实验数据处理方法

n
ln
i =1
f (xi , ) = 0
极大值条件： 2
ln L(x 2
|
)
=ˆ

0
如果有k个位置参数， = {1, 2, …, k} ➔k阶似然方程
ln L(x | )
j
=
j
n
ln
i =1
f (xi , ) = 0
j = 1,2,, k
2. 当样本容量n→时，ML估计式满足正态分布➔方差容易 计算；
3. 用ML方法可较容易地得到参数的估计式；
本章内容：
1. 最大似然原理； 2. 用ML方法求解参数估计问题的步骤； 3. ML估计式的特性； 4. 如何计算ML估计值的方差； 5. 利用似然函数进行区间估计
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
（1）如果较大，宽共振峰
因为>> ，所以R(m,m´)~ (m-m´)
如果在衰变过程中存在着多个宽共振，则可能存在仙湖干涉
的现象，设有Namp个相干的共振峰，则描述这些共振峰的
p.d.f为
Namp
2
~ BW1 +
e BW −k−1
k −1
k
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第七章 最大似然法
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7.1 最大似然原理
估计值： ˆ = {ˆ1,ˆ2,,ˆk}
极大值条件：二次矩阵U(ˆ)是负定的(Negative definite)
U ij
(ˆ)
=
2
ln L(x | i j
)
|

=ˆ
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第七章 最大似然法
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实验数据处理方法
BW
=
(m
−
2 m0 )2
+
2
4
实验结果包含质量分辨率和探测效率的影响， ~ ，故
必须对理论公式进行修正
BW 2 → BW 2(m)R(m, m)dm
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
其中：
(m)：效率函数，因(m)随m的变化较小，故(m)~常数 R(m,m´)：分辨率函数，真值为m时，获得测量值m´的概率
似然方程：
L(x | ) =

n i =1
f (xi , ) = 0
极大值条件： 2L(x |) 2
=ˆ

0
因为lnL是L的单调上升函数，lnL和L具有相同的极大值点， 所以，L→lnL， 求和运算比乘积运算容易处理
似然方程： ln L(x |) =
R(m, m) =
1 2
exp[−
1 2
(m
−
m)
2
2]
：质量分辨率 因此，窄共振峰的p.d.f为
BW 2 R(m, m)dm =
1 Re(w(z))
2
w(z) = e−z2 erfc(−iz)
z = m − m0 + i
2 2 2
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第七章 最大似然法
k =2
BWk
=
k m − m0k + i
2
k-1：相位差 k-1：第k个相干的共振峰事例数/第一个相干的共振峰的事例数
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
2. 本底事例：相空间本底、粒子误判本底、其它衰变道本底等
fback (m, ) ~
f ps (m, ) mmax
Nbw
f (m | ) = m
k =1
1 2 m
Re(W
(z)) / CBW
N amp
+ BW1 +
1 − n
1 +
Nb
bi
P
i
(
x)
i =1

fps(m,)：相空间函数
Pi(x)：i阶Legendre多项式
x = −1+ m − mmin mmax − mmin
bi：未知参数
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
如果衰变过程中：NBW个窄共振峰、Namp个相干共振峰，则m的pdf
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实验数据处理方法
第七章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method)
7.1 最大似然原理
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第七章 最大似然法
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7.1 最大似然原理
(一) 似然函数的定义
p.d.f：f(x|) 测量量：x = {x1, x2, …, xn }
n
L(x | ) = f (xi | ) i =1
L(x | )d x = 1
(二) 最大似然原理
未知参数的最佳估计值ˆ 应满足如下的条件：
i. ii.
对ˆ 位于于给定的的允一许组取测值量范值围，；ˆ使L取极大值：
L(x |ˆ) L(x | )
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第七章 最大似然法
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7.1 最大似然原理
(三)估计值 ˆ的求法
实验数据处理方法
第二部分：统计学方法
第七章 最大似然法
(Maximum Likelihood method)
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第七章 最大似然法
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第七章 最大似然法 (Maximum Likelihood Method) 点估计的方法之一，是参数估计中常用的方法，具有以下的特点：
1. 在一定的条件下，ML估计式满足一致性、无偏性、有效 性等要求；
第七章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method)
7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
1) 构造概率密度函数； 2) 构造似然函数； 3) 求似然函数的极大值。
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
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第七章 最大似然法
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7.2 用ML方法进行参数估计的步骤
1. 信号事例： J → X
K+K−
在不变质量为m0处出现共振态X的弹性散射振幅可用BreitWigner公式描述：
BW =

m − m0 + i 2
：X的宽度，m0：X的静质量，m：K+K-的不变质量
（1）如果较小
（一）构造概率密度函数
物理系统的特性：某些量的理论概率分布函数 实验的条件：分辨率、探测效率
➔ML方法中所需的p.d.f
例：不变质量谱分析：e+e-→J/→K+K-
• 通过测量K+K-的动量，可得到K+K-的不变质量 分布，对该分布进行统计分析，可得到衰变过程 中产生的共振态的信息；
• 描述不变质量m的分布的p.d.f应包含对该分布有 贡献的物理过程