空间向量与垂直关系
空间向量垂直公式
空间向量垂直公式在三维空间中，我们经常会计算向量之间的关系和属性。
其中一种常见的计算是判断两个向量是否相互垂直。
在二维平面中，我们可以通过计算两个向量的点积得出它们是否垂直。
然而，在三维空间中，我们需要使用空间向量垂直公式来判断两个向量是否相互垂直。
空间向量垂直公式可以根据向量的坐标来计算其是否相互垂直。
假设有两个三维向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
根据空间向量垂直公式，我们可以得到以下判断两个向量是否垂直的条件：Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz = 0如果满足上述条件，则向量A和向量B相互垂直。
否则，它们不垂直。
这个公式的推导可以通过向量的点积和几何性质来完成。
两个向量A和B在三维空间中的点积可以表示为：A ·B = |A| * |B| * cosθ其中，|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模，θ表示两个向量之间的夹角。
对于垂直的向量来说，它们的夹角θ为90度，cosθ的值为0。
因此，我们可以推导出空间向量垂直公式：A ·B = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz = |A|* |B| * cosθ = 0根据这个公式，指定两个向量的坐标，我们可以轻松地判断它们是否相互垂直。
除了判断两个向量是否垂直之外，空间向量垂直公式还可以用于解决一些相关的问题。
例如，如果我们已知一个向量A和另一个垂直于它的向量B，我们可以使用空间向量垂直公式计算出向量B的坐标。
此外，空间向量垂直公式还可以应用于三维平面的垂直性判断。
在三维空间中，如果一个平面垂直于一个向量A，那么平面上的任意向量都与A相互垂直。
因此，我们可以使用空间向量垂直公式来判断一个平面是否与一个指定向量垂直。
总结起来，空间向量垂直公式是用于判断两个向量是否相互垂直的工具。
通过计算两个向量的坐标并应用公式，我们可以得出准确的判断结果。
该公式的推导基于向量的点积性质和几何性质，具有广泛的应用价值，在解决三维空间中向量和平面的垂直性问题时具有重要作用。
3.2空间向量与垂直关系 课件(人教A版选修2-1)
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
新课标· 数学 选修 2-1
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
1 1 1 → → ∴AB1· MN＝(a＋c)· (－ a＋ b＋ c) 2 2 4 1 1 1 ＝－ ＋ cos 60° ＋0－0＋0＋ ＝0. 2 2 4 → → ∴AB1⊥MN， ∴AB1⊥MN.
菜 单
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
→ → → 【思路探究】 (1)若选AB、AC、AA1为基向量， → → → → 你能用基向量表示AB1与MN吗？怎样证明AB1与MN垂 直？ (2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
面面垂直
若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v
u⊥v u· v＝ 0 ⇔ ＝(a2，b2，c2)，则 α⊥β⇔__________ ⇔_________ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ___________________________ .
