初中全等三角形知识点和题型
初二数学第十二章全等三角形详细知识点及题型总结
第十二章全等三角形第一讲全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．平移、翻折、旋转前后的图形全等。
“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．≅表示，读作“全等于”．．．．．．．．．．全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如∆和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF ABC∆DEF∆。
ABC∆≅把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例1.已知：如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠EAC=300，则∠DAB的大小为例2.如图，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A’BC’的位置时，AA’∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC’为________度.例3.如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4课堂练习：∆的是( )1.根据下列条件，能画出唯一ABCA. AB=3,BC=4,CA=8B.AB=4,BC=3,∠A=300C. ∠C=600,∠B=450,AB=4D.∠C=900,AB=62.如图∠1＝∠2=200，AD=AB，∠D=∠B，E在线段BC上，则∠AEC=（）A.200B.700C.500D.8003.已知:如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,BC∥EF.则不正确的等式是（）A.AC=DFB.AD=BEC.DF=EFD.BC=EF4.如图，△BCD≌△CBE，BC＝6，CE＝5，BE＝4，则CD的长是（）A．4 B．5 C．6 D．无法确定5.已知图中的两个三角形全等，则∠ 度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°6.如图，将Rt△ABC(其中∠B＝340，∠C＝900）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A.560B.680C.1240D.18007.如图，△ABE≌△ACD，∠B＝50°，∠AEB＝60°，则∠DAC的度数等于（）A．120° B．70° C．60° D．50°8.若两个三角形的面积相等 , 则这两个三角形________全等．9.如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_______．10.如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边:______,对应角:_________．11.如图，△ABO≌△CDO，OA=2，AB=4，BO=3，则DC= ，OC= ，OD= .12.如图，△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B=320，∠A=680，AB=13cm，则∠F=______度，DE=______cm．13.已知△ABC≌△DEF,∠A=52°,∠B=67°BC=15cm则∠F=_____,FE=_____cm.14.如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P/AC，则∠PAP/的度数为________．15.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则∠CBD的大小为_________16.如图所示，，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，，，，则的度数为17.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n 个大三角形中白色三角形有 个 ．18.如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转350，得到△A /B /C, A /B /交AC 乎点D ，已知∠A /DC=90°，求∠A 的度数.19.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设AED ∠的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．20.如图所示，已知△ABC ≌△FED ，且BC ＝ED ，那么AB 与EF 平行吗？为什么？ABC ADE △≌△105ACB AED ∠=∠=15CAD ∠=30B D ∠=∠=1∠课后练习：1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ）A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．②③④2.下列说法错误的有（ ）①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；③两个正方形一定是全等图形；④边数相同的图形一定能互相重合．A.4个B.3个C.2个D.1个3.已知△ABC 与△DEF 全等，∠A=∠D=90°，∠B=37°，则∠E 的度数是（ ）A.37°B.53°C.37°或63°D.37°或53°4.如果D 是中BC 边上一点，并且，则是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形5.对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个图形全等的结论共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转800到△OCD 的位置，已知∠AOB=450，则∠AOD （ ）A.550B.450C.400D.3507.如图，△ABE ≌△ACD,AB=AC,BE=CD, ∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC 的度数等于（ ）A.120°B.70°C.60°D.50°8.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°9.如图所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在点C ´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ） A. △ADC B. △BDC ´ C. △ADC ´ D. 不存在6.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=25°，则∠CAE=ABC △ADB ADC △≌△ABC△7.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______．8.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______．9.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________．10.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是____．11.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.12.如图所示，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=8，BD=7，AD=6，则BE的长是___13.如图，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，则∠2=______度．14.如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB为15.如图，D,E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=480，则∠APD等于16.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=____17.如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形．能力提高：1.长为L 的一根绳,恰好可围成两个全等三角形,则其中一个三角形的最长边x 的取值范围为( ) A.64l l x ≤< B.84l l x ≤< C.64l l x << D.84l l x << 2.已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，△ABC 的三边为3、m 、n ，△A ′B ′C ′的三边为5、p 、q ，若△ABC 的各边都是整数，则m+n+p+q 的最大值为__________3.如图，△ABC ≌△ADE ，∠DAC=60°，∠BAE=100°，BC 、DE 相交于点F ，则∠DFB 的度数是4.下图是由全等的图形组成的，其中AB ＝3cm ，CD ＝2AB ，则AF ＝__________.AB C D E F5.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a 的度数为6.如图,矩形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,如果AD=7cm,DM=5cm, ∠DAM=39°,则AN= cm, NM= cm, ∠NAB= .7.如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°.（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上？（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C'在同一直线上？8.如图, 在ABCD中, 将△ABE沿BE翻折, 点A落在CD边上, 成为点F, 如果△DEF和△BCF的周长分别是8cm和22cm, 求FC的长度。
全等三角形知识点
全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。
