方阵最小多项式的求法与应用

方阵最小多项式的求法与应用

[摘要]:本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. [关键词]:方阵；最小多项式；不变因子

Minimal polynomial of a square matrix and its applications

FENG Yu-xiang

(Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science)

Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui

[Abstract]:The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied.

[Keywords]: square matrix; minimal polynomial; invariant operation

一、引言

文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.

本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C 上n 阶方阵和多项式.

二 、最小多项式的性质及求法

由哈密尔顿定理可知，对于一n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则 ,0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有

定义1 设n n C A ⨯∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小

多项式，记为)(λA ψ.

最小多项式有以下一些基本性质： 定理1[1] 设A n n C ⨯∈，则

（1）A 的任一零化多项式都能被)(λA ψ整除； （2）A 的最小多项式)(λA ψ是唯一的； （3）相似矩阵最小多项式相同.

2．1 由特征多项式求最小多项式

定理2[1] 0λ是A 的特征多项式零点的充分条件是0λ为A 的最小多项式

)(λA ψ的零点.

证明：见参考文献[1].

推论1 若n 阶方阵A 的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积： s m s m m f )()()()(2121λλλλλλλ---= ，

其中i λ是A 的相异的特征值，i m 是特征值i λ的重数，且,1n m s

i i =∑=则A 的最小多

项式具有如下形式：

s d s d d A )()()()(2121λλλλλλλ---=ψ ，

其中),,2,1(s i m d i i =≤为正整数.

推论1实际上给出了由方阵A 的特征多项式，求最小多项式的方法.

例1 求矩阵

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的最小多项式.

解：因为A 的特征多项式为)4()1()(2--=λλλf ，根据推论1便可知，A 的最小多项式有以下两种可能：

（1-λ）（4-λ），)4()1(2--λλ

由于

000000000021112111

2111111111)4)((=⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--E A E A 因此，A 的最小多项式为)4)(1(--λλ.

有时)(λf 在分解时比较困难，但由推论1可知，A 的最小多项式实质包含A 的特征多项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出

.))

(),((()

(λλλf f f '

例2 求矩阵

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡------------=1333313333133331A 的最小多项式.

解：⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+-+=-1333313333133331

λλλλλA E =512320484234---+λλλλ

)

80243(4)(512320484)(2

3

234--+='---+=λλλλλλλλλf f

由辗转相除法求得(168))(),(2++='λλλλf f 于是

16

8512320484))(),(()(2234++---+=

'λλλλλλλλλf f f

=3242--λλ=()8)4(-+λλ 于是 ())8(4)(3

-+=λλλf

A 的最小多项式有以下三种可能：

),8)(4(-+λλ ),8()4(2-+λλ )8()4(3-+λλ

而 0)8)(4(=-+E A E A ， 因此A 的最小多项式为)8)(4(-+λλ.

2．2 按最小多项式的定义及存在性求最小多项式

定理3[1] 任意 n 阶矩阵A 都存在最小多项式)(λA ψ.

证明：参见文献[1].

这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是： 第一步 试解

E A 0λ= 若能解出0λ，则A 的最小多项式为

0)(λλλ-=ψA ；

若E A 0λ=关于0λ无解，则做

第二步 试解

E E A 102λλ+= 若能解出0λ与1λ，则A 的最小多项式为

λλλλλ102)(--=ψA 若不能解出0λ与1λ，则做

第三步 试解

22103A A E A λλλ++= 若能解出0λ，1λ与2λ，则A 的最小多项式为

22103)(λλλλλλλ---=ψA 若不能解出0λ，1λ与2λ，则再做

第四步 试解

3322104A A A E A λλλλ+++=

等等，直到求出i λ（),,,2,1,0m i =使矩阵方程成立为止（由哈密尔顿---凯莱定