课 标 解 读
1.掌握直线的方向向量和平面的法 向量的求法．(重点) 2.能利用方向向量和法向量处理线 线、线面、面面间的垂直问题．(重 点、难点)
当 堂 双 基 达 标
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新课标· 数学 选修 2-1
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空间向量垂直推导公式
空间向量垂直推导公式好的，以下是为您生成的文章：咱们来聊聊空间向量垂直推导公式这事儿哈。
还记得我当年上学那会，一碰到数学公式推导就头疼。
但后来发现，只要你真正搞懂了其中的道理，那可真是妙趣横生。
就像这空间向量垂直推导公式，看似复杂，其实很有门道。
先来说说啥是空间向量。
想象一下，在一个三维的空间里，每个点都能用一组数字来表示它的位置，这组数字就是向量。
而当两个向量垂直的时候，它们之间就有着特殊的关系。
咱们来看这个推导公式：设两个空间向量分别为 a = (x1, y1, z1)，b= (x2, y2, z2)，如果 a 和 b 垂直，那么它们的数量积为 0 ，即 a·b =x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0 。
那这是咋来的呢？咱们从平面向量说起。
在平面里，两个向量垂直，它们的数量积也是 0 。
这很好理解吧？比如说在一个直角坐标系里，向量 (1, 0) 和向量 (0, 1) 就是垂直的，它们的数量积 1×0 + 0×1 = 0 。
那到了空间里呢，其实道理是一样的。
只不过多了一个维度 z 。
我给您举个例子啊。
有一次我去一个建筑工地，看到工人们在搭建一个架子。
那架子的横竖杆就像是空间中的向量。
有的杆子相互垂直，支撑着整个架子的稳定。
我就在想，这不就是空间向量垂直的现实体现嘛。
咱再回到公式推导。
为啥数量积为 0 就能说明垂直呢？咱们可以用几何的方法来理解。
想象一下，两个向量的起点在同一点，它们构成了一个三角形。
根据余弦定理，如果夹角是90 度，也就是垂直的时候，余弦值为 0 ，而数量积等于模长乘以夹角的余弦值，所以数量积就为 0 啦。
在解题的时候，这个公式可好用啦。
比如说，给您两个向量，让您判断是不是垂直，您就直接算数量积就行。
而且啊，这个公式还能和其他知识结合起来。
比如求一个平面的法向量，就得用到空间向量垂直的知识。
总之，空间向量垂直推导公式虽然看起来有点复杂，但只要您多琢磨琢磨，多联系实际，就会发现它其实挺有趣，也挺有用的。
3.2.2空间向量与垂直关系
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：1.这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合。
(k∈R) 面面 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2， 垂直 c2)，则α⊥β ⇔ u⊥v⇔ u·v ＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
1.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为
b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则 k 等于( D )
A.5
B.4
C.－4
D.－5
2.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，
m)，若l1⊥l2，则m等于( D )
A.－2
B.2
C.6
D.10
3.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝
(－4,0,－2)，则直线l与平面α的位置关系为( D )
A.l与α斜交 B.l⊂α
C.l∥α
D.l⊥α
4.已知AB （2，2，1），AC （4，5，3），则平面ABC的一个单位 法向量为（ ）
A（. 1， 2， 2） B（. 1，2， 2） C（. 1，2，2） D（. 1，2，2）
333
33 3
333
333
5、如图所示，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2， D为CC1的中点.。求证：AB1 平面A1BD.
6、如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB BC， AB BC 2，BB1 1，E为BB1的中点。 证明：平面AEC1 平面AA1C1C.
空间向量的垂直与平行解析几何的几何关系
空间向量的垂直与平行解析几何的几何关系空间向量在解析几何中具有广泛的应用，它们可以描述物体在空间中的位置、方向和运动等属性。
在学习空间向量时，了解其垂直与平行的几何关系是非常重要的。
本文将通过几何解析的方式，深入探讨空间向量垂直与平行的性质及其应用。
一、垂直向量在空间中，当两个向量的数量积为零时，我们称这两个向量是垂直的。
数学上可以表达为：两个向量的数量积等于零，则它们垂直。
设有两个向量a和b，它们的坐标分别表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则向量a与向量b垂直的条件可以表示为：a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = 0这个条件求解出的结果就是两个向量垂直的充要条件。
垂直向量在几何上有许多重要的应用。
例如在平面几何中，两条直线互相垂直，则它们的方向向量必然垂直；在立体几何中，两个平面互相垂直，其法向量也必然垂直。
因此，熟练掌握垂直向量的性质对于解析几何的应用非常重要。
二、平行向量在空间中，当两个向量之间存在倍数关系时，我们称这两个向量是平行的。
数学上可以表达为：两个向量之间存在倍数关系，则它们平行。
