线性谐振子的不同解法比较
几种求解线性谐振子基态能方法的比较
系统时，有简单而直观的表达式，便于求解。 而代数方法在很早就有了广泛的应用，比如 量子力学的矩阵形式，就是一种代数方法。 本文求解谐振子能量本征值的代数方法，在 处理如分子，晶格，原子核的振动，相干态 等问题时，可以广泛应用。在原子、分子、 原子核和基本粒子束缚态的研究中，变分法 的应用非常普遍。在一些简单的情况下，只 需要很少几个变分参量就可以得到符合要 求的近似解。特别是单参量的试探波函数， 有很简单的解析表达式，计算一些相关物理 量非常方便。不确定关系作为量子力学的一 个基本理论，用它解决一些物理问题能给出 比较清晰地物理图像。
解：一维谐振子的哈密顿量为（采用自然单
位 h = m = ω = 1）：
H
=
−
1 2
d2 dx2
+
1 2
x2
选取基态试探波函数为
x
ψ = N (1 − a )
x <a
（4）
0
x <a
其中 a 为变分参数，N 为归一化常数。
由归一化条件可得
∫ ∫ ψ 2dx = N 2
a
(1 −
x2 ) dx
−a
a
∫ = 2N 2a 1(1− ξ )2 dξ 0
对易关系和哈密顿算符为出发点，利用薛定 谔因式分解的方法，经过递推而求解。其求 解的方法非常简单巧妙，虽然不普遍，但是 在解决一些问题还是可以用到，如解决两个 角动量合成角动量的本征值和本征态问题。 变分法常用来计算系统的基态和前几个激 发态。然而，用任意波函数计算出来的平均 值能量总是不小于基态能量，如以上用变分
4 推广
简谐振子模型是量子力学中极其简单 而又重要的模型，它作为一个精确可解的量 子力学模型，体现了周期运动的基本特性，
关于电场中线性谐振子问题的求解
关于电场中线性谐振子问题的求解张小伟【摘要】线性谐振子是量子力学中非常重要的一个模型,本文列举了求解电场中线性谐振子能量和波函数的不同方法,并比较几种方法的优缺点.【期刊名称】《黑龙江科学》【年(卷),期】2017(008)010【总页数】3页(P178-180)【关键词】线性谐振子;微扰理论;费曼-海尔曼定理【作者】张小伟【作者单位】黔南民族师范学院物理与电子科学学院,贵州都匀 558000【正文语种】中文【中图分类】O413.1量子力学中关于线性谐振子的研究很多，最主要是因为谐振子往往可作许多复杂运动的初步近似，所以谐振子的研究，无论在理论还是在应用方面都很重要。
量子力学的各类教程中，最基本的是用薛定谔方程求解一维线性谐振子的能量和波函数。
本文列举几种不同方法求解电场中的一维谐振子的能量和波函数，并对不同方法进行比较。
设电荷为q的一维谐振子，将其放在均匀电场ε中，谐振子的势能为mω2x2-qεx，则体系哈密顿算符为：一维自由线性谐振子的能量和波函数可以通过解定态薛定谔方程求得，能级为：能级间隔为ћω，对应能量En的波函数为：由归一化条件可求得归一化系数：带电谐振子因为受到电场的作用，其哈密顿算符中势能项多了一个变量的一次项-qεx。
用坐标平移法(1)式可变为：令式变为：其中，可见′所表示的体系可看成自由线性谐振子，相应各级的能级为：所以带电线性谐振子能级：能级间隔为ћω，可见电场并没有改变谐振子的能级间隔。
对应的波函数为，则En对应的波函数和几率密度为：由(7)、(8)式和(9)式可知，相对无电场时的线性谐振子，电场并没有改变谐振子的能谱形状，只是各级能级比相应的能级降低了，波函数和几率密度的平衡点右平移了个单位。
针对带电线性谐振子的问题，体系的哈密顿算符不是时间的显函数，要用到定态微扰理论求解，微扰理论一般是从简单问题的精确解出发求解复杂问题的近似解。
若电场为弱电场，则线性谐振子的哈密顿量可写成：其中mω2x2是可以精确求解的哈密顿量，求得的能级等于(2)式，波函数等于(3)式的结果，′=-qεx可看成微扰项。
谐振子薛定谔方程的简单解法
谐振子薛定谔方程的简单解法谐振子薛定谔方程是一个常见的量子力学问题，求解它的方法有许多种。
其中比较简单的一种方法是使用升降算符法，即通过引入升降算符，将原方程转化为一系列易于求解的简单形式。
具体来说，假设谐振子的薛定谔方程为：（-h^2/(2m) d^2/dx^2 + 1/2 kx^2)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，h是普朗克常数，m是质量，k是弹性常数，E是能量，ψ(x)是波函数。
按照升降算符法的思路，我们可以定义两个算符a和a†，它们分别满足以下关系：aψ(x) = (√(mω/2h))(d/dx + (i/√2mω)x)ψ(x)。
a†ψ(x) = (√(mω/2h)) (d/dx - (i/√2mω)x)ψ(x)。
其中ω是谐振子的角频率，满足ω=√(k/m)。
容易证明，a†a和aa†的作用效果如下：a†aψ(x)=(1/2ωh)(p^2+(mωx)^2)ψ(x)-(1/2)ψ(x)。
aa†ψ(x) = (1/2ωh) (p^2 + (mωx)^2 + ωh)ψ(x)。
其中p是动量算符。
注意到上式中出现了p^2和x^2的和，这意味着我们可以将原方程改写为：(a†a+1/2)ψ(x)=(E/ωh)ψ(x)。
于是我们得到了简单的形式，可以逐层求解，直到得到某个特定的能级E的波函数。
具体过程如下：1.对于能量E，我们可以通过求解a†aψ(x)=vψ(x)的形式得到v，这里的v相当于E/ωh-1/2。
由于a†a的本征值是非负的，因此v必须大于等于0，即E/ωh必须大于等于1/2。
2.再对a†aψ(x)=vψ(x)做“降阶”，即对每个v对应的本征函数分别应用a算符，得到下一个v对应的本征函数。
这里需要注意，由于a算符作用后产生的新波函数在一般情况下不是归一化的，需要对其进行归一化。
3.重复步骤2，直到得到所需的能级E的波函数为止。
这种方法虽然比较简单，但需要一定的数学功底和物理理解能力。
在实际应用中，也可以使用其他更为高级的方法来求解谐振子的薛定谔方程，如行列式方法、路径积分方法等。
线性谐振子
• （一）引言
l
（1）何谓谐振子
l
（2）为什么研究线性谐振子
l （二）线性谐振子
l
（1）方程的建立
l
（2）求解
l
（3）应用标准条件
l
（4）厄密多项式
l
（5）求归一化系数
l
（6）讨论
l （三）实例
1
（一）引言
（1）何谓谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F = - kx作用， 由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
ξ2 >> ± 1
d 2 d 2
d
d
[ ]
d d
[ 2 1]
2
所以
c1e 2 / 2 c2e 2 / 2
因整个波函数尚未归一 化，所以c1可以令其等
波函数有 限性条件：
当ξ→±∞ 时， 应有 c2 = 0，
(x
xa
a)
2!
