二倍角的正弦、余弦和正切公式PPT优秀课件
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二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
意向转换，逆用公式，应用时要对公式特点有一个整体
感知．主要逆用形式：2sinαcosα＝sin2α；cosα＝s2isni2nαα；
cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；
2tanα 1－tan2α
＝tan2α.
[例2] 求下列各式的值：
(1)cosπ5cos25π；
＝1＋c2os2β－cos2β[sin2α＋12(1－2sin2α)]
＝1＋c2os2β－12cos2β＝12.
解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝
1－cos2α 2
1－cos2β ·2
＋
1＋cos2α 2
1＋cos2β ·2
－
1 2
cos2α·cos2β
＝
1 4
(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋
[例3] 化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos2αcos2β.
[解析] 解法一：(从“角”入手，复角化单角) 原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β ＋1) ＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12
自主预习 阅读教材P132－135回答下列问题． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
正弦 in2α＝ 2sinαcosα
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α
正切
2tanα tan2α＝ 1－tan2α
二倍角的正弦、余弦、正切课件(PPT 19页)
2sin2 2cos 2
2 s in 2 s in
cos cos
2sin2 2cos 2
2sin (cos 2cos (sin
sin ) cos )
tan
0 练习 sin2 cot 1 cos 2
sin2 2sin cos cos 2 cos2 sin2
tan 2
cos 2 2cos 2 1 (2) cos 2 cos 2 sin2
(1 sin2 ) sin2 1 sin2 sin2 1 2sin2 cos 2 1 2sin2
sin2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1
1 sin300
2
3
2
2
基础训练 P23 四、2
cot tan cos sin
cos 2 sin2
sin cos sin cos
cos 2 1 sin2
2cot 2
2
左边 2cot 2 2tan2 4tan4
2(cot2 tan2 ) 4tan4
2(2cot 4 ) 4tan4
证明 (1) 左边 sin3 cos cos 3 sin sin cos cos sin
sin3 cos cos 3 sin sin cos
sin(3 )
1 2sin cos
2
s in 2 1 sin2
2
2
例7 证明:
(1) sin3x 3sin x 4sin3 x (2) cos 3x 4cos3 x 3cos x
解: (1) 1 cos
1 (2 cos 2 1)
2
2 cos 2
2
2 | cos |
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
二 化简三角函数式
【例3】 化简下列各式： (1)1s－inα2csoins2αα； (2)1－1tanθ2－1＋1tanθ2. 【分析】 本题主要考查二倍角公式和三角恒等变形与代 数恒等变形能力，重点考查逆用公式的能力．
1 【解】 (1)1s－inα2csoins2αα＝2csoisn22αα＝12tan2α. (2)解法1：原式＝1＋tan1θ2－－tan12θ2－tanθ2
∴定义域不关于原点对称．
∴原函数不具有奇偶性.
cos4π＋x＝sin2π－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1659＝2143.
13
解法二：原式＝scionsπ24π＋＋2xx ＝2sinπ4c＋osx4π·＋coxs4π＋x＝2sinπ4＋x. ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
(4)原式＝2sin20°cos22s0in°2co0s°40°cos80° ＝2sin40°4csoins4200°°cos80° ＝2sin88s0in°2co0s°80°＝s8isni1n6200°°＝18.
规律技巧 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另 一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱 导公式是常用方法.
三 给值化简求值
【例4】，0<x<
π 4
，求
cos2x cos4π＋x
的
【分析】 解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再
去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联
系，灵活求解．
【解】 解法一：∵x∈0，4π，∴4π－x∈0，4π. ∵sinπ4－x＝153，∴cos4π－x＝1123. 又cos2x＝sin2π－2x ＝2sinπ4－xcos4π－x ＝2×153×1123＝112609，
二倍角的正弦、余弦、正切公式教学课件
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝1＋c2os 2α；
③1－cos
2α＝2sin2α；④sin2α＝1－c2os
2α .
1．下列说法错误的是( ) A．6α是3α的倍角，3α是32α的倍角 B．二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角 C．存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立 D．对任意角α，总有tan 2α＝1－2tatnanα2α
π π 2π ③原式＝2sin5cos5πcos 5
2sin5 2π 2π 4π ＝sin25sicno5πs 5 ＝s4isnin5π5 π ＝ sin5π＝14. 4sin5
对于给角求值问题 一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数 的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍 角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角 公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
核心素养
1.能推导并记住二倍角的正弦、
余弦和正切公式．(重点)
1.借助二倍角公式的推导，培养
2.能利用二倍角的正弦、余弦和 学生的数学建模和逻辑推理素养.