设有两个向量a和b，它们的坐标表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则向量a与向量b平行的条件可以表示为：a1/b1 = a2/b2 = a3/b3 = k (k为常数)其中k为两个向量平行的倍数关系。
平行向量的性质可以应用于线段、直线和平面的平行关系的判断。
例如，在平面几何中，两个直线互相平行，则它们的方向向量之间必然存在倍数关系；在立体几何中，平面与直线平行，则平面的法向量与直线的方向向量必然平行。
三、垂直与平行向量的应用举例1. 垂直向量的应用考虑一个示例问题：已知一条直线L的向量方程为(r - r1) · n = 0，其中r1为已知点，n为已知向量。
求直线L上与已知点A垂直的点B 的坐标。
解析：根据向量方程可以得知，L上的任意点P满足向量n与r - r1垂直的关系。
高考数学《利用空间向量证明平行与垂直关系》复习
(4)线面垂直
l a a＝kμ a1＝ka3，b1＝kb3，c＝kc3 ．
(5)面面平行
v ＝kv a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4．
(6)面面垂直
v ·v＝0 a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
解题技巧
利用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤 (1) 坐标运算法：一般步骤：①建立空间直角坐标系，建系时， 要尽可能地利用载体中的垂直关系； ②建立空间图形与空间向量之间的关系，用向量表示出问题中所涉及的点、 直线、平面的要素； ③通过空间向量的运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题．
解题技巧
4．利用空间向量求点到平面距离的方法 如图，设 A 为平面 内的一点，B 为平面 外的一点，n 为平面 的法向量，
AB n
则 B 到平面 的距离 d＝
．
n
1.如图，某圆锥 SO 的轴截面 SAC 是等边三角形，点 B 是底面圆周上的一点，且 BOC 60 ，
点 M 是 SA 的中点，则异面直线 AB 与 CM 所成角的余弦值是( )
(4)点到平面的距离的向量求法
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，
AB n
则点 B 到平面 α 的距离 d＝
．
n
2.模、夹角和距离公式
(1) 设 a＝(a1，a2，a3 )，b＝(b1，b2，b3 ) ，则 a ＝ a·a a12a22a32 ， b ＝ b·b b12b22b32 ，
B.3
ห้องสมุดไป่ตู้
√C.4
D.6
由直棱柱的性质,知直线 A1B1 到平面 ABO 的距离为棱柱的高,不妨设为 t t 0 .以 O 为坐标原
点, OA,OB,OO1 所在的直线分别为 x, y, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 O(0,0,0), B(0,6,0), A1(2,0,t) , B1(0,6,t) ,则 D(1,3,t) .所以 A1B (2, 6, t),OD (1,3,t) 所以 A1B OD 2 18 t2 0 ,所以 t 4 ,故选 C.
3.2.2 利用向量证明空间中的垂直关系
垂直关系
一、基础知识
1、立体几何中如何证明两条直线垂直？
①利用定义：证明两直线所成角为 900； ②利用线面垂直的性质来证明线线垂直.
线面垂直的性质:如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线 垂直该平面内的任一直线.
αA
l B
Q C
lα AB α
l
BB1，CD 的中点，求证：D1F⊥平面 ADE.
【解析】如图,以 O 为原点建立空间直角
z
D1
C1 坐标系.设棱长为 2，由题意可得
A1
D(0,0,0),D1(0,0,2),F(0,1,0),A(2,0,0),
B1
E(2,2,1)
D xA
E C
y
D1F (0,1,2),DE (2,2,1),DA (2,0,0)
C.l1⊥l2
D.不能确定
2.设平面α的法向量为a (1,2,2) ，平面β的法向量为
b (2,4,k)，若α⊥β，则 k=( B )
A.2
B.-5
C.4
D.-2
3.已知平面α内的两个向量a (2,2,1),b (2,0,0)，则平面的一个
法向量是( A )
A.(0,1,2) B.(1,0,2) C.(1, 2, 1) D.(0,0, 2)
(1)l⊥m
(2)l//m
答案： (1)α β
(2)α //β
设两个平面α,β的法向量分别为a ,b ,则
α β ab ab0
二、自我检测
C 1、直线 l1,l2 的方向向量分别为a (1,2,2),b (2,3,2) ，则( )
空间向量与平行、垂直关系
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1308:5 9:3608: 59:36D ecembe r 13, 2020
•
6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 8时59 分36秒0 8:59:36 20.12.1 3
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Sunday, December 13, 20201
3-Dec-2020.12.13
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1308:59:3613 December 202008:59
应用举例：
例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N分别是
C1C, B1C1 的中点, 求证:MN∥平面zA1BD.
