小学奥数第44讲 几何图形的计数(含解题思路)

44、几何图形的计数

【点与线的计数】

例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？

（全国第二届“华杯赛”决赛试题）

讲析：可用“分组对应法”来计数。

将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个，其下行线有2点；

第二排三角形有3个，其下行线有3点；

第三排三角形有5个，其下行线有4点；

以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。

所以是小三角形个数多。

例2 直线m上有4个点，直线n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？

（如图5.46）

（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）

讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。

直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。

同理，m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。

所以，一共可以组成70个三角形。

【长方形与三角形的计数】

例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？

（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。

①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；

②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。

所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。

例2 图5.48中共有______个三角形。

（《现代小学数学》）邀请赛试题）

讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；

以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；

以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。

所以，一共有15个三角形。

例3 图5.49中共有______个正方形。

（《现代小学数学》邀请赛试题）

讲析：可先来看看图5.50的两个图中，各含有多少个正方形。

图5.50（1）中，正方形个数是6×3＋5×2＋4×1=32（个）；

图5.50（2）中，正方形个数是4×4+3×3+2×2＋1×1=30（个）

如果把图5.49中的图形，分成5×6和4×11两个长方形，则：

5×6的长方形中共有正方形

5×6+4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（个）；

4×11的长方形中共有正方形

4×11+3×10+2×9＋1×8=100（个）。

两个长方形相交部分4×5的长方形中含有正方形

4×5+3×4＋2×3＋1×2=40（个）。

所以，原图中共有正方形70＋100-40=130（个）。

例4 平面上有16个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图5.51（1）]，每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成______个正方形。

（《小学生科普报》奥林匹克通讯赛试题）

讲析：能围成图5.51（2）的正方形共14（个）；

能围成图5.51（3）的正方形共2（个）；

能围成图5.51（4）的正方形共4（个）。

所以，一共可围成正方形20个。

【立体图形的计数】

例1 用125块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图5.52）。那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_______。

（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：本题要注意不能重复计数。

八个顶点上各有一个黑色正方体，共8个；

每条棱的中间有一个黑色正方体，共12个；

除上面两种情况之外，每个面有5个黑色正方体，共5×6=30（个）。

所以，总共有50个黑色正方体露在表面上。

例2 把1个棱长为3厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成______个小正方体。

（北京市第九届“迎春杯’小学数学竞赛试题）

讲析：若分成｜×××｜的小正方体，则共可分成27个。

但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。则在开始的时候，可分出一个2×2×2的正方体（如图5.53），余下的都只能分成1×1×1的正方体了。

所以，最少可分成20个小正方体。