正切公式化简、求值和证明．(重 2.通过利用二倍角公式进行化
＝－cosπ4＋α， ∴原式可化为1－2cos2α＋π4 ＝－cosα＋π4， 解得cosα＋π4＝1或cosα＋π4＝－12. ∵α∈－π2，π2，
∴α＋π4∈－π4，34π， 故α＋π4＝0或α＋π4＝23π， 即α＝－π4或α＝51π2.
数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)
( − ) = +
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)
例6
4
在△ ABC 中， cos A 5
tan 2 A 2B 的值.
， tan B 2 ，求
2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系？
解：在△ ABC 中，由 cos A
4
，0
5
A π ，得
2
3
4
sin A 1 cos 2 A 1 ，
5
2
tan tan
2 tan
tan 2 tan
.
2
1 tan tan 1 tan
2
推导
二倍角的余弦公式有三种表达情势：
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2
2
推导
余弦公式，有下面的等价变情势：
cos 2 2 cos 1
2
cos 2 1 2sin
2
1 cos 2 2cos
1 cos 2 2sin
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
2
2
2
=±
2
1+
2
2
sin 与 cos 的符号由角
24 4
tan 2 A tan 2 B
44
7 3
tan 2 A 2 B
24 4 117 .
1 tan 2 A tan 2 B
1
7 3
，
解法 2：
4
在△ ABC 中，
5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形
式：
①1＋cos
2α
＝2cos2α，
②
cos2α
＝
1＋cos 2
2α
，
③
1
－
cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝
1－cos 2α 2.
数学 必修 第一册 A
地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
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第五章 三角函数
随堂本课小结
1．对“二倍角”应该有广义的理解 运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性， 它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指 2α 是 α 的二倍角，还可以指α2是α4的 二倍角等．
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
求下列各式的值： (1)－23＋43cos2 15°＝________. (2)tan1π2－tan11π2＝________. (3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________. 解析 (1)原式＝23(2cos215°－1)＝23cos 30°＝ 33.
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谢谢观看！
)
(3)要使 T2α 有意义，需要 α≠±π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z)．(
)
二倍角的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件4
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
3.1.3二倍角的 正弦、余弦、正切公式(1)
2009年5月
问1： 题s求 i7n05?
s i n ) ( s icn o cs o s isn
问2题 ：c求 o7s05?
c o ) s c ( o c s o ss isn in
问3题 ：t求 a7n05?
(7)si1n05si7n051 4
(8 )c. o 20s 0 co 4os 0 co 80s 0 81
五、例题讲评：
例1：已 s i知 n 5, (,)求 ,s2 i 、 n c2 o 、 tsa 2 的 n 132 变 1 ： 式 s2 已 i n 5 , 知 (,)求 ,s4 i、 c n4 o 、 ts a 2 1342 变 2 ： c式 o 1 s ,2 (,0 )求 ,s2 i、 n c2 o 、 ts a 2的 n 13 2 变 3 ： ta 式 n 5 , ( ,3 )求 ,s2 i 、 n c2 o 、 ts a 2 的 n 12 2
1
适应性练习2：
(1) 1sin400 co2s00si2n00
(2) 1co2s00 2co1s 00 (3) 1cos(23);
2Hale Waihona Puke 13.化s简 i5n00 (1 ： 3ta1n 00 )
3.1.3二倍角的 正弦、余弦、正切公式(1)
2009年5月
问1： 题s求 i7n05?
s i n ) ( s icn o cs o s isn
问2题 ：c求 o7s05?
c o ) s c ( o c s o ss isn in
问3题 ：t求 a7n05?
