形的是 D ) , △AOB的面积为 24 的面积为 A A. 4, 12 B. 6, 8 3 4 2 6 ABCD的面积为 96 . 8 的面积为 46 O 13 10 C. 8, 26 D. 12, 20 B C
A
D
初露锋芒
5.如图在△ABC中, AB = AC = 8, 如图: 如图中于点E, 点D 在BC上, DE∥AC交AB于点上 ∥ 交于点 DF∥AB交AC于F, ∥ 交于 A . 则DE＋DF = 8 ＋
E B
1
F C D
再展雄姿
6. 如图在 ABCD中, 对角线、BD 如图:在中对角线AC、交于点O, EF过O交AD于E，交BC于F，交于点过交于，于， AB=5， BC=6， OE=2，则四边形，，，则图中共有( B 对全等三角形对全等三角形. 则图中共有 C )对全等三角形 EFCD的周长是 ( C ) 的周长是 E A D

(打印)平行四边形的判定复习

第一节平行四边形的判定的基本概念一、知识回顾1.平行四边形与特殊的平行四边形的关系：2.平行四边形与特殊的平行四边形的性质与判定：二、基础练习类型一、平行四边形的性质与判定例1.如图，ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，①求证：AECF 也是平行四边形；②连接BD ，分别交CE 、AF 于G 、H ，求证：BG =DH ；③连接CH 、AG ，则AGCH 也是平行四边形吗？AB CDFGH例2. 如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若∠EAF ＝60 o ，CE =3cm ，FC =1cm ，求AB 、BC 的长及ABCD 面积.60oABCDEF类型二、矩形、菱形的性质与判定例3. 如图，在矩形ABCD 中，对角线交于点O ，DE 平分∠ADC ，∠AOB ＝60°，则∠COE ＝．ABCDEO例4. 如图，矩形ABCD 中的长AB ＝8cm ，宽AD ＝5cm ，沿过BD 的中点O 的直线对折，使B 与D 点重合，求证：BEDF 为菱形，并求折痕EF 的长．OFEDCBA类型三、正方形的性质与判定例6. 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若∠EAF =50°，则∠CME +∠CNF = ．FEDCBAMN类型四、与三角形中位线定理相关的问题例7. 如图，BD =AC ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，AC 、BD 交于E ，MN 与BD 、AC 分别交于点F 、G ，求证：EF =EG .NM G F E DC BA类型五、梯形、等腰梯形、直角梯形的相关问题例8. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，则你可得到哪些结论？4321FEDC BA例9. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD =CD ，AB ＜CD ，且∠ABC 为锐角，若AD =4，BC =12，E 为BC 上一点.问：当CE 分别为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？请说明理由.ABCDE。

平行四边形的性质与判定复习课

四边形GEHF是平行四边形吗？
A
F
D
G
OH
B
EC
4. ABCD中,E、F分别是 AB、CD上的点,AE=CF,M、N 分别是DE、BF的中点.求证: 四边形ENFM是平行四边形.
D FC MN AE B
5.已知:AD为△ABC的角平分线，DE∥AB ，在AB上截取BF＝AE。求证:EF＝BD.
114360 O
C
例1、已知：如图，在□ABCD中，点E,F在对
角线AC上,且OE=OF.求证：四边形BFDE是平
行四边形．
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OB=OD
又∵ OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
变式1、已知：如图，在□ABCD中，点E,F在对
角线AC上, 且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形
拓展提高
在□ABCD中，已知两条对角线相交于点O，E、 F、G、H分别是AO、CO、BO、DO的上点，且 AE=CF,BG=DH,以图中的点为顶点，最多可以画出几个平行四边形？
探索规律
E
A
E
D
D
C
A
B
F
B A
F
E
C
证明:在 ABCD中,
D
AD ∥= BC
∵E、F∵分B别F 是= ADDE、BC的中点
FC
达标
• 1、平行四边形的周长为36cm，相邻两边的比为1:2，则它的两邻边长分别是
____________
• 2、在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、
CD三条边的长度分别为(x+3)，(x-4)和16，
则这个四边形的周长是
。
达标

