§3.07 连续时间LTI系统的频率响应
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信号与系统
§ 3.7 连续时间LTI系统 连续时间LTI系统 的频率响应
信号与系统
一,连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
定义1 用常系数线性微分方程来描述一个连续时间LTI系统,即 系统, 定义 用常系数线性微分方程来描述一个连续时间 系统
dn y dy dm x dx an n ++ a1 + a0 y(t) = bm m ++ b1 + b0 x(t) dt dt dt dt
∞
∫ H(ω)
2
dω < ∞
注意:只是系统物理可实现的必要条件,而非充分条件. 注意:只是系统物理可实现的必要条件,而非充分条件. 必要条件
信号与系统
二,频率响应的性质
(4) 因果系统的频率响应的实部和虚部具有某种 相互制约的特性. 相互制约的特性 的特性. 对于因果系统, 对于因果系统,其冲激响应 h (t) 可表示为 由傅立叶变换的频域卷积性质, 由傅立叶变换的频域卷积性质,可得
(3) 一个具有有理函数频率响应的因果系统是一个物理可实现系统 (物理可实现性 . 物理可实现性). 物理可实现性 佩利—维纳准则: 佩利 维纳准则: 维纳准则 幅频响应为 H(ω)的系统可实现的必要条件为 ω
∞
∞
∫
∞
ln H(ω) 1+ ω
2
dω < ∞
而且幅频特性必须绝对可积, 而且幅频特性必须绝对可积,即
1
π 2
0
( j ω)
ω
π
2
ω
�
h(t) = h(t)u(t)
∞
1 1 1 H(η) H(ω) = {H(ω)[ + πδ(ω)]} = ∫ ω ηdη 2π jω jπ ∞
频率响应可表示为实部和虚部的形式, 频率响应可表示为实部和虚部的形式,即
H(ω) = HR (ω) + jHI (ω)
HR (η) ∫ ω η dη π ∞ 1
试求该系统的频率响应H(ω) .
解: 对上式两边取傅立叶变换,得 对上式两边取傅立叶变换,
[( jω)3 +10( jω)2 + 8( jω) + 5]Y (ω) = [13( jω) + 7]X (ω)
所以系统的频率响应为
H(ω) =
Y(ω) 13 jω + 7 = X (ω) ( jω)3 +10( jω)2 +8 jω + 5 13 jω + 7 = jω3 10ω2 +8 jω + 5
(ω)
信号与系统
一,连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
定义2 定义 当系统的激励为冲激信号δ(t) ,系统的零状态响应即为冲激响应 h
(t) ,即
x(t ) = δ (t )
y(t ) = h(t )
令h (t) 的傅立叶变换为H(ω)
y(t) = h(t) x(t) 根据傅立叶变换的时域积分性质有: 根据傅立叶变换的时域积分性质有: Y (ω) = H(ω) × X (ω)
对任意激励x(t)都有响应 和定义1相符 和定义 相符 说明:系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换. 说明:系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换.
h(t) 和 H(ω) 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性. 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性.
