方阵最小多项式的求法与应用

方阵最小多项式的求法与应用[摘要]:本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. [关键词]:方阵；最小多项式；不变因子Minimal polynomial of a square matrix and its applicationsFENG Yu-xiang(Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui[Abstract]:The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied.[Keywords]: square matrix; minimal polynomial; invariant operation一、引言文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C 上n 阶方阵和多项式.二 、最小多项式的性质及求法由哈密尔顿定理可知，对于一n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则 ,0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A f n n nn n λ即就是任给数域P 上的一个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有定义1 设n n C A ⨯∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小多项式，记为)(λA ψ.最小多项式有以下一些基本性质： 定理1[1] 设A n n C ⨯∈，则（1）A 的任一零化多项式都能被)(λA ψ整除； （2）A 的最小多项式)(λA ψ是唯一的； （3）相似矩阵最小多项式相同.2．1 由特征多项式求最小多项式定理2[1] 0λ是A 的特征多项式零点的充分条件是0λ为A 的最小多项式)(λA ψ的零点.证明：见参考文献[1].推论1 若n 阶方阵A 的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积： s m s m m f )()()()(2121λλλλλλλ---= ，其中i λ是A 的相异的特征值，i m 是特征值i λ的重数，且,1n m si i =∑=则A 的最小多项式具有如下形式：s d s d d A )()()()(2121λλλλλλλ---=ψ ，其中),,2,1(s i m d i i =≤为正整数.推论1实际上给出了由方阵A 的特征多项式，求最小多项式的方法.例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的最小多项式.解：因为A 的特征多项式为)4()1()(2--=λλλf ，根据推论1便可知，A 的最小多项式有以下两种可能：（1-λ）（4-λ），)4()1(2--λλ由于0000000000211121112111111111)4)((=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--E A E A 因此，A 的最小多项式为)4)(1(--λλ.有时)(λf 在分解时比较困难，但由推论1可知，A 的最小多项式实质包含A 的特征多项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出.))(),((()(λλλf f f '例2 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=1333313333133331A 的最小多项式.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+-+=-1333313333133331λλλλλA E =512320484234---+λλλλ)80243(4)(512320484)(23234--+='---+=λλλλλλλλλf f由辗转相除法求得(168))(),(2++='λλλλf f 于是168512320484))(),(()(2234++---+='λλλλλλλλλf f f=3242--λλ=()8)4(-+λλ 于是 ())8(4)(3-+=λλλfA 的最小多项式有以下三种可能：),8)(4(-+λλ ),8()4(2-+λλ )8()4(3-+λλ而 0)8)(4(=-+E A E A ， 因此A 的最小多项式为)8)(4(-+λλ.2．2 按最小多项式的定义及存在性求最小多项式定理3[1] 任意 n 阶矩阵A 都存在最小多项式)(λA ψ.证明：参见文献[1].这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是： 第一步 试解E A 0λ= 若能解出0λ，则A 的最小多项式为0)(λλλ-=ψA ；若E A 0λ=关于0λ无解，则做第二步 试解E E A 102λλ+= 若能解出0λ与1λ，则A 的最小多项式为λλλλλ102)(--=ψA 若不能解出0λ与1λ，则做第三步 试解22103A A E A λλλ++= 若能解出0λ，1λ与2λ，则A 的最小多项式为22103)(λλλλλλλ---=ψA 若不能解出0λ，1λ与2λ，则再做第四步 试解3322104A A A E A λλλλ+++=等等，直到求出i λ（),,,2,1,0m i =使矩阵方程成立为止（由哈密尔顿---凯莱定理，这样的过程最多只有n 步即可终止），这时用λ代替A ，便得到所求最小多项式)(λA ψ.例2 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1101111001111111A 的最小多项式.解：（1）试解 E A 0λ=，显然关于0λ无解. （2）试解 A E A 102λλ+=写出方程两边的矩阵，并选择某行（某列）来求解代数方程组，以此求0λ和1λ，例如，比较第一行（3，2，0，-1）；A E 10λλ+的第一行为（11110,,,λλλλλ-+），从而的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===+202311110λλλλλ此方程组显然无解.（3）试解22103A A E A λλλ++=写出防城两边的矩阵，并选择第一列来求解0λ，1λ和2λ，这可由此比较方程两边第一列：1)7,7,7,6(---；2210A A E λλλ++的第一列:121221310)2,2,2,3(----+++λλλλλλλλ,得关于0λ，1λ和2λ的方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-=+=++7272726321221210λλλλλλλλ解此方程组得 270-=λ, 01=λ, 272=λ因为对于上面解出的0λ，1λ和2λ,矩阵方程 232927A A A -=成立.