高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数(最新编写)

6. 设 f （x）是定义 R在上的函数，对任意 x，y∈R，有 f （x+y）+f （x-y ）=2f （ x）f （y）且 f （0）≠ 0. （1）求证 f （0） =1； （2）求证： y=f （x）为偶函数 .
证明：（1）问题为求函数值，只需令 x=y=0 即可得。
（2）问题中令 x=0 即得 f （y）+f （- y ）=2f （0）f （y），
2
n n(n 1)
n2
f (1) f (2) f (3) ... f (n) =
2
2=2
(3)任取 x1, x2
R, 且 x1
x2 ,则 f (x2) f (x1) f [( x2 x1) x1] f (x1) f (x2 x1) f (x1) 1 f (x1)
2
1
= f ( x2
x1
) 2
0
1 f (x2 x1)
即 2 1m 2
2m2
化简得 -1 ≤m< 1 。
2
3. 设 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(x+3) =-f(x)，求 f(1998)的值。 解：因为 f(x+3) =-f(x)，所以 f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x，)
故 6 是函数 f(x)的一个周期。又 f(x)是奇函数，且在 x＝0 处有定义，
1 13.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m,n 都有 f ( m n) f (m) f ( n) 2 ,
且
f
(
1 )
0 ,当 x
2
(1)求 f (1);
1 时 , f ( x) >0.
2
(2)求和 f (1) f (2)
f (3) ...
f (n) (n
N *) ;
(3)判断函数 f ( x) 的单调性 ,并证明 .
∴ f ( x) 是奇函数。
f ( x)
f (0)
（2）∵ f (24) f (3) f (21) 2 f (3) f (18) ... 8 f (3)
又∵ f ( 3) a f (3) a f (24) 8a
11.已知 f (x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数 ,且对于任意的 a, b R, 都满足 :
（1）. 若 a＞b，试比较 f （a）与 f （b）的大小；
（2）. 若 f（k 3x ) f (3x 9x 2) ＜0 对 x∈[ －1，1] 恒成立，求实数 k 的取值范围。
f (a) f ( b)
解：（1）. 因为 a＞b，所以 a-b ＞0，由题意得
a b ＞0，
所以 f （a）+f （－ b）＞ 0，又 f （x）是定义在 R上的奇函数，
(2)求证 : f (x) 在 R 上是单调减函数 ;
(3)若 a b c 0 且 b2 ac ,求证 : f ( a) f (c) 2 f (b) .
(1)解 : ∵对任意 x R, 有 f (x) >0, ∴令 x 0, y 2 得 , f (0) [ f (0)] 2 f (0) 1
（1）解：令 m
n
1 2
，则
f
(1 2
1) 2
2 f (1) 1 22
（2）∵ f (1) 1 , f (n 1)
2
1 f (1) f (n)
2
1 2
f (n)
1 f (1)
2
1 f ( n) 1
2
∴ f (n 1) f (n) 1
∴数列 f (n) 是以 1 为首项 ,1 为公差的等差数列 , 故
所以 f(x)=0 从而 f(1998)=f(6× 333)=f(0)=0。
4. 设函数 f （ x）对任意 x1 , x 2
1
0, 2
都有 f （ x1
x2 ) =f （ x1 ) f ( x2 ) ，
已知
f
（1） =2，求
f
（
1 ), 2
f
(1 ); 4
解：由 f （ x1 x2 ) =f （ x1 ) f ( x2 ) ， x1 , x2
f (a ? b) af (b) bf (a) .
(1)求 f (0), f (1)的值 ;
(2)判断 f ( x) 的奇偶性 ,并证明你的结论 ;
(3)若 f (2)
2 , un
f (2 n ) (n
n
N * ) ,求数列 { un }的前 n 项和 sn .
