《柱、锥、台表面积》111
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柱,锥,台的表面积
20cm
15 cm
15 cm
为了美化化盆的外观，需要涂漆。已 知每平方米用100毫米油漆，涂100个这样 的花盆需要多少油漆？
练习：P27
T1，2
知识小结
柱体、锥体、台体的表面积
圆柱 S 2r (r l )
r r
圆台S (r2 r 2 rl rl )
r 0
提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何 体，它们的表面积就是各个面的面积的和． 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用 平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
S
A B C
思考？如何根据圆柱，圆锥的几何特点， 求它们的表面积。
圆柱，圆锥的展开图是什么图形？
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
2
圆锥的表面积
2r
l
r O
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
展开图
圆锥 S r (r l )
各面面积之和
作业：P28
习题A T1，2
2
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台 的侧面展开图是什么 ．
2r '
r ' O’
2r
l
r O
S
圆台的侧面展开图是扇环 2 2 圆台表面积
(r r rl rl )
15 cm
15 cm
为了美化化盆的外观，需要涂漆。已 知每平方米用100毫米油漆，涂100个这样 的花盆需要多少油漆？
练习：P27
T1，2
知识小结
柱体、锥体、台体的表面积
圆柱 S 2r (r l )
r r
圆台S (r2 r 2 rl rl )
r 0
提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何 体，它们的表面积就是各个面的面积的和． 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用 平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
S
A B C
思考？如何根据圆柱，圆锥的几何特点， 求它们的表面积。
圆柱，圆锥的展开图是什么图形？
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
2
圆锥的表面积
2r
l
r O
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
展开图
圆锥 S r (r l )
各面面积之和
作业：P28
习题A T1，2
2
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台 的侧面展开图是什么 ．
2r '
r ' O’
2r
l
r O
S
圆台的侧面展开图是扇环 2 2 圆台表面积
(r r rl rl )
柱体、锥体、台体表面积及体积公式
S圆锥表面积 r2 rl r(r l)
圆台的展开图 思考4 如何根据圆台的几何结构特征，求圆 台的表面积.
S
A1
A
圆台的表面积
r'
lrΒιβλιοθήκη 圆台的侧面展开图是扇环S圆 台 表 面 积 (r2 r 2 rl rl )
圆柱、圆锥及圆台的表面积公式的关系
上底面 扩大
上底面 缩小
S 2rr l
S rr l
r r
r 0
S r2 r 2 rl rl
例题讲解
如图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径
为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了
美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫
升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（ 取3.14,
45 3 72 2
圆柱的展开图
思考2 如何根据圆柱的几何结构特征，求圆 柱的表面积.
圆柱的表面积
r O
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
圆锥的展开图
思考3 如何根据圆锥的几何结构特征，求圆 锥的表面积.
圆锥的表面积
2r
l
r
圆锥的侧面展开图是扇形
课后巩固提升
（1）已知圆柱的底面半径为1cm，母 线长为3cm，求圆柱的表面积.
（2）一圆锥体表面积为3 cm2, 底面
半径为1cm，求其母线长度. （3）一圆台上下底面半径分别为1cm, 2cm，母线长为1cm,求圆台的表面积.
答案:
1 8 2 2 3 8
1.3.1柱体、锥体、台体的 表面积
柱体、锥体、台体的表面积与体积
学习目标：
圆台的展开图 思考4 如何根据圆台的几何结构特征，求圆 台的表面积.
S
A1
A
圆台的表面积
r'
lrΒιβλιοθήκη 圆台的侧面展开图是扇环S圆 台 表 面 积 (r2 r 2 rl rl )
圆柱、圆锥及圆台的表面积公式的关系
上底面 扩大
上底面 缩小
S 2rr l
S rr l
r r
r 0
S r2 r 2 rl rl
例题讲解
如图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径
为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了
美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫
升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（ 取3.14,
45 3 72 2
圆柱的展开图
思考2 如何根据圆柱的几何结构特征，求圆 柱的表面积.
圆柱的表面积
r O
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
圆锥的展开图
思考3 如何根据圆锥的几何结构特征，求圆 锥的表面积.
圆锥的表面积
2r
l
r
圆锥的侧面展开图是扇形
课后巩固提升
（1）已知圆柱的底面半径为1cm，母 线长为3cm，求圆柱的表面积.
（2）一圆锥体表面积为3 cm2, 底面
半径为1cm，求其母线长度. （3）一圆台上下底面半径分别为1cm, 2cm，母线长为1cm,求圆台的表面积.
