近世代数期末考试题库.doc

2小题，第
1题10分，第2小题15分，共25
分）
1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。
2、假定R是一个有两个以上的元的环，
F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。
1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个
x，从可得）。
2、证明在F里
有意义，作F的子集
显然是R的一个商域
证毕。
近世代数模拟试题二
----a------
。
3、区间[1，2]上的运算的单位元是--2-----
。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=———24——————— 。
5、环Z8的零因子有
-----------------------
。
6、一个子群H的右、左陪集的个数---相等-------
。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他
D、既非单射也非满射
2、设集合A中含有5个元素，集合
B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（d
）个元素。
A、2
B、5
C、7
D、10
3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b
∈G都有解，这个解是（
b）乘法来说
A、不是唯一
B、唯一的
C、不一定唯一的
D、相同的(两方程解一样)
4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集
因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2，
因而a-b, ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
3、解：1．，；
2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2解：设A是任意方阵，令， ，则B是对称矩阵，而
C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称
矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于
0，即：，，所以，表示法唯一。
3、设集合，定义中运算
“”为ab=(a+b)(modm),
则（，）是不是群，为什么？
四、证明题（本大题共
A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)
C、(1)，(123)D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是
--------
的，每个元素的逆元素是--------
的。
2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则
3、环的乘法一般不交换。如果环
R的乘法交换，则称
R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做
A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于
0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是
1，元a的逆元是a-1。
8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么
2、答：（E，）不是群，因为（
E，）中无单位元。
3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到(a,b)=17, [a,b]=ab/17=11339×。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共
15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，
请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（c）
A、满射而非单射
B、单射而非满射
C、一一映射
/它自己的-----商权----。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为
R的---
特征--------
。
9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为
---mIn----
。
三、解答题（本大题共
3小题，每小题
10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有
5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法
“”：m，n∈Z，mn＝0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法
“”：m，n∈Z，mn＝1
二、填空题(本大题共
10小题，每空3
分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设“～ ”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～ ”是A的一个等价关系。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、
--消去律成立
-------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则
P是----------。
三、解答题（本大题共
3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G
是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。
，(132)
B.(12)，(13)，(23)
C.(1)，(123)
D.S3中的所有元素
4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，
Z15的子群共有（
d）个。
A.2
B.4
C.6
D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（
b
）
A.整系数多项式全体
Z［x］关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法
A、4个
B、5个
C、6个
D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（
d）。
4、下列哪个偏序集构成有界格（
d
）
A、偶数
B、奇数
C、4的倍数
D、2的正整数次幂
A、（N,）
B、（Z,）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系） ）
D、(P(A),)
2
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（a）
一、单项选择题
二、1、设G
有6个元素的循环群，
a是生成元，则
G的子集（c）是子群。
A、
B、
C、
D、
2、下面的代数系统（
G，*）中，（d
）不是群
A、G为整数集合，*为加法
B、G为偶数集合，*为加法
C、G为有理数集合，*为加法
D、G为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集
N上，下列哪种运算是可结合的？（
b）
2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？
3、设有置换，。
1．求和；
2．确定置换和的奇偶性。
1
群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只
种，四白一黑1种，三白二黑
2种， 等等，可得总共
8种。
2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b, ab∈S1∩S2：
2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则 “”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（
E，）是不是群，为
什么？
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}
，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}
H的3
个左陪集为：{I,(1 2)}
，{(12
3)，(23)}，{(132)，(13)}
2.
设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射
3
： x→x＋2，x∈R，
则是从A到B的（
c
）
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
3.设S3＝{(1)
，(12)
，(13)
，(23)，(123)
，(132)}
，那么，在
S3中可以与(123)交换的所有元素有（a
）
A.(1)，(123)
Lagrange定理知，对于
a∈G，则元素
a的阶只可能是
____5,15,1,3,_______
。
10.
在3次对称群S3中，设H＝{(1)
，(123)，(132)}
是S3的一个不变子群， 则商群G/H中的元素(12)H＝___________。
11.
设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是___2,3,4________。
12.
设R是一个无零因子的环，其特征
n是一个有限数，那么，n是___________。
13.
设Z［x］是整系数多wk.baidu.com式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝_____________
___________。
14.
设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是___________
7.设(G，·)是一个群，那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝
___________。
8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)
∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有
15个元素的群，那么，根据
1、若<G，*>是群，则对于任意的
a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。
2、设m是一个正整数，利用
m定义整数集Z上的二元关系：a? b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题
1、6阶有限群的任何子群一定不是（
c）。
A、2阶
B、3阶
C、4阶
D、6阶
2、设G是群，G有（c）个元素，则不能肯定G是交换群。
n，那么G与--模n乘余类加群-----同构。
5、A={1.2.3}
B={2.5.6}
那么A∩B=---2--。
6、若映射既是单射又是满射，则称为
---双射--------------。
7、叫做域的一个代数元，如果存在的
--不都等于林---使得。
8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为
----单位元-----。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元
这就是说=R，证毕。
2、证必要性：将b代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算：
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，
aH所含元的个数（c）
A、不相等
B、0
C、相等
D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d
）
A、倍数
B、次数
C、约数
D、指数
二、填空题(本大题共
10小题，每空
3分，共
30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、设集合；，则有。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系， 把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
四、证明题（本大题共
2小题，第
1题10分，第2小题15分，共25分）
A、a*b=a-b
B、a*b=max{a,b}
C、a*b=a+2b
D、a*b=|a-b|
4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（b）
1
A、
B、
C、
D、
5、任意一个具有
2个或以上元的半群，它（
a）。
A、不可能是群
B、不一定是群
C、一定是群
D、 是交换群
二、填空题(本大题共
10小题，每空
3分，共
30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个
---变换全-------同构。
2、一个有单位元的无零因子
-交换环----称为整环。
3、已知群中的元素的阶等于
50，则的阶等于-25-----。
4、a的阶若是一个有限整数
所以p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明 设e是群<G，*>的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。
若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。
---------
。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共
3小题，每小题10分，共30分）
1、设置换和分别为： ，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩
阵与一个反对称矩阵之和。奇
1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：
可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：
近世代数模拟试题四
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题
3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选
均无分。
1.
设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，
A与B的积集合A×B中含有（d
）个元素。
A.2
B.5
C.7
D.10