本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。
关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。
在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。
2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。
- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。
- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。
- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。
- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。
3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。
- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。
通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。
5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。
八年级上册数学第二单元：全等三角形知识点与练习
第二单元全等三角形本单元的学习目标①重点：全等三角形的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质及应用②难点：三角形全等的判断方法及应用；角平分线的性质及应用在中考中的重要性：①中考热点，初中数学中的重点内容②考察内容多样化，有的独立考三角形全等，有的考全等三角形结合其他知识点综合，有的探究三角形全等条件或结论的开放性题目③题型以选择题、填空题、解答题为主【知识归纳】1.全等三角形的基本概念:（1）全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
（2）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点。
重合的边叫做对应边。
重合的角叫做对应角。
（3）全等三角形的表示方法：△ABC≌△A’B’C’（如图1）A’B C ’图12.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等3.全等三角形的判定方法（1）三边相等（SSS）；（2）两边和它们的夹角相等（SAS）；（3）两角和其中一角的对应边相等（AAS）；（4）两角和它们的夹边相等（ASA）；（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）．（该判定只适合直角三角形）注意：没有“AAA”和“SSA”的判定方法，这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等。
如图2，△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；如图3，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。
4.角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等。
5.角平分线推论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
判定三角形全等常用思路公理及定理练笔1、一般三角形全等的判定（如图）(1) 边角边（SSS） AAB=A′B′ BC=B′C ′ _______=_____∴△ABC≌△A′B′C′（2）边角边（SAS）AB=A′B′∠B=∠B′ _______=_____ B C∴△ABC≌△A′B′C′A′(3) 角边角（ASA）∠B=∠B′ ____=_____ ∠C=∠C′∴△ABC≌△A′B′C′B ′ C′(4) 角角边（AAS）∠A=∠A′∠C=∠C′ _______=_____∴△ABC≌△A′B′C′2、直角三角形全等的判定：斜边直角边定理（HL）AB=AB _____=_____∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′B C B′ C′二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应角＿＿＿＿＿2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线＿＿＿＿＿＿＿注意：1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。
八年级(上册)数学《全等三角形》全等三角形的判定-知识点整理
三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心〞。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。
∠1=∠2=∠BAC.要区分三角形的“角平分线〞与“角的平分线〞，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。
三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心〞。
要求会的题型：①三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度“等积法〞，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。
三角形的稳定性1. 三角形具有稳定性2. 四边形及多边形不具有稳定性三角形的内角1. 三角形的内角和定理三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。
2. 直角三角形两个锐角的关系直角三角形的两个锐角互余〔相加为90°〕。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
三角形的外角1. 三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
2. 三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
多边形1. 多边形的概念在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为〔n－3〕条，其所有的对角线条数为.3. 正多边形各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
〔两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为假设三角形的三内角相等，那么必有三边相等，反过来也成立〕要求会的题型：①告诉多边形的边数，求多边形过一个顶点的对角线条数或求多边形全部对角线的条数n边形从一个顶点出发的对角线的条数为〔n－3〕条，其所有的对角线条数为.将边数带入公式即可。
多边形的内角和1. n边形的内角和定理n边形的内角和为2. n边形的外角和定理多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
人教版八年级上册第十二章全等三角形知识点复习
A. ①④
B.①②
C.②③
D.③④
2．如图，ABD ≌ CDB ，且 AB 和 CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（ ）
A. ABD和CDB 的面积相等
A
D
B. ABD和CDB 的周长相等 C. A + ABD = C + CBD
B
C
D.DAD//BC 且 AD=BC
3．如图， ABC ≌ BAD ，A 和 B 以及 C 和 D 分别是对应点，如果
4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．
AB = DE 如图，在 ABC 和 DEF 中 BC = EF
AC =
【典型例题】
例1．如图， ABC ≌ ADC ，点 B 与点 D 是对应点， BAC = 26 ，且 B = 20 ， SABC = 1，求 CAD , D, ACD 的度数及 ACD 的面积．
数及 BC 的长．
E
F
A
BC
D
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11．如图，在 ABC与ABD 中，AC=BD，AD=BC，求证： ABC ≌ ABD
D A
C B
全等三角形（一）作业
1．如图， ABC ≌ CDA ，AC=7cm，AB=5cm.，则 AD 的长是（ ）
求证：（1） DE ⊥ AB ； （2）BD 平分 ABC （角平分线的相关证明及性质）
B
A E
D
C
【巩固练习】 1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的
形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形； ④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）
八年级数学《全等三角形》知识点
八年级数学《全等三角形》知识点八年级数学《全等三角形》知识点一、全等三角形的定义全等三角形是指能够完全重合的两个三角形。
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；有公共边的，公共边一定是对应边；有公共角的，角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角。
全等”的图形必须满足形状相同且大小相等。
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
全等三角形的性质包括对应边相等、对应角相等、对应边上的高对应相等、对应角平分线相等、对应中线相等、面积相等和周长相等。
二、三角形全等的判定定理判定三角形全等有五种定理：SSS或“边边边”、SAS或“边角边”、ASA或“角边角”、AAS或“角角边”和HL或“斜边，直角边”。
注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。
其中，A是英文“角”的缩写(angle)，S是英文“边”的缩写(side)。
三、全等三角形的性质全等三角形的性质包括对应角相等、对应边相等、对应边上的高对应相等、对应角平分线相等、对应中线相等、面积相等和周长相等。