答案:
1 8 2 2 3 8
1.3.1柱体、锥体、台体的 表面积
柱体、锥体、台体的表面积与体积
学习目标：
柱锥台球的体积与表面积
2 锥体的体积
V = 1/3πr²h
如何计算柱锥台球的体积
1
Step 1
测量柱体的半径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的体积公式计算柱体的体积(Vc)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和高度(h)
Step 4
4
使用锥体的体积公式计算锥体的体积(Vc)
5
Step 5
将柱体的体积和锥体的体积相加得到柱锥台 球的总体积(V)
4
使用锥体的表面积公式计算锥体的表面积
(A c)
5
Step 5
将柱体的表面积和锥体的表面积相加得到柱 锥台球的总表面积(A)
柱锥台球的尺寸影响体积和表 面积吗？
柱锥台球的尺寸，如半径和高度，会直接影响它的体积和表面积。增加柱锥 台球的尺寸会增加其体积和表面积。
柱锥台球的体积和表面积之间 的关系
柱锥台球的体积和表面积之间是相互关联的。当柱锥台球的体积增加时，它 的表面积也会增加。
柱锥台球的表面积公式
1 柱体的表面积
A = 2πrh + 2πr²
2 锥体的表面积
A = πr(l + r)
如何计算柱锥台球的表面积径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的表面积公式计算柱体的表面积
(A c)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和斜高(l)
Step 4
柱锥台球的体积与表面积
柱锥台球是一种特殊形状的台球，它由柱体和锥体两部分组成。在本演示中， 我们将讨论柱锥台球的体积和表面积，以及与数学和物理学的关系。
柱锥台球的形状
柱锥台球由一个底部较大的柱体和一个顶部较小的锥体组成。这种特殊形状 让它成为一个有趣的几何体。
柱体、锥体和台体的表面积的计算
台体的表面积
定义和特点
台体是由两个平行的圆形底 面和它们之间的侧面组成的 立体。
表面积计算公式
台体的表面积 = π(R + r)l + πR² + πr²，其中 R 是上底圆 的半径，r 是下底圆的半径， l 是台体的斜高。
示例
如果台体的上底圆半径为 4 米，下底圆半径为 3 米，斜 高为 6 米，则表面积为 191.03 平方米。
使用公式计算表面积的注意事项
1 单位一致
确保所有的尺寸都使用同 一种单位（如米、厘米） 进行计算和输入。
2 精确度
在计算过程中保持足够的 精确度，以避免计算结果 的误差。
3 要素考虑
根据不同几何体的表面积 计算公式，确保将所有必 要的参数（如底面半径、 高度、斜高）全部考虑进 去。
表面积计算应用举例
柱体、锥体和台体的表面 积的计算
欢迎来到本次演讲，我们将深入探讨柱体、锥体和台体的表面积计算方法以 及它们的定义和特点。
柱体的表面积
1 定义和特点
柱体是一个横截面为圆形的立体，表面由两个圆和一个侧面组成。
2 表面积计算公式
柱体的表面积 = 2πr² + 2πrh，其中 r 是底面圆的半径，h 是柱体的高度。
3 示例
如果柱体的半径为 3 米，高度为 5 米，则表面积为 94.25 平方米。
锥体的表面积
定义和特点
锥体是一个横截面为圆形且垂直 于底面的立体，表面由一个底面 圆和一个侧面组成。
表面积计算公式
锥体的表面积 = πr² + πrl，其中 r 是底面圆的半径，l 是锥体的斜 高。
示例
如果锥体的底面半径为 4 米，斜 高为 5 米，则表面积为 94.97 平 方米。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 课件
(2)正四棱锥的底面正方形边长为 4 cm，高与斜高的夹角为 30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．
【思路分析】 在正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角 三角形中，可求得斜高与高．
【解析】 ∵边心距为 2，∴斜高 h′＝sin320°＝4. ∴S 侧＝4·12·4·4＝32(cm2)，S 底＝42＝16(cm2)． ∴S 全＝32＋16＝48(cm2)．
【解析】 ①V 长方体＝abc＝3×4×5＝60； ②∵r＝3，l＝5，∴h＝ l2－r2＝4. ∴V 圆锥＝13πr2h＝π3 ×32×4＝12π； ③∵S 上＝32＝9，S 下＝52＝25， S上S下＝3×5＝15； ∴V 台＝13(S 上＋ S上S下＋S 下)h ＝13×(9＋15＋25)×4＝1936.
＝
2×5×
52－（52）2＝
25 3. S 表面积＝S 侧＋S 底＝25 3＋25＝25( 3＋1)．
(2)一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，求这个 正方体和圆柱的体积之比．
【思路分析】 本题考查了正方体和圆柱表面积计算问题．关 键设出正方体棱长和圆柱底面半径，并找出它们的关系．
【解析】 设正方体的棱长和圆柱的高(母线长)都为 a，设圆 柱的底面半径为 r.
