机器人操作机工作空间
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C4 C3 C2
4
C1
3）圆C1到圆C2之间；圆C3到圆C4之间两环形面积即为次工作 空间。
由此可以看出： 1) 在Wp(P)中的任意点为全 方位可达点。 2)在 C1 和 C4 圆上的任一点， 只可实现沿该圆的切线方 向的运动。 3)末杆H越长，即h越大，C1 越大， C4 越小，总工作空 C4 间越大；但相应的灵活工 作空间则由于 C2 的增大和 C3的减小而越小。 4)工作空间同时受关节的转角限制。
空间。
1——空腔；2——空洞
23
二、空洞及空腔约形成条件 1、空洞的形成条件及其判别
工作空间 Wn ( Pn )与其后级旋 转轴 zn 1 若不相交，则在该旋 转轴的周围形成空洞。 空洞存在与否可根据前级空 间Wn ( Pn ) 和后级旋转轴 zn 1之 间的最小距离来判断。 若 Rxmin 0 。 则不存在空 洞； 若 Rxmin 0 则存在空洞。
1、解析法 由操作机工作空间的形成可以看出，其工作空间 W0 ( Pn ) 的 界限曲面 W0 ( Pn ) 可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成 的曲线族或曲面族的包络。因此，多次运用单参数曲面族的 包络公式能够顺序求得工作空间的界限曲面。 若在空间有一条曲线 存在，它上面的每一个点都是与曲 线族 中的每一条曲线相切的切点，曲线中的不同的线与 相切于不同点，称 为该曲线族的包络。 若存在一曲面 ，与曲面族中的任一曲面都沿一条曲 线 Ct 相切，这时 就称作该曲面族的包络。
0 3 3 n 3 n 0 3 0 n
可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面（线）族的包 络问题。
8
； 分别用 、 ；、 、 表示母线、母面，曲线族、曲 面族以及它们的包络。 曲线族的包络： 设有曲线 用向量方程表示： ： r r t x t , y t , z t
下面取两旋转关节进行图解讨论。
18
若
Zn Zn-1
n1 0
Zn
Zn-1
Zn-1
Zn
19
若
n1 90
Zn-1
Zn-1
20
例2 用图解法考察Motorman型机器人操作机的工作空间。
21
22
5.3 工作空间中的空洞和空腔
一、定义 空洞——在转轴 zi 周围，沿z的全长参考点Pn均不能达到 的空间。 空腔——参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的
式中
r u r
u
，r v r
v
r r
，r r
11
若母线 和母面 ，以及 ， 都是参数方程形式给 ， 出的，则可从上三式导出更便于计算的形式，如：
r r u, v,
r r u , v, (r u r v ) r a 0
曲面族的包络 的方程为：
：
式中 r u r
， v r u r
v
，r r
10
若 再以 为参数运动，得到曲面族 ，其包络（称为 二次包络） 的方程为:
：
r r u , v, , (ru r v) r a 0 (ru r v) r 0
P6 a p6 , 0, d p6
4 6 T64 P6
x42 y42 z42 aP6 2 d P6 2 R42
4 6
4 Rot ( z4 , 4 ) 6
有了曲面族方程式，利用包络公式可求出包络条件，并与 上式联立，即得该球面方程
14
对于前三关节一组，腕点P3 = O4
机器人技术
陶建国
哈尔滨工业大学机电学院 2005. 2.
