线性代数6.5-线性变换的矩阵表示
线性代数第六章第一节——线性空间的定义与性质
解 (1)不构成子空间. 因为对
1
A B
0
2
有 A B
0
0 0
W1
0 0
0 0
W1 ,
0 0
线性代数
即 W1对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
0 0 0
W2 , 即W2非 空.
( 2) 因
0 0 0
对任意
a1 b1 0
定义１ 设 V是一个非空集合，R为实数域．如果
对于任意两个元素 , V，总有唯一的一个元
素 V 与之对应，称为 与 的和，记作
若对于任一数 R 与任一元素 V ，总有唯
一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积，记作
( 3) 在V中存在零元素0, 对任何 V , 都有有零元素
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使 有负元素
0;
(5) 1 ;
(6) ; 对数乘运算的结合律和分配律
(7) ;
数 乘 : k (a , b) (lg a , bk ), k R
V是不是向量空间
? 为 什 么?
线性代数
解
V不是向量空间
.
显 然,V对 加 法 封 闭,因 为 两 个 正 实 数 的 和 与
积
还 是 正 实 数.
但V对乘法不封闭
.
比如V中的元素(1, b), 对任意实数k ,
k (1, b) (lg 1, bk ) (0, bk ) V .
1 ; 0 0.
4．如果 0 ，则 0 或 0 .
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示线性代数是数学中的一个重要分支，其中线性变换是其中的核心概念之一。
线性变换是指在向量空间中进行的保持向量加法和数量乘法性质的变换。
研究线性变换的一个重要方法是使用矩阵来表示线性变换，这为我们的计算和分析提供了方便和效率。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量加法和数量乘法性质的变换。
在数学上，我们可以将线性变换表示为一个函数T，它将向量x映射到向量T(x)。
线性变换需要满足以下两个性质：- 加法性质：对于任意的向量x和y，有T(x + y) = T(x) + T(y)，即线性变换保持向量的加法关系。
- 乘法性质：对于任意的标量c和向量x，有T(cx) = cT(x)，即线性变换保持向量的数量乘法关系。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，这种表示方式被广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。
我们将线性变换T表示为一个矩阵A，然后通过矩阵乘法的方式来实现线性变换。
设向量x的坐标表示为[x1, x2, ..., xn]，线性变换T对应的矩阵A的维度为n×n。
那么，线性变换T(x)可以表示为矩阵乘法的形式T(x) =A·x。
其中，A·x表示矩阵A与向量x的乘积，它的计算方式为将矩阵A的每一行乘以向量x的每一列，再将结果相加。
3. 线性变换的几何意义线性变换的几何意义是研究线性变换如何影响向量的几何特性。
对于平面上的线性变换来说，它可以改变向量的长度、方向和位置。
具体来说，线性变换可以实现以下几种几何操作：- 缩放：线性变换可以将向量的长度进行缩放，比如将向量拉长或压缩。
- 旋转：线性变换可以改变向量的方向，实现向量的旋转。
- 平移：线性变换可以将向量整体移动到平面上的另一个位置。
4. 矩阵表示的优势与应用使用矩阵表示线性变换具有以下优势和应用：- 简化计算：使用矩阵表示线性变换可以将复杂的计算转化为简单的矩阵乘法，提高计算效率。
- 线性组合：矩阵乘法具有线性组合的性质，可以方便地进行多个线性变换的组合。
高等数学线性代数教材目录
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
线性变换的矩阵表示与相似矩阵
线性变换的矩阵表示与相似矩阵线性代数是数学中一个重要的分支，研究向量空间和线性变换的性质以及相应的代数结构。
在线性代数中，线性变换是其中一个重要的概念，它可以用矩阵表示，并且与相似矩阵有着密切的关系。
一、线性变换的矩阵表示线性变换是指保持向量空间中的线性结构不变的变换。
在二维或三维向量空间中，线性变换可以用一个矩阵来表示。
以二维向量空间为例，设有向量v=(v₁, v₂)，线性变换v将其映射为向量v=(v₁, v₂)，则可以使用矩阵v来表示v的线性变换，即：[v₁] [v₁₁, v₁₂] [v₁][v₂] = [v₂₁, v₂₂] × [v₂]其中，矩阵v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]表示线性变换v的矩阵表示。
这种矩阵表示的好处在于可以简化线性变换的计算，尤其是在高维向量空间中。
二、相似矩阵的定义相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
设有两个v×v矩阵v和v，如果存在一个可逆矩阵v使得v=v⁻¹vv成立，则称矩阵v和v相似，矩阵v称为相似变换矩阵。
三、线性变换的矩阵表示与相似矩阵的联系线性变换的矩阵表示与相似矩阵有着密切的联系。
以二维向量空间为例，设有一个线性变换v的矩阵表示为v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，我们希望找到一个矩阵v使得v=v⁻¹vv中的矩阵v与v相似。
根据相似矩阵的定义，我们可以得到v=v⁻¹vv的形式。
