§3.07 连续时间LTI系统的频率响应
[精品]连续时间LTI系统的频率特性及频域分析
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[精品]连续时间LTI系统的频率特性及频域分析连续时间LTI系统（Linear Time-Invariant System）是指可用于描述各种物理和工程系统运动规律的动态系统。
它们由一对连续时变系统（如模型、结构和控制）和一对线性运算符构成，其具有因变量（响应）和自变量（输入）之间的线性关联性、时间不变性、结构连续的性质，并且在响应上呈现出定义的平稳性，因而它们在描述众多系统运动规律中被广泛应用。
对于连续时间LTI系统的频域特性的研究，则涉及这些系统的相位特性、幅频特性、切趾特性等。
同时，也要探讨系统中不同频率分量的传输特性，因为有不同频率分量的信号既可以幅频分析也可以相位分析，可以衡量系统不同频率下的相应响应。
由于连续时间LTI系统在有限频率通道内传播信号时发生了部分信号丢失，因此我们引入了频域分析得到系统频响阻抗。
这样一来，它就可以用来测量系统频带上的增益，系统的模态表现，以及系统的传播属性和可控特性。
在频域分析过程中，由于信号可以被分解为离散频率分量，所以对于单个频率分量来说，有关连续时间LTI系统的分析可以比较容易地完成。
一般情况下，每一个频率分量的传播特性由一个线性系数连接，称之为频响函数，可以衡量一个系统的频率响应情况。
总的来说，对于连续时间LTI系统，研究其频率特性及频域分析具有重要的意义。
他可以提供一个系统的相位特性、幅频特性、切趾特性等详细的分析，而且由于信号可以分解为离散频率分量，因此可以很容易地实现频域分析，并衡量一个系统的频率响应情况。
此外，还可以利用频域分析来测量系统的增益，模态表现，以及系统的传播属性和可控特性，进而提高系统的性能，实现性能的优化。
连续时间LTI系统的频率特性及频域分析
实验报告实验项目名称：运用Matlab进行连续时间信号卷积运算（所属课程：信号与系统）学院：电子信息与电气工程学院专业： 10电气工程及其自动化姓名： xx学号： ************指导老师： xxx一、实验目的1、学会运用MATLAB 分析连续系统的频率特性。
2、掌握相关函数的调用。
二、实验原理1、一个连续LTI 系统的数学模型通常用常系数线性微分方程描述，即)()()()()()(01)(01)(t e b t e b t e b t r a t r a t r a m m n n +'++=+'++ (1) 对上式两边取傅里叶变换，并根据FT 的时域微分性质可得：)(])([)(])([0101ωωωωωωE b j b j b R a j a j a m m n n +++=+++101)()()()()(a j a j a b j b j b j E j R j H n n m m ++++++==ωωωωωωω H ( jω )称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。
一般H ( jω )是复函数，可表示为：)()()(ωϕωωj e j H j H =其中， )(ωj H 称为系统的幅频响应特性，简称为幅频响应或幅频特性；)(ωϕ称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性。
H ( jω )描述了系统响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换间的关系。
H ( jω )只与系统本身的特性有关，与激励无关，因此它是表征系统特性的一个重要参数。
MATLAB 信号处理工具箱提供的freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解，其语句格式为：H=freqs(b,a,w)其中，b 和a 表示H ( jω )的分子和分母多项式的系数向量；w 为系统频率响应的频率范围，其一般形式为w1:p:w2，w1 为频率起始值，w2 为频率终止值，p 为频率取值间隔。
H 返回w 所定义的频率点上系统频率响应的样值。
§3.08 连续时间LTI系统的频域分析
x(t)=u(t)
(2)低通滤波器的频率响应为
R
C
1 H 2 ( ) , = RC 1 j
输出信号的频谱为
y1 t
Y2 ( ) H 2 ( ) X ( )
所以
t
1 1 1 [ ( ) + ] = ( ) 1 j j j 1 j
因为
H (n 0 )
1 1 e arctg ( n0 ) , 2 1 jn 0 1 n 2 0
n = 0, 1, 2,
所以稳态响应为
1 2 1 yss (t ) cos[n 0 t arctg(n 0 )] 2 2 T T n 1 1 n 0
信号与系统
一、连续LTI系统频域分析法