信号与系统
二,频率响应的性质
(1) 存在性 只有稳定的LTI系统才存在频率响应 存在性 . 系统才存在频率响应(存在性 只有稳定的 系统才存在频率响应 存在性) LTI系统稳定的充要条件是 系统稳定的充要条件是
由傅立叶变换及其性质可得: 由傅立叶变换及其性质可得:
[an ( jω)n + + a1( jω) + a0 ]Y (ω) = [bm ( jω)m + + b1( jω) + b0 ]X (ω)
令
bm (jω)m + bm1(jω)m1 ++ b (jω) + b0 1 H(ω) = an (jω)n + an1(jω)n1 ++ a1(jω) + a0
信号与系统
三,频率响应的计算
1 H(ω) = ω2 + 2 + j3ω
幅频特性 相频特性
1 2
H (ω )
(ω )
π
0
0
ω
π
ω
信号与系统
三,频率响应的计算
已知一个零状态LTI系统由下列微分方程表征 例: 已知一个零状态 系统由下列微分方程表征
d3 y d2 y dy dx +10 2 + 8 + 5y(t) =13 + 7x(t) dt 3 dt dt dt
∞ ∞
解: 因为
Leabharlann Baidu
∞
h(τ ) dτ = ∫ eτ e2τ dτ < ∞ ∫
0
所以系统稳定. 所以系统稳定. 则系统的频率响应为
∞ ∞
H(ω) = ∫ h(τ )e jωτ dτ = ∫ (eτ -e2τ )e jωτ dτ
∞ 0
1 1 1 = = 2 1+ jω 2 + jω ω + 2 + j3ω
信号与系统
三,频率响应的计算
已知电路如图所示, 例: 已知电路如图所示,试求该系统 的频率响应 H(ω) . 对于电路系统,求它的频率响应, 解:对于电路系统,求它的频率响应,
+ V1 (ω )
C
R V2 (ω )
+
1 用电路分析中的相量法, 用电路分析中的相量法,将 R, L, C 为是复阻抗分别为 R, jωL, 的 jωC 元件,然后用各种电路分析方法求输出信号相量与输入信号的相量之 元件,
比. 因此由图根据分压原理得系统的频率响应为
V2 (ω) R jω = = H(ω) = 1 V1(ω) R + 1 jω + jωC RC
信号与系统
三,频率响应的计算
从而得幅频响应为
H (ω) =
ω 1 2 ω + RC
2
相频特性为 (ω) =
π arctan CRω 2
H ( j ω)
∞
HI (η) 其中 dη HR (ω) = ∫ π ∞ ω η 1
称为希尔伯特变换对. 称为希尔伯特变换对. 希尔伯特变换对
∞
HI (ω) =
说明: 说明 具有因果性的系统的系统函数的实部 HR(ω) 被已知的虚部
HI(ω) 唯一地确定,反过来也一样. 唯一地确定,反过来也一样.
信号与系统
三,频率响应的计算
则有
Y (ω ) = H (ω ) X (ω )
Y (ω ) H (ω ) = X (ω )
H(ω) 称为系统的系统函数,也称为系统的频率响应特性,简称 称为系统的系统函数,也称为系统的频率响应特性, 系统函数 频率响应特性 系统频率响应或频率特性. 系统频率响应或频率特性.
信号与系统
一,连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
∞
存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件. 亦即频率响应 H(ω) 存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件. 结论:存在性依赖于稳定性. 结论:存在性依赖于稳定性. (2) 频率响应具有共轭对称性,即 H(ω) = H (ω) 频率响应具有共轭对称性, 共轭对称性
∞
∫ h(t)dt < ∞
信号与系统
二,频率响应的性质
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数,可以表示为 ω 一般是 的复函数,
H(ω) = H(ω) e j(ω)
称为系统的幅频响应特性,简称幅频响应或幅频特性 幅频特性, H(ω) 称为系统的幅频响应特性,简称幅频响应或幅频特性, 是 ω 的偶函数 称为系统的相频响应特性,简称相频响应或相频特性, 称为系统的相频响应特性,简称相频响应或相频特性, 相频特性 是 ω 的奇函数 说明:系统频率响应只与系统本身的特性有关,而与激励无关, 说明 : 系统频率响应只与系统本身的特性有关 , 而与激励无关 , 是表征系统特性的一个重要参数. 是表征系统特性的一个重要参数.