对于二维向量空间来说，v为一个2×2的可逆矩阵，假设v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，则v可表示为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]若要使得v=v⁻¹vv成立，只需令v⁻¹=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]即可。
则v的形式为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]通过矩阵相乘的运算可以得到：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] × [v₂₁, v₂₂]由此可以得到v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]与v=[v₁₁, v₁₂;v₂₁, v₂₂]相似的条件为：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] = [v₂₁, v₂₂]也就是说，要使得两个矩阵相似，只需保证其对应位置上的元素相等即可。
线性变换的矩阵表示
n
T ( ) T ( x i i ) x i T ( i )
n
n
i 1
x1 x (T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n )) 2 xn
i 1
i 1
x1 x ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn 即 x1 x1 x x T [( 1 , 2 , , n ) 2 ] ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn xn 上式唯一地确定了一个变换T, 并且, 所确定的变 换T是以A为矩阵的线性变换. 反之, 以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定. 结论: 在Vn中取定一个基后, 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
0 1 0 0 0 0 2 0 . A 0 0 0 n 1 0 0 0 0 例3: 在R3中, T表示将向量投影到xoy平面的线性 变换, 即 T ( xi yj zk ) xi yj , (1) 取基为i , j , . k , 求T的矩阵 (2) 取基为 i , j , i j k , 求T的矩阵. 1 0 0 i 0 , j 1 , k 0 . 其中 0 0 1 1 0 0 解(1): Ti i 即 T ( i , j , k ) ( i , j , k ) 0 1 0 . j, Tj 0 0 0 T k 0
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明: 同一个线性变换在不同的基下 的矩阵不同. 那么, 这些矩阵之间有什么关系呢?
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示线性变换是数学中的重要概念，它在许多领域都有广泛应用。
线性变换可以通过矩阵表示，这种表示形式方便计算和讨论线性变换的性质。
本文将介绍线性变换的矩阵表示以及相关概念和性质。
1. 线性变换的定义线性变换是指满足以下两个条件的映射：(1) 对于任意向量u和v以及实数a和b，线性变换T满足T(a*u +b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
(2) 线性变换T对于向量的加法和数乘运算封闭，即T(u + v) = T(u) + T(v)，T(k*u) = k*T(u)（k为实数）。
2. 矩阵表示的意义线性变换的矩阵表示可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算，从而方便计算和分析线性变换的性质。
对于任意线性变换T，可以找到一个矩阵A，使得对于任意向量u，有T(u) = A*u。
矩阵A被称为线性变换T的矩阵表示。
3. 线性变换的矩阵表示方法线性变换的矩阵表示可以通过以下步骤得到：(1) 选择标准基下的基向量，分别记作e1, e2, ..., en。
(2) 对于每个基向量ei，计算线性变换T(ei)的坐标表示，得到矩阵A的第i列。
(3) 将所有计算得到的列向量排列起来，得到矩阵A。
4. 矩阵表示的性质线性变换的矩阵表示具有以下性质：(1) 线性变换的合成对应于矩阵的乘法。
对于线性变换T1和T2，它们的矩阵表示分别为A和B，则它们的合成线性变换对应的矩阵表示为A*B。
(2) 线性变换的逆对应于矩阵的逆。
若线性变换T存在逆变换，它们的矩阵表示分别为A和A^-1，则逆变换对应的矩阵表示为A^-1。
(3) 线性变换的像空间和核空间可以通过矩阵表示进行刻画。
像空间对应于矩阵的列空间，而核空间对应于矩阵的零空间。
5. 矩阵表示的例子考虑一个二维平面上的旋转变换，将向量绕原点逆时针旋转θ度。
选择标准基下的基向量为e1 = (1, 0)和e2 = (0, 1)。
对于基向量e1，旋转变换后的坐标表示为cosθ*e1 - sinθ*e2。
线性变换的矩阵表示式