例：求阶跃信号分别作用于图 (a)的高通滤波器和图 (b)的低通滤波器的
零状态响应，并用频谱图对结果进行分析。
x(t)=u(t)
C
R
a
y 2 t
x(t)=u(t)
R
C
Leabharlann 解：阶跃信号的频谱
f t
b 1 X ( ) ( ) j
H ( )
2 1
200
x2 (t ) cos(20t ) cos(140t )
( ) /2
100 0
0
200
100
/2
信号与系统
二、无失真传输系统
解：(1) 根据据滤波器幅频特性知当 100 弧度/秒 ，系 统无失真，则 ( ) 2 H 1
线性系统
n 1
信号与系统连续时间系统的频率响应
实验报告实验名称：连续时间系统的频率响应一、实验目的：1 加深对连续时间系统频率响应理解；2 掌握借助计算机计算任意连续时间系统频率响应的方法。
二、实验原理：连续时间系统的频率响应可以直接通过所得表达式计算，也可以通过零极点图通过用几何的方法来计算，而且通过零极点图可以迅速地判断系统的滤波特性。
根据系统函数H(s)在s平面的零、极点分布可以绘制频响特性曲线，包括幅频特性 H(jw) 曲线和相频特性?(w)曲线。
这种方法的原理如下：假定，系统函数H(s)的表达式为当收敛域含虚轴时，取s = jw，也即在s平面中，s沿虚轴从- j∞移动到+ j∞时，得到容易看出，频率特性取决于零、极点的分布，即取决于Zj 、Pi 的位置，而式中K是系数，对于频率特性的研究无关紧要。
分母中任一因子(jw- Pi )相当于由极点 p 引向虚轴上某点 jw的一个矢量；分子中任一因子(jw-Zj)相当于由零点Zj引至虚轴上某点 jw的一个矢量。
在右图示意画出由零点Zj和极点 Pi 与 jw点连接构成的两个矢量，图中Nj、Mi 分别表示矢量的模，ψj、θi 表示矢量的辐角（矢量与正实轴的夹角，逆时针为正）。
对于任意零点Zj 、极点Pi ，相应的复数因子（矢量）都可表示为：于是，系统函数可以改写为当ω延虚轴移动时，各复数因子（矢量）的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。
这种方法称为s 平面几何分析。
通过零极点图进行计算的方法是： 1 在S 平面上标出系统的零、极点位置；2 选择S 平面的坐标原点为起始点，沿虚轴向上移动，计算此时各极点和零点与该点的膜模和夹角；3 将所有零点的模相乘，再除以各极点的模，得到对应频率处的幅频特性的值；4 将所有零点的幅角相加，减去各极点的幅角，得到对应频率处的相角。
三、实验内容用 C 语言编制相应的计算程序进行计算，要求程序具有零极点输入模块， 可以手工输入不同数目的零极点。
计算频率从0～5频段的频谱，计算步长为0.1，分别计算上面两个系统的幅频特性和相频特性，将所得结果用表格列出，并画出相应的幅频特性曲线和相频特性曲线。
信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析报告
. .实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()( 3.3 由于H(j )实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j )一定存在，而且H(j )通常是复数，连续时间LTI 系统的时域及频域分析图系统LTI )(t h )(ωj H )(t y )(ωj X )(ωj Y )(t x坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
信号与系统连续时间系统的频率响应
实验报告实验名称：连续时间系统的频率响应一、实验目的：1 加深对连续时间系统频率响应理解；2 掌握借助计算机计算任意连续时间系统频率响应的方法。
二、实验原理：连续时间系统的频率响应可以直接通过所得表达式计算，也可以通过零极点图通过用几何的方法来计算，而且通过零极点图可以迅速地判断系统的滤波特性。
根据系统函数H(s)在s平面的零、极点分布可以绘制频响特性曲线，包括幅频特性 H(jw) 曲线和相频特性?(w)曲线。
这种方法的原理如下：假定，系统函数H(s)的表达式为当收敛域含虚轴时，取s = jw，也即在s平面中，s沿虚轴从- j∞移动到+ j∞时，得到容易看出，频率特性取决于零、极点的分布，即取决于Zj 、Pi 的位置，而式中K是系数，对于频率特性的研究无关紧要。
分母中任一因子(jw- Pi )相当于由极点 p 引向虚轴上某点 jw的一个矢量；分子中任一因子(jw-Zj)相当于由零点Zj引至虚轴上某点 jw的一个矢量。
在右图示意画出由零点Zj和极点 Pi 与 jw点连接构成的两个矢量，图中Nj、Mi 分别表示矢量的模，ψj、θi 表示矢量的辐角（矢量与正实轴的夹角，逆时针为正）。
