随机过程 第4章

2
2 n
lim D( X n ) D( l .i .m X n ) D( X );
n
n
) E( X
2
)
n
5)
若实随机变量 X， X n H , 则
E (e
it l i m X n
n
) E (e ) lim E[e
n
itX
itX n
].
11
4.1 二阶矩过程
lim d X ( t ), X lim X t X 0
t t0
15
4.2 均方连续
注 l .i .m X t X 成立的充分必要条件是
对任意的数列 t k , 若 t k t 0 ( k ), 有
l .i .m X t k X
tk t0
对 s 0 , t 0 T , 有
4.2 均方连续
定理1
i .m X t X t 0 l .i .m X s X s0 , lt. t
s s0
t t0
lim R s, t lim E X s X t E X s0 X t0 R s0 , t0 s s0 s s0
称X(t)在t处均方可微(可导)，称Y为X(t) 在 t 处的均方导数, 记为
dX t dt 或 X ( t ) .
23
4.3 均方导数
若对t∈T, X( t )都均方可微,称 { X ( t ), t T } 为 均方可微过程. 其均方导数过程 { X ( t ), t T } 仍是二阶矩过程. 类似地,可定义 { X ( t ), t T }的均方导数过程
l .i .m X t X t 0
t t0
s ,t t0
定理5′及均 方连续定义
lim E X s X t E X t 0 X t 0
即
s ,t t0
lim R s, t Rt 0 , t 0 .
18
4.2 均方连续
定理：二阶矩过程的均方连续 相关函数R(s,t)在对角线上连续. 推论 二阶矩过程{X(t),t∈T}的相关函数R(s,t) 对 t T 在点(t, t)处连续, 则它在T×T 上连续. t
T
0
T
s
R(s,t)在整个区 域T×T上连 续，等价于在对 角线上连续.
19
证
R( s , t )对 t T , 在( t , t )处连续 {X(t),t∈T}在T上均方连续
t t0


0
由s0, t0 的任意性知R(s, t)在T×T上连续. 定理2 若二阶矩随机过程{X(t),t∈T}均方连续， 则其均值函数、方差函数也在T上连续. 20
4.2 均方连续
EX.1 {N(t),t≥0}为参数为λ的Poisson过程,
均值函数 自相关函数 m N ( t ) t , RN ( s , t ) min( s , t ) 2 st
l .i .m X t X t 0
t t0
(2) 若X(t)对 t T都均方连续,称随机过程 {X(t),t∈T} 是均方连续的.
17
定理1 (均方连续准则)
4.2 均方连续
二阶矩过程 {X(t),t∈T} 在 t0∈T 处连续的充 分必要条件是 {X(t),t∈T} 的相关函数 R(s,t) 在(t0,t0) 处连续. 证 由均方收敛准则知
{ X ( t ), t T },
将随机过程的均方导数转移到实数域进行讨论 分析,引进广义二阶导数概念：
24
4.3 均方导数
定义 二元函数 f(s,t) 称为在(s, t)处广义二 阶可微, 若极限 f ( s s, t t ) f ( s s, t ) f ( s, t t ) f ( s, t ) lim ts s0
2 2
lim Yn
n
2
0. l i mYn .
n
9
4.1 二阶矩过程
四、随机变量序列的均方极限性质 定理3 (均方极限的线性性质)
设
ln. i.mX n X ， 且 l .i .m Yn Y , a , b是复常数 , 则
n
l .i .m aX n bYn aX bY ;
m ,n
lim
X
m
X
n
0
称为完备性定理,说明H 是完备的线性赋范空间. 证 仅证必要性
n
称{Xn}为均方收敛 基本列(柯西列).
若 l.i.mX n X ，
因
lim
Xm Xn Xm X Xm X
Xm Xn
m , n
0.
8
4.1 二阶矩过程
第四章 随机分析
§4.1 二阶矩过程与二阶矩随机变量空间 §4.2 随机过程的均方极限与均方连续 §4.3 随机过程的均方导数 §4.4 随机过程的均方积分
1
§4.1 二阶矩过程与二阶矩随机变量空间 一、二阶矩过程
二阶矩过程是一类重要的随机过程，在物理、 生物、通讯与控制、系统工程与管理科学等方 面，有广泛的应用. 不少实际问题通过对二阶矩的讨论就足以了 解过程的统计特征. (如 Gauss 过程) 本章着重介绍二阶矩过程的随机分析—均方 意义下的微积分.
1)得证 .
在1）中令Yn≡1，得2). 在1）中令Yn≡Xn，得3). 由 1) 与 2) 可证4 ).
12
4.1 二阶矩过程
5)
E(e
jtXn
itX
) E(e ) E(e
(1 e
it ( X n X )
itX
itXn
e )
itX
E[e
)]
E[ 1 e
it ( X n X )
2
4.1 二阶矩过程
定义 如过程XT={X( t ),t∈T},对每个t∈T,有
E { X ( t ) }
称过程是二阶矩过程.. 二阶矩过程的均值函数和协方差函数一定存在. 注：(1) 随机变量矩性质: 高阶矩存在则低阶矩一定存在, 柯西-许瓦兹不等式. (2) 正态过程是二阶矩过程.
3
必要性 由定理4之1)即得.
充分性 设 lim E X m X n c ,由
m ,n
2
Xm Xn
E Xn
E Xm Xn
2 m n