另外，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
四、证题的思路证题的思路可以通过找夹角（SAS）来解决。
已知两边可以找直角（HL）定理，找第三边可以用SSS 定理。
如果已知一边为角的对边，则可以用AAS定理。
如果已知一个角和一边，则可以用SAS定理。
如果已知一边和一个角，则可以用ASA定理。
如果已知两个角，则可以用AAS 定理或者任意一边的SSS定理。
灵活运用定理需要注意全等三角形的条件和判定方法。
找出两个全等三角形中的对应边和对应角是关键。
在写两个三角形全等时，要注意对应的顶点、角和边的顺序。
全等三角形常见题型5种
全等三角形是初中数学中的一个重要知识点，其常见题型主要有以下五种：
1. 已知两边及其夹角，求证全等：这是全等三角形最基本的题型，也是最常见的题型。
解题的关键在于理解全等三角形的定义，即两个三角形如果它们的三边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
在解答这类题目时，我们通常会使用SAS（边角边）或ASA（角边角）定理。
2. 已知一边及其对角，求证全等：这类题目的解题思路与第一种类似，但是需要用到的是AAS（角角边）定理。
在解答这类题目时，我们需要先找出两个三角形的对应角和对应边，然后利用AAS定理进行证明。
3. 已知两角及其夹边，求证全等：这类题目的解题思路与前两种有所不同，需要用到的是HL（直角边边）定理。
在解答这类题目时，我们需要先找出两个三角形的对应角和对应边，然后利用HL定理进行证明。
4. 已知一边及其高，求证全等：这类题目的解题思路与前三种有所不同，需要用到的是SSS （边边边）定理。
在解答这类题目时，我们需要先找出两个三角形的对应边，然后利用SSS 定理进行证明。
5. 已知一边及其中线或高线，求证全等：这类题目的解题思路与第四种相似，但是需要用到的是RHS（旋转、平移、缩放）定理。
在解答这类题目时，我们需要先找出两个三角形的对应边和对应的中线或高线，然后利用RHS定理进行证明。
以上就是全等三角形的五种常见题型，每种题型都有其特定的解题方法和技巧。
在解答这类题目时，我们需要灵活运用全等三角形的各种定理，同时也需要注意观察和分析题目中的条件，以便找到最合适的解题方法。
八年级数学全等三角形知识点归纳及分类练习
八年级数学全等三角形知识点归纳及分类练习一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：SSS⑴边边边（）：三边对应相等的两个三角形全等.SAS⑵边角边（）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.ASA⑶角边角（）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.AAS⑷角角边（）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.HL⑸斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：1性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.2性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.练习一12.1全等三角形一、基础达标1．如图12-1-4所示，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为( )图12-1-4A．20° B．30°C．35° D．40°2．如图12-1-5所示，△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是()图12-1-5A．∠1＝∠2 B．AC＝CAC．∠D＝∠B D．AC＝BC3．如图12-1-6，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是()A．5 B．4 C．3 D．2图12-1-64．[2016·成都]如图12-1-7，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝．图12-1-75．如图12-1-8，△AOC≌△BOD，试证明AC∥BD.图12-1-8二、能力提升6．如图12-1-9，已知△ABC≌△DCB.(1)分别写出它们的对应角和对应边；(2)请说明∠1＝∠2的理由．图12-1-97．如图12-1-10，已知△ACE≌△DBF，CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2.图12-1-10(1)求AC的长度；(2)求证：CE∥BF.三、创新题型8．如图12-1-11，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.(1)当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为__ __．(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°.①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．图12-1-11参考答案【知识管理】1．完全重合2．完全重合 顶点 边 角 全等于 对应顶点3．相等 相等【归类探究】例1 AC的对应边是DE，AB的对应边是DF，CB的对应边是EF；∠A与∠D，∠C与∠DEF，∠ABC与∠F是对应角．例2 A【当堂测评】1．B 2.C 3.61° 15【分层作业】1．B 2.D 3.A 4.120° 5.略6．(1)对应角是∠A和∠D，∠1和∠2，∠ABC和∠DCB，对应边是AB和DC，AC和DB，BC和CB；(2)理由：全等三角形的对应角相等．7．(1)AC＝5 (2)略8．(1)3 (2)∠DBC＝25°；∠AFD＝130°.练习二12.2三角形全等的判定三角形全等的判定(SSS)一、基础达标1．如图12-2-6所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定( )图12-2-6A．△ABD≌△ACD B．△B DE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不正确2．如图12-2-7，点D，E在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，要判定△ABD≌△ACE，较为快捷的判定依据是．图12-2-73．一个平分角的仪器如图12-2-8所示，其中AB＝AD，BC＝DC. 求证：∠BAC＝∠DAC.图12-2-84．如图12-2-9，四边形ABCD中，AB＝CD，CB＝AD.求证：△ABC≌△CDA.图12-2-9二、能力提升5．如图12-2-10，AB＝AC，AE＝AD，BD＝CE，求证：△AEB≌△ADC.图12-2-106．如图12-2-11，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AC∥DF.图12-2-11三、创新题型7．如图12-2-12所示，AB＝AE，BC＝ED，CF＝DF，AC＝AD.图12-2-12求证：∠BAF＝∠EAF.参考答案【知识管理】2．相等【归类探究】例1 略 例2 (1)略 (2)AB∥DE，AC∥DF.理由略．【当堂测评】1．D 2.SSS 3.36° 4.AB＝DC三角形全等的判定(SAS)一、基础达标1．如图12-2-18所示，已知∠1＝∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需要加上条件( )图12-2-18A．AD＝BCB．AC＝BDC．∠C＝∠DD．OA＝OB2．如图12-2-19所示，B E＝CD，AE＝AD，∠1＝∠2，∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为( )图12-2-19A．20° B．30° C．40° D．50°3．如图12-2-20，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF.请你添加一个条件：(只需添加一个即可)，使△ABC≌△DEF.图12-2-204．如图12-2-21，C是线段AB的中点，CD＝BE, CD∥BE.求证：∠D＝∠E.图12-2-21二、能力提高5．如图12-2-22，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.求证：BC∥EF.图12-2-226.如图12-2-23，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.图12-2-23三、创新题型7．如图12-2-24，点A，B，C，D在同一直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.图12-2-24参考答案【知识管理】1．唯一确定2．夹角 对应关系【归类探究】例1 略例2 △OAB≌△ODC，△ABC≌△DCB.理由略．【当堂测评】1．A 2.D 3.(1)(3) 4.不是 AC＝DF【分层作业】1．B 2.C 3.AC＝DF或∠B＝∠DEF或AB∥DE三角形全等的判定(ASA，AAS)一、基础达标1．如图12-2-30，已知∠ABC＝∠BA D，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )图12-2-30A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D D．BC＝AD2．如图12-2-31，点D，E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是_ _(只写一个条件即可)．图12-2-313．[2015·福州]如图12-2-32，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.图12-2-32三、能力提升4．如图12-2-33，已知∠AOD＝∠COB，∠A＝∠C，O是AC的中点．图12-2-33求证：△AOB≌△COD.5．如图12-2-34，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.图12-2-34四、创新题型6．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图12-2-35所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点．