第五章 5.1 概述
机器人操作机工作空间
工作空间是从几何方面讨论操作机的工作性能。B．Roth 在1975年提出了操作机工作空间的概念。
5.1.1 基本概念
操作机的工作空间：机器人操作机正常运行时，末端执 行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原 点可达点占有的体积空间。这一空间又称可达空间或总工 作空间，记作W(P)。 灵活工作空间：在总工作空间内，末端执行器可以任意 姿态达到的点所构成的工作空间。记作Wp (P)。 次工作空间：总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的 部分。记作Ws (P)。 2
6.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆LJ， lfl，，如图7—1。设在杆Lf*，上 作用在点o‘t，有力矩肋lh和力扩 ft：；在杆』f上作用有自屋C 〔道质
Li
心c刀，rf和rcf分别为山o。到 o‘t*和cl的向径rl(或记为rj“l)和 r‘，(或记为rf．。l)。
24
2．空腔的形成条件及其判别
在Wn1 ( Pn ) 空间中形成空腔的必要条件是在 Wn ( Pn ) 工作 空间中存在空洞，但这还不是形成空腔的充分条件。
25
Zn-1
26
第六章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。 机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。 机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此 很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的 控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机 器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器 人动力学研究者追求的目标。 27
下面以平面3R操作机为例，说明上述基本概念。
如图所示的3R操作机，由三杆L1，L2，和H组成。后两杆的 长度之和小于L1的长度。取手心点P 为末端执行器的参考点， 令l1，l2 分别为l1，l2 杆的长度，h为手心点P 到关节点O8 的 长度(即H杆的长度)，则： 1) 圆C1:半径为 R1 l1 l2 h ， 圆C4:半径为 R4 l1 l2 h ， 分别是该操作机的总工作空 间的边界。它们之间的环形 而积即W(P) 。 2）圆C2:半径为 R4 l1 l2 h ， 圆C3:半径为 R1 l1 l2 h ， 分别是灵活工作空间的边界。 它们之间的环形面积即Wp(P)。
式中t是曲线 的几何参数。
再设曲线 以 为参数运动，则在空间相应于不同的 ，就 形成了一系列的以 为母线的曲线族。记作，其方程为: ： r r t , x t , , y t , , z t , 式中 是曲线 的运动参数。 曲线族的包络方程为：
7
下面给出一种分组求解操作机工作空间 W0 ( Pn ) 包络界限曲 面 W0 ( Pn ) 的基本思想。 对于自由度 F 6 的机器人操作机，将操作机的前三杆(或前 三关节)划为一组，在第三杆上设置参考点P3(相当于腕点)，求 其绕各关节运动形成的曲面的包络，得到界限曲面 W (P ) 。 将后面各杆（4、5、6 杆）划为另一组，在末杆上取参考点 P6(可取手心点)，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的 包络，得到界限曲面 W (P ) 。 让 W (P ) 沿 W (P ) 运动，就形成了双参数曲面族，可用相应 的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面 W (P ) 。
Wn ( j 1) ( Pn ) Rot ( Z n j , n j ) Wn j ( Pn )
Zn-1 Zn-2
Zn
Pn — 末杆上的参考点； W(*) —参考点占据的工作空间。
工作空间边界上的界限点构成界限 曲面。界限曲面可以用不同方法求出。
6
Pn
5.2.2 工作空间的确定
P a3, d4 ,0 3
1 1 T3 P 3 3
0 3
1 Rot ( z1,1) 3
利用包络公式可求出包络条件，并与上式联立，即得该 曲面方程 。
15
腕点工作空间
16
PUMA560型机器人无结构限制时的工作空间轴剖面
17
2、图解法 用图解法求工作空间，得到的往往是工作空间的各类别 截面(或削截线)。它直观性强，便于和计算机结合，以显 示在可达点操作机的构形特征。 在应用图解法时．也将关节分为两组，即前三关节和后 三关节(有时为两关节或一关节)，前三关节称位置结构， 主要确定工作空间大小，后三关节称定向结构，主要决定 手部姿势。首先分别求出该两组关节所形成的腕点空间和 参考点在腕坐标系中的工作空间，再进行包络整合。