对于任意零点Zj 、极点Pi ，相应的复数因子（矢量）都可表示为：于是，系统函数可以改写为当ω延虚轴移动时，各复数因子（矢量）的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。
这种方法称为s 平面几何分析。
通过零极点图进行计算的方法是： 1 在S 平面上标出系统的零、极点位置；2 选择S 平面的坐标原点为起始点，沿虚轴向上移动，计算此时各极点和零点与该点的膜模和夹角；3 将所有零点的模相乘，再除以各极点的模，得到对应频率处的幅频特性的值；4 将所有零点的幅角相加，减去各极点的幅角，得到对应频率处的相角。
三、实验内容用 C 语言编制相应的计算程序进行计算，要求程序具有零极点输入模块， 可以手工输入不同数目的零极点。
计算频率从0～5频段的频谱，计算步长为0.1，分别计算上面两个系统的幅频特性和相频特性，将所得结果用表格列出，并画出相应的幅频特性曲线和相频特性曲线。
信号与系统实验报告实验三 连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义;2、掌握系统频率响应特性的计算方法与特性曲线的绘制方法,理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用;3、学习与掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义;4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求:掌握LTI 连续与离散时间系统的频域数学模型与频域数学模型的MATLAB 描述方法,深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义,理解滤波与滤波器的概念,掌握利用MATLAB 计算与绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性,也称为频率响应特性,简称频率响应(Frequency response),就是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况,包括响应的幅度随频率的变化情况与响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号与响应信号,h(t)就是系统的单位冲激响应,它们三者之间的关系为:)(*)()(t h t x t y =,由傅里叶变换的时域卷积定理可得到:)()()(ωωωj H j X j Y =3、1或者: )()()(ωωωj X j Y j H =3、2)(ωj H 为系统的频域数学模型,它实际上就就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()( 3、3由于H(j ω)实际上就是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换,如果h(t)就是收敛的,或者说就是绝对可积(Absolutly integrabel)的话,那么H(j ω)一定存在,而且H(j ω)通常就是复数,因此,也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时,更多的就是把它表示成极坐标形式:)()()(ωϕωωj ej H j H = 3、4上式中,)j (ωH 称为幅度频率相应(Magnitude response),反映信号经过系统之后,信号各频率分量的幅度发生变化的情况,)(ωϕ称为相位特性(Phase response),反映信号经过系统后,信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
实验二-LTI系统的频域分析
实验二-LTI系统的频域分析信号与系统实验实验2：――连续LTI系统的频域特性及频域分析实验性质：提高性实验级别：必做开课单位：机械电子工程学院学时：2一、实验目的1、掌握连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换的实现方法。
2、掌握傅里叶变换的数值计算方法和绘制信号频谱的方法。
二、实验设备计算机，MATLAB软件三、实验原理1、连续时间LTI系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