不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？图12-2-35参考答案【知识管理】2．夹边3．对边【归类探究】例1 略 例2 (1)略 (2)∠D＝75°【当堂测评】1．D 2.B 3.D 4.B【分层作业】1．A 2.∠ADC＝∠AEB或∠CEB＝∠BDC或∠C＝∠B或AB＝AC或BD＝CE3．略 4.略 5.略6．△AOF与△DOC全等．理由略．直角三角形全等的判定(HL)一基础过关1．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A．AB＝DE，AC＝DF B．AC＝EF，BC＝DFC．AB＝DE，BC＝EF D．∠C＝∠F，BC＝EF2．如图12-2-40，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC＝DB，则下列结论中不正确的是( )图12-2-40A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠DCBC．OB＝OD D．OA＝OD3．如图12-2-41，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠AB C和∠DFE之间的关系是( )图12-2-41A．∠ABC＝∠DFEB．∠ABC>∠DFEC．∠ABC<∠DFED．∠ABC＋∠DFE＝90°4．如图12-2-42，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件__ __，若加条件∠B＝∠C，则可用__ __判定．图12-2-425．如图12-2-43，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF.求证：图12-2-43(1)AF＝CE；(2)AB∥CD.二、能力提升6．如图12-2-44，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF.图122-44求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.三、创新题型7．如图12245，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.(1)若B，C在DE的同侧(如图12-2-45(1)所示)，AD＝CE.求证：AB⊥AC.(2)若B，C在DE的两侧(如图12-2-45(2)所示)，AD＝CE，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．(1)(2)12-2-45参考答案【知识管理】2．一条直角边 斜边、直角边(或HL)【归类探究】例1 AD 是△ABC 的中线，理由略．例2 (1)3对，分别是：△ABD ≌△ACD ，△ADE ≌△ADF ，△BDE ≌△CDF.(2)答案不唯一，略．【当堂测评】1．B 2.A 3.A 4.HL【分层作业】1．B 2.C 3.D 4.AB ＝AC AAS5．(1)略 (2)略 6.略7．(1)略 (2)AB ⊥A C.证明略．角的平分线的性质一、基础过关1．如图12-3-6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 12于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是( )图12-3-6A ．15B ．30C ．45D ．602．如图12-3-7，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若△BDE 的周长是5 cm ，则AB 的长为__ __．图12-3-73．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．图12-3-8已知：如图12-3-8，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上．__ __求证：__ _．请你补全已知和求证，并写出证明过程．4．如图12-3-9，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB＝10，CD＝3.图12-3-9(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．二、能力提升5．如图12-3-10，PB，PC分别是△ABC的两个外角的平分线且相交于点P.求证：点P在∠A的平分线上．图12-3-106．如图12-3-11，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN.图12-3-11三、创新题型7．如图12-3-12，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.图12-3-12求证：AD是△ABC的角平分线．参考答案【知识管理】1．距离相等2．角的平分线上3．相等【归类探究】例1 略 例2 略【当堂测评】1．B 2.B 3.A 4.3【分层作业】1．B 2.5 cm3．PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. PD＝PE.证明略．4．(1)DE＝3 (2)S△ADB＝15 5.略 6.略 7.略。
全等三角形判定知识点及练习
内容应用格式图例“边边边”（SSS）三边分别相等的两个三角形（可以简写为“边边边”或“”）在△ABC和△A’B’C’中，∵AB= A’B’AC= A’C’BC=B’C’，∴△ABC ≌△A’B’C’（SSS）解题策略在所给的两个三角形中，如果有两边对应相等，而又没有角对应相等时，往往通过寻找或构造另一组边也相等，从而利用“SSS”证明全等。
内容应用格式图例“边角边”（SAS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“”）。
在△ABC和△A’B’C’中，∵AB= A’B’∠B=∠B’BC=B’C’，∴△ABC ≌△A’B’C’（SAS）易错提醒“SAS”中的角必须是两条边的夹角，而不是其中一边的对角，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（填“一定”或“不一定”），如图所示的两个三角形的两组对边及一条边的对角分别相等，很明显这两个三角形不全等。
内容内容“角边角”（ASA）两角和它们的对应相等的两个三角形全等。
简记为“角边角”或“”“角角边”（AAS）两个角和其中一个角的对应相等的两个三角形全等。
简记为“角角边”或“”知识要点1 利用“斜边、直角边”判定三角形全等和一条对应相等的两个直角三角形全等。
可简写成“斜边、直角边”或“”在实际证明中可根据条件灵活运用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”来判定直角三角形全等，不要只拘于“HL”。
知识要点2 全等三角形判定方法的灵活运用证明两个三角形全等的条件要使两个三角形全等，至少需要三个条件，其中必有相等的条件，且三个条件必满足一定的对应关系，如下列两种情况就不能判定两个三角形全等；○1三对量不是对应关系；○2“AAA”和“SSA”不能判定全等。
证明两个三角形全等的基本的模型在这些图形中要注意寻找隐含的条件；如：公共边，对顶角，直角相等…方法（作∠AOB的平分线）图例作已知角的平分线（1）作法：○1以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N；○2分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；○3画射线OC，射线OC即为所求。
全等三角形知识点总结及对应练习题
全等三角形专题讲解（一）知识储备1、全等三角形的概念：（1）能够重合的两个图形叫做全等形。
（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。
两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。
（3）全等三角形的表示：如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”表示全等，读作“全等于”。
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。
【例1】如图，△ABC≌△DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
3、全等三角形的判定定理：S.A.S “边角边”公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
【例2】A.S.A “角边角”公理：两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。
【例3】A.A.S “角角边”公理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
【例4】S.S.S “边边边”公理：三边对应相等的两个三角形全等。
【例5】H.L “斜边直角边“公理斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。
【例6】（二）双基回眸1、下列说法中，正确的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4 B．3 C．2 D．12、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5 C．4 D．无法确定4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°5、能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙（三）例题经典例1：如图，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____；（2）对应边AC＝，AB= ；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，则AO= _，BO= _，∠A=_ ，∠ABC= ．例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠D＝∠B．例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．例4：如图，AC BD．求证：OA＝OB，OC＝OD．例5：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．例6：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ． 求证：（1）AB ＝DC ： （2）AD ∥BC ．例7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C 。