28
5、平面关节型 (SCARA) 仅平面运动有耦合性，控制较通用关节型简单。但运动 灵活性更好，铅垂平面刚性好。
SCARA型装配机器人
29ຫໍສະໝຸດ Baidu
二、特种机器人
仿生型 自由度一般较多，具有更强的适应性和灵活性，但控制 更复杂，成本更高，刚性较差。
类人型机器人
蛇形机器人
仿狗机器人
30
六足漫游机器人
六轮漫游机器人
：
式中 rt r
r r t , rt r 0
， r t r
9
曲面族的包络： 设有曲面 用向量方程表示： ： r r u, v
式中 u，v 是曲面 的几何参数。 再设曲面 以 为参数运动，得到曲面族 ，其方程为: ：
C3 C2
C1
5
5.1.2 工作空间的两个基本问题
1)给出某一结构形式和结构参数的操作机以及关节变量的变 化范围，求工作空间。称为工作空间分析或工作空间正问题。
2)给出某一限定的工作空间，求操作机的结构形式、参数和 关节变量的变化范围。称工作空间的综合或工作空间逆问题。
5.2 工作空间的形成及确定 5.2.1 工作空间的形成
根据定义，有:
W ( p) Wp ( p) Ws ( p)
一般说来，工作空间都是一块或多块体积空间，它们都具 有一定的边界曲面(有时是边界线)。W(P) 边界面上的点所 对应的操作机的位置和姿态均为奇异位形。与奇异位形相应 的机器人的速度雅可比矩阵是奇异的，所以操作机的工作空 间边界面又常称作雅可比曲面，即雅可比矩阵的行列式等于 零所对应的曲面。 灵活空间内点的灵活程度受到操作机结构的影响，通常分 作两类： I类 —末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间， 表示为 Wp1 (P) ； II类 —只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间， 表示为 Wp2 (P)。 3
式中
12
例1 用解析法考察PUMA560型机器人在关节变量无结构限制 ＜360。。)的工作空间界限曲面 条件下(即0＜
13
将O4= O5= O6= P3定为手腕点，6个关节分为两组：后三关 节(4，5，6)为轴线交于W 的旋转关节；前三关节另一组。
在末杆上取参考点P6(可取手心点)，对于后三关节一组
仿鱼机器人
仿鸟机器人
31
1.3.3 机器人的性能要素
自由度数 衡量机器人适应性和灵活性的重要指标，一般 等于机器人的关节数。机器人所需要的自由度数决定与其 作业任务。 负荷能力 机器人在满足其它性能要求的前提下，能够承 载的负荷重量。 运动范围 机器人在其工作区域内可以达到的最大距离。 它是机器人关节长度和其构型的函数。
4
C1
3）圆C1到圆C2之间；圆C3到圆C4之间两环形面积即为次工作 空间。
由此可以看出： 1) 在Wp(P)中的任意点为全 方位可达点。 2)在 C1 和 C4 圆上的任一点， 只可实现沿该圆的切线方 向的运动。 3)末杆H越长，即h越大，C1 越大， C4 越小，总工作空 C4 间越大；但相应的灵活工 作空间则由于 C2 的增大和 C3的减小而越小。 4)工作空间同时受关节的转角限制。
空间。
1——空腔；2——空洞
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二、空洞及空腔约形成条件 1、空洞的形成条件及其判别
工作空间 Wn ( Pn )与其后级旋 转轴 zn 1 若不相交，则在该旋 转轴的周围形成空洞。 空洞存在与否可根据前级空 间Wn ( Pn ) 和后级旋转轴 zn 1之 间的最小距离来判断。 若 Rxmin 0 。 则不存在空 洞； 若 Rxmin 0 则存在空洞。
1、解析法 由操作机工作空间的形成可以看出，其工作空间 W0 ( Pn ) 的 界限曲面 W0 ( Pn ) 可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成 的曲线族或曲面族的包络。因此，多次运用单参数曲面族的 包络公式能够顺序求得工作空间的界限曲面。 若在空间有一条曲线 存在，它上面的每一个点都是与曲 线族 中的每一条曲线相切的切点，曲线中的不同的线与 相切于不同点，称 为该曲线族的包络。 若存在一曲面 ，与曲面族中的任一曲面都沿一条曲 线 Ct 相切，这时 就称作该曲面族的包络。
0 3 3 n 3 n 0 3 0 n
可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面（线）族的包 络问题。
8
； 分别用 、 ；、 、 表示母线、母面，曲线族、曲 面族以及它们的包络。 曲线族的包络： 设有曲线 用向量方程表示： ： r r t x t , y t , z t