平行四边形判定,题型归纳(较难)

对角线取值范围问题（同三角形第三边中线取值范围）平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为( ) A．4<a<16 B．14<a<26 C．12<a<20 D．8<a<32平行四边形的判定：1：定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形4：对角线相互平分的四边形是平行四边形14.平行四边形的判定（一）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题1：如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC．过点A作AE⊥BC于点E；过点C作CF∥AE，交AD于点F；求证：四边形AECF为平行四边形练习：1、已知：如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE，连接ED并延长到F，使得EF=EC，连接AF、CF、BE．（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；证明：（1）∵△ABC为等边三角形，且AE=AD，∴由题可知∠AED=∠ADE=∠EAD=60°∴EF∥BC，又∵EC=EF，∴△ECF为等边三角形，即∠EFC=∠EDB=60°，∴CF∥BD∴四边形BCFD为平行四边形．2、如图：平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM相交于点Q。

试说明PQ与MN互相平分。

3、如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形．15.平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题1：如图，在ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G。

求证：AF＝DF【答案】解：（1）证明：如图1，连接BD、AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD。

平行四边形性质与判定复习

A、B两点被一块沼泽地隔开，不能直接测量它们之间的距离，测量员在一旁选了一点 C,连接AC和BC，测量员能测出A、B两点间的实际距离吗？请说明理由.
A
C.
B
学习目标
1、通过复习进一步掌握平行四边形的性质和判定 2、会运用平行四边形的性质和判定解决实际问题 3、通过归纳总结，提高分析问题和解决问题的能力
解决问题广场上有一个形状是平行四边形的花坛（如图EF∥AB，GH∥AD，BD经过GH、EF的交点M），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．下列说法中错误的是（）
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等
延伸迁移
A
P
D
P、Q两人沿四边形ABCD 道路晨练。如图， AD∥BC，
AD=240米，BC=270米，
B
Q
C
P从点A沿AD边向点D以1m/s的速度行走，
Q从点C沿CB边向点B以3m/s的速度跑步。
P、Q两人分别从A、C两点同时出发多少时间时，四边形PQCD(P，Q两人所在的位置为P、Q点)是平行四边形？
3、如图， ABCD的对角线AC、BD长度之和为
20cm,若△OAD的周长为17cΒιβλιοθήκη ，则AD=__7__cmD
C
平行四边形的对角线互相平分
O
A
B
4、下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（D ）
A、∠A=∠C，∠B=∠D B、AD=BC,AB=CD C、∠A+∠B=1800 ，∠B+∠C=1800 D、∠A+∠B=1800 ，∠C+∠D=1800

平行四边形的判定复习课

经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过
义务教育课程标准实验教科书
八年级下册
数学
SHU XUE
中川中心学校
侯建昌
19.1.2平行四边形的判定
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
A D
如果
B
A C ABCD
D
A B O
D C
小锋提议：我们可以度量它的角，如果它的两组对角分别相等，那么它就是一个平行四边形。已知：四边形ABCD,
A D
∠A=∠C，∠B=∠D
求证：四边形ABCD是平行四边形
B C
∠A+ ∠B +∠C+ ∠D =360 ° ∠A+ ∠D=180 ° ∠A+ ∠B=180 °
AB∥CD AD∥BC
ABCD
D
平行四边形判定
平行四边形的判定定理2：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
A B C
D
∵ ∠A=∠C, ∠B=∠D （已知） ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形。）
小丽却说：“我可以不用任何作图工具，只要两条细绳就能判断它是不是平行四边形。” 只见小丽用两条细绳做四边形的对角线，并在两条对角线的交点处作了个记号。然后分别把两条对角线沿记号点对折，发现它们被记号点分成的两段线段都能重合，小丽高兴地说： “这的确是个平行四边形！”
开心一练:
1.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行四边形的是( C ) (A)两组对边分别相等 (B)两条对角线互相平分 (C)两条对角线相等 (D)两组对边分别平行