A．1
1 B.2
1
1
C.3
D.6
【解析】 本题主要考查几何体的三视图 和体积．根据三视图，可知该几何体是三棱锥， 如图所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱 PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高 是 PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为 V＝13S△ABCPA＝13×12×1＝16.故选 D.
思考题 1 (1)圆柱的侧面展开图是边长为 6π和 4π的矩
柱体锥体台体的表面积与体积 课件
(2)若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何 体分割分别求解，最后求和．
命题方向4 ⇨简单组合体的体积与表面积
典例 4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A
A．13＋π B．23＋π C．13＋2π D．23＋2π
[解析] 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图
命题方向3 ⇨与三视图有关的几何体的表面积与体积
典例 3 ( 浙 江 ， 文 ) 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ( 单 位 ： c m ) ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 是 _ _8_0_ _ _ _ _ c m 2 ， 体 积 是 _ _ _4_0_ _ _ _ c m 3 .
6．台体的体积
( 1 ) 圆 台 ( 棱 台 ) 的 高 是 指 _两_ _个_底_ _面_ _ _ _ _ _ 之 间 的 距 离 ．
(2)台体的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝ _ _ 13_(_S_＋_ _ _S_S_′_ _＋_S_′_ _)_h_ _ _ _ _ _ _ . 特 别 地 ， 圆 台 的 上 、 下 底 面 半 径 分 别 为 r 、 r ′ ， 高 为 h ， 其 体 积 V ＝ _ _13_π_(_r_2＋_ _ _rr_′_ _ _＋_ _r_′_ _2_)_h_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2．割与补
当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将 原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补 法．
典例 5 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形
ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形， EF∥AB，EF＝2，求多面体的体积．
命题方向4 ⇨简单组合体的体积与表面积
典例 4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A
A．13＋π B．23＋π C．13＋2π D．23＋2π
[解析] 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图
命题方向3 ⇨与三视图有关的几何体的表面积与体积
典例 3 ( 浙 江 ， 文 ) 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ( 单 位 ： c m ) ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 是 _ _8_0_ _ _ _ _ c m 2 ， 体 积 是 _ _ _4_0_ _ _ _ c m 3 .
6．台体的体积
( 1 ) 圆 台 ( 棱 台 ) 的 高 是 指 _两_ _个_底_ _面_ _ _ _ _ _ 之 间 的 距 离 ．
(2)台体的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝ _ _ 13_(_S_＋_ _ _S_S_′_ _＋_S_′_ _)_h_ _ _ _ _ _ _ . 特 别 地 ， 圆 台 的 上 、 下 底 面 半 径 分 别 为 r 、 r ′ ， 高 为 h ， 其 体 积 V ＝ _ _13_π_(_r_2＋_ _ _rr_′_ _ _＋_ _r_′_ _2_)_h_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2．割与补
当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将 原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补 法．
典例 5 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形
ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形， EF∥AB，EF＝2，求多面体的体积．
《柱体锥体台体的表面积和体积》课件
如果台体的上下底面是圆形，则可以将上下底面的半径作为变量代入公式计算。
如果台体的上下底面是其他形状，则需要根据具体形状计算面积，再代入公式计算 体积。
04
特殊形状的表面积和体积
球体的表面积和体积
球体的表面积计算公式
$4pi r^{2}$，其中$r$为球体的半径。
球体的体积计算公式
球体表面积和体积的应用
《柱体锥体台体的表面积和体积》 课件
• 柱体的表面积和体积 • 锥体的表面积和体积 • 台体的表面积和体积 • 特殊形状的表面积和体积 • 实际应用与问题解决
01
柱体的表面积和体积
柱体的定义和性质
定义
柱体是一个三维图形，由一个矩 形或圆形底面和垂直于底面的侧 面构成。
性质
柱体的侧面是平行且等长的多边 形或圆环，其表面积和体积的计 算方法与底面的形状有关。
柱体的表面积计算
01
02
03
公式
柱体的表面积 = 底面积 + 侧面积
底面积
矩形底面 = 长 × 宽，圆 形底面 = π × 半径^2
侧面积
矩形侧面 = 高 × 长，圆 形侧面 = 高 × 2π × 半径
柱体的体积计算
公式
柱体的体积 = 底面积 × 高
底面积
矩形底面 = 长 × 宽， 圆形底面 = π × 半径 ^2
锥体的表面积计算