根据各种定义来计算 频率响应 计算方法 如果系统给定电路,则利用相量法, 如果系统给定电路,则利用相量法, 求出输出信号相量与输入信号的相量之比 即是系统的频率响应
信号与系统
三,频率响应的计算
已知一个LTI因果系统的单位冲激响应为 例:已知一个 因果系统的单位冲激响应为 h(t) = [et e2t ]u(t) 试求该系统的频率响应H(ω) . 试求该系统的频率响应
§ 3.7 连续时间LTI系统 连续时间LTI系统 的频率响应
信号与系统
一,连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
定义1 用常系数线性微分方程来描述一个连续时间LTI系统,即 系统, 定义 用常系数线性微分方程来描述一个连续时间 系统
dn y dy dm x dx an n ++ a1 + a0 y(t) = bm m ++ b1 + b0 x(t) dt dt dt dt
∞
∫ H(ω)
2
dω < ∞
注意:只是系统物理可实现的必要条件,而非充分条件. 注意:只是系统物理可实现的必要条件,而非充分条件. 必要条件
信号与系统
二,频率响应的性质
(4) 因果系统的频率响应的实部和虚部具有某种 相互制约的特性. 相互制约的特性 的特性. 对于因果系统, 对于因果系统,其冲激响应 h (t) 可表示为 由傅立叶变换的频域卷积性质, 由傅立叶变换的频域卷积性质,可得
(3) 一个具有有理函数频率响应的因果系统是一个物理可实现系统 (物理可实现性 . 物理可实现性). 物理可实现性 佩利—维纳准则: 佩利 维纳准则: 维纳准则 幅频响应为 H(ω)的系统可实现的必要条件为 ω
∞
∞
∫
∞
ln H(ω) 1+ ω
2
dω < ∞
而且幅频特性必须绝对可积, 而且幅频特性必须绝对可积,即
1
π 2
0
( j ω)
ω
π
2
ω
�
h(t) = h(t)u(t)
∞
1 1 1 H(η) H(ω) = {H(ω)[ + πδ(ω)]} = ∫ ω ηdη 2π jω jπ ∞
频率响应可表示为实部和虚部的形式, 频率响应可表示为实部和虚部的形式,即
H(ω) = HR (ω) + jHI (ω)
HR (η) ∫ ω η dη π ∞ 1
试求该系统的频率响应H(ω) .
解: 对上式两边取傅立叶变换,得 对上式两边取傅立叶变换,
[( jω)3 +10( jω)2 + 8( jω) + 5]Y (ω) = [13( jω) + 7]X (ω)
所以系统的频率响应为
H(ω) =
Y(ω) 13 jω + 7 = X (ω) ( jω)3 +10( jω)2 +8 jω + 5 13 jω + 7 = jω3 10ω2 +8 jω + 5
(ω)
信号与系统
一,连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
定义2 定义 当系统的激励为冲激信号δ(t) ,系统的零状态响应即为冲激响应 h
(t) ,即
x(t ) = δ (t )
y(t ) = h(t )
令h (t) 的傅立叶变换为H(ω)
y(t) = h(t) x(t) 根据傅立叶变换的时域积分性质有: 根据傅立叶变换的时域积分性质有: Y (ω) = H(ω) × X (ω)
对任意激励x(t)都有响应 和定义1相符 和定义 相符 说明:系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换. 说明:系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换.
h(t) 和 H(ω) 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性. 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性.