专题25平行四边形的判定定理-重难点题型

专题4.3 平行四边形的判定定理-重难点题型【知识点1 平行四边形的判定】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．【题型1 平行四边形的判定条件】【例1】（2021春•玄武区期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCBC．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC D．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD【变式1-1】（2021春•驿城区期末）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC，②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC，④OA＝OC，OB＝OD，⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-2】（2021春•凤翔县期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．给出下列四组条件：①AB ∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【变式1-3】（2021春•宜兴市月考）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④AO＝CO，BO＝DO．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．4组B．3组C．2组D．1组【题型2 平行四边形的判定与坐标】【例2】（2021春•江油市期末）如图，△OAB的顶点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），下列点M中，O、A、B、M为顶点的四边形不是平行四边形的是（）A ．（1，﹣1）B ．（2，﹣1）C ．（﹣2，1）D ．（4，1）【变式2-1】（2021春•石狮市期末）在平面直角坐标系中，已知点A （0，0）、B （2，2）、C （3，0），若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标不可能为（）A ．（﹣1，2）B ．（5，2）C ．（1，﹣2）D ．（2，﹣2）【变式2-2】（2020春•彭州市期末）如图，Rt △OAB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，A （﹣2，0），B （0，4），将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到△OCD ，直线AC 、BD 交于点E ．点M 为直线BD 上的动点，点N 为x 轴上的点，若以A ，C ，M ，N 四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M 的坐标为．【变式2-3】（2021春•开封期末）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 的正半轴上，且OB ＝2OC ，在直角坐标平面内确定点D ，使得以点D 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D 的坐标为．【题型3 平行四边形的判定与动点】【例3】（2021春•阳谷县期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＜BC ，BC ＝6cm ，动点P ，Q 分别从点D ，B 同时出发，点P 以1cm /s 的速度向点A 运动，点Q 以2cm /s 的速度向点C 运动，几秒后四边形CDPQ 是平行四边形（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【变式3-1】（2021秋•芝罘区期末）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝8cm ，BC ＝12cm ，M 是BC 上一点，且BM ＝9cm ，点E 从点A 出发以1cm /s 的速度向点D 运动，点F 从点C 出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t （s ），则当以A 、M 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，t 的值是（）A ．34B ．3C ．3或32D ．32或34 【变式3-2】（2021春•抚州期末）在平面直角坐标系中，已知点A （4，0），点B （﹣3，2），点C （0，2），点P 从点B 出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC 运动，点Q 从点A 出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O 运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA 运动，若P ，Q 两点同时出发，设运动时间为t 秒，则当t＝时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．【变式3-3】（2021春•惠来县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M 从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）线段AD＝cm；（2）求证：PB＝PQ；（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？【题型4 平行四边形的判定与证明】【例4】（2021•郓城县模拟）如图，F、C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF＝DC，连结AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形．【变式4-1】（2021春•西安期末）如图，在△AFC中，∠F AC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式4-2】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F，已知OE＝OF，且AO+AE＝CO+CF，求证：四边形ABCD为平行四边形．【变式4-3】（2020春•长宁区期末）已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC 交AC于点F，联结BE．求证：四边形BEFC为平行四边形．【题型5 二次证明平行四边形】【例5】如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，M、N分别为ED、FB的中点，试说明四边形ENFM为平行四边形．【变式5-1】如图，O为四边形ABCD的对角线BD的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF，AE∥CF，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式5-2】如图，E、F是△ABC的边AB、BC边的中点，在AC上取G、H两点，使AG＝GH＝HC，连接EG、FH并延长交于点D求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式5-3】如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上两点，DF＝BE，AE∥CF，AE＝CF．求证：四边形ABCD 是平行四边形．【题型6 平行四边形的判定与性质综合】【例6】（2021春•西湖区校级月考）如图，已知△ABC为等边三角形，动点P在△ABC内，以PB，PC为边向外作等边三角形△PBD，△PCE．（1）若PB＝8，PC＝6，BC＝10，①求证：四边形PEAD是平行四边形；②求出四边形PEAD的面积；（2）随着点P在△ABC所在平面上运动时，当△PBC满足什么条件时，平行四边形PEAD一定存在？（直接写出答案）【变式6-1】（2021秋•南岗区校级月考）如图，在△AFC中，∠F AC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若AB平分∠F AC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．【变式6-2】（2021春•安国市期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．（1）求点E和点D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-3】（2021春•修水县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在▱ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．（1）若DE=12OD，BF=12OB，①求证：四边形AFCE为平行四边形；②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．（2）若DE=13OD，BF=13OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．若DE=1n OD，BF=1n OB呢？请直接写出结论．。

