空间向量与垂直关系
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空间向量与垂直关系
直线的方向向量与平面的法向量
1.直线的方向向量的定义:
a l
与这条直线平行或共线的非零向量.
注意:直线的方向向量有无数个.
l
2.平面的法向量的定义:
a
直线 l ^ a ,取直线 l 的方向向量 a ,
则 a 叫做平面 a 的法向量.
a
注意:平面 的法向量也有无数个.
线线垂直:
设直线l, m 的方向向量分别为a、b, 则 :
注意:我们一般不用此法证线面垂直, 因为求法向量的过程比较复杂.
面面垂直:
平面a、 的法向量分别为u、v, 则 :
u
v
a
面面垂直转化为向 量的数量积为0
(3) a ^ u v u ·v ＝0
知识点一:证明线线垂直
例1. 如图, 在正方体 ABCD－A1B1C1D1中, E, F分
m
l
a b
线线垂直转化为向 量的数量积为0
(1) l ^ m a ^ b a ·b ＝0
注意:此法的应用相当广泛, 不仅用于证线线垂直, 还可用于证线面垂直,
线面垂平 设直面 直:a线的l 的法方向向量向分量别分为别u,为则a:,
u
A
a
al
D C
B
线面垂直转化 为向量共线
(2) l ^ a a u a ＝l u
别为AB, CC1上的点, AE=CF.
求证: A1F ⊥B1E .
z
思考: 如果不用向量,
D1
该如何证明? A1
B1
C1
证明 B1E ⊥平面A1GFD1
ห้องสมุดไป่ตู้
F
D
GC
A
y B
E
x
知识点一:证明线线垂直
练习: 如图在棱长为1 的正四面体ABCD中, 求证 : BC ^ AD. D(0,0,0)
z
A
C (0,1,0)
建系前先证OC,OB,OM 两两垂直
E(0,- 3,0),
D(1,0,1),
E
A(0, 3,2)
z
A
M
D
O
By
C x
A
知识点三:证明面面垂直
变式 :在正三棱锥P－ABC中, 三条侧棱两两相
互垂直,G为△PAB的重心 , 点E,F分别BC,
PB上,BE:EC＝PF:FB＝1:2,
求证:平面EFG ⊥平面PBC .
使CF ^ 平面B1DF , 若存在,求出AF的长,
若 不 存 在, 说 明 理 由. 假设存在这样的点F,设点
z B1
C1
F的坐标为( 2 , 0 , z ),那么 A1
D
B1D＝ (
2 2
,
2 ,0) 2
F
y
FB1＝ (－ 2 , 0 , 3－z )
B
C
FC＝ (－ 2 , 2 ,－z ) x A
＝ A1A＋l AE ,
E
D
C
MF
y
xA
B
在处理线面位置关系时 一般应按以下方式处理 1.一般情况用传统的性质法； 2.若用性质法较难或过程较繁琐
或含有动点问题就用坐标法； 3.如果以上两种方法均不好用
就用（不建系）向量法.
课堂小结
线线垂直
a ^ b a·b 0
a
a
,
使点A与点B之间的距离为AB 3,
求证: BA ^ 平面ACD. z
C
D(0,0,0),C(0,0, 2),
B(0,2,0), A( 3 , 1 ,0)
22 A
D
B
y
x
A'
知识点三:证明面面垂直
例3 . 在四棱锥E－ABCD中, AB ⊥平面BCE , CD⊥面BCE , AB＝BC＝CE＝2CD＝2, ∠BCE＝120°, 求证:平面ADE ⊥平面ABE .
z
设PA＝PB＝PC＝3,则
C
G (1,1,0) F (0,1,0)
E
P
F
B
DG
y
A
知识点四:利用垂直关系判断存在性
例4. 直 三 棱 柱ABC - A1B1C1中,底 面 是 以ABC
为直角的等腰直角三角形, AC 2, BB1 3,
D是A1C1的 中 点, 在 线 段AA1上 是 否 存在 点F ,
b
a
线面垂直
a
b
B
l
^
a,
l
^
b
l
^a
面面垂直
a
^
n
^
m
作业
《高效评价训练》 P143 T11 , P144 T7,8
C
E
y
D O
B
x
B( 3 , 1 ,0), 22
A( 3 , 1 , 6 ) 623
知识点一:证明线线垂直
练习: 如图在棱长为1 的正四面体ABCD中,
求证 : BC ^ AD.
z A
D(0,- 3 ,0)
3
A(0,0, 6 ) 3
B( 1 , 3 ,0)
C
26
E
D
O
y
B
C(- 1 , 3 ,0) 26
x
知识点二:证明线面垂直
例2.在正方体ABCD - A1B1C1D1中, E, F分别是
A1B1, B1C1的中点, 试在棱BB1上找一点M ,
使得DM ^ 平面EFB.
z
待定系数法:
D1
C1
设正方体棱长为1, 设点M的坐标为(1,1,z)
A1
E
F
B1
D
A x
MC y
B
知识点二:证明线面垂直
练习:如图,已知ABC中,ACB 900 ,CD ^ AB, 且AD 1, DB 2, ACD绕CD旋转至ACD,
知识点四:利用垂直关系判断存在性
变式.如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是 BB1, CD的中点.
(1)证明:平面AED⊥平面A1FD1; (2)在AE上是否存在一点M,使得A1M⊥平面AED?