图1 连续时间LTI系统的时域及频域图1中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：y(t)?x(t)*h(t)，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：x(t)X(j?)LTI系统h(t)H(j?)y(t)Y(j?)Y(j?)?X(j?)H(j?)或者： H(j?)?(1)Y(j?) (2)X(j?)H(j?)为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即? H(j?)????j?th(t)edt (3) ?由于H(j?)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel）的话，那么H(j?)一定存在，而且H(j?)通常是复第 1 页/共5页信号与系统实验数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：H(j?)?H(j?)ej?(?) (4)上式中，H(j?)称为幅度频率响应（Magnitude response），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，?(?)称为相位特性（Phase response），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
实验7 连续时间LTI系统的频
带通滤波器的相频特性
2
1
0
-1
-2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15Hale Waihona Puke 20(rad/s)
()|
二、连续时间LTI系统的频域分析
实验原理：
连续LTI系统的频域分析方法，也成为傅里叶变换 分析方法，该方法是基于信号频谱分析的概念，讨 论信号作用于线性系统时在频域中求解响应的方法。 傅里叶分析法的关键是求取系统的频率响应。傅里 叶分析法主要用来分析系统的频率响应特性，或分 析输出信号的频谱，也可用来求解正弦信号作用下 的正弦稳态响应。
H (w)
Y (w) X (w)
(
jw)3
13( jw) 7 10( jw)2 8(
jw)
5
y(t) 10y(t) 8y(t) 5y(t) 13x(t) 7x(t)
clf w = -3*pi:0.01:3*pi ; b = [13 7] ; a = [1 10 8 5] ; H = freqs(b,a,w) ; subplot(2,1,1) plot(w,abs(H)) ; grid on ; xlabel('\omega(rad/s)'); ylabel('|H(\omega)|') ; title('H(w)的幅频特性');
H (w) Y (w)
RC
X (w) ( jw)2 jw 1
RC LC
clf
w = -6*pi:0.01:6*pi ;
b = [1 0] ;
a = [1 1 100] ;
H = freqs(b,a,w) ;
带通滤波器的幅频特性 1
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
谢谢您的聆听
THANKS
优点
能够直接得到系统在任意 时刻的响应值。
缺点
计算量大，需要逐个时间 点进行计算。
拉普拉斯变换法
定义
拉普拉斯变换法是一种将时域函 数转换为复频域函数的数学工具。
01
描述ห้องสมุดไป่ตู้
02 通过拉普拉斯变换，将系统的微 分方程转化为代数方程，然后求 解得到系统在复频域的响应。
优点
能够方便地求解高阶微分方程， 适用于具有复杂特性的系统。 03
拉普拉斯变换法
能够求解系统的零状态响应，但需要 已知系统传递函数，且变换过程可能 较为复杂。
05
结论
总结
本文介绍了求解连续时间LTI系统响应的几种方法，包括时域法和频域法。 通过具体实例，展示了这些方法在求解系统响应中的应用和优势。
时域法通过建立和求解微分方程来获取系统输出，具有直观和物理意义 明确的优点。而频域法则通过分析系统函数的频域特性来求解响应，具
信号与系统连续时间LTI系统的 几种响应求解方法及例
CONTENTS
• 引言 • 几种响应求解方法 • 例题解析 • 方法比较与选择 • 结论
01
引言
背景介绍
01
信号与系统是电子工程和通信工 程的重要基础学科，主要研究信 号和系统在时域和频域的行为和 特性。
02
在信号与系统中，线性时不变 （LTI）系统是最基本、最重要的 系统之一，其响应求解是研究的重 要内容。
LTI系统的基本概念
LTI系统是指系统的输出仅与输入和系统 的状态有关，而与时间无关。
LTI系统具有线性、时不变和因果性等基 本特性。
第三章 LTI连续系统的频域分析
1 e nπ
j ( nΩ t
π ) 2
例2. 求图示周期锯齿波信号的傅里叶级数。 解法1
2 T 2 T t a0 f (t )dt dt 1 T 0 T 0T
-T 0
f(t)
1
T
2T
3T
t
2 T 2 Tt 2 t sin nt cos nt an 0 f ( t ) cos ntdt 0 cos ntdt 2 [ 2 2 ] 0 T T T n T n 0
谱 相位谱：以频率(角频率)为横坐标，以各谐波的初相