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图在四边形ABCD中AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论不一定正确的是（）A．CF=AE B．OE=OFC．△CDE为直角三角形D．四边形ABCD是平行四边形2．如图四边形ABCD中AB∥CD，∥B＝∥D点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点H，∥DCE的平分线交AE于点G．若AB＝2AD＝10，点H为CD的中点，HE＝6，则AC的值为（）A．9B．√97C．10D．3 √103．如图在Rt∥ABC中∥ACB=90°，分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形∥ABD和∥ACE，连结DE，CA的延长线交DE于点F,则与线段AF相等的是()A．AC B．AB C．BC D．AB4．如图在菱形ΑΒCD中∠Α=60∘，AD=8，F是ΑΒ的中点．过点F作FΕ⊥ΑD，垂足为Ε．将ΔΑΕF沿点Α到点Β的方向平移，得到ΔΑ′Ε′F ′．设Ρ、Ρ′分别是ΕF、Ε′F ′的中点，当点Α′与点Β重合时，四边形ΡΡ′CD的面积为（）A．28√3B．24√3C．32√3D．32√3−85．下列说法中错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD7．如图点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∥ABC+∥ADC=120°，则∥A的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．125°8．如图在∥ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，则∥BED与∥DFC的周长的和为（）A．34B．32C．22D．209．如图在平面直角坐标系中点A(1,5),B(4,1),C(m,−m),D(m−3,−m+4)，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为（）.A．√2B．32C．2D．310．如图分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AHM′G′和AF′N′E，延长M′G′，N′F′相交于点K，得到四边形MM′KN′．下列说法中错误的是（）A．S四边形MM′KN′=S四边形ABCD B．HM=NFC．四边形MM′KN′是平行四边形D．∠K=∠AHM′11．如图,已知∥ABC与∥CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤∥AOE与∥COF成中心对称.其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．512．如图P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若S四边形AHPE＝3，S四边形PFCG＝5，则S∥PBD为（）A．0.5B．1C．1.5D．2二、填空题13．如图在平行四边形ABCD中点E，F分别在BC，AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．14．如图在Rt△ABC中AC=2√3，BC=2，点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点，连接PD并延长，使DE=PD.以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值为.15．如图▱ABCD中∥BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF∥BC，EF=5√3，则AB的长是16．如图在∥ABC中∥ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= 13BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．17．若AC＝10，BD＝8，那么当AO＝DO＝时，四边形ABCD是平行四边形。

平行四边形判定专题1

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3.1一、主要概念：同一直线上的A ，B ，C 三个篮球，现将篮球D 放置其中，使A ，B ，C ，D 四个篮球组成一个
平行四边形，试问篮球D 在图中位置有（）（A ）1处（B ）2处（C ）3处（D ）4处 4．下面给出了四边形ABCD 中，∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数之比，其中能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（）
A.1：2：3：4
B.2：3：3：2
C.2：2：3：3
D.2: 3: 2: 3
5. 用两个能够完全重合的三角形按不同的方式拼成的各种不同的四边形中，平行四边形有（）
Ａ．１个Ｂ．２个
Ｃ．３个Ｄ．４个
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （ 6. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF AB ∥，
G H A D ∥，E F 与G H 交于点O ，则该图中的
平行四边形的个数共有（）
Ａ．10个Ｂ．9个Ｃ．8个Ｄ．
7个
7．如图，在平行四边形ABCD 中，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＣＤ边上的点，且AE=CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点，那么四边形ENFM 是平行四边形吗？说说你的理由
2
8．如图，AB=CD ，且∠BAC ＝∠DCA ，四边形ABCD 是平行四边形吗？你有几种判别方法？
有没有人告诉你：
数学是锻炼思想的体操——这是曾任前苏联最高苏维埃主席团的加里宁说过的一句名言.学数学，除了知识的灌输之外，根本上是要提高人的智力，一旦智力有了提高，就会在人们最不经意的地方发挥出它的作用来.。