侧面面积计算公式为
01
$S_{侧面} = pi r l$，其中$r$为底面半径，$l$为侧面高。
底面面积计算公式为
02
$S_{底面} = pi r^2$。
锥体的总表面积计算公式为
03
$S_{总} = S_{侧面} + S_{底面}$。
如果台体的上下底面是其他形状，则需要根据具体形状计算面积，再代入公式计算 体积。
04
特殊形状的表面积和体积
球体的表面积和体积
球体的表面积计算公式
$4pi r^{2}$，其中$r$为球体的半径。
球体的体积计算公式
球体表面积和体积的应用
《柱体锥体台体的表面积和体积》 课件
• 柱体的表面积和体积 • 锥体的表面积和体积 • 台体的表面积和体积 • 特殊形状的表面积和体积 • 实际应用与问题解决
01
柱体的表面积和体积
柱体的定义和性质
定义
柱体是一个三维图形，由一个矩 形或圆形底面和垂直于底面的侧 面构成。
性质
柱体的侧面是平行且等长的多边 形或圆环，其表面积和体积的计 算方法与底面的形状有关。
柱体的表面积计算
01
02
03
公式
柱体的表面积 = 底面积 + 侧面积
底面积
矩形底面 = 长 × 宽，圆 形底面 = π × 半径^2
侧面积
矩形侧面 = 高 × 长，圆 形侧面 = 高 × 2π × 半径
柱体的体积计算
公式
柱体的体积 = 底面积 × 高
底面积
矩形底面 = 长 × 宽， 圆形底面 = π × 半径 ^2
锥体的表面积计算
侧面面积计算公式为
01
$S_{侧面} = pi r l$，其中$r$为底面半径，$l$为侧面高。
底面面积计算公式为
02
$S_{底面} = pi r^2$。
锥体的总表面积计算公式为
03
$S_{总} = S_{侧面} + S_{底面}$。
柱体、锥体、台体的表面积和体积
总表面积 = 2πr² + 2πrh 其中，r 是底面半径，h 是高度。
柱体的体积公式
柱体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h 是高度。
锥体的定义和特征
• 锥体由一个圆锥面和一个尖顶组成。 • 锥体的高度是尖顶到底面的垂直距离。
锥体的表面积公式
柱体、锥体、台体的表面 积和体积
通过学习柱体、锥体和台体的表面积和体积公式，你将能够理解它们的定义、 特征以及在日常生活和建筑中的应用。
柱体的定义和特征
• 柱体由两个平行的圆面以及它们之间的侧面组成。 • 柱体的高度是两个平行圆面之间的垂直距离。
柱体的表面积公式
柱体的表面积可以通过以下公式计算：
锥体的表面积可以通过以下公式计算： 总表面积 = πr² + πrl 其中，r 是底面半径，l 是斜高。
锥体的体积公式
锥体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 1/3 × 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h由两个平行的圆面和它们之间的侧面组成。 • 底面和顶面是平行的，而侧面是梯形形状。
柱体的体积公式
柱体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h 是高度。
锥体的定义和特征
• 锥体由一个圆锥面和一个尖顶组成。 • 锥体的高度是尖顶到底面的垂直距离。
锥体的表面积公式
柱体、锥体、台体的表面 积和体积
通过学习柱体、锥体和台体的表面积和体积公式，你将能够理解它们的定义、 特征以及在日常生活和建筑中的应用。
柱体的定义和特征
• 柱体由两个平行的圆面以及它们之间的侧面组成。 • 柱体的高度是两个平行圆面之间的垂直距离。
柱体的表面积公式
柱体的表面积可以通过以下公式计算：
锥体的表面积可以通过以下公式计算： 总表面积 = πr² + πrl 其中，r 是底面半径，l 是斜高。
锥体的体积公式
锥体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 1/3 × 底面积 × 高度 底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h由两个平行的圆面和它们之间的侧面组成。 • 底面和顶面是平行的，而侧面是梯形形状。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 课件
(2)面积：锥体的表面积S表＝S侧 ＋S底．特别地，圆锥的底面半径为 r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝ _π_r_l __，表面积S表＝__π_r_(_l＋__r_)___．
3．台体的表面积 (1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个__梯__形___拼接而成的，则侧面 积为各个梯形面积的_和___，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积 可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示．
×(202＋302)＝325 3(cm2)．
由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3，所以 DD′＝133 3(cm)，
O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)，OD＝ 63×30＝5 3(cm)， 所以棱台的高 h＝O′O
＝ D′D2－OD－O′D′2＝ 133 32－5 3－103 32＝4 3(cm)，
第一章
柱体、锥体、台体的表面积与体积
1．柱体的表面积 (1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是__平__行__四__边__形__，一边是棱柱的侧棱， 另一边等于棱柱的__底__面__周__长___，如图①所示；圆柱的侧面展开图是_矩__形___，其 中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示．
『规律方法』 空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平 面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
命题方向2 ⇨空间几何体的体积
已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角 形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高 和体积.