(7)si1n05si7n051 4
(8 )c. o 20s 0 co 4os 0 co 80s 0 81
五、例题讲评：
例1：已 s i知 n 5, (,)求 ,s2 i 、 n c2 o 、 tsa 2 的 n 132 变 1 ： 式 s2 已 i n 5 , 知 (,)求 ,s4 i、 c n4 o 、 ts a 2 1342 变 2 ： c式 o 1 s ,2 (,0 )求 ,s2 i、 n c2 o 、 ts a 2的 n 13 2 变 3 ： ta 式 n 5 , ( ,3 )求 ,s2 i 、 n c2 o 、 ts a 2 的 n 12 2
1
适应性练习2：
(1) 1sin400 co2s00si2n00
(2) 1co2s00 2co1s 00 (3) 1cos(23);
2Hale Waihona Puke 13.化s简 i5n00 (1 ： 3ta1n 00 )
二倍角的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件1
注意： 切化弦
四、课堂练习
1 2 、 、 若 co s i s n c c o o s s 2 2 ,t _ a n _ _ 1 _t _ a n 1 _ _的 值 2
55
4
3、 2 sin 2 2 cos 4的值是？ 3cos2
2 1 c 2 o s 4 c o s 4 2 3 2 3 c o s 4 2 3 ( 1 c o s 4 ) 2 3 ( 2 c o s 2 2 ) 3 c o s 2
8
82
试试看 伴你学134页8题
4、 8si4 nc 8o 4 sc 8o 2 sc 4o 1 s 212
例2、已知 sin5， （，），
13 2
求 si2 n,co 2 ,sta2 n的值。
解： sin5， （，），
13 2
cos 12 si2 n2s13ic n os25(1)2 120
3、注意： 当 k(kZ) 时，tan 不存在，
但是 ta 2 n 2ta 2 k n () 0
三、公式应用：
例1、（公式巩固性练习）求值
1 、 si2n 。 3 2， c 0o 2。 3 s 2， 0 2
4
2、 2cos2 1 2
8
2
3、 sin2co2s 2
co2 s(1co2 s) 2co2s1
12si2n
公式变形：
1si2 n(s i nco )2 s
1co 2s2co 2s 升幂缩角公式
1co 2 s2si2 n
co2s1co2s
2
sin21co2s
2
降幂扩角公式
二、公式理解：
新课标人教版课件系列
四、课堂练习
1 2 、 、 若 co s i s n c c o o s s 2 2 ,t _ a n _ _ 1 _t _ a n 1 _ _的 值 2
55
4
3、 2 sin 2 2 cos 4的值是？ 3cos2
2 1 c 2 o s 4 c o s 4 2 3 2 3 c o s 4 2 3 ( 1 c o s 4 ) 2 3 ( 2 c o s 2 2 ) 3 c o s 2
8
82
试试看 伴你学134页8题
4、 8si4 nc 8o 4 sc 8o 2 sc 4o 1 s 212
例2、已知 sin5， （，），
13 2
求 si2 n,co 2 ,sta2 n的值。
解： sin5， （，），
13 2
cos 12 si2 n2s13ic n os25(1)2 120
3、注意： 当 k(kZ) 时，tan 不存在，
但是 ta 2 n 2ta 2 k n () 0
三、公式应用：
例1、（公式巩固性练习）求值
1 、 si2n 。 3 2， c 0o 2。 3 s 2， 0 2
4
2、 2cos2 1 2
8
2
3、 sin2co2s 2
co2 s(1co2 s) 2co2s1
12si2n
公式变形：
1si2 n(s i nco )2 s
1co 2s2co 2s 升幂缩角公式
1co 2 s2si2 n
co2s1co2s
2
sin21co2s
2
降幂扩角公式
二、公式理解：
新课标人教版课件系列
人教版高中数学必修1《二倍角的正弦、余弦、正切公式》PPT课件
• 第三课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
明确目标
发展素养
1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导 1.通过公式的推导，培
出二倍角的正弦、余弦、正切公式．
养逻辑推理素养．
2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明． 2.借助运算求值，提升
3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用. 数学运算素养.
• (一)教材梳理填空 • 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式：
x.
(2)证明：因为左边＝33－ ＋44ccooss
2A＋2cos22A－1 2A＋2cos22A－1
＝11－ ＋ccooss 22AA2＝22csions22AA2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边，
所以33－ ＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
• [方法技巧]
解：原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α2＝ 2－ 2＋2cosα2＝ 2－ ＝ 2－2cosα4＝ 4sin2α8. 因为 3π<α<4π，所以38π<α8<π2，所以 sinα8>0，故原式＝2sinα8.
4cos2α4
•试分析该解题过程是否正确．若不正确，错在何处？并写 出正确的解题过程． •提示：错误，原因是运用倍角公式从里到外去掉根号时， 没有顾及角的范围而选择正、负号，导致错误．
正解如下：
因为 3π<α<4π，所以32π<α2<2π，34π<α4<π，38π<α8<π2，则 cosα2>0，cosα4<0，cosα8>0.
所以原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α2＝ 2－ 2＋2cosα2＝ 2－ 4cos2α4
＝ 2＋2cosα4＝ 4cos2α8＝2cosα8.