全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)
BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。
全等三角形的判定(ASA与AAS)(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版25学年八年级数学上册
专题12.5全等三角形的判定（ASA 与AAS）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形全等的判定方法——角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.（2）书写格式：如图，在△ABC 和△'''A B C 中，A A AB A B B B '∠=∠⎧⎪''=⎨⎪'∠=∠⎩ABC A B C '''∴∆≅∆【知识点二】三角形全等的判定方法——角角边（AAS）（1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【知识点三】判定方法的选择（1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS（2）如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用ASA 和AAS 证明三角形全等【例1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点C 、E 在BF 上，BE CF =，AB FD ，A D ∠=∠．（1）求证：ABC DFE △≌△；（2）若50B ∠=︒，145BED ∠=︒，求D ∠的度数．【变式1】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①④【变式2】（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知AC 与BF 相交于点E ，AB CF ∥，点E 为BF 中点，若9CF =，5AD =，则BD =．【题型2】用ASA 和AAS 证明三角形全等与三角形全等性质综合求值【例2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F ，使得EF ED =，连CF ．（1）求证：CF AB ∥；（2）若70A ∠=︒，35F ∠=︒，BE AC ⊥，求BED ∠的度数．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在ABC 中，,AD BC CE AB ⊥⊥，垂足分别是D 、E ，AD 、CE 交于点H ．已知10,6AE CE BE ===，则CH 的长度为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】添加条件证明三角形全等【例3】（2023·广东·模拟预测）如图，AC BC DC EC AC BC ⊥⊥=，，，请添加一个条件，使ACE BCD ≌△△．（1）你添加的条件是______（只需添加一个条件）；（2）利用（1）中添加的条件，求证：ACE BCD ≌△△．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在ABC 和BDE 中，再添两个条件不能．．使ABC 和BDE 全等的是（）A ．AB BD =，AE DC=B ．AB BD =，DE AC =C ．BE BC =，E C ∠=∠D ．EAF CDF ∠=∠，DE AC=【变式2】（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在ABC 和CDE 中，若90ACB CED ∠=∠=︒，且AB CD ⊥，请你添加一个适当的条件，使ABC CDE △≌△．添加的条件是：（写出一个即可）．【题型4】灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS 证明三角形全等【例4】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且CE BF ∥．（1）ECD 与FBD 全等吗？请说明你的理由；（2）若6AD =，2DF =，BDF V 的面积为3，请直接写出AEC △的面积．【变式1】（2024·河北邯郸·二模）ABC 如图所示，甲、乙两个三角形中和ABC 全等的是（）A ．只有甲B ．只有乙C ．甲和乙D ．都不是【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断ABC 和DEF 全等的有．①AB DE =，AC DF =，BC EF =；②AB DE =，BC EF =，B E ∠=∠；③A D ∠=∠，B E ∠=∠，AB DE =；④A D ∠=∠，AB DE =，BC EF =．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·四川凉山·中考真题）如图，点E F 、在BC 上，BE CF =，B C ∠=∠，添加一个条件，不能证明ABF DCE △△≌的是（）A ．A D ∠=∠B ．AFB DEC ∠=∠C ．AB DC =D ．AF DE=【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，AE BF ∥，AE BF =．若________，则AB CD =．请从①CE DF ∥；②CE DF =；③E F ∠=∠这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在ABC 中，D 是BC 的中点．（1）如图1，在边AC 上取一点E ，连接ED ，过点B 作BM AC 交ED 的延长线于点M ，求证：CE BM =．（2）如图2，将一直角三角板的直角顶点与点D 重合，另两边分别与AC AB ，相交于点E ，F ，求证：CE BF EF +>．【例2】（22-23八年级上·全国·期末）如图1，直线l BC ⊥于点B ，90ACB ∠=︒，点D 为BC 中点，一条光线从点A 射向D ，反射后与直线l 交于点E （提示：作法线）．（1）求证：BE AC =；（2）如图2，连接AB 交DE 于点F ，连接FC 交AD 于点H ，AC BC =，求证：CF AD ⊥；（3）如图3，在（2）的条件下，点P 是AB 边上的动点，连接5ABD PC PD S = ，，，2CH =，求PC PD +的最小值．。
初二数学上册：全等三角形常考题型+解题思路整理
初二数学上册：全等三角形常考题型+解题思路整理全等三角形的性质对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等。
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
（3）有公共边的，公共边常是对应边。
（4）有公共角的，公共角常是对应角。
（5）有对顶角的，对顶角常是对应角。
（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。
【解题关键】要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键。
全等三角形的判定方法（1）边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（2）角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
（4）角角边定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边、直角边定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
全等三形的应用运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。
【拓展】通过判定两个三角形全等，可证明两条线段间的位置关系和大小关系。
而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础。
找全等三角形的方法（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
八年级数学上册三角形全等的判定知识点
八年级数学上册三角形全等的判定知识点01三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
02全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
03找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：缺条边的条件：04构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。
(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。
全等三角形知识点
全等三角形知识点1、全等形（1）概念：能够完全重合的两个图形叫全等形。
（2）性质：○1形状相同. ○2大小相等。
（3）○3一个图形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等形三角形（1）概念：能够完全重合的两个三角形形叫全等三角形。
（2）符号：“≌”读作“全等于”。
（3）表示：△ABC≌△A/B/C/，读作△ABC全等于△A/B/C/。
注意：○1表示两个全等三角形时，要把“对应顶点的大写字母”写在“对应的位置上”。
○2两个全等三角形重合在一起时，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。
（4）性质：○1对应边相等，对应角相等。
○2边长相等，面积相等。
○3对应的中线、角平分线、高线都分别相等。
注意：周长或面积相等的两个三角形不一定全等。
3、三角形全等的判定方法（一）三边对应相等的两个三角形全等。