§5 线性变换的矩阵表示式上节例10中，关系式()T x Ax =()n x R ∈ 简单明了地表示出中的一个线性变换. 我们自然希望中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到n n Ae Ae ==αα,,11 （n e e ,,1 为单位坐标向量），即()n i Ae i i ,,2,1 ==α，可见如果线性变换有关系式()Ax x T =，那么矩阵应以()i e T 为列向量. 反之，如果一贯个线性变换使()()n i e T i i ,,2,1 ==α，那么必有关系式()11122(),,()n n n T x T e e x T x e x e x e ==+++⎡⎤⎣⎦1122()()()n n x T e x T e x T e =+++()11(),,()(,,)n n T e T e x x Ax αα===总之，中任何线性变换，都能用关系式()()nR x Ax x T ∈=表示，其中1((),,())n A T e T e =.把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有定义7 设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基n αα,,1 ，如果这个基在变换下的象（用这个基线性表示）为11112121212122221122(),(),(),n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩记()()()()n n T T T αααα,,,,11 = ，上式可表示为11(,,)(,,)n n T A αααα=， （5）其中1111n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么，就称为线性变换在基n αα,,1 下的矩阵 .显然，矩阵由基的象()()n T T αα,,1 唯一确定.如果给出一个矩阵作为线性变换在基n αα,,1 下的矩阵，也就是给出了这个基在变换下的象，那么根据变换保持线性关系的特性，我们来推导变换必须满足的关系式：中的任意元素记为in i i x αα∑==1，有 11()()n n i i i i i i T x x T ααα====∑∑121((),,())n n x x T T x αα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭121(,,)n n x x A x αα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即112211(,,)(,,)n n n n x x x x T A x x αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （6）这个关系式唯一地确定一个变换，可以验证所确定的变换是以为矩阵的线性变换.总之。
《线性变换的矩阵》课件
3
基变换与矩阵的关系
基变换可以用矩阵表示，矩阵的运算可以用来实 现基变换。
06
应用实例与习题解析
线性变换在实际问题中的应用
图像处理
线性变换可用于图像的缩放、旋 转和平移等操作，实现图像的变
换和增强。
机器人控制
线性变换在机器人控制中用于描述 机器人的关节运动和姿态变化。
物理模拟
在物理模拟中，线性变换可用于描 述物体的运动轨迹和速度变化。
矩阵乘法与线性变换的关系
矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，它可以用来表示 线性变换。当一个矩阵乘以一个向量时，相当于对向量进 行了一次线性变换。因此，通过矩阵乘法，可以将线性变 换转化为数学运算，方便进行计算和分析。
矩阵乘法的规则是，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩 阵的行数，且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列 数等于第二个矩阵的列数。在进行矩阵乘法时，需要按照 特定的顺序进行计算，即先进行行运算再进行列运算。
一个向量空间存在一组基 ，且基的个数是有限的。
线性变换在不同基下的表示形式
矩阵表示法
线性变换可以用矩阵表示，不同 基下的矩阵不同。
矩阵的运算
线性变换的加法、数乘、乘法等 运算可以用矩阵的运算实现。
基变换与线性变换的关系
1 2
基变换
改变向量空间的基底，不改变向量空间的结构。
线性变换与基变换的关系
线性变换在不同基下的表示形式不同，但变换性 质不变。
逆矩阵定义
对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B ，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）， 则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵的求法
通过高斯消元法或LU分解等方法求解 。
逆矩阵是唯一的，逆矩阵与原矩阵的 乘积为单位矩阵。
线性变换的矩阵表示式
0 1 0 0 0 2 A 0 0 0 0 0 0
0 0
n 1
0
例3 在 R3中,T表示将向量投影到xOy平面的线性
变换,即
(1)取基为Ti(,xji,
k,
yj zk) xi 求T的矩阵;
yj ,
(2)取基为
i ,
j,
i
j
k,
求T的矩阵.
解 即
Ti i ,
(1)
TTkj
j, 0,
1
T (i , j , k ) (i , j , k ) 0
0 1
0 0.
0 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
T i ,
(2)
T T
j ,
i j
,
即
1 0 1
T ( , , ) ( , , ) 0 1 1.