明确目标
发展素养
1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导 1.通过公式的推导，培
出二倍角的正弦、余弦、正切公式．
养逻辑推理素养．
2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明． 2.借助运算求值，提升
3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用. 数学运算素养.
• (一)教材梳理填空 • 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式：
x.
(2)证明：因为左边＝33－ ＋44ccooss
2A＋2cos22A－1 2A＋2cos22A－1
＝11－ ＋ccooss 22AA2＝22csions22AA2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边，
所以33－ ＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
• [方法技巧]
解：原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α2＝ 2－ 2＋2cosα2＝ 2－ ＝ 2－2cosα4＝ 4sin2α8. 因为 3π<α<4π，所以38π<α8<π2，所以 sinα8>0，故原式＝2sinα8.
4cos2α4
•试分析该解题过程是否正确．若不正确，错在何处？并写 出正确的解题过程． •提示：错误，原因是运用倍角公式从里到外去掉根号时， 没有顾及角的范围而选择正、负号，导致错误．
正解如下：
因为 3π<α<4π，所以32π<α2<2π，34π<α4<π，38π<α8<π2，则 cosα2>0，cosα4<0，cosα8>0.
所以原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α2＝ 2－ 2＋2cosα2＝ 2－ 4cos2α4
＝ 2＋2cosα4＝ 4cos2α8＝2cosα8.
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
向量、三角知识的综合应用
设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)，
(1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b. 【思路分析】本题考查向量的概念与运算及三角公式化的 变形运算能力．
求下列各式的值．
(1)cos
π 12cos
51π2；
(2)cos 20°cos 40°cos 80°；
(3)sin110°－cos
3 10°.
【思路分析】(1)注意1π2与51π2是互余的；(2)注意后一个角是
前一个角的 2 倍关系；(3)通分整理、变形．
【规范解答】(1)cos
π 12cos
51π2＝cos
1．化简 2 1－sin 8°＋ 2＋2cos 8°的结果是( )
A．2sin 4°
B．2sin 4°－4cos 4°
C．－2sin 4°
D．4cos 4°－2sin 4°
【答案】D 【解析】把1化成sin24°＋cos24°再计算可得．
2．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于( )
A．3－cos 2x
B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x
D．3＋sin 2x
【答案】C
【解析】方法 1：∵f(sin x)＝2＋2sin2x，∴f(x)＝2＋2x2，
∴f(cos x)＝2＋2cos2x＝3＋cos 2x.
方法 2：f(cos x)＝fsinπ2－x＝3－cos2π2－x＝3－cos(π －2x)＝3＋cos 2x.
3．函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最小值和最大值分别为
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 S2α C2α
T2α
二倍角公式 公式
sin 2α＝____2_s_in__α_c_o_s_α_
cos 2α＝___c_o_s2_α_－__s_i_n_2α_ cos 2α＝___1_－__2_s_i_n_2α_ cos 2α＝___2_c_o_s_2α_－___1
解析： ∵sin β＝ 1100，
∴cos
2β＝1－2sin2β＝1－2×
11002＝45.
由 β∈0，π2，且 cos 2β＝45＞0，可推得 2β∈0，π2. ∴α＋2β∈(0，π)．
∵α∈0，π2，且 sin α＝102，
∴cos α＝ 1－sin2α＝7102.
又∵2β∈0，π2，且 cos 2β＝45，
2．二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os 2α；
sin2α＝1－c2os
2α .
(3)万能公式：sin 2α＝1＋2tatannα2α；
cos 2α＝11－＋ttaann22αα.
化简求值 自主练透型 求下列各式的值： (1)sin110°－cos 310°；(2)cos 20°cos 40°cos 80°.
解析： (1)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
＝4（sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°）
＝4ssiinn2200°°＝4.
(2)原式＝2sin
20°·cos 20°·cos 40°·cos 2sin 20°
记法 S2α C2α
T2α
二倍角公式 公式
sin 2α＝____2_s_in__α_c_o_s_α_
cos 2α＝___c_o_s2_α_－__s_i_n_2α_ cos 2α＝___1_－__2_s_i_n_2α_ cos 2α＝___2_c_o_s_2α_－___1
解析： ∵sin β＝ 1100，
∴cos
2β＝1－2sin2β＝1－2×
11002＝45.