（1）解：令 a b 0 ，则 f (0) 0
1
0, 2
知f
（ x） =f
（
x) 2
f
(
x) 2
≥0，x
0,1
f (1)
1 f(
2
1 )
2
11 f( ) f( )
22
[
f
( 1 )] 2 2
，
f
（ 1） =2，
f (1) 2
1
1
2 2.同理可得
f( ) 4
1
24
5. 已知 f （x）是定义在 R上的函数，且满足： f （x+2）[1 －f （x）]=1+f （x），
(1)求证 : f (x) 是奇函数 ;
(2)若 f ( 3) a,试用 a表示 f (24) .
（1）证明：令 y x ，得 f (x x) f (x) f ( x) f ( x)
令 x y 0 ，则 f (0) 2 f (0) f 0 0
∴ f (x) f ( x) 0 f ( x) f ( x)
f （1）=1997，求 f （2001）的值。
解：从自变量值 2001 和 1 进行比较及根据已知条件来看， 易联想到函数 f （x）是周期
函数。由条件得 f （x）≠ 1，故
1 f (x)
1
1 f （x+2）= 1
f f
( (
x) x)
,
f
（
x+4）
=
1
1 1
f (x) f (x)
1 f (x)
2010 届高考数学快速提升成绩题型训练 ——抽象函数
1. 已知函数 y = f ( x)( x∈R，x≠0) 对任意的非零实数 x1，x2 ，恒有 f( x1 x2 )= f( x1)+ f( x2 ), 试判断 f( x) 的奇偶性。 解：令 x1= -1 ， x2 =x，得 f (- x)= f (-1)+ f ( x) ……①
且 f （0）=1. 所以 f （y）+f （-y ）=2f （y），因此 y=f （x）为偶函数 .
说明：这类问题应抓住 f （x）与 f （-x ）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。
7. 已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)的一个递增区间为 （2，6），试判断（4，8）是 y=f(2-x) 的递增区间还是递减区间？ 解：由 y=f(x)是偶函数且在（ 2，6）上递增可知， y=f(x)在（－ 6，－ 2）上递减。
1 所以 f （x+8）= f ( x 4) f ( x) .
1 f ( x) .
所以 f （x）是以 8 为周期的周期函数， 从而 f （2001）=f （1）=1997
这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接
求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
2 已知定义在 [-2，2]上的偶函数， f (x)在区间 [0，2]上单调递减，若 f (1-m)<f (m),求实
数 m 的取值范围
分析：根据函数的定义域， -m，m∈ [-2,2]，
但是 1- m 和 m 分别在 [-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？
如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，
若 x0 0 ，则 f ( x) x2 x 0 ，则 f ( x) x 2 x ， 但方程 x2 x x 有两个不相同的实根与题设茅盾，故 x0 0 若 x0 1，则 f ( x) x2 x 1 ，则 f (x) x2 x 1 ，
此时方程 x2 x 1 x (x 1)2 0 有两个相等的实根，
即有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) x0 ∴ f ( x) x2 x 1 x R
(2) ∵对任意 x R，函数 f ( x) 满足 f ( f ( x) x2 x)) f ( x) x2 x ,有且仅有一个实
数 x0 ,使得 f ( x0 ) x0
∴对任意 x R，有 f (x) x2 x x0 上式中，令 x x0 ，则 f ( x0 ) x02 x0 x0
∵ f ( x0 ) x0，故 x0 x0 2 0 x0 0或 x0 1
所以 f （－ b）=－ f （b）， f （a）－ f （b）＞ 0，即 f （a）＞ f （b）
（2）. 由（1）知 f （x）在 R上是单调递增函数，又 f (k 3x ) ＋f (3x 9 x 2) ＜0，
得 f (k 3x ) ＜f (9 x
3x
2) ，故 k 3x ＜ 9x
3x
2 ，所以 k＜ 3x
2 3x
1
令 t ＝ 3x
1
2
[ 3 ,3] , 所以 k＜t+ t
1
2
，而 t+ t ≥2 2 ，即 k＜2 2 － 1
9.已知函数 f (x) 是定义在（ -∞，3]上的减函数，已知 f (a2 sin x) f (a 1 cos2 x) 对
x R恒成立，求实数 a 的取值范围。
解： f (a2 sin x) f (a 1 cos2 x) 等价于
ab
b