x 2
( x a)2
xa
V (a) V0
V 0 x xa
V(x)
V0
1 2!
2V x 2
( x a)2
xa
V0
1 2
k(x
a)2
a
x
0
V0
其中：k
2V x 2
3
xa
•
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振
d2x dt 2
kx
x 2 x 0
其中 k
其解为 x = Asin(ω t + δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运
6-4-7一维线性谐振子
6-4-7 定态薛定谔方程的应用（三）线性谐振子其能量是振幅的连续函数一、经典线性谐振子在势场中运动的质量为的微观粒子2221)(x m x U m 二、量子线性谐振子xU 当时，势能谐振子的势能曲线亦为无限深势阱，只不过不是方势阱而已，所以粒子只能作有限的运动，即处于束缚态。
221E m A 2 谐振子在运动中能量守恒定态薛定谔方程1.谐振子的能量， )21()21( h n n E n n = 0, 1, 2, (22)222()1()()22d x m x x E x m dx (1) 能量量子化经典：能量连续(2) 最低能级01E h 2经典：的态对应00 E 0p x 零点能零点能不等于零是量子效应，是微观粒子波粒二相性的表现。
不可能静止E n nh 普朗克谐振子的能量：n = 1, 2, …(3) 能级间隔均匀E h假想存在许多虚构的粒子，其每个的能量为h 这种粒子叫做量子（Quantum ）在晶体中，这种量子叫做声子phonon(4) 当n 时，符合玻尔对应原理。
能量量子化 能量连续， 0Δ nE E(1)在E <U 区，概率密度不为0——隧道效应2. 概率密度例如基态位置概率分布在x =0处最大，经典振子在x = 0处概率最小。
(3) n 小时，概率分布与经典谐振子完全不同xn 很大E n E 1E 2E 00U (x )21 2n 22 20 (2) 波函数有n 个零点，在零点处概率为零。
n 为奇数时，x =0处，概率为零。
经典：无零点。
当n 时，符合玻尔对应原理。
量子概率分布 经典概率分布，简谐振子n =11 时的概率密度分布：211 11n x虚线是经典结果(4)只有在n 较大的情况下，有与经典相似。
谐振子的定态薛定谔方程谐振子的能量量子化线性谐振子势函数2221)(x m x U 小结22222()1()()22d x m x x E x m dx ， )21()21( h n n E n ,2,1,0 n。
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示1. 引言1.1 介绍一维线性谐振子概念一维线性谐振子是量子力学中常见的模型之一，它是一种简单但非常重要的系统。
在一维线性谐振子中，质点受到一个与位移成正比的恢复力作用，该系统的势能函数可以表示为一个二次函数。
谐振子是一种能永远保持振动的系统，其运动的频率只取决于系统的质量和弹性常数，而与振幅和初相位无关。
一维线性谐振子在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在分子振动、固体声子、原子力显微镜等领域都有着重要作用。
谐振子模型的基本方程是薛定谔方程，通过求解薛定谔方程可以得到谐振子的波函数和能量本征值。
波函数描述了谐振子在不同位置处的可能性振动状态，它可以用来计算系统的物理量，如位置、动量、能量等。
概率分布是描述粒子在不同位置或状态的可能性的函数，对于一维线性谐振子而言，概率分布可以帮助我们了解系统的稳定性和振动行为。
在量子力学中，概率分布是一个非常重要的概念，它反映了粒子在不同态中的出现可能性，是描述微观粒子行为的关键工具。
通过研究一维线性谐振子的波函数和概率分布，我们可以深入理解量子系统的性质和行为，为进一步的物理研究提供基础和指导。
1.2 谐振子波函数的意义谐振子波函数是描述谐振子系统状态的数学函数。
在量子力学中，波函数是描述微观粒子运动及性质的基本工具，而谐振子波函数则是描述谐振子系统可能状态的函数。
谐振子波函数的意义在于通过波函数的数学表达，我们可以揭示谐振子系统的量子性质，如能级结构、态的叠加等。
波函数的意义还在于它可以用来计算系统的物理量，比如位置、动量、能量等的期望值。
谐振子波函数的意义还体现在其具有很强的几何意义。
波函数的模的平方代表了在空间中找到粒子的概率密度，而相位则含有波函数的相对相位信息。
通过波函数的几何意义，我们可以直观理解谐振子系统的量子态分布规律，如波函数的振幅大小和位置分布的关系等。
谐振子波函数的意义在于提供了描述谐振子系统状态的数学工具，揭示了系统的量子性质和几何结构。
物理-经典力学和量子力学中的谐振子
致谢…………………………………………………………………………………………13
经典力学和量子力学中的谐振子
摘要：谐振子在经典力学和量子力学中都是比较重要的问题，原因在于简谐振动广泛存在于自然界中，而许多体系都可以看成谐振子。本文着重介绍了经典力学中谐振子的的几种类别及其相关物理量的求解和量子力学中一维谐振子、三维谐振子以及相干态的相关知识，最后对经典和量子两个范畴内的谐振子进行了比较。
而且加速度a等于x的二次微分导数，得： (1.1.3)
若定义 ，则方程可以写为： (1.1.4)
又因为： (1.1.5)
然后代回（1.1.4）式，得到：
对方程积分，得： (1.1.6)
其中K是积分常数，设 ，得到：
(1.1.7)
再对方程积分，结果（包括积分常数 ）为：
(1.1.8)
并有一般解为：
(1.1.9)
(2.8)
x与p算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系：
.(2.9)
利用上面关系，我们可以证明如下等式：
(2.10)
于是引入一个厄米算符
(2.11)
即：
(2.12)
既然与 有简单的线性关系，它们必可同时对角化。记 的一个本征值为n的本征态为 ：
(2.13)
则
，(2.14)
表示 态的能量本征值为：
(2.15)
关键字：谐振子；经典力学；量子力学；相干态