5．锥体的体积
3．台体的表面积 (1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个__梯__形___拼接而成的，则侧面 积为各个梯形面积的_和___，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积 可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示．
×(202＋302)＝325 3(cm2)．
由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3，所以 DD′＝133 3(cm)，
O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)，OD＝ 63×30＝5 3(cm)， 所以棱台的高 h＝O′O
＝ D′D2－OD－O′D′2＝ 133 32－5 3－103 32＝4 3(cm)，
第一章
柱体、锥体、台体的表面积与体积
1．柱体的表面积 (1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是__平__行__四__边__形__，一边是棱柱的侧棱， 另一边等于棱柱的__底__面__周__长___，如图①所示；圆柱的侧面展开图是_矩__形___，其 中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示．
『规律方法』 空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平 面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
命题方向2 ⇨空间几何体的体积
已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角 形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高 和体积.
5．锥体的体积
柱体、锥体、台体的表面积和体积(完美版)
(完美版)
谢谢观赏
柱体、锥体、台体的表面积和体 积(完美版)
几何体
多 面 体
r
l
侧面积公式 多面体的侧面积 就是 各侧面 的面积和, 也就是侧面展开图 的面积
侧面积:S侧= 2rl
旋
转
体
r
r1
r2 l
rl 侧面积:S侧=
侧面积:S侧= (r1r2ห้องสมุดไป่ตู้l
柱体、锥体、台体的表面积和体积 (完美版)
几何体 柱 锥
体积公式
(2)以BDA1为底面时,求此三棱锥的高
D1
C1
A1
B1
DO
C
A 柱体、锥体、台体的表面积和体积 (完美版)
B
勇攀高峰
如图所示,三棱台ABC-A1B1C1中,AB:A1B1=1:2, 求三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之 比
A
C
B
A1
C1
柱体、锥体、台体的表面积和体积
B1
V柱=
S底h
1
V锥=
3 S底h
台
V台= 1 3(S上 S上 S下S下 ） h
柱体、锥体、台体的表面积和体积 (完美版)
例变题式讲训解练
空间几何体的三视图如图所示,求该几何体的 表表体面面积积积 .
2
2
2
2
2
正(主)视图
2
侧(左)视图
柱体、锥体、台体的表面积和体积
(完美版) 俯视图
拓展提升
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B、 D、A1截下一个三棱锥 (1)求此三棱锥的体积；
高二数学柱体锥体台体的表面积.ppt
1. 柱体、锥体、台体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形 围成的几何体，它们的展开图是什么？如 何计算它们的表面积？
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形 棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形
例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g / cm3) 六角螺帽(如下图)共重5.8kg,已知底面是正六边形, 边长为12mm,内孔直径10mm,高为10mm,问这堆螺帽
大约有多少个(取3.14) ?
个数 V总/V每个螺帽
V螺帽 V棱柱 -V圆柱
V总 m / 5.81000 7.8 743 .59cm3
S三角
1 2
12
3 12 36 2
3
V棱柱 sh 636 3 10 2160 3
h V 圆柱 r2h 3.14 52 10 785
12
V螺帽 2160 3 785 2956
V总/V螺帽 743.59 2.956 252（个）
练习 1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形， 则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ A ）
10cm
15cm
7.5cm
2、柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统
一为：
柱
V = Sh（S为底面面积，h为高）
体 一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为
底面面积，h为高（即上下底面的距离）
h s
锥 圆锥的体积公式是 V 1 Sh
3
体 (其中S为底面面积，h为高)
A . 1 2 2
1 4
B . 4
C . 1 2
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。
探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形 围成的几何体，它们的展开图是什么？如 何计算它们的表面积？
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形 棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形
例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g / cm3) 六角螺帽(如下图)共重5.8kg,已知底面是正六边形, 边长为12mm,内孔直径10mm,高为10mm,问这堆螺帽
大约有多少个(取3.14) ?
个数 V总/V每个螺帽
V螺帽 V棱柱 -V圆柱
V总 m / 5.81000 7.8 743 .59cm3
S三角
1 2
12
3 12 36 2
3
V棱柱 sh 636 3 10 2160 3
h V 圆柱 r2h 3.14 52 10 785
12
V螺帽 2160 3 785 2956
V总/V螺帽 743.59 2.956 252（个）
练习 1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形， 则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ A ）
10cm
15cm
7.5cm
2、柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统
一为：
柱
V = Sh（S为底面面积，h为高）
体 一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为
底面面积，h为高（即上下底面的距离）
h s
锥 圆锥的体积公式是 V 1 Sh
3
体 (其中S为底面面积，h为高)
A . 1 2 2
1 4
B . 4
C . 1 2
柱体、锥体、台体的表面积
300 mm.计算制造这个下料斗所需铁板的面积是多少?