角为纵坐标画出的线图(离散)为相位频谱。简称相位谱。
一、周期矩形脉冲的频谱
1 Fn T
f (t )
A
…
T
T/ 2 T/ 2
f ( t )e
j nΩ t
A d t e j nΩ t dt T / 2
/ 2
…
f ( t ) A T
解法2(自学):可利用傅里叶性质3求解
2
f(t)
1
1 T/ 2 ( j nΩ ) Fn [ (t )]e j nΩ t dt T T/ 2 0 T -T T / 2 1 [e j nΩ t (t ) j nΩe j nΩ t (t )]dt T T/ 2 f ' (t ) j nΩ j nΩ 0 1/ T T T 0 T -T F0 0.5
第三章
LTI连续系统的频域分析
时域分析法: 系统→微分方程(算子方程)→传输算子H﹙p﹚→ 特征根→零输入响应或冲激响应→利用 f(t)*h(t) 求解 任意激励下的零状态响应,最后零输入响应与零状态 响应叠加,得到全响应。
实验4LTI系统的频域分析
针对LTI系统频率响应,加深了对于基本概念的掌握与理解,学习并掌握了关于LTI系统频率特性的分析方法。
二,实验原理1、连续时间系统的频率响应调用函数freqs:[h,w]:freqs(b,a)计算默认频率范围内200个频率点上的频率响应的取样值,这200个频率点记录在w中。
h=freqs(b,a,w)b,a分别为表示H(jw)的有理多项式中分子与分母多项式的系数向量,w为频率取样点,返回值h就就是频率响应在频率取样点上的数值向量。
[h,w]:freqs(b,a,n)计算默认频率范围内n个频率点上的频率响应的取样值,这n个频率点记录在w中。
freqs(b,a,…)这种调用格式不返回频率响应的取样值,而就是以对数坐标的方式绘出系统的频率响应与相频响应。
2、离散时间系统的频率响应调用函数freqz:[H,w]:freqz(b,a,‘whole’)计算0~2πn个频率点上的频率响应的取样值,这n个频率点记录在w中。
H=freqz(b,a,n)b,a分别为有理多项式中分子与分母多项式的系数向量,返回值H就就是频率响应在0到pi范围内n个频率等分点上的数值向量,w包含了这n个频率响应。
[H,w]:freqz(b,a,w) w为频率取样点,计算这些频率点上的频率响应的取样值。
freqz(b,a,…)这种调用格式不返回频率响应的取样值,而就是直接绘出系统的频率响应与相频响应。
(1)已知一个RLC电路构造的二阶高通滤波器如图,其中①计算该电路系统的频率响应及高通截止频率。
答:②利用MATLAB绘制幅度响应与相位响应曲线,比较系统的频率特性与理论计算的结果就是否一致。
MATLAB程序如下:b=[0、04 0 0]a=[0、04 0、4 2][H,w]=freqs(b,a)subplot(211)plot(w,abs(H))set(gca,'xtick')set(gca,'ytick',[0 0、4 0、707 1])xlabel('\omega(rad/s)')ylabel('Magnitude')title('|H(j\omega)|')grid onsubplot(212)plot(w,angle(H))set(gca,'xtick')xlabel('\omega(rad/s)')ylabel('Phase')title('\phi(\omega)')grid on(2)已知一个RC系统电路如图。
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
由均匀特性 f ( ) (t ) f ( )h(t )
由积分特性
f
(t)
f
(
)
(t
)d
y f (t) f ( ) h(t )d
y f (t) f ( ) h(t )d f (t) h(t)
[例] 已知某LTI系统的动态方程式为：
初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型:
y (n) (t) an1 y (n1) (t) a1 y ' (t) a0 y(t) 0
求解方法： ✓ 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式 ✓ 再由初始条件确定待定系数。
[例1] 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
y" (t)+5y ' (t) +6y (t) =4f(t), t>0
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t)
K1e2t
K
e4t
2
t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
连续时间LTI系统的频率响应
j
5
信号与系统
二、频率响应的计算
例： 已知电路如图所示，试求该系统
的频率响应 H(ω) 。
V1
C