Abstract：Harmonic oscillator is importantin bothclassical and quantum mechanics. The reason is that simple harmonic oscillationwidely existsin nature, and many systems can be viewed as harmonic oscillatorsystem.In this paper, wemainly introduce the solution of the several categories and their relating physics terms of oscillator in classical mechanics and the relevantpropertyof one-dimensional harmonic oscillator, the three dimensional harmonic oscillator,anditscoherent state in quantum mechanics,finally compareharmonic oscillator in classical mechanics with that in quantum mechanics.
8线性谐振子
h
ξ = αx
λ=
2E hω
d2 ψ (ξ ) + (λ − ξ 2 )ψ (ξ ) = 0 dξ 2
d2 ψ (ξ ) + (λ − ξ 2 )ψ (ξ ) = 0 dξ 2
（*）
此方程不能直接求解， 的渐进解， 此方程不能直接求解，可先求 ξ → ±∞的渐进解，由于 λ << ξ 2 ，则方 程退化为 d2 ψ − ξ 2ψ = 0 dξ 2 其渐进解为 验证： 验证：
一、问题提出
U 0 0 < x < a U ( x) = 0 x < 0, x > a E > U0
U ( x)
当
经典情况：当 粒子可以越过势垒； 经典情况： 时，粒子可以越过势垒； E < U0 粒子被势垒反射，不能通过。 时，粒子被势垒反射，不能通过。 量子情况： 量子情况：？
U0
x
二、方程的求解
利用级数方法求解厄密方程，这个级数必须含有有限项， 利用级数方法求解厄密方程，这个级数必须含有有限项，才能 有限， 为奇数， 在 ξ → ±∞ 时使 ψ (ξ )有限，而级数含有有限项的条件是 λ 为奇数，即
λ = 2n + 1
n = 0,1,2,...
2E 所以， 因为 λ = ，所以，一维线性谐振子的能级为 hω 1 E n = n + h ω n = 0,1,2,... 2
2
。
/2
H (ξ )
H (ξ ) 满足条件： 满足条件：
应有限； （1）在 ξ 有限时 H (ξ ) 应有限； H （2）当 ξ → ±∞ 时， (ξ ) 也必须保证 ψ (ξ ) → 0 。
量子力学线性谐振子（精品pdf）
６１§2.7线性谐振子(理想模型)重点：线性谐振子问题的本征解难点：结果讨论及其理解一、参考模型无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型。
任何体系在稳定平衡点附近的运动都可以近似地看作一维谐振子。
如双原子分子的振动，晶体结构中原子和离子的振动，核振动等等都使用了谐振子模型，辐射场也可以看作线性谐振子的集合。
以双原子分子为例： 双原子分子中两原子间的势能U 是两原子间距离x 的函数，其形状如图所示。
在a x =处势能有一极小值，这是一个稳定平衡点，在这点附近，)x (U 可以展为)a x (−的幂级数，且注意到 0x Ua x =∂∂= 则：....)a x )(a (''U !21)a (U )x (U 2+−+= 若忽略高次项，且令)a (''U k =， 则有：2)a x (k 21)a (U )x (U −+= 再令0)a (U =；a x 'x −=，则有2'kx 21)'x (U =，可以写成： 2kx 21)x (U =(1) 其中2k μω=。
６２ 凡是在势能为2kx 21)x (U =的场中运动的微观体系都称之为线性谐振子。
二、线性谐振子的本征问题1.体系的哈密顿及本征方程 22222x 21dx d 2H ˆμω+μ−=h )x (E )x (]x 21dx d 2[22222ψ=ψμω+μ−h 2.本征方程的求解 方程两边同乘以ωh 2得： ψω=ψμω+ψμω−h h h E 2x dx d 222 令hμω=α；x α=ξ；ω=λh E 2 (2) 得到：0)()()(d d 222=ξψξ−λ+ξψξ(3) 由于方程0)()()(d d 222=ξψξ−λ+ξψξ不能直接求解，可先求±∞→ξ的渐进解，此时由于λ与2ξ相比可以忽略，则方程退化为： 0d d 222=ψξ−ψξ—渐近方程 (4) 其渐进解为：221e )(ξ±∝ξψ 由波函数的有限性(满足0)(⎯⎯→⎯ξψ∞→ξ)知，只能取2/2e )(ξ−∝ξψ６３ 的解，于是可以令方程0)()()(d d 222=ξψξ−λ+ξψξ的一般解为： )(H e )(2/2ξ=ξψξ− (5) 其中待求函数)(H ξ应满足条件：a. 在ξ有限时)(H ξ应为有限；b. 当±∞→ξ时，)(H ξ也必须保证)(ξψ有限，即0)(→ξψ。
线性谐振子相图研究
文献综述题目：线性谐振子相图研究姓名：学号：系别：物理与电子信息工程系专业：物理学年级：指导教师：2009年2月7 日文献综述一、前言线性谐振子是量子力学中可以精确求解的有限几个事例之一[1]，其中最简单的线性谐振子是简谐振子。
自然界中任何一个力学系统，只要某一个物理量在其稳定平衡点附近作微小振动，便可以用简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等。
在选择适当的坐标系之后，复杂的运动往往可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动（simple harmonic vibration ）。
简谐振动作为一种最简单最基本的振动，往往还是复杂运动的初步近似，是研究振动的基础。
因此研究它在理论上和应用上都有重大的意义。
其中从相空间的角度来研究振动系统的力学问题如今已经成为一个研究趋势。
因为相图里包含着完整的力学系统的全部信息，无须去解复杂的运动方程[2]。
计算机技术软硬件的飞速发展，为此研究趋势提供了现实条件。
本论文从简谐振子的基本定义出发，在Fortran 90条件下进行数值模拟并在Origin75 软件下获得简谐振子的相图。
二、主体2.1简谐振动的定义定义一： 物体只在弹性力或准弹性 （线性回复力）作用下发生的运动，即动力学方程为的运动为简谐振动[2]。
定义二： 在无外来强迫力作用下, 物体相对于平衡点的位移随时间按余弦（或正弦）规律变化即 则称物体作简谐振动式即简谐振动的表达式[3]。
—振幅；—角频率；—相位；—初相位。
位移随时间的变化曲线称为振动曲线。
广义定义：某个物理量随时间的变化是按正弦或余弦规律，则可称该物理量做简谐动，可用表示 。
自然界中任何一个力学系统中，只要某一个物理量在其稳定平衡点附近作微小振动，便可以用这种简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动，原子核表面振动、辐射场的振动以及电磁场振动等等。