0 0 0
此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵．
i 1
i 1
x1
(T ( 1),T (
2),
,T (
n))
x2
xn
x1
( 1 , 2 , , n)A x2 ,
xn
即
T ( 1 , 2 ,
,
n)
x1 x2
( 1 , 2 ,
,
n) A
x1 x2 .
x
n
xn
上式唯一地确定了一个变换T ,并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换.
x
n
xn
可知 : 在基 1 , 2 , , n下,
的坐标为
x1
x2 ;
xn
T ( )的坐标为
x1
T ( ) A x2 .
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表⽰千⾥之⾏始于⾜下，重视基础才是本质。
在矩阵论中提到的线性变换是⼀个相对抽象的概念，先给出相关定义定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到⾃⾝的⼀个映射，使对任意向量x ∈V ，V 中都有唯⼀的向量y 与之对应，则称T 是V 的⼀个变换或者算⼦，记Tx =y ，称y 为x 在T 下的象，⽽x 是y 的原象（象源）这个T 类似于数学分析中的函数y =f (x )，不过那⾥是数量函数，这⾥是向量函数。
如果变换T 满⾜⼀定的线性变换要求T (kx +ly )=kT (x )+lk (y )，则T 为V 的⼀个线性变换。
概念类⽐到数量函数，线性变换T 的也是很好理解的。
但是在具体计算过程中，我们怎么把抽象的概念具体化？这就涉及到线性变换的矩阵表⽰。
从定义⼊⼿的话，如果需要确定线性变换T ，则需要找到V 中所有向量在T 下的象。
事实上不需要这么⿇烦的。
V 中所有向量都可以由V 的基向量组(x 1,x 2,……,x n )线性表⽰，加上T 是V 的线性变换，则V 中所有象都可以由基象组(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)线性表⽰。
设T 是线性空间V n 的线性变换，x ∈V n ,且x 1,x 2,……,x n 是V n 的⼀个基，则x =a 1x 1+a 2x 2+……+a n x n Tx =a 1(Tx 1)+a 2(Tx 2)+……+a n T (x n )令Tx 1=a 11x 1+a 21x 2+……+a n 1x n Tx 2=a 12x 1+a 22x 2+……+a n 2x n ……Tx n =a 1n x 1+a 2n x 2+……+a nn x n 在处理具体问题时，采⽤矩阵乘法的形式表⽰上述公式组：T (x 1,x 2,……,x n )=(Tx 1,Tx 2,……,Tx n )=(x 1,x 2,……,x n )A 这个A 称为线性变换T 在V n 的基x 1,x 2,……,x n 下的矩阵，简称A 为T 的矩阵。
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算线性变换的矩阵表示——线性变换与矩阵的关系与计算在数学中，线性变换是一类重要的变换，具有广泛的应用背景。
线性变换可以通过矩阵来表示，这为我们在计算和理解线性变换提供了便利。
本文将介绍线性变换与矩阵的关系，以及如何进行线性变换的矩阵计算。
一、线性变换与矩阵的关系线性变换是指保持直线性质和原点不动的变换。
对于一个n维向量空间V中的向量x，若存在一个线性变换T，将向量x映射为向量y，即y=T(x)，则称T为从V到V的一个线性变换。
线性变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
设V是n维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}，在这组基下，对于向量x和y，若y=T(x)，则存在一个n×n的矩阵A，使得y=Ax。
这个矩阵A就是线性变换T对应的矩阵表示。
矩阵表示的好处在于，通过矩阵的乘法运算，我们可以将线性变换转化为矩阵的计算，从而简化问题的求解过程。
二、线性变换的矩阵表示对于线性变换T，我们希望找到它对应的矩阵表示A。
假设V是n 维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}。
根据线性变换的定义，对于向量vi，有T(vi)=wi，我们可以将T(vi)表示为基向量w1,w2,...,wn的线性组合。
设T(vi)=w1i+w2i+...+wni，其中wi是基向量wi的系数。
我们可以将系数wi构成一个列向量Wi，将基向量构成一个矩阵W。
则有W=[w1,w2,...,wn]，Wi=AW，其中A是线性变换T对应的矩阵表示。
求解矩阵A的方法有很多种，最常用的方法是利用线性变换T在基向量上的作用。
将基向量vi映射为向量wi，我们可以在基向量的基础上用线性组合的方式得到wi。
将所有的基向量和对应的映射向量展开，我们可以得到矩阵A的表达式。
三、线性变换的矩阵计算在得到线性变换的矩阵表示后，我们可以利用矩阵的乘法运算对线性变换进行计算。
设矩阵A对应线性变换T，向量x对应向量y，即y=Ax。
同济版线性代数笔记
' a21 a22 L a2 i L a2 n
M
M
M
M
M
M
M
M