下面取两旋转关节进行图解讨论。
18
若
Zn Zn-1
n1 0
Zn
Zn-1
Zn-1
Zn
19
若
n1 90
Zn-1
Zn-1
20
例2 用图解法考察Motorman型机器人操作机的工作空间。
21
22
5.3 工作空间中的空洞和空腔
一、定义 空洞——在转轴 zi 周围，沿z的全长参考点Pn均不能达到 的空间。 空腔——参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的
式中
r u r
u
，r v r
v
r r
，r r
11
若母线 和母面 ，以及 ， 都是参数方程形式给 ， 出的，则可从上三式导出更便于计算的形式，如：
r r u, v,
r r u , v, (r u r v ) r a 0
曲面族的包络 的方程为：
：
式中 r u r
， v r u r
v
，r r
10
若 再以 为参数运动，得到曲面族 ，其包络（称为 二次包络） 的方程为:
：
r r u , v, , (ru r v) r a 0 (ru r v) r 0
P6 a p6 , 0, d p6
4 6 T64 P6
x42 y42 z42 aP6 2 d P6 2 R42
4 6
4 Rot ( z4 , 4 ) 6
有了曲面族方程式，利用包络公式可求出包络条件，并与 上式联立，即得该球面方程
14
对于前三关节一组，腕点P3 = O4
机器人技术
陶建国
哈尔滨工业大学机电学院 2005. 2.
第五章 5.1 概述
机器人操作机工作空间
工作空间是从几何方面讨论操作机的工作性能。B．Roth 在1975年提出了操作机工作空间的概念。
5.1.1 基本概念
操作机的工作空间：机器人操作机正常运行时，末端执 行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原 点可达点占有的体积空间。这一空间又称可达空间或总工 作空间，记作W(P)。 灵活工作空间：在总工作空间内，末端执行器可以任意 姿态达到的点所构成的工作空间。记作Wp (P)。 次工作空间：总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的 部分。记作Ws (P)。 2
6.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆LJ， lfl，，如图7—1。设在杆Lf*，上 作用在点o‘t，有力矩肋lh和力扩 ft：；在杆』f上作用有自屋C 〔道质
Li
心c刀，rf和rcf分别为山o。到 o‘t*和cl的向径rl(或记为rj“l)和 r‘，(或记为rf．。l)。
24
2．空腔的形成条件及其判别
在Wn1 ( Pn ) 空间中形成空腔的必要条件是在 Wn ( Pn ) 工作 空间中存在空洞，但这还不是形成空腔的充分条件。
25
Zn-1
26
第六章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。 机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。 机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此 很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的 控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机 器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器 人动力学研究者追求的目标。 27
下面以平面3R操作机为例，说明上述基本概念。
如图所示的3R操作机，由三杆L1，L2，和H组成。后两杆的 长度之和小于L1的长度。取手心点P 为末端执行器的参考点， 令l1，l2 分别为l1，l2 杆的长度，h为手心点P 到关节点O8 的 长度(即H杆的长度)，则： 1) 圆C1:半径为 R1 l1 l2 h ， 圆C4:半径为 R4 l1 l2 h ， 分别是该操作机的总工作空 间的边界。它们之间的环形 而积即W(P) 。 2）圆C2:半径为 R4 l1 l2 h ， 圆C3:半径为 R1 l1 l2 h ， 分别是灵活工作空间的边界。 它们之间的环形面积即Wp(P)。
式中t是曲线 的几何参数。
再设曲线 以 为参数运动，则在空间相应于不同的 ，就 形成了一系列的以 为母线的曲线族。记作，其方程为: ： r r t , x t , , y t , , z t , 式中 是曲线 的运动参数。 曲线族的包络方程为：