由 β∈0，π2，且 cos 2β＝45＞0，可推得 2β∈0，π2. ∴α＋2β∈(0，π)．
∵α∈0，π2，且 sin α＝102，
∴cos α＝ 1－sin2α＝7102.
又∵2β∈0，π2，且 cos 2β＝45，
2．二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os 2α；
sin2α＝1－c2os
2α .
(3)万能公式：sin 2α＝1＋2tatannα2α；
cos 2α＝11－＋ttaann22αα.
化简求值 自主练透型 求下列各式的值： (1)sin110°－cos 310°；(2)cos 20°cos 40°cos 80°.
解析： (1)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
＝4（sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°）
＝4ssiinn2200°°＝4.
(2)原式＝2sin
20°·cos 20°·cos 40°·cos 2sin 20°
二倍角的正弦、余弦、正切公式-PPT课件
sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
7
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是 否存在某种关系？
tan2
1 cos 2
1 cos 2
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
思考4：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的
三角函数关系？
6
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα， cosα与cos2α的关系分别如何？
sin 4x
tanx 学科网
例4 已知 sin cos π)，求cos2α的值.
13，且α∈(0，
17 9
12
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α
的两倍,
4α是2α的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记
忆，需要时可直接推导.
13
作业：
P135练习：2，3，4，5.
14
cos 2
1 tan2 1 tan2
sin 2
5.5.1(第三课时)二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)
cos 2 1 2sin2 cos 2 2cos2 1
这样我们就得到了二倍角的正弦、余弦、正切公式
2 cos 2 1 1 2 sin2
不仅“2α”是“α”，而且 “4α”是“2α”的二倍角，只要一个角是另一个角的两倍就可以用二倍角公式
例 1 (1)cosπ7cos37πcos57π的值为(
注意： T2α公式成立的条件
二倍角的余弦公式的变形
cos 2 cos2 sin2
cos2 1 sin 2
(1 sin2 ) sin2
1 2 sin 2
cos 2 cos2 sin2
sin2 1 cos2
cos2 (1 cos2 )
2 cos2 1
7
cos
7 π
cos
7
2sin ＝
7
cos π
7
sin ＝
7π＝－18.
8sin7
8sin7
8sin7
7
(2)求下列各式的值： ①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③1－tatnan7257°5°；
④sin110°－cos 310°.
(2)[解] ①cos415°－sin415° ＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°) ＝cos215°－sin215° ＝cos 30°
sinA 1 cos2 A 3，所以tanA sinA 3，
5
cosA 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
tan2 A
2tanA 1 tan2 A
24 . 7
又 tan
B
2，所以tan2B
2 tan B 1 tan2 B
4. 3
于是tan(2A 2B) tan2A tan 2B 44 . 1 tan2Atan 2B 117
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
1 2 ( 5 )2 119 ; 13 169
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
例2.在△ABC中，cos A 4 , tan B 2，求 tan(2A 2B)的值. 5
解法1 在△ABC中，
Байду номын сангаас
由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
tan 2A
2 tan A
2 3 4
24 .
1 tan2 A 1 ( 3)2 7
4
因为tan B 2,
所以tan 2B
1
2
tan tan
B 2B
22 1 22
4. 3
所以tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24 4 73 24 (
4)
44 . 117
73
还可以把 2A 2B 看作 2(A B)
解法2 在ABC中，由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
cos 2 co（ s )
cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
二倍角的余弦公式.
简记为 C2 .
tan
2
tan（
)
2 tan 1 tan2
二倍角的正切公式.
简记为 T2 .
倍角公式
S2 sin 2 2sin cos
C2 cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
例2.在△ABC中，cos A 4 , tan B 2，求 tan(2A 2B)的值. 5
解法1 在△ABC中，
Байду номын сангаас
由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
tan 2A
2 tan A
2 3 4
24 .
1 tan2 A 1 ( 3)2 7
4
因为tan B 2,
所以tan 2B
1
2
tan tan
B 2B
22 1 22
4. 3
所以tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24 4 73 24 (
4)
44 . 117
73
还可以把 2A 2B 看作 2(A B)
解法2 在ABC中，由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
cos 2 co（ s )
cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
二倍角的余弦公式.
简记为 C2 .
tan
2
tan（
)
2 tan 1 tan2
二倍角的正切公式.
简记为 T2 .