解题思路：如图建立空间直
D1
C1
角坐标系，求出平面A1BD的 A1
B1
法向量 n (1,1,1) ，只需
证明 MN n ，即证 MN n 0
y
M(0, 2, 1 ), N(1, 2, 2 )
MN (1, 0, 1)
x
MN n 1 0 1 0
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别 是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面
A1FD1.
z
略解：如图建立空间直角坐标系
设棱长为2 则 E(2, 2, 1), A( 2, 0, 0 )
DE (2, 2, 1), AE (0, 2, 1)
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/13/
2020 8:59:36 AM08:59:362020/12/13
立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系
§3.2立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．1．空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔______设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔________若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔________线线垂直线面垂直面面垂直①证明两直线的方向向量的数量积为______．①证明直线的方向向量与平面的法向量是______．①证明两个平面的法向量____________．②证明两直线所成角为______.②证明直线与平面内的相交直线________.②证明二面角的平面角为________.________.一、选择题1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于()A．1B．2C．3D．42．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．不确定 6.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．相交且垂直D ．以上都不是 二、填空题7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中：①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.能力提升12．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC ＝1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.13．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.垂直关系的常用证法(1)要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．(2)要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直． (3)要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．§3.2 立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系知识梳理1．a ⊥b a ∥u u ⊥v1．B [∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3，m )＝－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2.]2．C [∵AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，BC →＝(2,6,4)，∴AB →·AC →＝0，∴AB ⊥AC ，且|AB →|≠|AC →|≠|BC →|，∴△ABC 为直角三角形．] 3．B [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.] 4．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．] 5．B [∵a·b ＝2×1－2×3＋2×2＝0，∴a ⊥b ， ∴l 1⊥l 2.]6．C [可以建立空间直角坐标系，通过AC 1→与CE →的关系判断．] 7．－9解析 ∵l ⊥α，∴u ⊥v ， ∴(1，－3，z )·(3，－2,1)＝0， 即3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9. 8．0解析 ∵a·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0， a·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0， b·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直．9．①②③ 10．证明如图，以平面ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴，AC →、AA 1→所在直线为y 轴、z 轴，则A (0,0,0)，B 1⎝⎛⎭⎫32，12，1， M ⎝⎛⎭⎫34，34，0，N ⎝⎛⎭⎫0，1，14. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，MN →＝⎝⎛⎭⎫－34，14，14.∴AB 1→·MN →＝－38＋18＋14＝0， ∴AB 1→⊥MN →，即AB 1⊥MN . 11．证明如图，取AB 1的中点M ， 则D M →＝D C →＋CA →＋AM →. 又D M →＝DC 1→＋C 1B 1→＋B 1M →，两式相加得2D M →＝CA →＋C 1B 1→＝CA →＋CB →.由于2D M →·AA 1→＝(CA →＋CB →)·AA 1→＝0， 2D M →·AB →＝(CA →＋CB →)·(CB →－CA →) ＝|CB →|2－|CA →|2＝0.∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ， ∴DM ⊥平面ABB 1A 1，而DM ⊂平面AB 1D . ∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1. 