考点二 用空间向量求线面角

考点二 用空间向量求线面角

【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.

(1)证明：PO ⊥平面ABC ；

(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －P A －C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值.

(1)证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.

连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，

所以AB 2＋BC 2＝AC 2，

所以△ABC 为等腰直角三角形，

且OB ⊥AC ，OB ＝12

AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .

由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .

(2)解 如图，以O 为坐标原点，OB

→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .

由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，－2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，23)，AP

→＝(0，2，23).取平面P AC 的一个法向量OB →＝(2，0，0). 设M (a ，2－a ，0)(0

→＝(a ，4－a ，0).

设平面P AM 的法向量为n ＝(x ，y ，z ).

由AP

→·n ＝0，AM →·n ＝0得 ⎩

⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋（4－a ）y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )， 所以cos 〈OB →，n 〉＝23（a －4）23（a －4）2＋3a 2＋a 2

. 由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32

， 所以23|a －4|23（a －4）2＋3a 2＋a

2＝32， 解得a ＝－4(舍去)，a ＝43，

所以n ＝⎝

⎛⎭⎪⎫－833，433，－43. 又PC →＝(0，2，－23)，所以cos 〈PC →，n 〉＝34

. 所以PC 与平面P AM 所成角的正弦值为34.

规律方法 利用向量法求线面角的方法：

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

【训练2】 (2019·郑州测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边

形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD .

(1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；

(2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值.