2.2简谐振动的基本特征及动力学特征简谐振动位移随时间的变化 cos()x A t ωφ=+222d d xx o tω+=()cos()x t A t ωφ=+()cos()x t A t ωφ=+物体作简谐振动时,速度为：物体作简谐振动时，加速度为：可见物体做简谐振动时，其速度、加速度都以同样的角频率作简谐振动，相位依次超前π/2。
线性谐振子量子力学课件
对应的波函数是：
1 2
1 2x2
n (x) Nn H n ( ) e 2 Nn H n (x) e 2 .(
)
(3.2 9)
Nn是归一化常数，利用特殊积分
ex2 dx ,
可得
Nn
2n
n
. !
2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是
E0
1
2
；(3)能级
的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψnn(x) (4)ψn(x)有
当ξ→±∞时，方程变为：
d 2 d 2
2 .
我们发现它有近似解：
12
() ~ e 2 .
但是 e 2 /2 应该舍去。
所以再进行变换：
12
() e 2 H(),
可得关于H(ξ)的如下方程：
d 2 H 2 dH ( 1)H 0. (3.2 4)
d 2
d
二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它 是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见 问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概 括，而且更是将来场量子化的基础。
d
dt
a
cos(t
)
a
(1
a
2 2
)
1 2
所以几率密度与 (1 2
/
a
2
)
1 2
成比例。
一维线性谐振子
一维线性谐振子一维线性谐振子势能为2221)(x x U μω= 能量本征值 ω )21(+=n E n),2,1,0( =n 能量本征函数 2212( ) ,x n n n N eH x αψα-=22()(1)e e ,n n n nd H d ξξξξ-=- 2301231, H =2, H =4-2 , H =8-12 ,H ξξξξ=, 2!n nm N n ωααπ==（）递推公式1111()2()2()0()2()2()0n n n n n n H H nH H x xH x nH x ξξξξαααα+-+--+=⇒-+=求导公式11()()2()2()n n n n dH dH x nH n H x d dxξαξααξ--=⇒=2.1 利用Hermite 多项式的递推公式，证明谐振子波函数满足下列递推关系：1111()()()22n n n n n x x x x a ψψψ-+⎤+=+⎥⎦22221()(1)()(21)()(1)(2)()2n n n n x x n n x n x n n x aψψψψ-+⎤=-+++++⎦并由此证明，在n ψ态下，0x =，2nE V =。
证：利用 11()2()2()0n n n H x xH x nH x αααα+--+= []222222222222122211221121111( )2xH (x)2=2()()211= nH (x)+H (x)22!2!1=()22(1)!1(1)+22(x x n n n n n x n n n x x n n nnx n n n x N e xH x N e N e nH x H x een n n e H x n n n ααααααψαααααααααααααππαααπααπ----+---+---+⋅=⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎤⎥⋅⋅-⎥⎦+⋅+2221()1)!x n e H x αα-+⎤⎥⎥⎦1111()()22n n n n x x a ψψ-+⎤+=+⎥⎦21122211()()()2211112()()()()222222n n n n n n n n n x x x x x x a n n n n n n x x x x ψψψψψψψα-+-+⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦⎫⎤⎤-+++⎪=+++⎬⎥⎥⎪⎦⎦⎭2221(1)()(21)()(1)(2)()2n n n n n x n x n n x aψψψ-+⎡⎤=-+++++⎣⎦**1111022nnn n n n x x dx dx ψψψψψα∞-+-∞⎡⎤+==⋅+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰，*22*222111(21)2221()112().222nn n n n V m x dx m n dxn E n x m ψωψψωψαωω∞∞-∞-∞=⋅⋅=⋅⋅++=+==⎰⎰或者 2.2 利用Hermite 多项式的求导公式，证明谐振子波函数满足下列关系：111()()()22n n n d n n x x x dx ψαψψ-+⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦22222()(1)()(21)()(1)(2)()2n n n n d x n n x n x n n x dx αψψψψ-+⎡⎤=--++++⎣⎦证明：Hermite 多项式的求导公式11()()2()2()n n n n dH dH x nH n H x d dxξαξααξ--=⇒=， 所以222222212111111()[()()2()]()2()1()()2()221()()22x x n n n n n n n n n n n d x N x e H x en H x dxx x n x n n x x n x n n x x ααψαααααψαψαψψαψαψψ-----+--+=-+⋅=-+⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦⎤+=-⎥⎦2112222221()221112222222(1)(21)(1)(2)2n n n n n n n n n n d d d n n x dx dx dxn n n n n n n n n n n ψψψααψψαψψαψψψ-+-+-++=-⎡⎤⎤-+++=---⎢⎥⎥⎣⎦⎦⎡⎤=--++++⎣⎦**111()()022nn n n n d n n p i dx i dx dx ψψψαψψ-+⎡⎤+=-=-⋅-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰222*22222*2211(21)(21)()224222n n n nn p d T dx m m dxE n dx n n mm ψψααψψω==-=+=+=+=⎰⎰2.3 计算一维谐振子122221()()2x x x x x n m ω⎡⎤∆=-=-=+⎣⎦ 122221()()2p p p p p n m ω⎡⎤∆=-=-=+⎣⎦ 1()2x p n ∆⋅∆=+， 对于基态， 2x p ∆⋅∆=。
