实验数据处理方法

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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
(1)如果较大,宽共振峰
因为>> ,所以R(m,m´)~ (m-m´)
如果在衰变过程中存在着多个宽共振,则可能存在仙湖干涉
的现象,设有Namp个相干的共振峰,则描述这些共振峰的
p.d.f为
Namp
2
~ BW1 +
e BW −k−1
k −1
k
实验数据处理方法
第二部分:统计学方法
第七章 最大似然法
(Maximum Likelihood method)
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第七章 最大似然法
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第七章 最大似然法 (Maximum Likelihood Method) 点估计的方法之一,是参数估计中常用的方法,具有以下的特点:
1. 在一定的条件下,ML估计式满足一致性、无偏性、有效 性等要求;
R(m, m) =
1 2
exp[−
1 2
(m

m)
2
2]
:质量分辨率 因此,窄共振峰的p.d.f为
BW 2 R(m, m)dm =
1 Re(w(z))
2
w(z) = e−z2 erfc(−iz)
z = m − m0 + i
2 2 2
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第七章 最大似然法
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
1. 信号事例: J → X
K+K−
在不变质量为m0处出现共振态X的弹性散射振幅可用BreitWigner公式描述:
BW =

m − m0 + i 2
:X的宽度,m0:X的静质量,m:K+K-的不变质量
(1)如果较小
1 − mmin
1 +
Nb
bi
P
i
(
x)
i =1

fps(m,):相空间函数
Pi(x):i阶Legendre多项式
x = −1+ m − mmin mmax − mmin
bi:未知参数
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
如果衰变过程中:NBW个窄共振峰、Namp个相干共振峰,则m的pdf
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第七章 最大似然法
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7.1 最大似然原理
估计值: ˆ = {ˆ1,ˆ2,,ˆk}
极大值条件:二次矩阵U(ˆ)是负定的(Negative definite)
U ij
(ˆ)
=
2
ln L(x | i j
)
|


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第七章 最大似然法
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实验数据处理方法
2. 当样本容量n→时,ML估计式满足正态分布➔方差容易 计算;
3. 用ML方法可较容易地得到参数的估计式;
本章内容:
1. 最大似然原理; 2. 用ML方法求解参数估计问题的步骤; 3. ML估计式的特性; 4. 如何计算ML估计值的方差; 5. 利用似然函数进行区间估计
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第七章 最大似然法

n
ln
i =1
f (xi , ) = 0
极大值条件: 2
ln L(x 2
|
来自百度文库
)


0
如果有k个位置参数, = {1, 2, …, k} ➔k阶似然方程
ln L(x | )
j
=
j
n
ln
i =1
f (xi , ) = 0
j = 1,2,, k
(一)构造概率密度函数
物理系统的特性:某些量的理论概率分布函数 实验的条件:分辨率、探测效率
➔ML方法中所需的p.d.f
例:不变质量谱分析:e+e-→J/→K+K-
• 通过测量K+K-的动量,可得到K+K-的不变质量 分布,对该分布进行统计分析,可得到衰变过程 中产生的共振态的信息;
• 描述不变质量m的分布的p.d.f应包含对该分布有 贡献的物理过程
BW
=
(m

2 m0 )2
+
2
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实验结果包含质量分辨率和探测效率的影响, ~ ,故
必须对理论公式进行修正
BW 2 → BW 2(m)R(m, m)dm
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
其中:
(m):效率函数,因(m)随m的变化较小,故(m)~常数 R(m,m´):分辨率函数,真值为m时,获得测量值m´的概率
似然方程:
L(x | ) =

n i =1
f (xi , ) = 0
极大值条件: 2L(x |) 2


0
因为lnL是L的单调上升函数,lnL和L具有相同的极大值点, 所以,L→lnL, 求和运算比乘积运算容易处理
似然方程: ln L(x |) =
第七章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method)
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
1) 构造概率密度函数; 2) 构造似然函数; 3) 求似然函数的极大值。
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
Nbw
f (m | ) = m
k =1
1 2 m
Re(W
(z)) / CBW
N amp
+ BW1 +
k =2
BWk
=
k m − m0k + i
2
k-1:相位差 k-1:第k个相干的共振峰事例数/第一个相干的共振峰的事例数
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
2. 本底事例:相空间本底、粒子误判本底、其它衰变道本底等
fback (m, ) ~
f ps (m, ) mmax
L(x | )d x = 1
(二) 最大似然原理
未知参数的最佳估计值ˆ 应满足如下的条件:
i. ii.
对ˆ 位于于给定的的允一许组取测值量范值围,;ˆ使L取极大值:
L(x |ˆ) L(x | )
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第七章 最大似然法
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7.1 最大似然原理
(三)估计值 ˆ的求法
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实验数据处理方法
第七章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method)
7.1 最大似然原理
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第七章 最大似然法
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7.1 最大似然原理
(一) 似然函数的定义
p.d.f:f(x|) 测量量:x = {x1, x2, …, xn }
n
L(x | ) = f (xi | ) i =1
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