解：对于电路系统，用相量分析法求它的频率响应
R V2
求输出信号相量与输入信号的相量之比， 即为电路系统
的频率响应
R, L, C 复阻抗分别为 R, jL, 1
jC
根据分压原理得
H V2 () R j
x(t) 7x(t)
试求该系统的频率响应H(ω) 。
解： 对上式两边取傅立叶变换，得
[( j)3 10( j)2 8( j) 5]Y () [13( j) 7]X ()
所以系统的频率响应为
H ()
Y () X ()
(
j)3
13 j 7 10( j)2 8
j
5
j3
13 j 7 102 8
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
当系统的激励为冲激信号δ(t) ，系统的零状态响应即为冲
激响应 h (t) ，即
y (t) h(t) (t) h(t)
对任意激励x(t)响应为 yzs (t) h(t) x(t)
令h (t) 的傅立叶变换为H(ω)
根据傅立叶变换的时域卷积性质有 Y () H () X ()
了一个复函数 H(ω) 。
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的物理意义
当系统的激励为某一频率的正弦时，cos t t
根据欧拉公式
cos t 1 e j e jt e j e jt 2 可以求得这时系统响应
y(t) 1 e j e jt H () e j e jt H () 2 1 e j e jt H () e j e j e jt H () e j 2 H() cost
信号与系统§3.07连续时间LTI系统的频率响应
频率响应可表示为实部和虚部的形式，即
H () H () j H () R I
其中
) 1 H I( H ) d R(
) 1 H R( H ( ) d I
称为希尔伯特变换对。 说明: 具有因果性的系统的系统函数的实部 HR(ω) 被已知的虚部
试求该系统的频率响应H(ω) 。
解： 对上式两边取傅立叶变换，得
所以系统的频率响应为
3 2 [( j ) 10 ( j ) 8 ( j ) 5 ] Y ( ) [ 13 ( j ) 7 ] X ( )
H ( ) Y( ) 1 3j7 X( ) (j )3 1 0 (j )2 8j5 1 3j7 3 2 j 1 0 8j5
(t) ，即
xt () () t
yt ( )ht ()
令h (t) 的傅立叶变换为H(ω) 对任意激励x(t)都有响应 和定义1相符 说明：系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换。
yt () h () t xt ()
根据傅立叶变换的时域积分性质有： Y () H () X ()
令
则有
Y ( ) H ( ) X ( )
H ( )
Y ( ) X ( )
H(ω) 称为系统的系统函数，也称为系统的频率响应特性，简称 系统频率响应或频率特性。
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数，可以表示为
j H ( ) H ( ) e
HI(ω) 唯一地确定，反过来也一样。
三、频率响应的计算
根据各种定义来计算 频率响应 计算方法 如果系统给定电路，则利用相量法， 求出输出信号相量与输入信号的相量之比 即是系统的频率响应
连续LTI系统频率响应的计算方法
(t)
LdiL (t) dt
vL(t)
L
VL( j) LjIL( j)
-
VL ( j) jL
IL ( j)
例 图示R C 电路系统，激励电压源为x(t)，输出电压 y(t) 电容两端的电压vC(t)，电路的初始状态为零。求系统的
频率响应H(j)和冲激响应h(t)。
R
R
+
x(t)
-
+
C
y(t)
-
1/RC
2/RC
3/RC
4/RC
随着频率的增加，系统的幅度响应|H(j)|不断减小，说明信
号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。
由于|H(j(1/RC))|0.7，所以把c=1/RC称为该系统的3dB截频。
连续LTI系统频率响应的计算方法
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学 积累，来源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流， 难以一一注明出处，特此说明并表示感谢！
➢根据描述连续LTI系统的微分方程，计算系统的频率响应
若描述LTI系统的微分方程为
y ''(t) a2 y '(t) a1y '(t) a0 y(t) b2x '(t) b1x '(t) b0x(t) 利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为
