欧式与美式期权二叉树定价及程序实现

姓名：卢众
专业：数学与应用数学
学号： 08101116
指导老师：许志军
2011 年 6 月 3 日
目录
一、期权二叉树定价简介 ............................ 错误！未定义书签。

二、假设 .......................................... 错误！未定义书签。

三、符号说明 ...................................... 错误！未定义书签。

四、欧式二叉树模型 ................................ 错误！未定义书签。

1、一步二叉树模型.............................. 错误！未定义书签。

2、风险中性定价原理............................ 错误！未定义书签。

3、两步二叉树模型.............................. 错误！未定义书签。

4、多步二叉树模型.............................. 错误！未定义书签。

五、美式二叉树模型 ................................ 错误！未定义书签。

1、单步二叉树.................................. 错误！未定义书签。

2、多步二叉树.................................. 错误！未定义书签。

六、对于其他标的资产的期权的定价 .................. 错误！未定义书签。

1、支付连续股息收益率股票期权的定价............ 错误！未定义书签。

2、股指期权期权的定价.......................... 错误！未定义书签。

3、货币期权.................................... 错误！未定义书签。

4、期货期权.................................... 错误！未定义书签。

七、实例解析 ...................................... 错误！未定义书签。

八、程序 .......................................... 错误！未定义书签。

一、期权二叉树定价简介
期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。

在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。

二、假设
1、市场上无套利机会存在；
2、所有的数据来源可靠；
三、符号说明
编号
符号 意义 1
无风险利率 2
股票上涨比率 3
股票下跌比率 4
股票初始价格 5
期权价值 6
时间步长 7
股票数量 8
股票上涨的概率 9
股票的波动大小 10
股票在初始时刻价格 11 期权的执行价格
四、欧式二叉树模型
1、一步二叉树模型
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。

由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step ）二叉树。

这是最简单的二叉树模型。

一般地，假设一只股票的当前价格是0S ，基于该股票的欧式期权价格为f 。

经过一个时间步（至到期日t ）后该股票价格有可能上升到0uS )1(>u 相应的期权价格为u f ；也有可能下降到0dS )1(<d 相应的期权价格为d f . 这种过程可通过一步（one-step ）二叉树表示出来，如图8.2所示。

我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage ）假设，即市场上无套利机会存在。

构造一个该股票和期权的组合（portfolio ），组合中有∆股的多头股票和1股空头期权。

如果该股票价格上升到0uS ，则该组合在期权到期日的价值为u f uS -∆0；如果该股票价格下降到0dS ，则该组合在期权到期日的价值为d f dS -∆0。

根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值
应该相等，即有
d u f dS f uS -∆=-∆00 （1）
由此可得
)
(0d u S f f d u --=∆ （2） 上式意味着∆是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。

在这种情况下，该组合是无风险的。

以 r 表示无风险利率，则该组合的现值（the present
value ）为rt u e f uS --∆)(0 ,又注意到该组合的当前价值是f S -∆0，故有：
rt u e f uS f S --∆=-∆)(00 （3）
则：
rt u e f uS S f --∆-∆=)(00 （4）
将(2)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为：
])1([d u rt f p pf e f -+=- （5）
其中 d
u d e p rt --= （6）
需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage ）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足：u e d rT <<，亦即有：10<<p
2、风险中性定价原理
上述期权定价公式(5)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已经隐含在股票价格中了。

不妨令股价上升的概率为p ，则股价下降的概率就是p -1，在时间T 的期望股票价格为
00)1()(dS p puS S E -+=
如果我们假设市场是风险中性的（risk neutral ），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有
rt e S S E 0)(= 于是，我们有
rt e S dS p puS 000)1(=-+ 由此可得
d u d
e p rt --=。