平行四边形的判定复习

4.在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB//CD；②AB=CD；③∠A=∠C；④AD=BC，以其中的两个条件为一组，能判定四边形ABCD为平行四边形的是__②④______.（写出一组即可）
5.下列说法错误的是
（D）
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.两则对边分别相等的四边形是平行四边形
例1.如图，在ABCD中，∠BAE=∠FCD，点E、F分
别在BC、AD上，问线段AE与CF有怎样的关系，并说明理由.
例2.如图所示，在ABCD中，点E、F、M、N分别是平行四边形的四
边的中点，连结AE、 CF、BN、DM，分别交于点P、Q、G、H，四边形PQGH会是平行四边形吗？说明理由
例3.如图，过ABCD的对角线的交点O作直线EF，分别交
A.一组对边相等 B.两条对角线互相平分 C.一组对边平行 D.两条对角线互相垂直
8.如图，四边形ABCD中，AO=OC，BD=16cm，则当OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形。
9.如图，已知ABCD中，E、F在对角线AC上，并且AE=CF，求证：四边形BEDF为平行四边形.
典型例题：
11.如图，在ABCD中，AF=CH，DE=BG，求证：EG和
HF互相平分.
12.（2015南昌）如图，在△OAB中，∠OAB=900，∠AOB=300， OB=8.以OB为边，在△OAB外边作等边△OBC，D是OB的中点，连接 AD并延长交OC于E. （1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图（2），将图（1）中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，
AD于点E，交BC于点F，G、H、分别为OD、OB的中点，求证：四边形EHFG是平行四边形
例4.在ABCD中，DE平分∠ADC交CB延长线于E，BF平分

平行四边形的判定复习题

平行四边形的判定复习题平行四边形的判定复习题平行四边形是初中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和特点。

在本文中，我们将回顾一些与平行四边形相关的判定方法，并通过一些复习题来加深对这些概念的理解。

1. 判定方法一：对边平行判定法如果一个四边形的两对对边分别平行，则它是一个平行四边形。

这是最常见的判定方法之一。

例如，如果四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，则可以判定该四边形是平行四边形。

2. 判定方法二：对角线比值判定法如果一个四边形的对角线所分割的两个三角形的面积比值相等，则它是一个平行四边形。

例如，如果四边形ABCD中，对角线AC和BD所分割的三角形面积比值相等，则可以判定该四边形是平行四边形。

3. 判定方法三：对边比值判定法如果一个四边形的两对对边比值相等，则它是一个平行四边形。

例如，如果四边形ABCD中，AB/CD = AD/BC，则可以判定该四边形是平行四边形。

通过以上的判定方法，我们可以更好地理解平行四边形的性质和特点。

接下来，我们将通过一些复习题来加深对这些概念的理解。

1. 已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC。

如果AB = 6 cm，BC = 9 cm，AD = 4 cm，求CD的长度。

解析：根据对边平行判定法，可以判定四边形ABCD是一个平行四边形。

由于AB∥CD，所以ABCD是一个梯形，且AD = BC。

根据梯形的性质，我们可以得到CD = AB + AD = 6 cm + 4 cm = 10 cm。

2. 已知四边形EFGH是一个平行四边形，且EF = 8 cm，FG = 6 cm，EG = 10 cm。

求FH的长度。

解析：根据对边比值判定法，可以判定四边形EFGH是一个平行四边形。

由于EF/FG = EG/FH，所以FH = EG × FG / EF = 10 cm × 6 cm / 8 cm = 7.5 cm。

3. 在平行四边形IJKL中，已知IJ = 5 cm，JK = 7 cm，IL = 9 cm。