带电粒子在有界磁场中运动的临界问题(同名9311)

带电粒子在有界磁场中运动的

临界问题（同名9311）

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量m、电量q确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有入射点、入射速度大

小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。

在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（C2），并可归并为6大类型。

所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹 圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序 尽可能多地 作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少 5画个轨迹圆）， ③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆, 从而抓住解题的关键点。 类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大 小不确定（即轨道半径不确定）

【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于

纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为 B ， 板间距离也为L ，板不带电.现有质量为 m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），

① ②

r =

④厂⑧

出射

二

―⑨ 一*■⑩

型

四

类 型 五

⑤

⑨ 入射方向、速度大 小；

出射方向、速度 大小； 类 型 六

④ ⑥ 入射点、出射方向； 出射点，入射方向

⑤ ⑥ ⑦

L

X 为

*

* i

X

* 丸 X

从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁 场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是

A •使粒子的速度xBm

5BqL v

>

4m

BqL 5BqL

4m

< 4m

【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的 粒子轨

迹圆圆心均在垂直初速度的直

I

线上（如图甲），在该直线上取不同点 为圆心，，半径由小取到大， 圆（如图乙），其中轨迹圆— 界轨迹圆。轨道半径小于轨迹圆①或大 于轨迹圆②的粒子,均可射出磁场而不 打在极板上。图

图

B •使粒子的速度

C •使粒子的速度v>Bm L

D •使粒子的速度

朋X *旳

IX/ * “X 5

* —2“ -乂 电 X * X y

卜

【解答】 AB

粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有 r i 2

= L 2

+ （冷―L

）2

,得冷=普

mv i

5BqL 5BqL

Bq ，得 vi = 4m ，所以 v

> 4m 时

由

r

2 =囂，得V 2 =瓷，所以■时粒

子能从左边穿出.

类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大 小），但入射速度方向不确定

这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆 心圆”上一一所谓“圆心圆”，是指以入射点为

【例2】如图所示，在0W 0

小为B 。坐标原点0处有一个粒子源，

：：：："：：

在某时刻发射大量质量为 m 、电荷量为 & ―'—'―'―卞 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xOy 平面内，与

由

粒子能从右边穿出.

粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在 0’点，有 圆心.，…以」=号为半径的圆

qB

...Q

y轴正方向的夹角分布在0〜900范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间, 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

(1)速度的大小；

(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径r大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O,入射点O到任一圆心的距离均为r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆” 一一以入射点O为圆心、r为半径的圆周上(如图甲)。考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起一一取“圆心圆”上不同点为圆心、r为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时(均小于180°),弦长越长，圆心角越大, 粒子在磁场中运动时间越长故轨迹①对应圆心角为

图图

【解答】设粒子的发射速度为 V ,粒子做圆周运动的 轨道半径为R ,根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：

2

v qvB = m — R

当a/2

角为a ，由几何关系得:

a

Rsin ： - R ， Rsin ： -a-Rcos ：

2

sin 2

二'cos 2

：二 1

R=(2—f)a , ^(^26)

aqB

，

si n

：二6

^

2

2 m

10

这类题作图要讲一个小技巧——按粒子偏转方向移 动圆心作图

【练习2】如图所示，在正方形区域abed 内充满方向 垂直纸面向里的、磁感应强度为 B 的匀强磁场。在t=0 时刻，一位于ad 边

中点O 的粒子源在abed 平面内发射

解得: mv qB

设最后离开磁场的粒子的发射方向与 y 轴正方向的夹

解得: