西北工业大学密码学第三章考试重点亲自整理notes3.1

3.1
n|(a-b)<=>当且仅当a≡b mod n
①反身性：a=a mod n
②对称性：若a=b mod n，则b=a mod n
③传递性: 若a=b mod n 且b=c mod n，则a=c mod n
④如果 a=b mod n且 c=d mod n，则：
a+c=(b+d) mod n
a-c=(b-d) mod n
a•c=(b•d) mod n
⑤ (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n
(a-b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n
(a•b) mod n = (a mod n • b mod n) mod n
消去率⑥如果ac=bd mod n 且 c=d mod n, gcd(c,n)=1,则 a=b mod n 定理：
同余式ax≡b mod n 有解当且仅当d|b，其中
d=(a,n)。

定理：联立同余式x≡b 1 mod m 1 ，x≡b 2 mod m 2
有一个公共解的充要条件是b 1 ≡b 2 mod d ，其中
d=(m 1 ,m 2 )
定理:
若联立同余式a≡b mod m i 成立，其中
i＝1，2，…k,则a≡b mod [m 1 , m 2 ,…, m k ]。

中国剩余定理：
设m 1 , m 2 ,…, m k 是两两互素的正整数，则：
x≡b i mod m i , i＝1，2，…k,模[m 1 , m 2 ,…, m k ]有唯一解。

费马定理的另一种形式：
1、费马定理
若p是素数，a为任一正整数，则：
a^p ≡a mod p
定理：设n=p×q，且p和q都是素数，则：
φ(n)= φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)
一般说来，对任意n，φ(n)由下式给出：
φ(n)= ×(p i -1), n= ...
其中p i 均为素数。

欧拉定理：若整数a 和n互素，则：
a^φ (n) ≡ 1 mod n
考虑方程a^x ≡1 mod n, 如果a,n互素，至少有一
个整数x满足这一方程。

称满足这一方程的最小正整数x为模n下a的阶。

定理：设a的阶为m，则a^k ≡1 mod n的充要条件
是k为m的倍数。

定义：如果a的阶m等于φ(n)，则称a为n的本原根（或称素根）。

（a<n）如果a是n的本原根，则
a,a^2 ,…,a^φ(n) 【a 的φ(n)次幂】
在mod n下互不相同且都与n互素。

注：并不是所有的整数都有素根。

只有以下形式
的整数才有素根：
2,4,p ^α ,2p ^α其中p为奇素数。

指标：设p是一素数，a是p的素根，则
a,a ^2 ,…,a ^p-1
在mod p下产生出1到p-1之间的所有值。

因此对任意b∈{1,…,p-1}，都存在唯一的i(1≤i≤
p-1)，使得
b≡a^i mod p。

称i为模p下以a为底b的指标，记为i=ind a,p (b)。

类似于指数函数与对数函数的关系。

指标有以下性质：
① ind a,p (1)=0
② ind a,p (a)=1。

以上假定模数p是素数，对于非素数也有类
似的结论。

③ ind a,p (xy)=[ind a,p (x)+ind a,p (y)] mod φ(p)。

④ ind a,p (y^r )=[r×ind a,p (y)] mod φ(p)。

b≡a^i mod p离散对数，记为：i≡loga b(mod p)
可用之处：当a、p、i已知时，可比较容易地求出b，但如果已知a、b和p，求i则非常困难.
任一有限群都是循环群，也都有一个生成元。

定理：群的性质
设<G，*>为群，则
（1）G有唯一的单位元，G的每个元素有且仅有一个逆元．
（2）关于x的方程a*x＝b，x*a＝b都有唯一解．
（3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：
即对于任意a,x,y∈S
若a*x = a*y 则x = y ;
若x*a = y*a 则x = y
（4）单位元e是G的唯一的等幂元素.
定义：称代数结构<F,+,*>为域（field），如果:
（1）<F ,+>是阿贝尔群，设其单位元为0．
（2）F\{0}关于运算“*”也构成Abel群．
（3）对于任意元素a,b,c 属于R，分配律成立，
即：
a*（b＋c）＝ a*b+a*c ,
（b＋c）*a = b*a+c*a
如果域F中的元素只有有限个，则称F为有限域或伽罗瓦（Galois）域。

定义：设F * 为 F的非零元素构成的集合，即：
F*＝ F\{ 0},
F* 关于乘法构成循环群，则该循环群的生成元就称作域F的的生成元，也称本原元素。

任一个有限域（Galois域）都有一个本原元素。

若p 是素数，则F ＝ {0,1,…p - 1 }在 mod p
意义下，关于加法和乘法构成域。

记作G F（ p）
若p不是素数，则F＝ { 0,1,…p - 1}在mod p 意义下，关于加法和乘法则不能构成域。

（因为乘法逆元不一定存在）
Galois域G F（p^n）
多项式：
p(x) =a0+a1*x+a2*x^2+…+ ak*x^k ,a i∈F,i=0,1,…k
p(x)和 k＋1个p进制数（a0， a1 , …, ak)一一对应。