假设存在这样的点M,
z D1
C1
设 AM＝l AE, 则
A1
B1
A1M＝A1A ＋AM
直线的方向向量与平面的法向量
1.直线的方向向量的定义:
a l
与这条直线平行或共线的非零向量.
注意:直线的方向向量有无数个.
l
2.平面的法向量的定义:
a
直线 l ^ a ,取直线 l 的方向向量 a ,
则 a 叫做平面 a 的法向量.
a
注意:平面 的法向量也有无数个.
线线垂直:
设直线l, m 的方向向量分别为a、b, 则 :
注意:我们一般不用此法证线面垂直, 因为求法向量的过程比较复杂.
面面垂直:
平面a、 的法向量分别为u、v, 则 :
u
v
a
面面垂直转化为向 量的数量积为0
(3) a ^ u v u ·v ＝0
知识点一:证明线线垂直
例1. 如图, 在正方体 ABCD－A1B1C1D1中, E, F分
m
l
a b
线线垂直转化为向 量的数量积为0
(1) l ^ m a ^ b a ·b ＝0
注意:此法的应用相当广泛, 不仅用于证线线垂直, 还可用于证线面垂直,
线面垂平 设直面 直:a线的l 的法方向向量向分量别分为别u,为则a:,
u
A
a
al
D C
B
线面垂直转化 为向量共线
(2) l ^ a a u a ＝l u
别为AB, CC1上的点, AE=CF.
求证: A1F ⊥B1E .
z
思考: 如果不用向量,
D1
该如何证明? A1
B1
C1
证明 B1E ⊥平面A1GFD1
ห้องสมุดไป่ตู้
F
D
GC
A
y B
E
x
知识点一:证明线线垂直
练习: 如图在棱长为1 的正四面体ABCD中, 求证 : BC ^ AD. D(0,0,0)
z
A
C (0,1,0)
建系前先证OC,OB,OM 两两垂直
E(0,- 3,0),
D(1,0,1),
E
A(0, 3,2)
z
A
M
D
O
By
C x
A
知识点三:证明面面垂直
变式 :在正三棱锥P－ABC中, 三条侧棱两两相
互垂直,G为△PAB的重心 , 点E,F分别BC,
PB上,BE:EC＝PF:FB＝1:2,
求证:平面EFG ⊥平面PBC .
使CF ^ 平面B1DF , 若存在,求出AF的长,
若 不 存 在, 说 明 理 由. 假设存在这样的点F,设点
z B1
C1
F的坐标为( 2 , 0 , z ),那么 A1
D
B1D＝ (
2 2
,
2 ,0) 2
F
y
FB1＝ (－ 2 , 0 , 3－z )
B
C
FC＝ (－ 2 , 2 ,－z ) x A
＝ A1A＋l AE ,
E
D
C
MF
y
xA
B
在处理线面位置关系时 一般应按以下方式处理 1.一般情况用传统的性质法； 2.若用性质法较难或过程较繁琐
或含有动点问题就用坐标法； 3.如果以上两种方法均不好用
就用（不建系）向量法.
课堂小结
线线垂直
a ^ b a·b 0
a
a
,
使点A与点B之间的距离为AB 3,
求证: BA ^ 平面ACD. z
C
D(0,0,0),C(0,0, 2),
B(0,2,0), A( 3 , 1 ,0)
22 A
D
B
y
x
A'
知识点三:证明面面垂直
例3 . 在四棱锥E－ABCD中, AB ⊥平面BCE , CD⊥面BCE , AB＝BC＝CE＝2CD＝2, ∠BCE＝120°, 求证:平面ADE ⊥平面ABE .
z
设PA＝PB＝PC＝3,则
C
G (1,1,0) F (0,1,0)
E
P
F
B
DG
y
A
知识点四:利用垂直关系判断存在性
例4. 直 三 棱 柱ABC - A1B1C1中,底 面 是 以ABC
为直角的等腰直角三角形, AC 2, BB1 3,
D是A1C1的 中 点, 在 线 段AA1上 是 否 存在 点F ,
b
a
线面垂直
a
b
B
l
^
a,
l
^
b
l
^a
面面垂直
a
^
n
^
m
作业
《高效评价训练》 P143 T11 , P144 T7,8
C
E
y
D O
B
x
B( 3 , 1 ,0), 22
A( 3 , 1 , 6 ) 623
知识点一:证明线线垂直
练习: 如图在棱长为1 的正四面体ABCD中,
求证 : BC ^ AD.
z A
D(0,- 3 ,0)
3
A(0,0, 6 ) 3
B( 1 , 3 ,0)
C
26
E
D
O
y
B
C(- 1 , 3 ,0) 26
x
知识点二:证明线面垂直
例2.在正方体ABCD - A1B1C1D1中, E, F分别是
A1B1, B1C1的中点, 试在棱BB1上找一点M ,
使得DM ^ 平面EFB.
z
待定系数法:
D1
C1
设正方体棱长为1, 设点M的坐标为(1,1,z)
A1
E
F
B1
D
A x
MC y
B
知识点二:证明线面垂直
练习:如图,已知ABC中,ACB 900 ,CD ^ AB, 且AD 1, DB 2, ACD绕CD旋转至ACD,
知识点四:利用垂直关系判断存在性
变式.如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是 BB1, CD的中点.
(1)证明:平面AED⊥平面A1FD1; (2)在AE上是否存在一点M,使得A1M⊥平面AED?
假设存在这样的点M,
z D1
C1
设 AM＝l AE, 则
A1
B1
A1M＝A1A ＋AM