自由粒子的波函数

测不准关系是微观粒子波粒二象性所带来 的必然结果。这是因为，对波动而言，不 能提“空间某一点x的波长”。从而，对 微观粒子，只要承认其具有波粒二象性， “微观粒子在空间某一点x的动量”，这 样的提法也没有意义。所以，对一个给定 点x，动量只能是不确定的，这就是不确 定度关系。
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六、波尔的互补原理（1）
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二、一般粒子的波函数及其物理意义（5） 3、概率波（Born，1926）
粒子的波动性可以用波函数来表示，
( x, y, z) | ( x, y, z) | ei ( x, y, z ) 其中，振幅 | ( x, y, z ) |表示波动在空间一 2 点(x,y,z)上的强弱。所以， | ( x, y, z) |
xk ~ 1, 由p k , 可得出xp ~
k / a
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源自文库
五、测不准关系(不确定度关系)(4)
严格证明表明，对一般粒子，有 xp 物理意义：粒子的坐标和动量不可能同 时被准确测量。或者说，微观粒子的位 置（坐标）和动量不能同时具有完全确 定的值。
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五、测不准关系(不确定度关系)(5)
1927，波尔 互补原理的基本思想：微观粒子同时具有 波动性与粒子性，而这两个性质是相互排 斥的，不能用一种统一的图像去完整地描 述量子现象，但波动性与量子性对于描述 量子现象又是缺一不可的，必须把两者结 合起来，才能提供对量子现象的完备描述 ，量子现象必须用这种既互斥又互补的方 式来描述。
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六、波尔的互补原理（2）
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一、自由粒子的波函数（1）
自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动 的质点。因此，其能量E和动量 p pep 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频 率和波长分别为 n =E/h，λ= h /p (1.1-1) 又因为波矢为 k ke ，其中k=2π/λ，因此，自由 粒子的 n和k都为常量。由(1.1-1)得到
波尔的互补原理中的互补概念有以下多层 含义： 1)“两类经典概念互补”，象微观粒子的特 征只能用波和粒子这样两个相互排斥的经 典概念来反映； 2)两种实验装置互补，不可能在同一种实 验装置中和实验条件下同时观测到两类互 相排斥的现象。
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f ( x)e ikxdx
F(k)为f(x)的傅里叶变换 特别地，若 F (k ) 1 2 ，有
1 f ( x) 2



e dk ( x)
ikx
2
第2讲目录
一、自由粒子的波函数 二、一般粒子的波函数及其物理意义 三、波函数的统计诠释及其性质 四、动量分布概率 五、测不准关系（不确定度关系）

例2：设一维粒子具有确定的位置 x0 ， 即 x 0，则其波函数为
故 | x ( p) |2 1，即 p 0 1 2 （x x0 )= lim exp x x0 / N 2 极限分析： N N
xp 常数
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下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题
ip 1 r / 3 ( r ) e d r 32 (2)
( p)

2 3 2 3 (r ) d r 1 ( p) d p 1
ip (r ) 中含有平面波 e i r /
可见， ( pi ) 代表
量子力学
第一章
II. 波函数及其统计诠释
不确定度关系
1
平面波与傅里叶变换的回顾
只考虑空间(t=t0)，一维情况下平面波为 ψ = Aexp(i kx) 将f(x)用exp(i kx)展开，有
1 f ( x) 2 1 F ( k ) e dk , F ( k ) 2
ikx