[( j)3 a ( j)2 a ( j) a ]Y ( j)=[b ( j)2 b ( j) b ]X ( j)
H ( j) F {h(t)} h(t)e jtdt
例 已知某连续LTI系统的冲激响应为
h(t) = (ete2t) u(t)，求该系统的频率响应H(j)。
解： 利用H(j)与h(t)的关系
信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt et h j H tj ωω)()( 3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
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§ 3.7 连续时间LTI系统 连续时间LTI系统 的频率响应
信号与系统
一,连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
定义1 用常系数线性微分方程来描述一个连续时间LTI系统,即 系统, 定义 用常系数线性微分方程来描述一个连续时间 系统
dn y dy dm x dx an n ++ a1 + a0 y(t) = bm m ++ b1 + b0 x(t) dt dt dt dt
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数,可以表示为 ω 一般是 的复函数,
H(ω) = H(ω) e j(ω)
称为系统的幅频响应特性,简称幅频响应或幅频特性 幅频特性, H(ω) 称为系统的幅频响应特性,简称幅频响应或幅频特性, 是 ω 的偶函数 称为系统的相频响应特性,简称相频响应或相频特性, 称为系统的相频响应特性,简称相频响应或相频特性, 相频特性 是 ω 的奇函数 说明:系统频率响应只与系统本身的特性有关,而与激励无关, 说明 : 系统频率响应只与系统本身的特性有关 , 而与激励无关 , 是表征系统特性的一个重要参数. 是表征系统特性的一个重要参数.
∞
∫ H(ω)
2
dω < ∞
注意:只是系统物理可实现的必要条件,而非充分条件. 注意:只是系统物理可实现的必要条件,而非充分条件. 必要条件
信号与系统
二,频率响应的性质
(4) 因果系统的频率响应的实部和虚部具有某种 相互制约的特性. 相互制约的特性 的特性. 对于因果系统, 对于因果系统,其冲激响应 h (t) 可表示为 由傅立叶变换的频域卷积性质, 由傅立叶变换的频域卷积性质,可得
(ω)
信号与系统
一,连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
定义2 定义 当系统的激励为冲激信号δ(t) ,系统的零状态响应即为冲激响应 h
(t) ,即
x(t ) = δ (t )
y(t ) = h(t )
令h (t) 的傅立叶变换为H(ω)
y(t) = h(t) x(t) 根据傅立叶变换的时域积分性质有: 根据傅立叶变换的时域积分性质有: Y (ω) = H(ω) × X (ω)
h(t) = h(t)u(t)
∞
1 1 1 H(η) H(ω) = {H(ω)[ + πδ(ω)]} = ∫ ω ηdη 2π jω jπ ∞
频率响应可表示为实部和虚部的形式, 频率响应可表示为实部和虚部的形式,即
H(ω) = HR (ω) + jHI (ω)
HR (η) ∫ ω η dη π ∞ 1
(3) 一个具有有理函数频率响应的因果系统是一个物理可实现系统 (物理可实现性 . 物理可实现性). 物理可实现性 佩利—维纳准则: 佩利 维纳准则: 维纳准则 幅频响应为 H(ω)的系统可实现的必要条件为 ω
∞
∞
∫
∞
ln H(ω) 1+ ω
2
dω < ∞
而且幅频特性必须绝对可积, 而且幅频特性必须绝对可积,即
由傅立叶变换及其性质可得: 由傅立叶变换及其性质可得:
[an ( jω)n + + a1( jω) + a0 ]Y (ω) = [bm ( jω)m + + b1( jω) + b0 ]X (ω)
令
bm (jω)m + bm1(jω)m1 ++ b (jω) + b0 1 H(ω) = an (jω)n + an1(jω)n1 ++ a1(jω) + a0
对任意激励x(t)都有响应 和定义1相符 和定义 相符 说明:系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换. 说明:系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换.
h(t) 和 H(ω) 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性. 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性.