' an1 an 2 L (ani + ani ) L ann
' an1 an 2 L ani L ann
（8）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元 素上去，行列式不变。如下所示
a11 L a1i L a1 j L a1n a21 L a2i L a2 j L a2 n M M M M an1 L ani L anj L ann =
t
阶行列式，共有 n 个数，排成 n 行 n 列，其计算如下
2
⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜ M ⎜ ⎝ an1
a12 a22
M an 2
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ = ∑ (−1)t a1 p1 a2 p2 L anpn M ⎟ ⎟ L ann ⎠
（3）
其中的 p1 p2 L pn 为自然数 1, 2, L , n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数。上式共有 n!项。 行列式简记作 det( aij ) 。 特殊行列式： （1）对角阵，如下所示
的代数余子式。关于余子式引出的定理有 （1）一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除（i，j）元 aij 外都为零，那么这行 列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，即 D = aij Aij 。 （2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的 代数余子式乘积之和。即
线性变换的矩阵表示与坐标变换
线性变换的矩阵表示与坐标变换线性变换是线性代数中非常重要的概念之一。
它是指将一个向量空间中的向量按照一定的规则进行变换的操作。
线性变换可以通过矩阵进行表示，并且与坐标变换之间存在着紧密的联系。
一、线性变换的定义与性质线性变换是指满足以下两个性质的向量空间之间的映射：1. 对于任意的两个向量u和v，线性变换T(u+v) = T(u) + T(v)；2. 对于任意的标量k和向量u，线性变换T(ku) = kT(u)。
线性变换具有一些重要的性质：1. 零向量的线性变换结果仍为零向量：T(0) = 0；2. 线性变换保持向量空间中向量间的线性组合关系；3. 线性变换将向量空间中所有向量的零向量映射到目标向量空间的零向量。
二、矩阵表示线性变换线性变换可以通过矩阵来表示。
假设V和W是两个向量空间，维数分别为n和m，线性变换T: V→W可以表示为一个m×n的矩阵A。
对于向量v∈V，其在基底B={b1,b2,...,bn}下的坐标表示为[v]B =[x1,x2,...,xn]^T，T(v)在基底B'={b1',b2',...,bm'}下的坐标表示为[T(v)]B'= [y1,y2,...,ym]^T，则矩阵A表示了从基底B到基底B'的坐标变换关系。
具体而言，矩阵A的第j列为T(bj)在基底B'下的坐标表示的列向量。
通过矩阵向量乘法，可以得到变换后向量的坐标表示。
即：[T(v)]B' = A[v]B三、从坐标变换到线性变换以上我们讨论了线性变换如何通过矩阵表示，现在我们来看看如何从给定的坐标变换得到对应的线性变换矩阵。
考虑二维向量空间的坐标变换示例。
假设向量空间V的基底为B={e1,e2}，向量空间W的基底为B'={e1',e2'}。
将V中的向量v表示为[v]B = [x1,x2]^T，W中的向量T(v)表示为[T(v)]B' = [y1,y2]^T。
大一线性代数知识点总结
大一线性代数知识点总结一、向量与矩阵1.1 向量的概念与性质向量是线性代数中的基本概念，它是指具有大小和方向的量。
在数学中，向量通常用箭头表示，并且可以表示为n维空间中的有序数组。
向量的加法与数乘定义为：- 两个向量的加法：设有两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，则它们的和定义为：a + b = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。
- 数乘：设有一个向量a=(a1, a2, ..., an)，一个标量k，那么k乘以a定义为：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
1.2 矩阵的概念与基本运算矩阵是由m行n列元素组成的长方形阵列，它的基本形式可以表示为：A= ( a11 a12 ... a1n )( a21 a22 ... a2n )( ... ... ... ... )( am1 am2 ... amn )其中，aij表示第i行第j列的元素。
矩阵的加法与数乘定义为：- 矩阵的加法：设有两个矩阵A与B，它们是同型矩阵，其相应元素相加即得到矩阵的和：A+B。
- 数乘：设有一个数k，以及一个矩阵A，那么可以通过数量k乘以矩阵A的每一个元素得到新的矩阵kA。
1.3 零向量与单位矩阵零向量是指所有分量都为零的向量，通常用0表示，对于n维空间而言，它的零向量可以表示为(0, 0, ..., 0)。
单位矩阵是指在主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵，通常用I表示。