所以A 的最小多项式为2927)(23+-=ψλλλA2.3 利用Jordan 标准型求最小多项式定理4[1] 设矩阵n n C A ⨯∈,则A 的最小多项式可以由 s d s d d A )()()()(2121λλλλλλλ---=ψ给出,其中),,2,1(s i i =λ是A 的相异的特征根,),,2,1(s i d i =是在A 的Jordan 型J 中包含i λ的各分块的最大阶数.证明:参见文献[1].推论2 当A 的所有特征值都相异时,A 的最小多项式)(λA ψ就是A 的特征多项式A E f -=λλ)(.由定理4,在一般情况下,A 的最小多项式可以通过求出它的Jordan 标准型J 获得.例3 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=200001020000002000001200101112100000A的最小多项式.解：由A 的特征多项式33)2()1()(--=-=λλλλA E F知A 有两个不同的特征值：2,121==λλ（均为三重的）.容易求得5)(=-E A rank ，所以对于11=λ的特征向量仅有一个，这表示对应的Jordan 块的数目是1.又由于,4)2(=-E A rank 对应于22=λ的特征向量有2个，因此对应于22=λ的Jordan 块共有2块.故A 的Jordan 标准型为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡221211111可见J 中包含11=λ的块的阶数31=d ，包含22=λ的Jordan 块的最大阶数22=d ，因此A 的最小多项式为：23)2()1()(--=ψλλλA2.4 利用不变因子求最小多项式引理1[4] A 的最小多项式是A 的初等因子的最小公倍式.证明：相似矩阵有相同的最小多项式和初等因子.因此只要对A 的若当标准型矩阵J 证明即可.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡S J J J21，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i ii iJ λλλ11，s i ,,2,1 = 并且.1n n si i =∑=我们已知i J 的最小多项式是i n i )(λλ-，现在对任一多项式)(λf 有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21s J f J f J f J f因此0)(=J f 当且仅当0)()()(21====s J f J f J f .这就是说，)(λf 是J 的化零多项式)(λf 是s J J J ,,,21 的化零多项式，进一步，)(λg 是J 的最小多项式必须)(λg 是s J J J ,,,21 的化零多项式，因此是的最小多项式的公倍式；另一方面，这些i J 的最小多项式的任一公倍式必须是J 的化零多项式，因而被)(λg 整除.故J 的最小多项式必须是s J J J ,,,21 的最小多项式，即J 的初等因子s ns n n )()()(2121λλλλλλ--- 的最小公倍式.定理5[4] A 的最小多项式恰为A 的最后一个不变因子.证明 由于A 的最后一个不变因子)(λn d 具有性质()λλn i d d |)(，,1,,2,1-=n i 所以()λn d 中 包含了A 的初等因子所有互异的指数最高一次因式的幂，它恰是A 的全部初等因子的最小公倍式，于是命题得到证明.例5 证明⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=--12211000000010001000)(a a a a a A n n n λλλλλλ的不变因子是11,,1,1-n ，)(λf ，其中n n n n a a a f ++++=--λλλλ111)( .证明： 因为)(λA 的左下角的1-n 阶子式为1)1(--n ，所以1)(1=-λn D ，于是)()()(121λλλ-===n D D D将)(λA 的第二，第三，…，第1-n 行，第n 行分别各乘以122,,,,--n n λλλλ 都加至第一行上，依第一行展开即得：n n n n n a a a A D ++++==--λλλλλ111)()(因此，)(λA 的不变因子是11,,1,1-n ，)(λf .由定理5可知，A 的最小多项式实质为A 的最后一个不变因子)(λn d ，而)()()(1λλλ-=n n n D D d ，其中)(λn D 为A 的n 阶行列式因子，故可得求A 的最小多项式的方法.例6 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=2345100010001)(λλλλλA 的最小多项式.解：543223451000100012344++++=+---=λλλλλλλλD)(λA 右上角有一个三级子式11001001-=---λλ所以 1321===D D D5432,1,1,12344321++++====λλλλd d d d所以)(λA 的不变因子是1，1，1，5432234++++λλλλ，它的最小多项式为5432234++++λλλλ三 、最小多项式的应用这一节我们将讨论最小多项式的一些应用3．1 求矩阵的高次幂例7 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=4513416103A ，求100A 解：3)1()(-=-=λλλA E f ，由0≠-E A ，而0)(2=-E A ，知A 的最小多项式2)1()(-=λλg ，所以A 不能对角化.但我们有 )()()1(2100b a q ++-=λλλλ用待定系数法 令1=λ，1=+b a ，对上式求导后再令 1=λ，解得99,100-==b a因此，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=300500100300499100600100020199100100E A A 3.2 判断矩阵是否可逆例8 设)(λg 是矩阵A 的最小多项式.)(λh 是任意多项式，证明：)(λh 可逆的充要条件是1))(),((=λλg h证：若1))(),((=λλg h ，则存在)(),(λλv u ，使 1)()()()(=+λλλλv g u h 于是E u h =)()(λλ，故0)(≠A h ，从而)(λh 可逆. 反之，当)(λh 可逆时，设)())(),((λλλd g h =， 于是 )()()(λλλd u h =， )()()(λλλd v g = 从而有 )()()(0A d A v A g ==，)()()(A d A u A h =（*）因为0)(≠A h ，所以0)(≠A d ，即)(A d 可逆，这就有等式（*）推出0)(=A v ，并进一步得到 )()(λλg v =且1)(=λd .本文在文献[1]的基础上对最小多项式的求法做了总结和改进，并提出一些新的求法.同时，将最小多项式的求法应用到了求矩阵的高次幂和判断方阵可逆上，以此达到理论与实践的良好结合.[参考文献]1. 夏必腊，方阵最小多项式的性质与求法[J]，高等数学研究，2003，3：34—39.2. 杨子胥，高等代数习题解[M],山东:山东科学技术出版社,2001.3. 北京大学数学力学系，高等代数[M],北京：高等教育出版社，1988.4. 刘玉森，苏仲阳主编，高等代数应试训练[M]，北京：地质出版社，1995.11 / 11。