信号与系统
二,频率响应的性质
(1) 存在性 只有稳定的LTI系统才存在频率响应 存在性 . 系统才存在频率响应(存在性 只有稳定的 系统才存在频率响应 存在性) LTI系统稳定的充要条件是 系统稳定的充要条件是
由傅立叶变换及其性质可得: 由傅立叶变换及其性质可得:
[an ( jω)n + + a1( jω) + a0 ]Y (ω) = [bm ( jω)m + + b1( jω) + b0 ]X (ω)
令
bm (jω)m + bm1(jω)m1 ++ b (jω) + b0 1 H(ω) = an (jω)n + an1(jω)n1 ++ a1(jω) + a0
信号与系统
三,频率响应的计算
1 H(ω) = ω2 + 2 + j3ω
幅频特性 相频特性
1 2
H (ω )
(ω )
π
0
0
ω
π
ω
信号与系统
三,频率响应的计算
已知一个零状态LTI系统由下列微分方程表征 例: 已知一个零状态 系统由下列微分方程表征
d3 y d2 y dy dx +10 2 + 8 + 5y(t) =13 + 7x(t) dt 3 dt dt dt
∞ ∞
解: 因为
Leabharlann Baidu
∞
h(τ ) dτ = ∫ eτ e2τ dτ < ∞ ∫
0
所以系统稳定. 所以系统稳定. 则系统的频率响应为
∞ ∞
H(ω) = ∫ h(τ )e jωτ dτ = ∫ (eτ -e2τ )e jωτ dτ
∞ 0
1 1 1 = = 2 1+ jω 2 + jω ω + 2 + j3ω
信号与系统
三,频率响应的计算
已知电路如图所示, 例: 已知电路如图所示,试求该系统 的频率响应 H(ω) . 对于电路系统,求它的频率响应, 解:对于电路系统,求它的频率响应,
+ V1 (ω )
C
R V2 (ω )
+
1 用电路分析中的相量法, 用电路分析中的相量法,将 R, L, C 为是复阻抗分别为 R, jωL, 的 jωC 元件,然后用各种电路分析方法求输出信号相量与输入信号的相量之 元件,
比. 因此由图根据分压原理得系统的频率响应为
V2 (ω) R jω = = H(ω) = 1 V1(ω) R + 1 jω + jωC RC
信号与系统
三,频率响应的计算
从而得幅频响应为
H (ω) =
ω 1 2 ω + RC
2
相频特性为 (ω) =
π arctan CRω 2
H ( j ω)
∞
HI (η) 其中 dη HR (ω) = ∫ π ∞ ω η 1
称为希尔伯特变换对. 称为希尔伯特变换对. 希尔伯特变换对
∞
HI (ω) =
说明: 说明 具有因果性的系统的系统函数的实部 HR(ω) 被已知的虚部
HI(ω) 唯一地确定,反过来也一样. 唯一地确定,反过来也一样.
信号与系统
三,频率响应的计算
则有
Y (ω ) = H (ω ) X (ω )
Y (ω ) H (ω ) = X (ω )
H(ω) 称为系统的系统函数,也称为系统的频率响应特性,简称 称为系统的系统函数,也称为系统的频率响应特性, 系统函数 频率响应特性 系统频率响应或频率特性. 系统频率响应或频率特性.
信号与系统
一,连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
∞
存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件. 亦即频率响应 H(ω) 存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件. 结论:存在性依赖于稳定性. 结论:存在性依赖于稳定性. (2) 频率响应具有共轭对称性,即 H(ω) = H (ω) 频率响应具有共轭对称性, 共轭对称性
∞
∫ h(t)dt < ∞
信号与系统
二,频率响应的性质
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数,可以表示为 ω 一般是 的复函数,
H(ω) = H(ω) e j(ω)
称为系统的幅频响应特性,简称幅频响应或幅频特性 幅频特性, H(ω) 称为系统的幅频响应特性,简称幅频响应或幅频特性, 是 ω 的偶函数 称为系统的相频响应特性,简称相频响应或相频特性, 称为系统的相频响应特性,简称相频响应或相频特性, 相频特性 是 ω 的奇函数 说明:系统频率响应只与系统本身的特性有关,而与激励无关, 说明 : 系统频率响应只与系统本身的特性有关 , 而与激励无关 , 是表征系统特性的一个重要参数. 是表征系统特性的一个重要参数.
根据各种定义来计算 频率响应 计算方法 如果系统给定电路,则利用相量法, 如果系统给定电路,则利用相量法, 求出输出信号相量与输入信号的相量之比 即是系统的频率响应
信号与系统
三,频率响应的计算
已知一个LTI因果系统的单位冲激响应为 例:已知一个 因果系统的单位冲激响应为 h(t) = [et e2t ]u(t) 试求该系统的频率响应H(ω) . 试求该系统的频率响应