对于n×n的单位矩阵可以表示为：I = ( 1 0 ... 0 )( 0 1 ... 0 )( ... ... ... )( 0 0 ... 1 )1.4 范数与内积向量的范数是指向量的长度，通常可以表示为||v||。
对于n维向量v=(v1, v2, ..., vn)，它的范数定义为：||v|| = √(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)。
线性变换的矩阵
线性变换可以用矩阵表示，矩阵 的行数和列数分别与输入和输出 空间的维数相等。
线性变换的性质
01
02
03
线性变换具有齐次性，即对于任 意标量k和任意向量x，有 kT(x)=T(kx)。
线性变换具有加法性质，即对于 任意两个向量x和y，有 T(x+y)=T(x)+T(y)。
线性变换具有数乘性质，即对于 任意标量k和任意向量x，有 T(kx)=kT(x)。
04
线性变换的矩阵表示方法
向量空间中的线性变换
线性变换的定义
线性变换是向量空间中一种保持向量加法和标量乘法不变的映射。
线性变换的性质
线性变换具有传递性、加法性质、数乘性质和结合性质。
线性变换的分类
根据映射的性质，线性变换可以分为可逆线性变换和不可逆线性 变换。
向量空间中的矩阵表示
矩阵的定义
矩阵是数学中一个重要的概 念，它由数字组成，按照一 定的排列顺序形成。
线性变换的几何意义
线性变换可以理解为在向量空间中，将一个向量 进行平移、旋转、缩放等几何变换。
线性变换可以用来描述物理现象，如力的合成与 分解、速度和加速度的合成等。
线性变换可以用来解决实际问题，如图像处理、 信号处理、控制系统等领域。
02
矩阵与线性变换的关系
矩阵表示线性变换
01
矩阵是线性变换的一种简洁表示形式，可以将线性变换中的 变换关系用矩阵的形式表示出来。
矩阵乘法的结果是一个新的向量，这个向量的坐标值是原向量在新的基下 的坐标值。
线性变换的矩阵表示
01
对于一个给定的线性变换，可 以找到一个矩阵，使得该矩阵 左乘任意向量时，等价于对该 向量进行该线性变换。
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
【例5-10】
在上一节【例5-7】的平面解析几何中，定义了将平面 绕原点O逆时针旋转θ角的线性变换Tθ.取定R2中的基 ε1=(1,0)T,ε2=(0,1)T，则容易验证Tθ在这组基下的矩阵即为
(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
其中vi(i=1,2,…,n)是V中任意的向量.根据定理52，则存在V上的一个线性变换σ，满足
σ(αi)=vi,i=1,2,…,n 由于 ［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］ =(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A 故矩阵A是σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.因此 φ(σ)=A.这样φ是一个满射.
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
【例5-11】
在空间R3中，取定一个直角坐标系{O;e1,e2,e3}.对于R3 中的任意一个向量xe1+ye2+ze3，令 ρ(xe1+ye2+ze3)=xe1+ye2，显然ρ是R3的一个线性变换.又 e1,e2,e3是R3的一组基，直接验证可得ρ关于这组基的矩阵 表示为
称式（5-8）的矩阵A为σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
提示
σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示A是式（5-7） 右端α1,α2,…,αn的系数矩阵的转置；矩阵A的第j 列(a1j,a2j,…,anj )T就是σ(α j)在基α1,α2,…,αn下 的坐标向量，j=1, 2,… ,n.
线性变换的矩阵表示 及相似矩阵
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
线性变换矩阵表示
T
(
2
)
a12 1
a22
2
an2 n ,
T ( n ) a1n1 a2n 2 ann n ,
记T (1 , 2 , , n ) (T (1 ),T ( 2 ), ,T ( n )), 上
式可表示为
T (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n ) A, (5)
显然,若A是T的矩阵,则T的秩就是R( A). 若T的秩为r,则T的核ST的维数为n r.
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第六章小结
线性空间作为一般的立体空间的推广，是一 个定义了两种运算，并且这两个运算满足一定规 则的集合；线性空间的元素称为向量，因而可以 定义线性空间的基与维数，并借助于坐标建立一 一对应，利用过渡矩阵，在同一线性空间的两组 不同基及坐标之间建立联系。
x1
T (
)
A
x2 xn
,
T ( ) A .