信号与系统
二,频率响应的性质
(1) 存在性 只有稳定的LTI系统才存在频率响应 存在性 . 系统才存在频率响应(存在性 只有稳定的 系统才存在频率响应 存在性) LTI系统稳定的充要条件是 系统稳定的充要条件是
根据各种定义来计算 频率响应 计算方法 如果系统给定电路,则利用相量法, 如果系统给定电路,则利用相量法, 求出输出信号相量与输入信号的相量之比 即是系统的频率响应
信号与系统
三,频率响应的计算
已知一个LTI因果系统的单位冲激响应为 例:已知一个 因果系统的单位冲激响应为 h(t) = [et e2t ]u(t) 试求该系统的频率响应H(ω) . 试求该系统的频率响应
1
π 2
0
( j ω)
ω
π
2
ω
�
比. 因此由图根据分压原理得系统的频率响应为
V2 (ω) R jω = = H(ω) = 1 V1(ω) R + 1 jω + jωC RC
信号与系统
三,频率响应的计算
从而得幅频响应为
H (ω) =
ω 1 2 ω + RC
2
相频特性为 (ω) =
π arctan CRω 2
H ( j ω)
∞
HI (η) 其中 dη HR (ω) = ∫ π ∞ ω η 1
称为希尔伯特变换对. 称为希尔伯特变换对. 希尔伯特变换对
∞
HI (ω) =
说明: 说明 具有因果性的系统的系统函数的实部 HR(ω) 被已知的虚部
HI(ω) 唯一地确定,反过来也一样. 唯一地确定,反过来也一样.
信号与系统
三,频率响应的计算
则有
Y (ω ) = H (ω ) X (ω )
Y (ω ) H (ω ) = X (ω )
H(ω) 称为系统的系统函数,也称为系统的频率响应特性,简称 称为系统的系统函数,也称为系统的频率响应特性, 系统函数 频率响应特性 系统频率响应或频率特性. 系统频率响应或频率特性.
信号与系统
一,连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
∞ ∞
解: 因为
∞
h(τ ) dτ = ∫ eτ e2τ dτ < ∞ ∫
0
所以系统稳定. 所以系统稳定. 则系统的频率响应为
∞ ∞
H(ω) = ∫ h(τ )e jωτ dτ = ∫ (eτ -e2τ )e jωτ dτ
∞ 0
1 1 1 = = 2 1+ jω 2 + jω ω + 2 + j3ω
信号与系统
三,频率响应的计算
已知电路如图所示, 例: 已知电路如图所示,试求该系统 的频率响应 H(ω) . 对于电路系统,求它的频率响应, 解:对于电路系统,求它的频率响应,
+ V1 (ω )
C
R V2用电路分析中的相量法,将 R, L, C 为是复阻抗分别为 R, jωL, 的 jωC 元件,然后用各种电路分析方法求输出信号相量与输入信号的相量之 元件,
∞
存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件. 亦即频率响应 H(ω) 存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件. 结论:存在性依赖于稳定性. 结论:存在性依赖于稳定性. (2) 频率响应具有共轭对称性,即 H(ω) = H (ω) 频率响应具有共轭对称性, 共轭对称性
∞
∫ h(t)dt < ∞
信号与系统
二,频率响应的性质
信号与系统
三,频率响应的计算
1 H(ω) = ω2 + 2 + j3ω
幅频特性 相频特性
1 2
H (ω )
(ω )
π
0
0
ω
π
ω
信号与系统
三,频率响应的计算
已知一个零状态LTI系统由下列微分方程表征 例: 已知一个零状态 系统由下列微分方程表征
d3 y d2 y dy dx +10 2 + 8 + 5y(t) =13 + 7x(t) dt 3 dt dt dt
试求该系统的频率响应H(ω) .
解: 对上式两边取傅立叶变换,得 对上式两边取傅立叶变换,
[( jω)3 +10( jω)2 + 8( jω) + 5]Y (ω) = [13( jω) + 7]X (ω)
所以系统的频率响应为
H(ω) =
Y(ω) 13 jω + 7 = X (ω) ( jω)3 +10( jω)2 +8 jω + 5 13 jω + 7 = jω3 10ω2 +8 jω + 5