（简写为“边边边”或“SSS”）如图，在△ABC和△DEF中∵∴△ABC≌△DEF（SSS）（二）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（简写为“边角边”或“SAS”）如图，在△ABC和△DEF中∵∴△ABC≌△DEF（SAS）（三）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（简称为“角边角”或“ASA”）如图，在△ABC和△DEF中∵∴△ABC≌△DEF（ASA（四）有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（简称为“角角边”或“AAS”）如图，在△ABC和△DEF中∵∴△ABC≌△DEF（AAS）（五）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简称为“斜边、直角边”或“HL”）如图，在Rt△GIH和Rt△JLK中∵∴Rt△GIH≌Rt△JLK（HL）注意：（1）一般三角形全等的判定方法只有四种。
即，SSS，SAS，ASA，AAS。
（2）Rt△全等的判定方法有五种。
即，SSS，SAS，ASA，AAS，HL。
事实上，在证明两个三角形全等时，只需考虑○1两条直角边相等。
初中二年级全等三角形知识点
初中二年级全等三角形知识点一、全等三角形的概念。
1. 定义。
- 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
- 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
例如，若ABC与DEF全等，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点；AB与DE、BC与EF、AC与DF是对应边；∠ A与∠D、∠ B与∠ E、∠ C与∠ F是对应角。
2. 表示方法。
- 全等用符号“≅”表示，读作“全等于”。
如ABC≅ DEF。
书写时要注意对应顶点写在对应的位置上。
二、全等三角形的性质。
1. 对应边相等。
- 如果ABC≅ DEF，那么AB = DE，BC=EF，AC = DF。
2. 对应角相等。
- 若ABC≅ DEF，则∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，∠ C=∠ F。
三、全等三角形的判定定理。
1. SSS（边边边）- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在ABC和DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC=DF，那么ABC≅DEF。
2. SAS（边角边）- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在ABC和DEF中，若AB = DE，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅DEF。
3. ASA（角边角）- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，AB = DE，∠ B=∠ E，那么ABC≅ DEF。
4. AAS（角角边）- 内容：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅DEF。
5. HL（斜边、直角边）（直角三角形特有的判定方法）- 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 例如：在Rt ABC和Rt DEF中，若AB = DE（斜边），AC = DF（直角边），那么Rt ABC≅ Rt DEF。
新人教版八年级上册《全等三角形》知识点归纳总结
全等三角形一、知识要点：（一）全等变换：只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括以下三种：1、平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
2、对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
3、旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
（二）全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
（三）全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
二、题型分析：题型一：考察全等三角形的定义例题：下列说法正确的是（）A、全等三角形是指形状相同的两个三角形 C、全等三角形的周长和面积分别相等C、全等三角形是指面积相等的两个三角形D、所有的等边三角形都是全等三角题型二：考察全等三角形之间的关系——传递性例题：如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等，如果△ABC和△DEF不全等，△DEF 和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）题型三：根据三角形全等求角例1：△ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______．例2：如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于（）A、120°B、70°C、60°D、50°第二节三角形全等的判定一、知识要点：（一）三角形全等的判定公理及推论有：1、“边角边”简称“SAS”2、“角边角”简称“ASA”3、“边边边”简称“SSS”4、“角角边”简称“AAS”5、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
注：边边角和角角角不成立。
直角三角形全等的判定(1个知识点+5大题型+18道强化训练)(学生版) 24-25学年八年级数学上册
第09讲 直角三角形全等的判定（1个知识点+5大题型+18道强化训练）知识点01：HL 证明三角形全等定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【即学即练1】1．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，D 是AC 上一点，DE AB ^于点E ，BE BC =，连接BD ，若8cm AC =，则AD DE +等于（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．10cm【即学即练2】2．如图所示，已知在△ABC 中，∠C =90°，AD =AC ，DE ⊥AB 交BC 于点E ，若∠B =28°，则∠AEC =（ ）A ．28°B ．59°C ．60°D ．62°题型01 用HL 证明三角形全等1．如图，O 是BAC Ð内一点，且点O 到AB ，AC 的距离OE OF =，则AEO AFO ≌△△的依据是（ ）A ．HLB ．AASC ．SSSD ．ASA2．如图，AB BC ^，AD DC ^，要根据“HL ”证明Rt Rt ABC ADC ≌△△，还应添加一个条件是（ ）A ．12Ð=ÐB ．24ÐÐ=C ．AB AD =D ．AB AC=3．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，90A D Ð=Ð=°，AB DE =，若用“HL ”判定ABC DEF ≌△△，则添加的一个条件是 ．4．如图，AC AB ^，AC CD ^，要使得ABC CDA △△≌，若以“HL ”为依据，需添加条件 ．5．已知：如图，45ABC Ð=°，AD 为ABC V 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F 且有BF AC =．求证：Rt Rt BFD ACD △≌△．题型02 利用直角三角形全等的判定求角度1．如图，已知DB AN ^于点B ，交AE 于点O ，OC AM ^于点C ，且OB OC =．若54ADB Ð=°，则OAB Ð的大小为（ ）A ．15°B ．18°C ．22°D ．30°2．如图，ABC V 中，ABC Ð的平分线与AC 边的垂直平分线交于点D ，过D 作DE BC ^于点E ，连接CD ，若35BAC Ð=°，30ACD Ð=°，则DCE Ð的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．65°D ．70°3．如图，已知PA ON ^于点A ，PB OM ^于点B ，且PA PB =，50MON Ð=°，20OPC Ð=°，则PCA Ð= ．4．如图，ABC V 中，AC BC =，且点D 在ABC V 外，D 在AC 的垂直平分线上，连接BD ，若30DBC Ð=°，12ACD Ð=°，则A Ð= °．5．如图，AC 平分BAD Ð，CE AB ^，CF AD ^交AD 的延长线于点F ，在AB 上有一点M ，且CM CD =，(1)若12AF =，4DF =，求AM 的长．(2)试说明CDA Ð与CMA Ð的关系．题型03 利用直角三角形全等的判定求长度1．如图，在Rt ABC △中，90,C BAC Ð=°Ð的平分线AE 交BC 于点,E ED AB ^于点D ，若ABC V 的周长为12,BDE V 的周长为6，则AC =（ ）A ．4B ．3C ．6D ．82．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 与BC 交于点D ，DE AB ^，垂足为E ，则BE 为（ ）A ．3B ．4C ．4.5D ．53．如图，ABC V 的外角DAC Ð的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD AB ^于D ，PE AC ^于E ．若6cm AB =，10cm AC =，则AD 的长是 ．4．如图，在ABC V 中，DE AC ^于点D ，且AD CD =，180ABE CBE Ð+Ð=°，EF BC ^于点F ，若7AB =，1BF =，则BC = ．5．已知：如图，BAC Ð角平分线与BC 的垂直平分线DG 交于点D ，DE AB ^，DF AC ^，垂足分别为E 、F ．(1)求证：BE CF =；(2)若8AB =，6AC =，求BE 的长．题型04 直角三角形全等证明的常见辅助线添加1．如图，AD 是ABC V 的角平分线，DF AB ^于点F ，且DE DG =，26ADG S =△，18AED S =△，则DEF V 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．如图，在四边形ABCD 中，DE BC ^，BD 平分ABC Ð，AD CD =，4BE =，3DE =，1CE =，则ABD △的面积是（ ）A ．4.5B ．6C ．9D ．123．