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例11 在P[ x]3中,取基
p1 x3 , p2 x2 , p3 x, p4 1, 求微分运算D的矩阵.
Dp1
3x2
0
p1
3
p2
0
p3
0
p4 ,
解
Dp2
2x
0
p1
0
p2
2
p3
0
p4 ,
Dp3 1 0 p1 0 p2 0 p3 1 p4 ,
a21 a11
.
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Ex.6 设线性变换在1 ,2 ,3下的矩阵是
1 2 3
A 4
5
6
,
求在
基3
,1
,2下
的
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即 x1 x1 (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x 2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A x 2 . T M M x n xn
上式唯一地确定了一个 变换T , 并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换 .
一、线性变换的矩阵表示式
设n阶矩阵 a 11 a 12 L a 1n a 21 a 22 L a 2 n ( , ,L , ), A= αn = α1 α2 M M M L a nn a n1 a n 2 a 1i a 2i , 其中α i = 定义 R n 中的变换 y = T ( x )为 M a ni
( 2)
r Tα = i = α , r Tβ = j = β , r Tγ = i + r = α + β , j
即
1 0 1 T (α , β , γ ) = (α , β , γ ) 0 1 1 . 0 0 0
此例表明： 此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵． 有不同的矩阵．
T ( x ) = Ax , ( x ∈ R n ),则T为线性变换 . 设 e 1 , e 2 ,L , e n 为单位坐标向量 , 那么 a 11 a 12 L a 1n 1 a 21 a 22 L a 2 n 0 A e1 = M = α 1 , LL , M M M 0 a n1 a n 2 L a nn a 11 a 12 L a 1n 0 a 21 a 22 L a 2 n 0 Aen = M = α n , M M M 1 a n1 a n 2 L a nn
L a1n L a2 n , L L L ann
那末， 那末，A 就称为线性变换 T 在基 α 1 ,α 2 ,L ,α n下的 矩阵． 矩阵．
显然, 矩阵A由基的象 T (α 1),L , T (α n )唯一确定.
现在, 假设A是线性变换 T在基 α 1 ,α 2 ,L ,α n 下 的矩阵 , 也就是说基 α 1 ,α 2 ,L ,α n 在变换 T下的象为 T (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A 那么, 变换T需要满足什么条件呢 ?
D p1 = 3 x 2 = 0 p1 + 3 p 2 + 0 p 3 + 0 p 4 , D p 2 = 2 x = 0 p1 + 0 p 2 + 2 p 3 + 0 p 4 , D p 3 = 1 = 0 p1 + 0 p 2 + 0 p 3 + 1 p 4 , D p 4 = 0 = 0 p1 + 0 p 2 + 0 p 3 + 0 p 4 ,
所以D 所以 在这组基下的矩阵为
0 3 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 0 0 0 1 0
例2 实数域 R上所有一元多项式的集 合, 记作R[ x ], R[ x ]中次数小于 n的所有一元多项式 (包括零多项 式)组成的集合记作 R[ x ]n , 它对于多项式的加法和 数与多项式的乘法 , 构成R上的一个线性空间 .
在线性空间 R[ x ]n 中, 定义变换 d f ( x ), f ( x ) ∈ R[ x ]n σ ( f ( x )) = dx 则由导数性质可以证明 : σ是 R[ x ]n 上的一个线性 变换, 这个变换也称为 微分变换 .
现取 R[ x ]n 的基为1, x , x 2 ,L , x n − 1 , 则有
a 11 a 12 A= , a 21 a 22 求T在基 α 2 ,α 1 下的矩阵 .
