球剖体体积计算公式

球剖体体积计算公式（1）

作者：一天

已知球的体积公式为334R v π=，那么对于球的一部分，也就是球剖体，其体积公式又是怎样的呢？

采用微积分的方法，先进行微分，有：

θ

θθπd R dh dh R dv ⋅=⋅⋅=cos )cos (2

则有：

122121212

)sin 3

1(sin sin )sin 1(sin cos cos 33232333θ

θθθθθθθθθθθπθθπθ

θπθθπ-=⋅-=⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰R d R d R

d R dv v

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧+-+=+-+=+-+=22

21222122212222

21221)2(22h h r r r R h h r r R h h h r r R h 得出球剖体体积为：

]

)(3[6})(3]4)([12)(6{24])(312)(6[2432221222213222212221222122221322221h h r r r r h h h h

h r r r r r h r r h

h h R r r h v +⋅+=--+⋅+-+⋅++⋅=--+++⋅=π

ππ 附（1），球冠是球剖体的一个特例，即：01=r ，则有：

V 球冠)3(6

322h h r +=π （2），对于半球，即：⎪⎩

⎪⎨⎧===R h R r r 210 则有：

V 半球3323

2)3(6R R R R ππ=+⋅= （3），对于整个球体，即：R h r r 2,021===，则有：

V 球3334])2[(6

R R ππ==