12．证明取O 为坐标原点，以OA ，OC 所在的直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz (如图所示)．设A (1,0,0)，C (0,0,1)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，0. ∵P 为AC 中点，∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，12. ∵AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0，又由已知，可得AQ →＝13AB →＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0，又OQ →＝O A →＋AQ →＝⎝⎛⎭⎫12，36，0，∴PQ →＝OQ →－OP →＝⎝⎛⎭⎫0，36，－12.∴PQ →·O A →＝⎝⎛⎭⎫0，36，－12·(1,0,0)＝0，故PQ →⊥O A →，即PQ ⊥OA . 13.证明 如图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz . 设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)，P (0,0，2)，E (22，0，22)．于是AE →＝(22，0，22)， BC →＝(0，a,0)，PC →＝(2，a ，－2)， 则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0. 所以AE ⊥BC ，AE ⊥PC .又因为BC ∩PC ＝C ，所以AE ⊥平面PBC .。
2020秋高中数学人教版2-1学案：3.2.2空间向量与垂直关系含解析
2020秋高中数学人教A版选修2-1学案：3.2.2空间向量与垂直关系含解析3。
2。
2空间向量与垂直关系自主预习·探新知情景引入1．两向量垂直时,它们所在的直线垂直吗?2．两平面的法向量垂直时，两平面垂直吗？3．怎样用直线的方向向量和平面的法向量来描述线面垂直关系?新知导学空间垂直关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a＝（a1,a2,a3)，b＝(b1，b2，b3），平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3),v＝（v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥m__a⊥b____a·b＝0__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0l⊥α__a∥u____a＝λu，λ∈R__a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3α⊥β__u⊥v__u·v＝0u1v1＋u2v2＋u3v3＝0预习自测1．设直线l1，l2的方向量分别为a＝（－2,2,1），b＝（3,－2，m），若l1⊥l2，则m等于（D)A．－2B．2C．6D．10［解析]l1⊥l2，则a⊥b，所以－6－4＋m＝0，∴m＝10，故选D．2．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是(A)A．n1＝（1，2,1），n2＝（－3,1，1)B．n1＝（1,1,2），n2＝（－2，1，1)C．n1＝(1,1，1），n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1，2,1）,n2＝(0，－2,－2）3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测）已知直线l的方向向量a＝（－1,2,1），平面α的法向量b＝（－2，4,2),则直线l 与平面α的位置关系是（B)A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l∈α[解析]∵直线l的方向向量a＝(－1,2，1），平面α的法向量b＝（－2，4,2）,∴b＝2a，∴则b与a共线,可得：l⊥a。
故选B．4．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝（x，－2，3），且α⊥β，则x＝__－4__.[解析］α⊥β，则a⊥b，∴x－2＋6＝0，∴x＝－4。
立体几何中不易建系的用空间向量证明垂直问题。
立体几何中不易建系的用空间向量证明垂直问题。
1. 引言1.1 概述立体几何是数学中的一个重要分支，研究空间中的图形和特定关系。
建系问题是立体几何中一个常见的难题，它涉及到如何确定或构建一个合适的坐标系来描述和表示空间中的元素和关系。
在解决建系问题时，传统的方法存在一定局限性和困难，例如难以应对复杂的几何结构、缺乏普适性等。
1.2 文章结构本文将通过引入空间向量理论来探讨解决立体几何中不易建系的问题。
文章分为以下几个部分：- 引言：介绍本文的背景和论文结构。
- 立体几何中的建系问题：阐述建系定义与重要性、传统方法的局限性与困难，以及空间向量在解决建系问题中的优势。
- 空间向量证明垂直问题的基本原理与方法：讨论垂直关系的定义与特征、空间向量表示垂直关系的有效途径，以及应用空间向量证明垂直性质时需要考虑的因素。
- 实例分析：通过一个具体案例来说明使用空间向量证明垂直问题的步骤和推理过程，并对结果进行分析和讨论。
- 结论与展望：总结研究成果并得出结论，同时提出未来研究方向和进一步工作的展望。
1.3 目的本文的目的是介绍空间向量在解决立体几何中不易建系的问题中所起到的作用和优势，并通过实例分析来验证其有效性。
通过本文的研究，读者将能够理解空间向量在解决建系问题中的重要性，并了解使用空间向量证明垂直问题的基本原理与方法。
最终，本文希望为立体几何领域中建系问题的解决提供一种新思路和有价值的参考。
2. 立体几何中的建系问题：2.1 建系的定义与重要性：在立体几何中，建系是指通过选取适当的点或向量作为参照，构建坐标系或基底来描述和表示空间中的几何事物或运动。
建系是解决立体几何问题和进行进一步分析的基础，它可以帮助我们确定方向、测量距离和角度，从而推导出更多关于空间图形、运动和变换的性质。
2.2 建系方法的局限性与困难：传统的建系方法主要包括平行四边形法、角平分线法、垂直线法等。
然而，这些方法在实际应用中存在一定的局限性和困难。
空间向量与垂直关系
面A1BD．
练习 1. 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是
底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1. 求证：AB1⊥MN.
作业：2.
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 ,
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的
3.2 立体几何中的向量方法
第二课时 空间向量与垂直关系
（1）垂直关系
设直线l，m的方向向量分别为a ， b ，
平面 ，
线线垂直 线面垂直 面面垂直
的法向量分 别为 u ，v
l m a b a b 0点击
l
au
// u a u点击
两条对角线交点为D, B1C1的中点为MZ.
求证CD 平面BDM
A
A1
Hale Waihona Puke DC B XB1
C1
MY
3. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，|AB|＝|BC|＝2，|BB1|＝1，E为 BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
v uv 0
（2）用向量处理垂直问题
点击
练例习1：
B' C'
A'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
C
B
A
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1
中，M、N分别为AB、B1C的中点．求证：MN⊥平
3.2立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系 课件
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3.2 第2课时
例 2 如图所示， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中 点．求证：A1O⊥平面 GBD.
证明 方法一 如图取 D 为坐标原点， DA、DC、DD1 所在的直线分别作 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 设 正 方 体 棱 长 为 2 ， 则 O(1,1,0) ， A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)， → → → ∴OA1＝(1，－1,2)，OB＝(1,1,0)，BG＝(－2,0,1)， → → → → 而OA1· OB＝1－1＋0＝0，OA1· BG＝－2＋0＋2＝0. → → → → ∴OA1⊥OB，OA1⊥BG，即 OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而 OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面 GBD.
角坐标系．则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， → → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)， → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1.
小结 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系 →写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得 到两直线垂直．
解析 ∵(1,2,0)· (2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从 而两平面垂直．
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3.2 第2课时
4.如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝ 2， BC＝2 2， E， F 分别是 AD， PC 的中点． 证 明： PC⊥平面 BEF.
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3.2 第2课时
又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，
空间向量巧解平行、垂直关系
高中数学空间向量巧解平行、垂直关系编稿教师X咏霞一校黄楠二校杨雪审核X建彬一、考点突破知识点课标要求题型说明空间向量巧解平行、垂直关系1. 能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直。
2. 理解直线的方向向量与平面的法向量。
3. 能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立体几何中的作用。
选择题填空题解答题注意用向量方法解决平行和垂直问题中坐标系的建立以及法向量的求法。
二、重难点提示重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。
难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。
考点一：直线的方向向量与平面的法向量1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。
2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。
【核心归纳】①一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。
②在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。
【随堂练习】A〔1，1，0〕，B〔1，0，1〕，C〔0，1，1〕，那么平面ABC的一个法向量的单位向量是〔〕A. 〔1，1，1〕B. (,,)333C.111(,,)333D. (,333-思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。
答案：设平面ABC的一个法向量为n＝〔x，y，z〕，AB＝〔0，－1，1〕，BC＝〔－1，1，0〕，AC＝〔－1，0，1〕，那么·0·0·0AB y zBC x yAC x z⎧=-+=⎪⎪=-+=⎨⎪=-+=⎪⎩nnn，∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确。
技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：〔1〕设出平面的法向量为n＝〔x，y，z〕。
〔2〕找出〔求出〕平面内的两个不共线的向量a＝〔a1，b1，c1〕，b＝〔a2，b2，c2〕。
空间向量与垂直关系 课件
形.∠ABC=60°,E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰
当的空间直角坐标系,求平面DEF的法向量.z
【解题指南】解答本题的关键是
依据平面PAB⊥平面ABCD,寻找并
证明平面ABCD的垂线,建立恰当
的空间直角坐标系.
