运筹学第7章 最大流问题精简课堂

6
v1
v2
vs
v3
vt
v4
边集（ vs,v1 ），（ v1,v3 ），（ v2,v3 ），（ v3,vt ）， （v4,vt）是G的割集。其顶点分别属于两个互补不相交 的点集。去掉这五条边，则图不连通，去掉这五条边中
7
的任意1-4条，图仍然连通。
割集的容量(简称割量) 最小割集
割集(V1, V2)中所有起点在V1，终点在V2的边的容量 的和称为割集容量。例如下图中所示割集的容量为 5
(3)重复步骤 (2)，直到 vt成为标号点或所有标号点 都检查过。若 vt成为标号点，表明得到一条 vs到vt的 增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过， 表明这时的可行流就是最大流，算法结束。
调整过程： 在增广链上，前向边流量增加 l(vt)，后 向边流量减少 l(vt)。
12
下面用实例说明具体的操作方法：例
对最大流问题有下列定理：
定理1 容量网络中任一可行流的流量 不超过其任一割集的容量。
定理2（最大流-最小割定理）任一容 量网络中，最大流的流量等于最小割集 的割量。
推论1 可行流f*＝{fij*}是最大流，当且
仅当G中不存在关于f*的增广链。
10
求最大流的标号法
标号法思想是：先找一个可行流。 对于一个可行流，经过标号过程得到 从发点vs到收点vt的增广链；经过调整 过程沿增广链增加可行流的流量，得 新的可行流。重复这一过程，直到可 行流无增广链，得到最大流。
v2 3
vs
1
5 v1
4
v4
5
1
3
vt
2
2
v3
在容量网络的所有割集中，割集容量最小的割集称为 最小割集（最小割）。
8
对于可行流f＝{fij}，我们把网络中使fij＝cij的
边称为饱和边，使fij<c ij的边称为非饱和边；把
使fij＝0的边称为零流边，使fij>0的边称为非零
流边。
若μ是联结发点
v2 3,1
2
网络上的流，是指定义在边集E上的 函数f＝{f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为边 (vi,vj)上的流量，简记为fij。
v2 3,1
vs
1,0
5,2 v1
4,1 v4
5,2
1,0 3,1
vt
2,1
2,2 v3
标示方式：每条边上标示两个数字，第一个是容量，第二 是流量
3
可行流、可行流的流量、最大流。
但利用它与图的密切关系，可以利用图直观简便地求 解。
5
给定容量网络G＝(V,E,C)，若点集V被剖分
为两个非空集合V1和V2，使 vs∈V1 ，vt∈V2，则 把边集(V1,V2)称为（分离vs和vt的）割集。
v2
4
v4
3
5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2
v3显Leabharlann ，若把某一割集的边从网络中去掉，则从vs到vt便不存在路。所以，直观上说，割集 是从vs到vt的必经之路。
网络的总流量。
4
可行流总是存在的，例如 f={0}就是一个流量为 0的可 行流。
所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可 行流。
一个流f={fij}，当fij=c ij，则称f对边(vi, vj)是饱和的， 否则称f对边(vi, vj)不饱和。对于不饱和的，其间隙为 δij=cij-fij 最大流问题实际上是一个线性规划问题。
v2 (4,3) (3,3)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
v1 (2,2)
v4 (5,3)
(3,0) vt (2,1)
v3
在图中给出的可行 流的基础上，求vs 到vt的最大流。
(-vv21
,1)
(4,3)
(3,3)
(v2,1)
v4 (5,3)
(? ,+∞)
vs
(1,1) (1,1)
(v3,1)
(3,0) vt
(5,1)
(2,1)
v1 (2,2)
v3
(vs,4)
(-v2,1)
v2 (3,3)
(4,3)
(? ,+∞)
vs
(1,0) (1,0)
(5,2)
v1 (2,2)
(vs,3)
v4(5,3)
(3,0) vt (2,2)
v3
得增广链，标号结束， 进入调整过程
无增广链，标号结束，得 最大流。同时得最小割。13
可行流是指满足如下条件的流：
（1）容量限制条件：对 G中每条边(vi,vj), 有
0 ? fij ? cij
（2）平衡条件：
? ? 对中间点，有： fij ? fki
j
k
（即中间点 vi的物资输入量等于输出量）
? ? 对收点vt与发点vs，有： fsi ? f jt ? W
i
j
（即vs发出的物资总量等于 vt接收的物资总量）， W是
11
标号过程 :
(1)给vs标号(? ,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其 余都是未标号点。
(2)取一个已标号未检查的点 vi，对一切未标号点 vj： 若有非饱和边 (vi,vj)，则vj标号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝ min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非 零边(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]， vj成为已标号未检查的点。 vi成为已标号已检查的点。
最大流问题
1
基本概念
v2 3
4
v4
5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2
v3
给定一个有向图 G＝(V,E)，其中仅有一个点的入次
为零称为 发点（源） ，记为 vs，仅有一个点的出次为零 称为收点（汇） ，记为vt，其余点称为中间点。
对于G中的每一条边 (vi,vj)，相应地给一个数 cij （cij≥0），称为边 (vi,vj)的容量。我们把这样的 网络 G称为容量网络 ，记为G＝(V,E,C) 。
14
调整后的可行流如下图：
v[ v2s, 1] (4, 3)
vs
1,0
5,2
4,1 v4 5,2
1,0 3,1
vs和收点vt的一条链，
我们规定链的方向是
2,1 vt 从vs到vt，则链上的
v1
2,2 v3
边被分成两类：前向
边、后向边。
设f是一个可行流，μ是从vs到vt的一条链，若μ 满足前向边都是非饱和边,后向边都是都是非零 流边,则称μ是（可行流f的）一条可增广链。 9
下图中已经标示出了一个可行流，求最大流
vv[ s 2
,
4]
(4, 0)
(4, 0)
[ ? , ∞] vs
(1, 0) (1, 0)
[ v2,v44]
(3, 2)
(5, 2)
vs
[ v4, 3]
(2, 0)
(5, 2)
v1
[ vs, 3]
(2, 2)
v5
(4, 0)
v3
[- v4, 2]
如图已经得到增广链，然后进行调整。