如图，AE 是CAM Ð的角平分线，点B 在射线AM 上，DE 是线段BC 的中垂线交AE 于E ，EF AM ^．若23,21ACB CBE Ð=°Ð=°，则BEF Ð= ．4．如图，四边形ABCD 中，AC 平分BAD Ð，BC DC CE AD =^，于点E ，127AD AB ==，，则DE 的长为 ．5．如图，CB CD =，180D ABC Ð+Ð=°，CE AD ^于E ．(1)求证：AC 平分DAB Ð；(2)若10AE =，4DE =，求AB 的长．题型05 全等的性质和HL 综合1．如图，在ABC V 中，P 为BC 上一点，PR AB ^，垂足为R PS AC ^，，垂足为S AQ PQ PR PS ==，，，下面结论：①AS AR =；②QP AR ∥；③△≌△ARP ASP ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．如图，在等边ABC V 中，AD BC ^于D ，延长BC 到E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，连接EF 并延长EF 交AB 于G ，BG 的垂直平分线分别交BG AD ，于点M ，点N ，连接GN CN ，，下列结论：①ACN BCN Ð=Ð；②12GF EF =；③120GNC Ð=°；④GM CN =；⑤EG AB ^，其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图所示，在ABC V 中，P Q ，分别是BC AC ，上的点，作PR AB ^，PS AC ^，垂足分别为点R S ，，若AQ PQ =，PR PS =，QD AP ^．现有下列结论：①AS AR =；②AP 平分BAC Ð；③BRP CSP △≌△；④PQ AR ∥．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）4．如图，ABC V 的两条外角平分线AP CP ，相交于点P ，PH AC ^于点H ．若60ABC Ð=°，则下面的结论：①30ABP Ð=°；②60APC Ð=°；③2PB PH =；④APH BPC Ð=Ð．其中正确的结论是 ．（填序号）5．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，4AC =，8BC =，D 是AC 上的一点，32CD =．点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒1个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ，连接AP ．(1)当3t =秒时，求AP 的长度；(2)当点P 在线段AB 的垂直平分线上时，求t 的值；(3)过点D 作DE AP ^于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使DE CD =？请直接写出t 的值．1．如图，在ABC V 中，AC BC =，90C Ð=°，AD 是ABC V 的角平分线，DE AB ^于点E ．若1CD =，则AB 的长为（ ）A B ．1C ．2D ．22．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，AC BC =，AD 平分CAB Ð，交BC 于点D ，DE AB ^于点E ，且6cm AB =，则DEB V 的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm 3．如图， 在Rt ABC V 中，90C Ð=°，BAC Ð的平分线AE 交BC 于点E ，ED AB ^于点 D ， 若 ABC V 的周长为12，则 BDE V 的周长为 4 ，则AC 为 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．84．如图，ABC V 中，ABC Ð的平分线与AC 边的垂直平分线交于点D ，过D 作DE BC ^于点E ，连接CD ，若35BAC Ð=°，30ACD Ð=°，则DCE Ð的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．65°D ．70°5．如图，在ABC V 中，延长BA 到点E ，延长BC 到点F ．,ABC EAC ÐÐ的角平分线,BP AP 交于点P ，过点P 分别作,PM BE PN BF ^^，垂足为,M N ，则下列结论正确的有（ ）①CP 平分ACF Ð；②2180ABC APC Ð+Ð=°；③2ACB APB =∠∠；④PAC MAP NCP S S S +=△△△．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，CA AB ^，垂足为点A ，8AB =，4AC =，射线BM AB ^，垂足为点B ，一动点E 从A 点出发以2/秒的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 运动t 秒时，DEB V 与BCA V 全等．则符合条件的t 值有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，1,AC BC AD ==是BAC Ð的平分线且交BC 于点D ，DE AB ^于点E ，则BDE V 的周长为 ．8．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC Ð，AD CD =，DE BC ^，垂足为点E ，ABD △的面积为38，BCD △的面积为50，则CDE V 的面积为 ．9．如图，ABC V 中，90ACB Ð=°，222AC BC AB +=，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE DB =，DEC B Ð=Ð，若3CE =，15AB =，则四边形ABDE 的面积是 ．10．如图，在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ^，180ACE BCE Ð+Ð=°，EF BC ^交BC 于F ，8AC =，12BC =，那么BF = ．11．如图，在ABC V 中，AB AC =，过点A 作AD BC ∥，连接DC ，点E 是AB 边上一点，DE DC =，过点D 作DF AC ^于F ，若6BE =，则AF = ．12．如图，ABC V 中，AC BC =，且点D 在ABC V 外，D 在AC 的垂直平分线上，连接BD ，若30DBC Ð=°，12ACD Ð=°，则A Ð= °．13．如图，CB CD =，180D ABC Ð+Ð=°，CE AD ^于E ．(1)求证：AC 平分DAB Ð；(2)若10AE =，4DE =，求AB 的长．14．如图，180CB CD D ABC CE AD =Ð+Ð=°^，，于E ，CF AB ^交AB 的延长线于点F ．(1)求证：AC 平分DAB Ð；(2)若82AE DE ==，，求AB 的长．15．如图，四边形ABDC 中，90D ABD Ð=Ð=°，点O 为BD 的中点，且OA 平分BAC Ð．(1)求证：OC 平分ACD Ð；(2)求证：OA OC ^；(3)猜想AB 、CD 与AC 的关系，并说明理由．16．如图，四边形ABCD 中，90B Ð=°，连接对角线AC ，且AC AD =，点E 在边BC 上，连接DE ，过点A作AF D E ^，垂足为F ，若AB AF =．(1)求证：①DAC FAB ÐÐ=；②DF CE EF =+；(2)若AB BC =，20CDE Ð=°，求CAF Ð的度数．17．图，已知CD BE =，DG BC ^于点G ，EF BC ^于点F ，且DG EF =．(1)求证：DGC EFB ≌△△；(2)OB OC =吗？请说明理由；(3)若30B Ð=°，ADO △是什么三角形？18．已知：点P 为EAF Ð平分线上一点，PB AE ^于B ，PC AF ^于C ，点M 、N 分别是射线AE 、AF 上的点，且PM PN =．(1)当点M 在线段AB 上，点N 在线段AC 的延长线上时（如图1）．求证：BM CN =；(2)在（1）的条件下，求证：2AM AN AC +=；(3)当点M 在线段AB 的延长线上时（如图2），若:2:1AC PC =，4PC =，则四边形ANPM 的面积为_______．。
全等三角形知识点归纳
全等三角形知识点归纳一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等也就是说，如果两个三角形全等，那么它们对应的边长度是相等的。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等同样，如果两个三角形全等，它们对应的角的度数也是相等的。
比如，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的周长相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也必然相等。
4、全等三角形的面积相等由于全等三角形完全重合，所以它们所覆盖的面积是一样的。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
举例：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
5、 HL（斜边、直角边）对于两个直角三角形，如果它们的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
比如：在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，AB ＝ DE，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
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全等三角形知识要点注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 3． 请填空1） 全等形的概念两个______________的图形叫全等形。
2） 全等形的性质全等图形的________和__________都相同。
3) 全等三角形的判定____________________________________________________ 4)角平分线的性质角平分线的性质：___________________________ 5)角平分线的判定角平分线的判定的判定定理：_________________________________________ 6)三角形角平分线的性质三角形的三条内角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