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下面给出一种分组求解操作机工作空间 W0 ( Pn ) 包络界限曲 面 W0 ( Pn ) 的基本思想。 对于自由度 F 6 的机器人操作机，将操作机的前三杆(或前 三关节)划为一组，在第三杆上设置参考点P3(相当于腕点)，求 其绕各关节运动形成的曲面的包络，得到界限曲面 W (P ) 。 将后面各杆（4、5、6 杆）划为另一组，在末杆上取参考点 P6(可取手心点)，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的 包络，得到界限曲面 W (P ) 。 让 W (P ) 沿 W (P ) 运动，就形成了双参数曲面族，可用相应 的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面 W (P ) 。
Wn ( j 1) ( Pn ) Rot ( Z n j , n j ) Wn j ( Pn )
Zn-1 Zn-2
Zn
Pn — 末杆上的参考点； W(*) —参考点占据的工作空间。
工作空间边界上的界限点构成界限 曲面。界限曲面可以用不同方法求出。
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Pn
5.2.2 工作空间的确定
P a3, d4 ,0 3
1 1 T3 P 3 3
0 3
1 Rot ( z1,1) 3
利用包络公式可求出包络条件，并与上式联立，即得该 曲面方程 。
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腕点工作空间
16
PUMA560型机器人无结构限制时的工作空间轴剖面
17
2、图解法 用图解法求工作空间，得到的往往是工作空间的各类别 截面(或削截线)。它直观性强，便于和计算机结合，以显 示在可达点操作机的构形特征。 在应用图解法时．也将关节分为两组，即前三关节和后 三关节(有时为两关节或一关节)，前三关节称位置结构， 主要确定工作空间大小，后三关节称定向结构，主要决定 手部姿势。首先分别求出该两组关节所形成的腕点空间和 参考点在腕坐标系中的工作空间，再进行包络整合。
28
5、平面关节型 (SCARA) 仅平面运动有耦合性，控制较通用关节型简单。但运动 灵活性更好，铅垂平面刚性好。
SCARA型装配机器人
29ຫໍສະໝຸດ Baidu
二、特种机器人
仿生型 自由度一般较多，具有更强的适应性和灵活性，但控制 更复杂，成本更高，刚性较差。
类人型机器人
蛇形机器人
仿狗机器人
30
六足漫游机器人
六轮漫游机器人
：
式中 rt r
r r t , rt r 0
， r t r
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曲面族的包络： 设有曲面 用向量方程表示： ： r r u, v
式中 u，v 是曲面 的几何参数。 再设曲面 以 为参数运动，得到曲面族 ，其方程为: ：
C3 C2
C1
5
5.1.2 工作空间的两个基本问题
1)给出某一结构形式和结构参数的操作机以及关节变量的变 化范围，求工作空间。称为工作空间分析或工作空间正问题。
2)给出某一限定的工作空间，求操作机的结构形式、参数和 关节变量的变化范围。称工作空间的综合或工作空间逆问题。
5.2 工作空间的形成及确定 5.2.1 工作空间的形成
根据定义，有:
W ( p) Wp ( p) Ws ( p)
一般说来，工作空间都是一块或多块体积空间，它们都具 有一定的边界曲面(有时是边界线)。W(P) 边界面上的点所 对应的操作机的位置和姿态均为奇异位形。与奇异位形相应 的机器人的速度雅可比矩阵是奇异的，所以操作机的工作空 间边界面又常称作雅可比曲面，即雅可比矩阵的行列式等于 零所对应的曲面。 灵活空间内点的灵活程度受到操作机结构的影响，通常分 作两类： I类 —末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间， 表示为 Wp1 (P) ； II类 —只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间， 表示为 Wp2 (P)。 3
式中
12
例1 用解析法考察PUMA560型机器人在关节变量无结构限制 ＜360。。)的工作空间界限曲面 条件下(即0＜
13
将O4= O5= O6= P3定为手腕点，6个关节分为两组：后三关 节(4，5，6)为轴线交于W 的旋转关节；前三关节另一组。
在末杆上取参考点P6(可取手心点)，对于后三关节一组
仿鱼机器人
仿鸟机器人
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1.3.3 机器人的性能要素
自由度数 衡量机器人适应性和灵活性的重要指标，一般 等于机器人的关节数。机器人所需要的自由度数决定与其 作业任务。 负荷能力 机器人在满足其它性能要求的前提下，能够承 载的负荷重量。 运动范围 机器人在其工作区域内可以达到的最大距离。 它是机器人关节长度和其构型的函数。