《振动力学》8线性振动的近似计算方法
ω2 = 1.3213 k / m ω3 = 2.0286 k / m
代入邓克利法公式：
1
2 1
ω
≈
1
ω
2 1
+
1
ω
2 2
+L+
1
ω
2 n
ω1 = 0.3535 k / m
9
线性振动的近似计算方法 / 瑞利法
• 瑞利法
基于能量原理的一种近似方法 可用于计算系统的基频 算出的近似值为实际基频的上限
配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。
代入，得：
2 2 R (ϕ ) ≈ ω + ∑ (ω 2 − ω ) ε j k j 2 k j =1 n
ε j << 1
因此，若 ϕ 与 φ( k ) 的差异为一阶小量，则瑞利商与 ωk2的差别 为二阶小量。 2 2 对于基频的特殊情况，令k＝1，则由于 ω j − ω1 > 0( j = 2 ~ n) 瑞利商在基频处取极小值， 利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限 ϕ 愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。 15
因此，瑞利商的极小值为 ω12
2 ω 同理可证明，瑞利商的极大值为 n
12
线性振动的近似计算方法 / 瑞利法
T n a T ΦN K Φ N a a T Λa 2 R (ϕ ) = T T = T = ∑ a2 ω j j a Φ N MΦ N a a Ia j =1
2 a ∑ j
j =1
n
2 ω12 ≤ R (ϕ ) ≤ ω n
Mφ(i )
= ωi2
(1) N
( 2) N
(n) N
n
线性谐振子
首先 从 经 典力 学 方 面 看
受 到 与 离 开 平 衡位 置 的 位 移 x 成 正 比 的 恢 复力 F 的 作 用 的 运
,
谐 振 子 是 具 有质量 m 的 质 点
如图
一
其表 示 式 为
一》
争
.
F
=
一
K
,
(
。
1 )
丁 式 中 K为比 例 片 量
`
(
1 ) 式可 化为
一
n
d d一 尸 姗
。 ,
C 为 任意 值
l
二泳(
28
) 式在K <
,
。 一
时 各 项 系 数 即不 再 改 变 符 号 了
函 数 的要 求 不 合
,
一
如 不 用一 个 极 大 幂 来 限 制
= ”
乡
口 寸
幂 级 数· 的 各项 系 数 交 为 正 负
,
,
K>
则当K
,
一,
, 关 时: ( y ) 发 故
。
与波
一
合
也
因 之 只 仃在 K
一
.
饮C
`
飞
弓认为 等 于 1
一
故
; 支: :立 数
的 一 般 解力
。 二 。
一
劝二 势Q
音y
之
u
将
(
3 2
、 ./
J
) 式 代 入 ( 1 7 ) 式 并 考店 到
召
一
。
2 一 y
巾 9
、 产 .
U
“
`
/
一 2 州`
1 )“ 〕
3.5线性谐振子
2
2
d2
dx
2
d2 dy 2
d2 dz 2
1 2
2
(x2
y2
z2)
Hˆ x Hˆ y Hˆ z
其中
Hˆ
x
2
2
d2 dx2
1 2
2 x2
Hˆ
y
2
2
d2 dy 2
1 2
2
y2
Hˆ
z
2
2
d2 dz 2
1 2
2 z 2
38
24
（2）本征方程及其能量本征值
如果系统 Hamilton 量可以写成 则必有：
2
解：Schrodinger方程：
d2 dx 2
( x)
2
2
[E
V ( x)]
( x)
0
（1）解题思路
势V(x)是在谐振子势上叠加上-q x项，该项
是x 的一次项，而振子势是二次项。如果我们
能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，
就有可能利用已知的线性谐振子的结果。
38
27
（2）改写 V(x)
1/
2
x
e
1 2
2
x
2
n 2,
第二激发态
E2
5 2
，
38
2(x)
2
1/
2
(2
2
x2
1 2x2
1)e 2
（偶宇称） （奇宇称） （偶宇称）
13
0
n0
线
x
性 谐
1
n 1
振 子
x
波
函
2
数 n2
x
线性谐振子
aaa 2.7线性谐振子一． 线性谐振子1. 定义：如果粒子在一维空间内运动的势能为ωω,2122x m 是常量，则这种体系就称为线性谐振子。
2. 重要意义：许多体系都可以近似地看做是线性谐振子。
例如双原子分子中两原子之间的势能U 是两原子之间距离x 的函数，在平衡位置x=a 处U 可以近似写成()202a x k U U -+=，k,U 0是常量。
3. 体系定态薛定谔方程 0)21(222222=-+ψωψx m E dx d m (2.7.1)4. 定态薛定谔方程的求解 令ωααωξm x x m ===, (2.7.2) ωλ E2= (2.7.3)方程(2.7.1)变为0)(222=-+ψξλξψd d (2.7.4)当±∞→ξ时，2ξλ与相比可以略去，则(2.7.4)变为ψξξψ222=d d 它的解是22ξψ±→e ，舍去正号。
所以2-2ξψe → ()()ξξψξH e 2-2= (2.7.5)2-2-ξξξξψe d dH H d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2-2222222--ξξξξξξψe d H d H d dH H d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=代入方程(2.7.4)得()01-2-22=+H d dH d H d λξξξ (2.7.6)用级数解法，把H 展开成ξ的幂级数。
这个级数只能含有有限项，才能在±∞→ξ时使()ξψ为有限；而级数含有有限项的条件是λ为奇数，即,2,1,0,12=+=n n λ (2.7.7)代入(2.7.3)得 ,2,1,0),21(=+=n n E n ω (2.7.8)相邻两个能级之差为ω =-n n E E (2.7.9)基态（n=0）E 0=ω 21 (2.7.10)称为零点能。
方程(2.7.6)的解() ,2,1,0,)1(22=-=-n e d d e H n nn n ξξξξ (2.7.11)称为厄米多项式。
第二章2.7线性谐振子1022
2 ]Hn (
)
归一化系数 2n 1
2E
En
(n 1), 2
n 0,
1,
2,
归一化波函数：
令： x 其中
n ( x) n ( )
， 则：
2n n!