题型汇总一、填空题（3分×10=30分） 题型：边角边证明三角形全等1． 如图（1），△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，则__________≌__________．6.如图4，已知AB=BE ，BC=BD ，∠1=∠2，那么图中 ≌ ，AC= ，∠ABC= .4、如右图，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠C AE ，AC=AE ，求证：CB=ED5、已知：如图，AB ＝CD ，AB∥DC． 求证：，AD∥BC， AD ＝BC11、如图，D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠ADE=∠AED ，求证：AB=AC 。
1、如右图，已知AB=AD ，且AC 平分∠BAD ，求证：BC=DCABCDEA BD题型：角角边证明三角形全等4．如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由______________________．6．如图（5），AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，交BD于P，则PD__________PE（填“<”或“>”或“=”）．题型：角边角证明三角形全等5．如图（4），∠C=∠E，∠1=∠2，AC=AE，则△ABD按边分是__________ 三角形．19．（5分）已知EF是AB上的两点，AE=BF，AC∥BD，且AC=DB，求证：CF=DE．题型：边边边证明三角形全等7．如图（6），△ABC中，AB=AC，现利用证三角形全等证明∠B=∠C，若证三角形全等所用的公理是SSS公理，则图中所添加的辅助线AD应是____________________________．题型：HL定理证明三角形全等2．已知：点 A、C、B、D在同一条直线，AC=BD，∠M=∠N=90°，AM=CN求证： MB∥ND题型：角平分线的应用7、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为___________。
12、如图，BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上。
18.如图21，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC（12分）29.如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，A 请说明AB=AC的理由。
（８分）OB C题型：根据三角形全等求边长，面积，角的大小 2．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =____________，BC =____________，AC =____________．8．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y =__________．10.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=O80，将△ABC 绕点B 旋转，使点A 落在BC 上，点C 落在点c '，那么∠BC C '的大小是________________.14. 如图（11）所示，若△ABE ≌△A CF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ） 如图（12），△ABC ≌△AEF ，AB 和AE ，AC 和AF 是对应边，那么∠EAC 等于A ．∠ACB B ．∠BAFC ．∠FD ．∠CAF 16．如图（13），△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E 且AB =6 cm ，则△DEB 的周长为A ．40 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm2.如图1，已知△OCA ≌△OBD ，C 和B 、D 和A 是对应顶点，这两个三角形中相等的角是 ，相等的边是 .3.如图2，已知△ABC ≌△ADE ，∠B 与∠D 是对应角，那么AC 与 是对应边，∠BAC 与 是对应角.5.如图3，已知D 在BC 边上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，DE=DF ，∠B=50°，∠C=70°， 那么∠DAF= ，∠ADE= .图F E C B A8.如图5，已知△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，，对应角∠B=∠DEF， .9.如图6，已知△ABC≌△DEC，其中AB=DE，∠ ECB=30°，那么∠ACD= .1、如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，如果AB=6cm，BD=5cm，AD=4cm，那么BC的长是（）。
A 4cmB 5cmC 6cmD 无法确定2、如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°∠AEC=120°，则∠DAC 的度数等于（）。
A 120°B 70°C 60°D 50°6、如图，AC、BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其他对应角分别为___________________________，对应边分别为___________________________。
9、如图，AC⊥BD于O，BO=OD，图中共有全等三角形________对。
1、如图1，在△ABC 中，AC>BC>AB ，且△ABC ≌△DEF ，则在△DEF 中，______<______<_______(填边)。
2、已知：△ABC ≌△A ′B ′C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=70°，AB=15cm ，则∠C ′=_________，A ′B ′=__________。
3、如图2，△ABD ≌△BAC ，若AD=BC ，则∠BAD 的对应角是________。
5、如图4，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三角形________对。
3． 如图，⊿ABC ≌⊿DEF ，∠A=70°，∠B=50°，BF=4，求∠DEF 的度数和EC 的长。
（10分）2. 已知:如图2,△ABC ≌△DEF,AC ∥DF,BC ∥EF.则不正确的等式是（ ） =DF =BE =EF =EFFDECB A12. 如图,在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝5㎝，BD＝3㎝，则点D到AB的距离为.题型：添加条件证明三角形全等3.如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________．9．如图（7），AD=AE，若△AEC≌△ADB，则可增加的条件是__________,或________________,或_________________.13．△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若△ABC≌△DEF还需要 ( )A．∠B=∠E B．∠C=∠F C．AC=DF D．以上三种情况都可以10.如图7，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是。
（只需填一个）A11．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE （）（A）BC=EF （B）∠A=∠D （C）AC∥DF （D）AC=DF4、在△ABC和△中，已知∠A=∠，AB=，在下面判断中错误的是（）。
A 若添加条件AC=，则△ABC≌△B 若添加条件BC=，则△ABC≌△C 若添加条件∠B=∠，则△ABC≌△A 若添加条件∠C=∠，则△ABC≌△8、如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是______________，（填上你认为适当的一个条件即可）。
4、如图3，在△ABC和△FED，AD=FC，AB=FE，当添加条件__________时，就可得到△ABC≌△FED。
(只需填写一个你认为正确的条件)11.如图:已知AE∥BF, ∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是__________.题型：理论题11．不能确定两个三角形全等的条件是 ( ) A ．三边对应相等 B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等 12．用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（ ） 18．在△ABC 和△A ′B ′C ′中①AB =A ′B ′② BC =B ′C ′③AC =A ′C ′④∠A =∠A ′⑤∠B =∠B ′⑥∠C =∠C ′，则下列哪组条件不能保证△ABC ≌△A ′B ′C ′( )A ．具备①②④B ．具备①②⑤C ．具备①⑤⑥D ．具备①②③ 20．（5分）一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由．1.判定一般三角形全等的方法有 等四种，判定直角三角形全等的方法还有.7.到一个角两边距离相等的点，在 .13．在△ABC 内部取一点P 使得点P 到△ABC 的三边距离相等，则点P 应是△ABC 的哪三条线交点（ ）（A ）高 （B ）角平分线 （C ）中线 （D ）垂直平分线 14．下列结论正确的是（ ）（A ）有两个锐角相等的两个直角三角形全等（B ）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（C ）顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等； （D ）两个等边三角形全等.A CFBE D4.△ABC的角平分线AM、BN交于I点，那么I点到边的距离相等，连结CI，那么CI一定平分 .16．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（）（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3、使两个直角三角形全等的条件是（）。