x
y
【解析】因为PA=PB,F为AB的中点,所以PF⊥AB, 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面 ABCD=AB,PF⊂平面PAB. 所以PF⊥平面ABCD,因为AB=BC,∠ABC=60°, 所以△ABC是等边三角形,所以CF⊥AB. 以F为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图所示).
所以 AB1 1,2, 3 ,BA1 1,2, 3 ,BD 2,1,0.
方法一:因为 AB1 BA1 =1×(-1)+2×2+(- 3 )× 3 =0.
AB1 BD =1×(-2)+2×1+(- 3 )×0=0. 所以 AB1 BA1，AB1 BD， 即AB1⊥BA1,AB1⊥BD. 又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.
【方法技巧】
1.利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)选向量:在平面内选取两不共线向量,.
(3)列方程组:由
n
AB 0，
列出方程组.
n AC 0
(4)解方程组:
n AB 0，
n AC 0
(5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论:得到平面的一个法向量.
空间向量与垂直关系
探究点1 垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
(1) l m a b a b 0.
空间向量与平行、垂直关系
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证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直， 以B为原点,分别以BA，BC，BB1所在直线 为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0， 2，0)，C1(0，2，1)，
On the evening of July 24, 2021
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【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz， 则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， 所以F→C1＝(0，2，1)， D→A＝(2，0，0)，A→E＝(0，2，1)．
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变式训练 3. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC ，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求 证：平面AEC124, 2021
空间向量与平行、垂直关系
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3．2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
On the evening of July 24, 2021
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【解】 如图，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 1， 则 A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，
E21，1，0，C1(0，1，1)，D(0，0，0)， F0，1，12.(1 分)
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设PA＝PB＝PC＝3,则
C
G (1,1,0) F (0,1,0)
E
P
F
B
DG
y
A
知识点四:利用垂直关系判断存在性
例4. 直 三 棱 柱ABC - A1B1C1中,底 面 是 以ABC
为直角的等腰直角三角形, AC 2, BB1 3,
D是A1C1的 中 点, 在 线 段AA1上 是 否 存在 点F ,
建系前先证OC,OB,OM 两两垂直
E(0,- 3,0),
D(1,0,1),
E
A(0, 3,2)
z
A
M
D
O
By
C x
A
知识点三:证明面面垂直
变式 :在正三棱锥P－ABC中, 三条侧棱两两相
互垂直,G为△PAB的重心 , 点E,F分别BC,
PB上,BE:EC＝PF:FB＝1:2,
求证:平面EFG ⊥平面PBC .
b
a
线面垂直
a
b
B
l
^
a,
l
^
b
l
^a
面面垂直
a
^
n
^
m
作业
《高效评价训练》 P143 T11 , P144 T7,8
使点A与点B之间的距离为AB 3,
求证: BA ^ 平面ACD. z
C
D(0,0,0),C(0,0, 2),
B(0,2,0), A( 3 , 1 ,0)Biblioteka 22 ADBy
x
A'
知识点三:证明面面垂直
例3 . 在四棱锥E－ABCD中, AB ⊥平面BCE , CD⊥面BCE , AB＝BC＝CE＝2CD＝2, ∠BCE＝120°, 求证:平面ADE ⊥平面ABE .