e
xp[
1 2
2
x
2
]
H
n
(x
)
其中：
宇称
（1）空间反射变换：
r r
(r,t) (r,t)
（2）此时如果有：
(r , t) (r , t)
§2.7 线性谐振子
一、求解一维线性谐振子的薛定谔方程
（1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论
二、物理意义
引言
经典力学中质量为 的粒子，受弹性力 F = - kx 作用，由牛顿 第二定律可得运动方程：
kx
d2 dt
x
2
x 2 x 0
可以证明，只有当： 1 2n, n 0, 1, 2,
方程才有满足束缚态条件的级数解
下面给出前几个厄密多项式具体表达式： H0 (ξ)=1 H1 (ξ)=2ξ H2 (ξ)=4ξ2-2 H3 (ξ)=8ξ3-12ξ
H n (
)
(1)n
exp[
2
]
dn
d n
exp[
2]
n (
)
Nn
exp[
1 2
n1
(
x
)
d2
dx 2
n( x)
2 2
n(n 1) n2( x) (2n 1) n( x) (n 1)(n 2) n2( x)
A4线性谐振子激发态不确定关系的推导及其应用
线性谐振子激发态不确定关系的推导及应用摘 要：本文用一般方法和升降算符法对线性谐振子激发态的不确定关系进行了推导，并用其求出了线性谐振子的能量本征值。
结果表明线性谐振子激发态的不确定关系比广义的不确定关系更普遍，并为求解线性谐振子能量本征值提供了另一种方法。
关键词：线性谐振子；激发态；本征函数；不确定关系；升降算符0 引言不确定关系揭示出了要同时测出微观物体的位置和动量，其精确度是有一定限制的，这个限制来源于物质的波粒二象性。
海森伯首先推得测量一个微粒的位置和动量时，x ∆和p ∆的关系为2x p ∆⋅∆≥ ；目前流行的一些量子力学教材[1-3]给出了广义不确定关系 222()()4k F G ΛΛ∆⋅∆≥；倪光炯[4]的高等量子力学教材中把广义的不确定关系应用到线性谐振子的基态, 用算符法和Virial 定理得出了线性谐振子基态的不确定关系2221()()4x p ∧∧∆⋅∆=，并用同样的方法得出了激发态的不确定关系。
本文将用两种不同的方法对线性谐振子激发态的不确定关系进行推导，第一种方法是利用线性谐振子能量本征函数的递推公式分别求出2()x ∧∆和2()p ∧∆，得到线性谐振子激发态的不确定关系（称为一般方法）；第二种方法是利用文献[5]中提到的湮灭算符和产生算符求出2()x ∧∆和2()p ∧∆，得到线性谐振子激发态的不确定关系（称为升降算符法）。
最后，应用线性激发态的不确定关系求线性谐振子的能量本征值。
1 一般方法推导线性谐振子激发态的不确定关系1.1 线性谐振子能量本征函数的递推公式的推导我们知道()n ξH 满足下列递推关系：11()2()2()0n n n n ξξξξ+-H -H +H = （1）12()nn d n d ξξ-H =H （2） 给（1）的两边同乘以22n eξ-N 得：222222112()()2()n n n n n n een eξξξξξξξ---+-N H =N H +N H22221112()()nn n n n n e e ξξξξξ--+++N N H =N H N221112()nn n n ne ξξ----N +N H N （3）线性谐振子能量本征态的波函数为： ()2222()()()()x n n n n x ex eαξαξξ--ψ=N H ψ=N H 或 （4）其中1212!2n n n απ⎛⎫N = ⎪⎝⎭。
2.7线性谐振子
§2.7 线性谐振子
§2.7 线性谐振子 Linear harmonic oscillator
如果在一维空间运 动的粒子势能为
1 U ( x ) 2 x 2 2
U(x)
这系统称为线性谐 振子. 双原子分子中两原 子之间的势能为:
k U ( x) U 0 ( x a) 2 2
* ( x ) n ( x) dx 1 n
第二章 波函数和薛定谔方程
8/27
Quantum mechanics
§2.7 线性谐振子
1 En (n ) , (n 1, 2,...) 2 1 E0 , (零点能） 2
注:(1),能量量子化: 基态:
零点能:能量不等于零的最低的基态 能量称零点能 (2),n的奇偶性决定了谐振子波函数的奇偶性 n ( x) (1)n n ( x) n 奇数, n ( x） n ( x) 具有奇宇称 n 偶数, n ( x） n ( x) 具有偶宇称 (3),常用递推公式 x n ( x) 1 [ n n1 ( x) n 1 n1 ( x)]
2
3
11/27
第二章 波函数和薛定谔方程
Quantum mechanics
§2.7 线性谐振子
(5),概率密度分布 虚线表示经典线性谐振子的概率密度
n=3
-3
-2
-1
0
1 n=4
2
3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
第二章 波函数和薛定谔方程
12/27
§2.7 线性谐振子 Quantum mechanics 19 18 17 n=10,线性谐振子的概率密度 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 第二章 波函数和薛定谔方程
§3.2线性谐振子
§3.2 线性谐振子重点：谐振子模型的意义能量波函数的特征与经典情况的区别(3.2-1)其中是弹性系数为k的谐振子作简谐振动的角频率。
经典力学中线性谐振子的哈密顿函数为（3.2-2）故在量子力学中，线性谐振子的哈密顿算符为由于U(x)与时间无关，故为定态。