倍角公式
S2 sin 2 2sin cos
C2 cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用
同角三角函数基本关系式等完成证明．
跟踪训练 2
化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
22θθ＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ θ
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．倍角公式
1
(1)S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α
，sin
α 2cos
α2＝
2sin α
；
(2)C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
2tan α (3)T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
2．倍角公式常用变形 (1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ；
跟 解踪原训式练＝3 scion已sπ24π知＋＋2sxixn＝π4－2sxin＝π4c＋o15s3x，4πc＋o0s<xxπ4<＋π4x，＝求2csoicnsoππ4s4＋＋2xxx.的值． ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且 0<x<4π，
∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123，
(2)cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α ＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α ＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α ＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α ＝4cos3α－3cos α.
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22 . 5 0 2 22 . 5 0
6 、1 tan 15 0 1 tan 15 0
返回
二倍角公式的推导
co s cc oo s ss i sn i n co 2 sco 2 ssi2 n
利用 si2 nco2s1变形为
cos22cos21 cos212sin2
22
2 22 2
继续
3． 1 1 1tan 1tan
2tan tan2 1tan2
4． 1 2 co 2 sco 2 s1 2 c2 o 2 s c2 o 1 s 2
例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值
解 ： sin2 =
tan2
2tan 1 tan2
12si2n
例 4 ssii2 2n n 1 1 cco o2 2 ss( )
1．sin2230’cos2230’ =
1 sin450 2
2
4
2. 2cos2 1 cos 2
8
42
3. sin2 co2s cos 2
8
8
42
4. 8si ncoscoscos4 si c n o cs o 2 s s ic n o s s i n 1 48 48 2412 24 24 1212 1262
2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是 如何用单角的三角函数值表示复角（和、差、倍） 的三角函数值，结合前面学习到的同角三角函数关 系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、 化简和证明问题。
返回
二倍角的正弦、余弦、正切
复习
一
二 三
新课
四
五 例题
练习
小结
作业
二倍角的正弦、余弦、 正切
cos()co cso si n si n
si n si cn o cs s ois n si2 n2sic n os
ta n1tatnanttaann
tan2 2tan 1tan2
注
2
k
kkZ
返回
4
例一、（公式巩固性练习）求值：
co 2s 1co 2s
2co2s1
co 2s2co 2s1 (2) co2sco 2ssi2 n
(1si2 n )si2 n 1si2 nsi2 n
12si2n
co2s12si2n
sin22sinco s
cos2 co2ssi2n 2co2s1
1tantan
tan() tantan
tan2
21tantantan
1 tan2
例 3 证明下列各式 :
(1) co 2s2co 2s 1 (2) co 2s12si2 n
证明 (1) co2sco 2ssi2 n
co 2 s(1co 2)s
sin5,(,) 13 2
∴sin2 = 2sincos =
∴ cos1si2n12 13
120 169
cos2 = 12sin2 119 169
tan2 = 120 119
返回
练习
1、 2 sin 2 2 cos 4 的值是？
3cos2
2、s若 inco s2,则 tan ta 1n 的值 2
1
3、 cos co2 s _4______
55
4、若 57，则
1 sin
2 sin
1 sin _______2
2
2
返回
归纳总结
1、二倍角公式是和角公式的特例，体现将一般化归 为特殊的基本数学思想方法。
cos() co cs o ssis n in
cos2 co2ssi2n
sin() sic no s c ossin
sin () sic no c so ss in
sin22sinco ssin
(sincos)2 a 22
即
|sincos |a
2
2
当在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。
继续
例五、（P43 例一）已知 sin5,(,) 13 2
求sin2，cos2，tan2的值。
解：∵
例二.
1.
(s5 i nco 5 )s(s 5 i n co 5 )ssi2n 5co 25 sco5 s 3 12 12 12 12 12 12 6 2
2. co4ssin4 (c2 oss2 i n )(2 c oss2 i n )c os
二倍角的正弦、余弦、正切
一、复习两角和（差）的三角公式
C(α β)
c o c sc o o s ss i sn i
S(αβ)
si n si c n o cs s ois n
T(αβ)
tan1tatan nttaann
练习
1、cos 24 0 cos 69 0 sin 24 0 sin 69 0
2 、cos 2 sin 2
12
12
3、2 sin 75 0 cos 75 0
4 、sin 37 . 5 0 cos 7 . 5 0 cos 37 . 5 0 sin 7 . 5 0
5 、 2 tan 1 tan
cos22 sc isn 2 o i s n s c 2 i 2 o n cs 2 o 2 st1 a tn ta 2 a 2 n n 1 7 5
例四、条件甲：1sina条件乙： sincos a
那么甲是乙的什么条件？
22