解:如图所示,设四边形 ABCD 是该下料斗 的一个侧面,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E,
则 AE= AD2 DE2 .
由题意,CD=440 mm,AB=80 mm,AD=BC=300 mm,
故 DE= 440 80 =18=96(cm2), 圆柱的侧面积为 2π×1×1≈6.28(cm2), 则挖洞后几何体的表面积约为 96+6.28=102.28(cm2).
反思:求几何体的表面积时,通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体,再通过 这些基本的柱、锥、台体的表面积,进行求和或作差,从而获得几何体的表面积. 本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与圆柱侧面积的和是非常有 创意的想法,如果忽略正方体没有被打透这一点,思考就会变得复杂,当然结果 也会是错误的.
答案:20π
2.锥体的表面积 (1)侧面展开图:棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的,则侧面积为各 个三角形面积的和,如图 a 所示;圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径是圆锥的 母线,扇形的弧长等于圆锥的底面周长,如图 b 所示.
(2)面积:锥体的表面积 S 表=S 侧+S 底.特别地,圆锥的底面半径为 r,母线长为 l, 则圆锥的侧面积 S 侧=πrl,表面积 S 表=πr(l+r).
(2)面积:台体的表面积 S 表=S 侧+S 上底+S 下底.特别地,圆台的上、下底面半径分 别为 r',r,母线长为 l,则侧面积 S 侧=π(r+r')l,表面积 S 表=π(r2+r'2+rl+r'l).
圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系:
【做一做 3】 圆台的上、下底面半径分别是 3 和 4,母线长为 6,则其表面 积等于( )
柱、锥、台表面积的求法
柱、锥、台表面积的求法求关于柱、锥、台体的表面积时，必须分清所求几何体的结构特征，即柱、锥、台体等的哪种几何体，或是由几个柱、锥、台等构成的几何体(组合体)，然后选用相应的面积公式求解.下面举例说明.一﹑求棱体的表面积棱柱的侧面展开图是平行四边形，上、下底面面积相等，因此只要计算出侧面积与一个底面的面积，其表面积可求；棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，因此侧面积为各个三角形面积之和；棱台的侧面展开图为若干个梯形拼接而成，因此侧面积为各个梯形的面积之和.由此可知，求棱体的表面积主要分为两次运算，一次是计算侧面积，一次是计算底面积.例1六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是8cm 和18cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13cm ，求它的表面积.解析：一个侧面如右图，易知a ＝18－82＝5，h ＝132－52＝12. 则S 侧面积＝6×18＋82×12＝936(cm 2)， S 上底＝12×8×(8×sin60︒)×6＝963(cm 2)，S 下底＝12×18×(18×sin60︒)×6＝4863(cm 2)，所以，表面积为936＋963＋4863＝936＋5823(cm 2).点评：本题在作图上比较麻烦，因此在解答时，根据所涉及的六棱台特殊性，可先通过解决一个侧面的面积，从而求侧面积，这是解答本题的一个关键.这种处理方法在求面积中用得较为广泛.二、求圆体的表面积圆柱的侧面展开图是矩形，上、下底面面积相等，因此只要计算出侧面积与一个底面的面积，其表面积就可求：设柱体的底面周长为c ，高为l ，则侧面积为S 侧面积＝cl ，故圆柱表面积公式为S 表面积＝S 侧面积＋S 底.圆锥的侧面展开图为扇形，利用扇形面积公式可求侧面积，故圆锥表面积公式为S 表面积＝S 侧面积＋S 底.圆台的侧面展开图为扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，所以它们的表面积公式为：S 表面积＝S 侧面积＋S 上底＋S 下底.例2一个立体几何圆台教具的上底半径是4cm ，下底半径为6cm ，母线长为12cm ，求此圆台的表面积.解析：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角为∠B 'O B ＝θ，O A ＝x .又设圆台上下底面半径分别是r 、R ，则R ＝6cm ，r ＝4cm ，由相似三角形知识得x x ＋12＝23，解得x ＝24， 则圆心角θ＝2π×424＝π3， 所以S 扇形A 'OA ＝12×2π×4×24＝96π(cm 2)，S 扇形B OB ＝π(x ＋AB)2＝12×2π×6×(24＋12)＝216π(cm 2)， 所以圆台的表面积为216π－96π＝120π(cm 2).点评：（1）本题解答充分体现了立几问题平面化的一种重要思想方法，特别是在解决几何体表面上的相关问题时，作用尤为显著；（2）在解决与台休相关的问题时，一般都要用到三角的相似，建立方程，求得相关量；（3）求圆台的表面积（或侧面积）的一个关键就是确定侧面展开图所对就的圆心角.三﹑求三视图给出的几何体的表面积此类题没有直接给出或描述出所求几何体图形，而是通过给出一个几何体的三视图.