2
E X EX X EX X
m m n

2

asn , m
14
0
由柯西均方收敛准则知{Xn}均方收敛.
对任意 t 0, R X ( t , t ) 3 4 t 2 是连续函数， 故X ( t )是均方连续过程 .
22
§4.3 随机过程的均方导数 一、均方导数概念 定义 {X(t),t∈T}是二阶矩过程, 对于确定的 t∈T , 若存在 Y∈H, 使得
X t t X t lim Y t 0 t
t t0
随机过程有类似随机变量序列 的均方收敛意义下的性质. 定理5′(洛易夫均方收敛准则) X(t) 在 t0 处收敛的充分必要条件是极限
s ,t t0
lim E X ( s ) X ( t ) 存在.
16
4.2 均方连续
二、均方连续 定义：(1) 称二阶矩过程{X(t),t∈T}在t0∈T处均 方连续,如果
证
aX n bYn aX bY a X n X bYn Y
a X n X b Yn Y 0
asn
10
n
4.1 二阶矩过程
定理4 (均方极限的数字特征)
设
且 l .i .m X n X，
n
1)
2)
定理1 H为线性空间,即设X, Y∈H, 则对任意 复数 a, b, 有aX+bY∈H. 范数:
X ˆ [ E ( X )]
2
1 2
由许瓦兹不等式可知 H构成一个线性赋范空间. 距离： d ( X , Y ) ˆ X Y H构成一个距离空间
5
4.1 二阶矩过程
三、随机变量序列的均方极限 定义 设Xn, X∈H，n=1,2, …,如果
] Et( X n X )
t X n X方收敛,其相应的数学 期望数列,方差数列及特征函数列也收敛.
13
4.1 二阶矩过程
定理5 (洛易夫均方收敛判别准则) 随机变量序列{Xn}∈H 均方收敛的充分必要 条件是极限 证
lim E X m X n 存在. m ,n
2
4.1 二阶矩过程
二、二阶矩随机变量空间H
定义 称定义在概率空间(Ω,F,P)上的具有有限二阶 矩的随机变量的全体组成的集合
H={X | E[|X|2]<+∞}
为二阶矩随机变量空间.
注： 在 H 中称 X 与 Y 相等,若 P{ X Y } 1 (记为X Y，a .e .)
4
4.1 二阶矩过程
§4.2 随机过程的均方极限与均方连续 本节将随机变量序列的均方收敛定义及前述 各定理推广到连续参数集的情形，并引进均方 连续的概念. 一、过程的均方极限 定义 设(X(t), t∈T}是二阶矩过程, X∈H, 如果
i .m X t X 称X(t) 均方收敛于X,记为 lt. t
0
t t0
证 1）仅证实随机变量的情形
E[ X mYn ] E ( XY ) E ( X mYn XY ) E[ XmYn XmY XmY XYn XYn XY XY XY] E ( X m X )(Yn Y ) E X (Yn Y ) E ( X m X )Y X m X Yn Y X Yn Y X m X Y 因 X， Y H， X , Y , 令m , n ,