2010近世代数B卷试卷模板
近世代数参考答案
安徽大学2008－2009学年第一学期《近世代数》考试试卷（B 卷）参考答案一、名词解释题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1、对，显然模n 的同余关系满足以下条件：1）对Z 中的任意元素a 都有(mod )a a n ≡；（反身性）2）如果(mod )a b n ≡，必有(mod )b a n ≡；（对称性）3）如果(mod )a b n ≡，(mod )b c n ≡，必有(mod )a c n ≡（传递性）则这个关系是的一个等价关系．2、错，因为2Z ∈，在Z 中没有逆元．3、错，因为由于[]Z x x Z <>≅，而整数环Z 不是一个域．4、错，在同态满映下，正规子群的象是正规子群．5、对，[]F x 是一个有单位元的整环，且1）存在ϕ：()()f x f x →的次数，是非零多项式到非负整数集的一个映射；2）在[]F x 中任取()f x 及()0g x ≠，存在[]F x 上的多项式()q x ，()r x 满足 ()()()(f x g x q x r x =+，其中()0r x =或()r x 的次数<()g x 的次数． 因此[]F x 作成一个欧式环．二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分）1、στ=(2453)，2τσ=(2346)，1τστ-=(256413)．2、12Z 的所有的可逆元为1,5,7,11；n Z 的子环共有()T n 个，故12Z 共有6个子环，它们分别是{}10S =，{}20,6S =，{}30,4,8S =，{}40,3,6,9S =，{}50,2,4,6,8,10S =和12Z 本身． 3、在8Z 中：32([4][3][2])([5][3])x x x x +--+5432[4][4][3][5][3][6]x x x x x =-+-+-． 三、举例题（本题共3小题，1,2题各3分，第3题4分，共10分）1、在整数环上的一元多项式[]Z x 中，由于[]Z x x Z <>≅，整数环Z 是一个整环而不是一个域，故主理想x <>是整数环的一个素理想而不是极大理想．2、22,,,a b R Z a b c d Z c d ⨯⎧⎫⎛⎫⎪⎪==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭对普通的矩阵的加法和乘法作成一个环，R 有单位元1001⎛⎫ ⎪⎝⎭，000a S a Z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭对普通的矩阵的加法和乘法作成R 的一个子环，S 有单位元1000⎛⎫ ⎪⎝⎭，二单位元不相等． 3、Klein 四元群4K 是四次对称群4S 的一个正规子群，{}4(1),(12)(34)B =是4K 的一个正规子群（4K 是一个交换群），但4B 不是4S 的正规子群（44(13)(13)B B ≠）．四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分）1、证明：1）设G 是一个有限群，a 是G 的任意一个阶大于2的元素，则显然1a a -≠（否则将有2a e =，与a 阶大于2矛盾！），但a 与1a -有相同的阶，即1a -的阶也是大于2．又设b 也是G 的一个阶大于2的元素，且1,b a b a -≠≠，则容易得到：111,b a b a ---≠≠，这就是说，G 中阶大于2的元素总是成对出现的，由于G 是一个有限群，故中的阶大于2的元素个数必为偶数．2）设G 是一个偶数阶的有限群，由于单位元是阶为1的惟一元素，又由1）知G 中的阶大于2的元素个数一定是偶数，这样阶等于2的元素的个数一定是奇数．2、证明：设H 是G 的一个子群，任取1axa -，1aya -1aHa -∈（,x y H ∈），则由于H 是一个子群，故1xy H -∈，这样11111()()a x a a y a a x y a a H a ------=∈，从而1aHa G -≤．又由于易证1:x axa ϕ- 是H 到1aHa -的一个双射，且1()()x y a x y a ϕ-=11()()axa axa --=()()x y ϕϕ= 故ϕ是H 到1aHa -的一个同构映射，从而1aHa H -≅．2、证明：首先易证集合2,a b R a b F b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭数域关于普通的矩阵的加法作成一个加群，其零元为零矩阵，负元为负矩阵．其次，对22,a b c d R b a dc ⎛⎫⎛⎫∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,,,a b cd F ∈，我们有 2222a b c d c d a b b a d c d c b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222ac bd ad bc R bc ad bd ac ++⎛⎫=∈ ⎪++⎝⎭, 即普通矩阵的乘法是R 上的一个代数运算．且有 222a b c d e f b a d c f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222a b c d e f b a d c f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即R 对于普通的矩阵的乘法作成一个半群．另外，1001R ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得对 2a b R b a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，1022100101a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2a b b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述，2,a b R a b F b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭数域关于普通的矩阵的加法和乘法作成一个有单位元的交换环．4、证明：1）若R 的每个非零元素的阶都是无限，命题成立；若R 中有某个元素0a ≠的阶为n ，则在R 中任取0b ≠，有()()00na nb na b b ===． 但0a ≠，且R 无零因子，故nb 0=，b n ≤．设b m =，则()()0ma b a mb ==，0ma =，故n m ．从而n m b ≤=． 因此b n =，即R 中每个非零元素的阶都是n ．2）设char R 1n =>，且12n n n =， 1i n n <<．则在R 中任取0a ≠，由于R 中每个非零元素的阶都是n ，故10n a ≠，20n a ≠．但21212()()()n a n a n n a =20na == 这与R 中无零因子环矛盾，故n 必为素数．5、证明：1）任取,x y G ∈，则由于G H 与G K 都是交换群，故x y H y x H =，xyK yxK =．于是()xy H K xyH xyK = yxH yxK = ()yx H K = ，即GH K 也是一个交换群． 2）任取h H ∈，k K ∈，由于,H K 都是群G 的正规子群，故1111()hkh k h kh k H ----=∈，1111()hkh k hkh k K ----=∈，从而{}11hkh k H K e --∈= ，故11hkh k e --=，即得到hk kh =，得证！6、证明：(1)设N 是R 的诣零理想，若R 是诣零的，下证R N 也是诣零的． 对R a N N ∀+∈，因为R 是诣零的，故存在n Z +∈，使得0n a =，从而()0n n a N a N N N +=+=+=，即R N 也是诣零的． 反之，若R N 是诣零的，下面说明R 也是诣零的．对a R ∀∈，因R N 是诣零的，故存在m Z +∈，使得()m m a N a N N +=+=，即m a N ∈，又N 是R 的诣零理想，故存在n Z +∈，使得()0m n mn a a ==，从而R 是诣零的．(2) 若,A B 是环R 的诣零理想，则A B ⋂是R 的诣零理想，且A B ⋂分别是,A B 的诣零理想．由环第二同构定理知A B B A A B +≅⋂，由(1)知，B A B ⋂是诣零的，从而A B A +也是诣零的．而A 是R 的诣零理想，也是A B +的诣零理想，因此由(1)知A B +也是R 的诣零理想，得证．安徽大学2009－2010学年第一学期《近世代数》考试试卷（B 卷）参考答案一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由）1、设:X Y ϕ→为一个映射，A 是X 的一个非空子集，则1(())A A ϕϕ-=．答：不正确．只有当ϕ为单射时等号才成立，一般的1(())A A ϕϕ-⊇．2、整数集Z 对于普通的数的乘法作成一个半群．答：正确．利用半群的定义易验证．3、整数环的全部素理想是由所有素数p 生成的主理想p <>和自己本身． 答：不正确．由于整数环无零因子，故零理想也是它的素理想．4、若,H G K G ≤≤，则HK G ≤．答：不正确．两个子群的乘积是原来群的子群充要条件是它们相乘时可交换．5、域是一个欧氏环．答：正确。