因此求此类几何体的表面积时，要认真分析三视图，根据“长对正，宽相等，高平齐”的基本原则，明确三视图中数据对应于原几何体哪个量，一般根据一种或两种视图相结合可得出一个对应于原几何体中的一个量.例3右图所示的是一个三棱柱的三视图，此三棱柱的侧棱垂直底面，且底面为正三角形，求这个正三棱柱的表面积.解析：由三视图知三棱柱的侧棱长为2mm ，由左视图知正三棱柱的底面三角形的高23mm ，设底面边长为a ，则32a ＝23，∴a ＝4， ∴三棱柱的表面积为S ＝S 侧＋2S 底＝3×4×2＋2×12×4×23＝24＋83(mm 2). 点评：由于本题的原几何体是一个侧棱垂直底面，且底面为正三角形，因此在上面的解法中求出了三棱柱的侧棱长和底面边长就顺利作答了.一般地，由正视图和侧视图可以得到原几何体的高或底面的某些边的长，由俯视图可以得到原几何本的底面上的某些线段对应的量.四、求组合体的表面积求组合体的表面积的解答策略：(1)分解组合体：明确组合体的构成，即由几种基本几何体组成；(2)求各面面积：求出各个几何体为组合体表面的各个面的面积；(3)求各面面积和.例4如图，已知Rt △ABC 的斜边AB ＝13cm ，一条直角边AC ＝5cm ，以直线AB 为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．解析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据公式S 侧＝πrl 可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB 垂直于底面圆，在Rt △ABC 中，由OC ·AB ＝BC ·AC 可求出r ，问题就解决了．在Rt △ABC 中，AB ＝13cm ，AC ＝5cm ，∴BC ＝12cm ．∵OC ·AB ＝BC ·AC ，∴r ＝OC ＝B C ·AC AB2＝5×1213＝6013． ∴S 表＝πr (BC ＋AC )＝π×6013×(12＋5)＝102013πcm 2． 点评：本题解答中必须注意组合体表面积为两个圆锥的侧面积之和．而不是两个圆锥的表面积之和，例5 右图中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π＝3.14）？解析：因为正方体的棱长为4厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。
《柱锥台的表面积》课件
02
柱锥台表面积公式可以应用于 经济学中的成本核算、收益预 测等领域，例如计算企业的成 本和收益等。
03
柱锥台表面积公式可以应用于 生物学中的动物形态学等领域 ，例如计算动物的外表面积和 体积等。
THANKS
感谢观看
锥的表面积
定义与公式
定义
锥的表面积是指锥体的所有外表面之和。
公式
锥的表面积公式为S=πrl+S底面，其中r为底面半径，l为母线长度，S底面为底 面面积。
计算方法
计算底面面积
01
根据圆的面积公式S=πr^2计算底面面积。
计算侧面积
02
根据圆的周长公式C=2πr计算底面周长，再乘以母线长度得到
侧面积。
《柱锥台的表面积》ppt课件
目 录
• 柱的表面积 • 锥的表面积 • 台的表面积 • 表面积的拓展应用
01
柱的表面积
定义与公式
定义
柱的表面积是指柱体侧表面和两个底 面的面积之和。
公式
设柱体底面半径为r，高为h，则柱的 表面积S = 2πrh + 2πr^2。
计算方法
方法一
直接套用公式计算。
方法二
分段计算侧面积，然后加总底面面积。
方法三
利用微积分原理，将柱体表面展开成矩形，逐个 计算矩形的面积。
实例解析
实例一
一个圆柱体的底面半径为3cm，高为5cm，求其表面 积。
实例二
一个棱柱体的底面边长为4cm，高为6cm，求其表面 积。
实例三
一个斜柱体的底面斜边长为5cm，高为8cm，求其表 面积。
02
公式
台体的表面积公式为 S = π * (r1^2 + r2^2 + r1 * r2)，其中 r1 和 r2 分别为台 体的底面半径和顶面半径。
柱锥台体的表面积
中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则
该几何体的表面积为 ( C )
A. 6 3
B. 24 3 A1
B1
C. 242 3
D.32
A
B
练习2：下图是一个几何体的三视图(单位:cm) 想象对应的几何体，并求出它的表面积
6
8
10
10
解：直观图是四棱台,侧 面是四个全等的梯形,上 下底面为不同的正方形
S圆锥侧
1cl 2
rlS圆 锥 表rrl
S圆 台 侧l r' r
S 圆 台 表 r'2 r2 r'l rl
17
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间 有什么关系？
rO
S(r'2r2r'lrl)
r 'O’ l
l r
O
l
O
S 2 r2 2 r l 2 r(r l)
rO
S r2 r l r(r l)
棱柱,棱锥,棱台的表面积
棱柱
棱锥
棱台
一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和
棱柱侧面展开图
S表=S底+S侧
平行四边形组成
棱锥侧面展开图
S表=S底+S侧
三角形组成
棱台的侧面展开图
梯形组成
S表=S底+S侧
7
例1．已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
侧面展开图为正方 形，则它的表面积
为__2_____4__2_m 2.