线性谐振子的定态薛定谔方程为（3.2-4）为了简化，引入无量纲的变量（3.2-5）（3.2-6）（3.2-7）则方程（3.2-4）可改写成（3.2-8）我们令方程（3.2-8）的一般解为（3.2-9）所满足的方程得到H（3.2-10）（3.2-11）代入（3.2-7）中，可求得线性谐振子的能级（3.2-12）n=0, 1, 2,…，由此得下面结论：（1）线性谐振子能是只能取分立值（图3.4），好能量是量子化的，，这与普朗（2）谐振子的能级是均匀分布的，相邻两能级间隔克假设一致。
（3）谐振子的基态（n=0）能量为（3.2-13）称为零点能，零点能的存在，是量子力学的一个重要结果，这是旧量子论中所没有的。
对应于不同的n或不同的。
（3.2-14），它可以用下列式子表示方程（3.2-14）的解是厄密多项式（3.2-15）脚标n表示多项式的最高次幂。
下面列出前面n项厄密多项式：（3.2-16）由（3.2-9）式，对应能量E n的波函数是（3.2-17a）或（3.2-14b）这函数称厄密函数，式中N n为归一化常数。
由归一化条件经计算得（见附录1）（3.2-18）归一化后的前三个波函数如下：（3.2-19）等函数是x的偶函数，即从上面各式容易看出，我们称这些波函数具有偶宇称，而我们称这些波函数具有奇宇称。
（三）与经典比较经典和量子谐振子的能级与分布几率上图中横坐标代表振子的位置，抛物线代有势能曲线，En是量子化的能级，虚曲线代表波函数，实曲线代表几率分布，由图可以看出：当n=0时，波函数。
除了有n个节点，即有n个根。
类推，因此波函数只在于绕平均值迅速振荡而已。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性谐振子的不同解法比较关键词：一维谐振子；能量本征值；波函数摘 要：一维线性谐振子作为量子力学中的基础模型，它的解决方法具有多样性并随着科学工作者的努力和对数学理论的应用的不断深入（如群论和群表示理论），谐振子的解法将会最优化，并会对多维谐振子以及耦合谐振子等复合问题[1]的解决起着重要的帮助作用。
在这里我们将分别从表象理论（包括坐标表象、动量表象、能量表象和占有数表象），以及矩阵力学、宇称等角度出发求解一维线性谐振子，并作出适当的比较。
中国分类号：（140物理学） 文献标识码：A 文章编号：Comparison with Several Different Methods on the Solutions of One-dimensional Linear HarmonicOscillator Key words: one-dimensional linear harmonic oscillator; eigenvalue of energy and wavefunctionAbstract: One-dimensional linear harmonic oscillator as a basic model in quantum mechanics, there are more and more solutions to it with the increasing development of the theory of mathematics. It will serve the differentproblems of multidimensional and coupled harmonic oscillator. We will respectively solve one-dimensional linear harmonic oscillator from the theory of presentative, matrix mechanics and parity respectively.1． 引言谐振子的模型在量子力学，量子光学以及固体物理等学科领域都有着广泛的应用。
本文我们将建立最简单一维线性谐振子作为模型并用不同的方法处理。
设一维谐振子的质量为m,其圆频率为ω,势函数为，22()12x V m x ω=， 则其Hamilton 量[2]为1222122p H m x m ω=+ （1.1）收稿日期：2015-03-30作者简介：李德远（1990年生），男，本科学生，物理学我们也可以采用自然坐标系（即1ωμ===）[3],能量单位为ω，长。
则（1）又可写作221122H p x =+ （1.2）我们知道经典力学到量子力学的转变，满足量子化条件[4]ˆˆ[,]xp i =[5]，在自然坐标下又可写作ˆˆ[,]xp i = （1.3） 2． 在坐标表象中的解法写出在x 表象中的Schrodinger 方程22()22()()2122x x x d m x E m dx ψωψψ-+=（2.1）令x ξα≡≡，2Eλω≡（2.2）则（2.1）⨯2ω并带入（2.2）可得， 222()0d d ψλξψξ+-= （2.3） 由数理方法，我们先看ψ在ξ→±∞时方程的渐进行为，可以看出在ξ→±∞时， 方程（6）又可以写作222d d ψξψξ=，它的渐进解为ψ~22e ξ±。
由于波函数的物理边界条件要求ξ→±∞时，ψ有限。
则()ψξ可写作22()()eH ξψξξ-= (2.4)将它带入（2.1）式，并对ξ求二级微商可得：222(1)0d H dHH d d ξλξξ-+-= (2.5) ()H ξ为厄米多项式，（7）式为Hermite方程[6]对（7）式求解，只有当12,0,1,2n n λ-==···时， 才有能量本征值1(),0,1,22n E n n ω=+=····对应波函数22()(),0,1,2n n n N e H n ξψξξ-==··· 其中，n N 是归一化系数，可以通过正交归一化条件来确定。
