数学运算必会技巧：比例法

数学运算必会技巧：比例法
数学运算是大部分同学比较头疼的问题，尤其是工程题或者行程题，很多同学看到后都选择直接放弃。

其实掌握方法和技巧，大可不必如此。

今天给大家介绍一下解决工程问题和行程问题经常运用的非常实用的方法，比例法。

一、比例法基本原理
基本条件：A=BC
一般情况：
（1）A值固定时，B、C成反比。

即A=B1*C1，A=B2*C2，则B1：B2=C2：C1
（2）B值固定时，A、C成正比。

即A1=B*C1，A2=B*C2，则A1：A2=C1：C2
（3）C值固定时，A、B成正比。

即A1=B1*C，A2=B2*C，则A1：A2=B1：B2
特殊情况：
路程=速度×时间；工作量=工作效率×工作时间
根据上面的分析，大家其实能够回忆起，行程问题、工程问题中的比例关系。

这些比例关系，如果直接问，我们或许都没问题。

但是在实际解题的过程中，可能就运用的并不是特别理想，接下来我们具体分析一下，如何应用好这种比例关系。

二、比例法实际运用
【例1】某项工程，可由若干机器在规定的时间内完成，如果增加2台机器，则只需用规定时间的7/8就可做完；如果减少2台机器，那么就要推迟2/3小时做完，现问：由一台机器去完成这项工程需要多少小时？
A．60 B．56
C．48 D．39
分析：工程问题常用比例法、特殊值法、方程法，此题可用比例法与方程法结合。

看到时间成比例变化，可以考虑用比例法。

条件1：增加2台，时间变成原来的7/8，（此处工作总量不变，可以运用比例关系）。

根据一般情况（1）可得，初始效率：增加2台效率=8:7，说明原来相当于14台机器。

条件2：减少2天，由原来的14台变成12台（此处工作总量不变，可以运用比例关系），根据一般情况（1）可得，初始效率：减少2台效率=14:12=7:6，由此说明初始时间：减少2台时间=6:7，这样时间推迟2/3小时，说明原计划时间是6*2/3=4小时。

总结：初始机器14台，原计划时间4小时，可以算出整体工作量=14*4=56，这样一台机器就需要56小时。

【例2】某工程班被派去抢修灾区路面，工程完成1/3时，一半人被调去救援群众，剩下的一半人继续工作4小时后，两个新兵班被调来支援抢修，每个新兵班的效率是工程班的35%，最终比原计划提前3小时完工，请问原定几小时完工？
A．48 B．42
C．54 D．60
分析：工程问题常用比例法、特殊值法、方程法，此题可用比例法与方程法结合。

整体效率变化：因为效率始终是成比例变化，所以假设初始的效率为10，那么完成1/3工程后，剩下的人效率即为5，调来新兵班后的效率即为5+2+10*35%=12。

整体时间变化：一半人完成4小时，如果整体工作即需要2小时，新兵班加入后提前3小时，说明新兵班加入后的这段时间节省了5小时，才使整体的时间提前3小时完成。

比例关系变化：新兵班加入后到结束，初始整体效率：新兵加入后整体效率=10:12=5:6，时间提前5小时，说明原计划完成这段任务的时间是30小时。

整体时间分析：整体完成1/3的时间+整体工作2小时+整体完成后面任务时间=整体完成1/3的时间+2+30。

由此推出整体完成2/3的时间共32小时，那么完成全部任务的时间为48小时。

【例3】一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？
A．210 B．240
C．270 D．300
解析：本题为一道行程问题，通常来说我们可以通过列方程解决，但是一般方程后，解方程都是比较浪费时间的，而且有些时候还容易解错。

因此不建议用方程法解此类问题。

我们可以看到，题干中有很多速度变化的百分数，但是总的路程并没有发生变化，因此我们可以考虑用比例法解决此题。

分析1：“如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达。

”
这个我们可以分析出路程不变的情况下，速度提高20%，我们可以假设特殊值，初始速度：变化后速度=5:6，因为路程不变，所以我们可以得到：初始时间：变化后时间=6:5，有根据题干中提前1小时到达，因此我们可以判断出来原计划时间为6小时。

分析2：“如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达。

”
这个表明，行驶120千米后，速度发生变化。

那么我们假设速度发生变化的这段路程：初始速度：变化速度=4:5，因为提速后这段路程没有变化，所以我们推出：初始时间：变化时间=5:4，再根据提前40分钟，我们可以推出时间时间为5*40分钟=200分钟=10/3小时。

综合分析：原计划走完全程为6小时，行驶120前面后需要10/3小时，因此前120前面，原计划时间为8/3小时，可以得到原计划的速度=120÷（8/3）=45千米/小时，因此得到总的路程为45*6=270千米。

因此此题答案为C项。

三、比例法总结
比例法是解决工程问题及行程问题最常用的方法之一，效果也很理想，通过以上的例题分析，所以同学们一定要把比例法熟练掌握。

四、课后练习题
(2010年福建)甲每分钟走80米，乙每分钟走72米，两人同时从A地出发到B地，乙比甲多用4分钟，AB两地的距离为多少米（）？
A.320
B.288
C.1440
D.2880
(江苏2012C)经技术改进，AB两辆列车的运行速度由150千米/小时提升到了250千米/小时，行车时间因此缩短了48分钟，则AB两城间的距离为多少？
A. 300千米
B. 291千米
C. 310千米
D. 320千米
正确答案：DA。