近世代数练习题试题库
§1 第一章 根底知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
〔 〕1.2 A ×B = B ×A 〔 〕1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
〔 〕 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,那么ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
〔 〕1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，那么B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
〔 〕1.7 在整数集Z 上，定义“ 〞：a b=ab(a,b ∈Z)，那么“ 〞是Z 的一个二元运算。
〔 〕1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 假设A={0,1} , 那么A ⨯A=__________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，那么A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},那么A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 那么A ⨯A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，那么有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，那么()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，那么A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，那么共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，那么A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，那么A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合以下三个条件：_____________________________________________。
近世代数测试卷
近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ ）6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
201010近世代数试卷
徐州师范大学成人教育学院 宿迁学院 试题课程名称 《近世代数》 考试日期 专业、层次、班级 姓名一、填空题（每空3分，共15分）1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A 。
3、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
4、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 。
5、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、指出下列那些运算是二元运算 （ ）A 在整数集Z 上，abb a b a +=； B 在有理数集Q 上，ab b a = ； C 在正实数集+R 上，b a b a ln = ； D 在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 2、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。
那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是 （ ）A 0和x -；B 1和0；C k 和k x 2-；D k -和)2(k x +-3、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。
如果6，那么G 的阶=G （ ）A 6；B 24；C 10；D 124、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为 （ ）A 若a 是零元，则b 是零元；B 若a 是单位元，则b 是单位元；C 若a 不是零因子，则b 不是零因子；D 若2R 是不交换的，则1R 不交换5、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么 （ ） A ()()()F I I E I E :::=； B ()()()I E F I E F :::=；C ()()()I F F E F I :::=；D ()()()F I IEF E :::=三、计算和证明题1. 设G 是群，|G|=2n ，则G 中有2阶元。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题一、单项选择题每题5分,共25分1、在整数加群Z,＋中,下列那个是单位元;A 0B 1C －1D 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是;A G只包含一个元g,乘法是gg＝g;G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是;A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是;A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类;5、下列哪个不是3A 1B 123,132,23C 123,132D 12,13,23二、计算题每题10分,共30分S的正规化子和中心化子;1.求S＝{12,13}在三次对称群32.设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶;3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,求出其右零因子;三、证明题每小题15分,共45分1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子;2、设Z 是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3;证明：Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元;3、证明由整数集Z和普通加法构成的Z,＋是无限阶循环群;近世代数模拟试题答案一、单项选择题每题5分,共25分1． A2． D3． C4． D5． B二、计算题每题10分,共30分1． 