3.以直角边长为1的等腰直角三角形的 一直角边为轴旋转， 所得旋转体的表面
积为____2____1____.
该几何体的表面积为 ( C )
A. 6 3
B. 24 3 A1
B1
C. 242 3
D.32
A
B
练习2：下图是一个几何体的三视图(单位:cm) 想象对应的几何体，并求出它的表面积
6
8
10
10
解：直观图是四棱台,侧 面是四个全等的梯形,上 下底面为不同的正方形
S圆锥侧
1cl 2
rlS圆 锥 表rrl
S圆 台 侧l r' r
S 圆 台 表 r'2 r2 r'l rl
17
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间 有什么关系？
rO
S(r'2r2r'lrl)
r 'O’ l
l r
O
l
O
S 2 r2 2 r l 2 r(r l)
rO
S r2 r l r(r l)
棱柱,棱锥,棱台的表面积
棱柱
棱锥
棱台
一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和
棱柱侧面展开图
S表=S底+S侧
平行四边形组成
棱锥侧面展开图
S表=S底+S侧
三角形组成
棱台的侧面展开图
梯形组成
S表=S底+S侧
7
例1．已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
侧面展开图为正方 形，则它的表面积
为__2_____4__2_m 2.
3.以直角边长为1的等腰直角三角形的 一直角边为轴旋转， 所得旋转体的表面
积为____2____1____.
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（C）18a2
（D）24a2
2. 在长、宽、高分别是5米、4米、3米的 长方体房间里，一只蚂蚁要从长方体的 顶点A 沿表面爬行到顶点C，怎样爬行路 线最短？最短路程是( C )
A 4 5米
B 3 10 米
C
4
C C
C
74 米
3
D 8米
A
5
B
C
3. 侧面为全等的直角三角形的三棱锥，底 面各边长为a，该三棱锥的表面积是（ A ） （A）3 + 3 a 2
1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积
呼市二中 杨艳华
呼和浩特市第二中学
No.2 Middle School Of Huhhot
探究 1：
棱柱、棱锥、棱台的表面积
P
B'
C' A'
D' A'
C' B'
C A B
D
C
D B
C
A
BA探究 2:圆柱、圆锥、圆台的表面积
r
l
2r
l
S圆柱＝2r 2rl
例1.
（１）如图，已知棱长为a，各面均为
等边三角形的四面体S-ABC的表面
2 积为______ 3a
S
a
3 a 2
B
A C
D
例1. (2)如图，已知四棱锥底面为正方形，
边长为2cm，四条侧棱均相等，
P
长为
5 cm，
D
2 12cm 则表面积为_________
5
C
2
A
E
B
例2. 一圆台形花盆，盆口直径为
4
3 2 （B） a 4
S
（C）3 + 3 a 2
2
3 3 2 （ D） + a 2 4
A
C
B
4. 已知五棱台的上、下底面均是正五 边形，边长分别是8cm和18cm，侧面
是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，
则它的侧面面积为
2 780cm .
小结：
1、公式及公式的推导方法 2、公式的应用
3、数学思想方法——转化、类
比、归纳猜想
作业：
书面作业：
课本27页 练习 1. 课本28页 A组 1. 2. 实习作业：课本33页
谢谢！
2
l
2r
r
S圆锥＝r rl
2
x r’ l r
2r
2r
S圆台＝(r2 r 2 rl rl )
探究 3:
圆柱、圆锥和圆台的表面积公式之 间的关系：
r
r’
l
r’=r
上底扩大 r
l
r’=0
上底缩小
l
r
S锥＝r (r l )
S柱＝2r (r l )
2 2 S台＝(r r rl rl )
20cm，盆底直径15cm，底部渗水圆 孔直径1.5cm，盆壁长15cm。为美化 外观，需要涂油漆，已知每平方米用 100毫升油漆，涂100个 这样的花盆要多少油漆？ (π取3.14,结果精确
15cm 15cm 20cm
到1毫升)
练习：
1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全
等的小正方体，则表面积增加了（ B ） （A）6a2 （B）12a2