正交归一化条件为：()()n n nn x x dx ψψδ+∞*''-∞=⎰（2.6）定出：12122!n n N n απ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭（2.7）3． 在动量表象中的解法在动量表象中，x ip∂=∂[7]，所以（4）在动量表象中的Schrodinger 方程为2222()()()21122p p p d p m E m dpψωψψ-=（3.1） 令p m y ω=，则上式变为22()22()()2122y y y d m y E m dy ψωψψ-+= （3.2）可以看出（9）式和（4）式的形式是相同的，解法也是相同的，所以结果也是一致的。
4． 在能量表象中的解法根据ˆˆˆ[,]ˆF x F ix ∂=∂，ˆˆˆ[,]ˆF p F i p∂=-∂[8]（4.1）对（1.1）式分别对,x p 求导，再将（4.1）式带入，有2ˆˆˆˆˆˆ()ˆH i m xHp pH xω∂==--∂（ 4.2） ˆ1ˆˆˆˆˆ()ˆH i p Hx xH pm ∂==-∂ （4.3） 分别对（4.2）和（4.3）中两式取能量表象的的矩阵元，有2ˆˆˆˆˆ()i i m xj i Hp pH j ω〈||〉=〈|--|〉 （4.4）1ˆˆˆˆˆ()i i p j i Hx xH j m〈||〉=〈|-|〉 （4.5）(4.4)和（4.5）式又可写作2ˆ()ij i j ij im xE E p ω=-- （4.6）1()ij i j ij ip E E x m=- （4.7） 消去（4.6）和（4.7）中两式的ij p ，有222()ij i j ij x E E x ω=-所以ij p 和ij x 有非零解的条件是222()i j E E ω=-和i j E E ω=-解得1(),0,1,22i E i i ω=+=···[9]5． 在占有数表象中的解法（因式分解法）由222211()[()]22H p x x ip =+=-（5.1） 通过因式分解可得111()()222H x ip x ip ixp ipx =-+-+（5.2） 或者111()()222H x ip x ip ixp ipx =+-+-（5.3）由于零点能的存在[10]，（5.3）这种排列不存在零点能，不符合物理规律，顾不考虑。
再由对应关系（1.3），式（5.2）由经典力学转变到了量子力学的邻域，变为111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()222Hx ip x ip ixp ipx =-+-+ 11ˆˆˆˆ()()22x ip x ip =-++ （5.4） 令ˆˆˆ)ax ip -=+和ˆˆˆ)a x ip +=- 并将其带入（5.4）时，有11ˆˆˆˆ22H a a N +-=+=+(5.5) 其中算符ˆN 的本征值是粒子数n ，且ˆN 为正定厄米算子[11]满足11ˆˆ(),0,1,222Hn N n n n n |〉=+|〉=+|〉=··· (5.6) 所以1(),0,1,22n E n n =+=···6． 宇称解法设()()V x V x -=，对应于任何一个能量的本征值E ，总可以找到方程（4）的一组解（且每一个解都有确定的宇称[12]），而属于能量本征值E 的任何解，都可用他们展开[13]设（2.3）式的解为22()()e ξψξψξ-'=（6.1)()ψξ'所满足的方程为22()()2(1)()0d x d x x d d ψψξλψξξ'''-+-= （6.2）又因为()()V x V x -=，所以()ψξ是有确定的宇称，而且()ψξ的奇偶性由()ψξ'决定。
设()()24()240()()2()21,0,2,4(),1,3,5n nn n n n n n n nn n n n n n n a a a a n a a a nξξξψξψξξξ------⎧++++=⎪''==⎨+++=⎪⎩ （6.3）将（6.3）式带入到（6.2）式中，要求21n λ=+解得11(),0,1,2,322E n n λωω==+=对于波函数，可以将21n λ=+带入（6.2）式，有22()()22()0d x d x n x d d ψψξψξξ'''-+= （6.4） 再将（6.3）式带入（6.4）式，有2(0)200()a eξψξ-= 2(1)211()a eξψξξ-=()2(2)2202()(21)a eξψξξ-=-+()2(3)32132()()3a eξψξξξ-=-+2(4)422404()(41)3a e ξψξξξ-=-+2(5)5225144()()153a e ξψξξξξ-=-+······其中(0)0a ，(2)0a ，(4)0a ，(1)1a ，(3)1a 和(5)1a 分别由波函数的归一化条件确定。
7． 矩阵力学的解法矩阵力学主要是有海森堡，波恩，约尔丹，泡利等人发展创立，是量子力学的基础，其主要意图是想通过可以观察的物理量如，光强，频率等，来研究微观模型中电子在原子中的轨道运动等问题[]14。
主要内容有：任何一个物理量都可以用厄米矩阵来表示；坐标矩阵和动量矩阵的对易关系；系统的正则运动方程以及物理系统光谱频率的决定关系。
由海森堡运动方程（即矩阵力学的运动方程），量子力学的泊松括号以及矩阵方程，满足2211()2x p x xp i m=-⋅-2211()2p x pxp pxp xp i m=-⋅-+- pm=（7.1）1(p Hp pH ih=--） （7.2）22211(2p m x p xpx xpx px ihω=⋅-+--）2m x ω=- (7.3)对（1.3）式取厄米共轭，有 引入，()2b x mω=+，()2b x m ω+=- 则有12Hb b ω+=+（7.4）12Hbb ω+=- （7.5）将（7.4）式左乘b 和将（7.5）右乘b ，则两式应相等，即11()()22HH b b ωω+=- （7.6） 可以得到，[]1,HbbHb H b ωωω=-=（7.7）取其矩阵元，矩阵方程，''''''b H H H ω-||H （+1）=0（7.8） 另外，当且仅当'''H H ω=+时，'''b H ||H 才恒不为零。