解
0 1 (α 2 ,α 1) = (α 1 ,α 2 ) , 1 0 0 1 P= , 1 0 求得 P
−1
即
0 1 = , 1 0
于是T在基(α 2 ,α 1)下的矩阵为
n
二、线性变换在给定基下的矩阵
定义１ 设 T 是线性空间 Vn中的线性变换，在 Vn 定义１ 中的线性变换， 中取定一个基α 1 ,α 2 ,L,α n，如果这个基在变换 T 下的象为 T (α 1 ) = a11α 1 + a21α 2 + L + an1α n , T (α ) = a α + a α + L + a α , 2 12 1 22 2 n2 n LLLLLLLLLLL T (α n ) = a1nα 1 + a2 nα 2 + L + annα n ,
即
α i = A e i = T (e i )
( i = 1,2,L , n)
因此 , 如果一个线性变换 T有关系式 T ( x ) = Ax , 那么矩阵 A应以T (e i )为列向量 . 反之, 如果一个线性变换 T使T (e i ) = α i ( i = 1,2, L , n), 那么 T ( x ) = T [(e 1 , e 述, 综上所述 可知
R 中任何线性变换 T , 都可用关系式 T ( x ) = Ax 表示, 其中 ( x ∈ R n)
A = (T (e 1), T (e 2 ),L , T (e n )) a 11 a 12 L a 1n a 21 a 22 L a 2 n , = M M M L a nn a n1 a n 2 e 1 , e 2 ,L , e n 为单位坐标向量 .
记T (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) = (T (α 1 ), T (α 2 ),L , T (α n )), 上式
可表示为
T (α 1 ,α 2 ,L,α n ) = (α 1 ,α 2 ,L,α n ) A
其中
a11 a21 A= L a n1
a12 a 22 L an 2
T ( β1 , β 2 ,L, β n ) = ( β1 , β 2 ,L, β n )B
于是
( β 1 , β 2 ,L , β n )B = T ( β 1 , β 2 ,L , β n )
= T [(α 1 ,α 2 ,L,α n )P ] = T[(α1 ,α2 ,L,αn )]P
= (α 1 ,α 2 ,L,α n ) AP
若A是T的矩阵, 则T的秩就是 R( A).
若T的秩为 r , 则T的核 S T 的维数为 n − r .
由基 α 1 ,α 2 ,L,α n 到基 β 1 , β 2 ,L, β n 的过渡矩阵为 V P ， n中的线性变换 T 在这两个基下的矩阵依次为 A 和 B ，那末 B = P − 1 AP .
证明 Q ( β 1 , β 2 ,L, β n ) = (α 1 ,α 2 ,L,α n )P
T (α1 ,α 2 ,L,α n ) = (α1 ,α 2 ,L,α n ) A,
T (α )的坐标为
x1 x2 T (α ) = A . M xn
因此按坐标表示, 因此按坐标表示,有 因此按坐标表示 有
T (α ) = Aα .
例1 在 P[ x ]3 中, 取基 p1 = x 3 , p 2 = x 2 , p 3 = x , p 4 = 1, 求微分运算 D的矩阵 . 解
∀α ∈ V n , 设 α = ∑ x i α i , 有
n
T (α ) = T ( ∑ x i α i ) = ∑ x i T (α i )
i =1 i =1
n
i =1
n
x1 x2 = (T (α 1), T (α 2 ),L , T (α n )) M xn x1 x2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A , M xn
例3 在 R 3中, T表示将向量投影到 xOy平面的线性 变换,即 r r r r r T ( xi + yj + zk ) = xi + yj , r r r (1)取基为 i , j , k , 求T的矩阵; r r r r r ( 2)取基为 α = i , β = j , γ = i + j + k , 求T的矩阵 . r r Ti = i , 解 r r (1) Tj = j , r r Tk = 0, 1 0 0 r r r r r r T ( i , j , k ) = ( i , j , k ) 0 1 0 . 即 0 0 0
σ (1) = 0,
LLL ,
σ ( x ) = 1,
σ ( x 2) = 2 x ,
σ ( x n − 1) = ( n − 1) x n − 2
因此, σ在基1, x , x 2 ,L , x n − 1 下的矩阵为 0 0 1 0 L 0 0 0 2 L A=M M M M 0 0 0 L n − 1 0 0 0 L 0
以A为矩阵的线性变换 T由上式唯一确定 .
结论
在V n中取定一个基后 ,由线性变换 T可唯一地 确定一个矩阵 A,由一个矩阵 A也可唯一地确定一 个线性变换 T .
在给定一个基的条件下 , 线性变换与矩阵是一 一对应的.
从关系式 x1 x1 (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x 2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A x 2 T M M xn x n 可知 : 在基 α 1 ,α 2 ,L ,α n 下, x1 x2 α的坐标为 α = ; M xn
= T ( x1 e1 + x 2 e 2 + L + x n e n) = x 1 T ( e 1) + x 2 T ( e 2 ) + L + x n T ( e n ) = (T (e 1), T (e 2 ),L , T (e n )) x = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x = Ax .