6.和角平分线有关的辅助线

和角平分线有关的辅助线

未命名

一、单选题

1．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，

E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作E

F ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ；②∠BCE +∠BCD =180°；③AD=AE ；④BA +BC =2BF ．其中正确的是（ ）

A ．①②③

B ．①③④

C ．①②④

D ．①②③④ 2．如图，ABC ∆中，135ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，若6AD =，20BD =，则CD 的长为（ ）

A ．22

B ．32

C ．72

D ．4 3．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、B

E 相交于点P ，过P 作P

F AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①135APB ︒∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=；④S 四边形2

3ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

二、解答题

4．如图，ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，

PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ．

（1）求证：BD ＝CE ；

（2）若AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，求AD 的长．

5．（特例感知）

（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．

（类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．

（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，72BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．

6．如图，在ABC 中，AB AC =，100A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至点E ，DE AD =，试求ECA ∠的度数．

7．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点

A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．

（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；

（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠

（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．

8．如图，∠D ＝∠C ＝90°，点E 是DC 的中点，AE 平分∠DAB ，∠DEA ＝28°，求∠ABE 的大小．

9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．

10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE ＝AD ，求证：∠ECA ＝40°．

11．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．

12．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．

∠和13．如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．NAB ABQ

∠的平分线交于点C．

⊥；

（1）求证：BC AC

（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,

+=；

①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD BE AB

②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．

14．在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．

-+（a-2）2=0，求△ABO的面积；

（1）如图12a b

（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：

∠ADB=∠CDE；

（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．

15．如图，已知B (-1, 0)，C (1, 0)，A 为y 轴正半轴上一点，AB =AC ，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC . （1）求证：∠ABD =∠ACD ；

（2）求证：AD 平分∠CDE ；

（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？

16．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD。

求证：BE=AD。

17．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:

如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：

(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.

(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.

(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC 的数量关系，并证明你的猜想.