x
知识点二:证明线面垂直
例2.在正方体ABCD - A1B1C1D1中, E, F分别是
A1B1, B1C1的中点, 试在棱BB1上找一点M ,
使得DM ^ 平面EFB.
z
待定系数法:
D1
C1
设正方体棱长为1, 设点M的坐标为(1,1,z)
A1
E
F
B1
D
A x
MC y
B
知识点二:证明线面垂直
练习:如图,已知ABC中,ACB 900 ,CD ^ AB, 且AD 1, DB 2, ACD绕CD旋转至ACD,
别为AB, CC1上的点, AE=CF.
求证: A1F ⊥B1E .
z
思考: 如果不用向量,
D1
该如何证明? A1
B1
C1
证明 B1E ⊥平面A1GFD1
F
D
GC
A
y B
E
x
知识点一:证明线线垂直
练习: 如图在棱长为1 的正四面体ABCD中, 求证 : BC ^ AD. D(0,0,0)
z
A
C (0,1,0)
＝ A1A＋l AE ,
E
D
C
MF
y
xA
B
在处理线面位置关系时 一般应按以下方式处理 1.一般情况用传统的性质法； 2.若用性质法较难或过程较繁琐
或含有动点问题就用坐标法； 3.如果以上两种方法均不好用
就用（不建系）向量法.
课堂小结
线线垂直
a ^ b a·b 0
a
a
,
使CF ^ 平面B1DF , 若存在,求出AF的长,
若 不 存 在, 说 明 理 由. 假设存在这样的点F,设点
z B1
C1
F的坐标为( 2 , 0 , z ),那么 A1
D
B1D＝ (
2 2
,
2 ,0) 2
F
y
FB1＝ (－ 2 , 0 , 3－z )
B
C
FC＝ (－ 2 , 2 ,－z ) x A
知识点四:利用垂直关系判断存在性
变式.如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是 BB1, CD的中点.
(1)证明:平面AED⊥平面A1FD1; (2)在AE上是否存在一点M,使得A1M⊥平面AED?
假设存在这样的点M,
z D1
C1
设 AM＝l AE, 则
A1
B1
A1M＝A1A ＋AM
C
E
y
D O
B
x
B( 3 , 1 ,0), 22
A( 3 , 1 , 6 ) 623
知识点一:证明线线垂直
练习: 如图在棱长为1 的正四面体ABCD中,
求证 : BC ^ AD.
z A
D(0,- 3 ,0)
3
A(0,0, 6 ) 3
B( 1 , 3 ,0)
C
26
E
D
O
y
B
C(- 1 , 3 ,0) 26
m
l
a b
线线垂直转化为向 量的数量积为0
(1) l ^ m a ^ b a ·b ＝0
注意:此法的应用相当广泛, 不仅用于证线线垂直, 还可用于证线面垂直,
线面垂平 设直面 直:a线的l 的法方向向量向分量别分为别u,为则a:,
u
A
a
al
D C
B
线面垂直转化 为向量共线
(2) l ^ a a u a ＝l u
空间向量与垂直关系
直线的方向向量与平面的法向量
1.直线的方向向量的定义:
a l
与这条直线平行或共线的非零向量.
注意:直线的方向向量有无数个.
l
2.平面的法向量的定义:
a
直线 l ^ a ,取直线 l 的方向向量 a ,
则 a 叫做平面 a 的法向量.
a
注意:平面 的法向量也有无数个.
线线垂直:
设直线l, m 的方向向量分别为a、b, 则 :
注意:我们一般不用此法证线面垂直, 因为求法向量的过程比较复杂.
面面垂直:
平面a、 的法向量分别为u、v, 则 :
u
v
a
面面垂直转化为向 量的数量积为0
(3) a ^ u v u ·v ＝0
知识点一:证明线线垂直
例1. 如图, 在正方体 ABCD－A1B1C1D1中, E, F分