2 | ( pi ) | 应该代表粒子具 的成分，因此， 有动量 pi 的概率。
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五、测不准关系(不确定度关系)(1)
经典粒子：可以同时具有确定的动量和空 间位置，即 px 0和 x 0 可以同时成立。 px 0 和 x 0 不能同时成立。 微观粒子： 例1：设一维自由粒子具有确定的动量 ， p 0 即 p0 ，其相应的波函数为平面波 故 且 ip0 x / p0 ( x) e | p0 ( x) |2 1
ipr / 平面波的波函数为 (r ) e
任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开
(r )
ip 1 r / 3 ( p ) e d p 32 (2)
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四、动量分布概率（2）
(r )
其中
ip ip 1 r / 3 i r / ( p )e d p ( pi )e 32 (2) i
量子力学的诞生过程； Einstein的光子概念 E=hυ， p = h /λ; 德布罗意的物质波思想。微观粒子都具有粒 子和波动二重性，即波粒二象性。德布罗意 关系： υ=E/h，λ= h /p; Born给出了物质波的正确解释：几率波(或 概率波）。 问题：宏观物体的波动性?
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四、动量分布概率（1）
2n E / ,
h / 2
2 k ep p /
(1.1-2)
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一、自由粒子的波函数（2）
用以下函数描述
v和k都为常量的波应该是平面波，可
A exp[i(k r t )]
k A exp[ ( p r Et )]
应该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的概率 大小的一个量。从这个意义出发，可将粒 子的波函数称为概率波。
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三、波函数的统计诠释及其性质 2 | ( x, y, z) | 表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。 2 | ( x, y, z) | xyz 表示点(x,y,z)处的体积元
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对实际波函数的要求 1、可积性 | ( x, y, z ) | dxdydz 有限值
2
0
2、归一化

| ( x, y, z) | dxdydz 1
2
2
3、单值性，要求 | ( x, y, z) | 单值 4、连续性 ( x, y, z)(及其一阶导数连续)
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简短的回顾
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二、一般粒子的波函数及其物理意义(3) 1、波包 2 能量和动量的关系为，E p / 2m
利用 E hn , p k 2 得到 v k / (2m),
d 2 h 2 0 dk m
这说明随着时间的推移，粒子将无限增大。 显然物质波包的观点夸大了波动性的一面， 抹杀了粒子性的一面，与实际不符。


P
x
狭缝


Px

入射电子束
照相底版
电子可在缝宽 x 范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不 确定量就是缝宽 x ，电子在 x方向的动量不确定量:
px p sin ,
由衍射公式:x sin ,
h p x , x
xpx h
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五、测不准关系(不确定度关系)(3)
将(1.1-2)代入，得到 i
(1.1-3) 这就是自由粒子的波函数，它将粒 子的波动同其能量和动量联系了起来。 它是时间和空间的函数，即
( x, y, z, t )
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二、一般粒子的波函数及其物理意义(1)
当粒子受到外力的作用时，其能量和动量 不再是常量，也就无法用 i k A exp[ ( p r Et )] A exp[ i (k r t )] 这样简单的函数来描述，但总可以用某个 波函数 ( x, y, z, t ) 来描述这个粒子的特 性。 问题是，该如何理解波函数所代表的 物理意义呢？
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三、一般粒子的波函数及其物理意义(4) 2、群体说
认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或 疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而 言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现 在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一 定的概率存在于空间的某个位置。
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二、一般粒子的波函数及其物理意义(2)
历史上对粒子波动性的认识有两种误解： (1)波包说，认为粒子波就是粒子的某种实 际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分 布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大 小，波包的速度即粒子的运动速度。粒子的 干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。 (2)群体说，认为体现粒子波动性的衍射行 为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的 结果。
xyz 中找到粒子的概率。
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这就是波函数的统计诠释。自然引入归一化条件
| ( x, y, z) | dxdydz 1 * 数学上， ( , ) d , d dxdydz，

称为积分形式表示的内积。
归一化条件可以用内积表示为 ( , ) 1
例3：有限长波列
1 ik0 x e , | x | a ( x ) 2a 0, | x | a a 1 2 | | d x a 2a d x 1
1 (k ) 2
x a

a
a
e
ik0 x ikx
2 sin[(k0 k )a] e dx ( k0 k )
2 2 | ( r ) | | ( x , y , z ) | 设 r xi yj zk ，则 表示粒
子出现在点 r 附件的概率。
设 p px i p y j pz k 为粒子的动量，那么粒子具 有动量 p 的概率如何表示？
x
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五、测不准关系(不确定度关系)(2)
0, x x0 x0 ( x) 2 ( x x0 ) , x x0 相应的傅立叶变换为
1 ix0 p / px / x0 ( p) ( x ) e dx e x0 2 这里用到了 ( x x0 ) f ( x)dx f ( x0 )