解：正规化子NS ＝{1,23};;;;;;;;;;;;6分中心化子CS ＝{1};;;;;;;;;;;;;;;;;;4分2． 解：群G 中的单位元是1;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分1的阶是1,－1的阶是2,i 和－i 的阶是4;;;;4×2分3． 解：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;3分因为x 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分因此右零因子为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分三、证明题每小题15分共45分 1．证明：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;5分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;8分同理设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;12分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;14分因此零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分2．明：首先该代数运算封闭;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分其次我们有：a ·b ·c ＝a ＋b －3·c ＝a ＋b －3＋c －3＝a ＋b ＋c －3－3＝a ·b ·c,结合律成立;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;6分令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元;;;;7分对任意元素a,6－a 是其逆元,因为a ·6－a ＝3;;;8分因此,Z 对该运算作成一个群;显然,单位元是e ＝3;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分3．证明：首先证明Z,＋是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0是运算+的单位元又由于： ()()0=+-=-+x x x x所以 ,1x x -=-从而Z,＋为群;;;;;;;;;2分由于+满足交换律,所以Z,＋是交换群;;;;4分Z,＋的单位元为0,对于1Z ∈,由于 1+-1=0,所以111-=-,;;;5分于是对任意Z k ∈,若0=k ,则：010=；若0>k ,则k k =+++=1111 ;;;;;;;;;;;8分若0<k ,则()()()k k k k ------===111111)1()1()1(---++-+-=个k))(1(k --= k = ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分综上,有k k =1,对任意的Z k ∈. 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而Z,＋是无限阶循环群;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分。
线性代数的B卷参考答案
课程考试标准答案和评分标准一、（填空题32分，每空4分） 1． 162. -2433. 124. -25. 16. 1()3A E -7. -2 8. 1233(2)x k ξξξξ=+-+或者11117063x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭k 为任意常数。
计算题中的计算题和证明题有多种方法，老师可以根据学生做的实际情况酌情给分。
下面的给分情况仅作参考。
二、（计算题20分，每题10分）1.3691218455643120312341234611184506113334111756430411170311230031===---------- (5分) 6216234401733(6408)69644001--=--=-=-⨯-=--- (5分)2. 1111111111111111a a a a++++4111411141114111a a a a a a a ++++=+++ (2分) 11111111(4)11111111aa a a ++=++ (2分) 111100(4)0000a a aa a a a+-=+-- (2分)430(4)0400a aa a a a a a-=+-=+- （4分）三．解答题 (10分)解：11121023310114X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2分）12103101⎛⎫ ⎪⎝⎭121012103105310155⎛⎫⎛⎫ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭121055310155⎛⎫- ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（2分） 14012310--⎛⎫ ⎪-⎝⎭14010512--⎛⎫→ ⎪--⎝⎭1401120155--⎛⎫ ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭431055120155⎛⎫-⎪→ ⎪⎪- ⎪⎝⎭（2分） 所以11121023310114X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭12431055553101125555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎛⎫=⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2125251172525⎛⎫--⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（4分）四．解答题 (10分)解：()111111111111111111111111A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2分）211111111111111111111111111111111A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪----⎪⎪= ⎪⎪---- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭4444444444444444--⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭411111111(4)11111111--⎛⎫ ⎪-- ⎪=- ⎪-- ⎪--⎝⎭411111111411111111--⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭44A = （4分） 所以由递推法可得：4(1)4n n A A -= （4分）五．解答题 (12分)解：()1234,,,αααα11321326151103142--⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭213141311320214064120458r r r r r r -----⎛⎫⎪--- ⎪−−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭424321()2113210122064120000r r r r r --⨯---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32361()711321012200100000r r r -⨯---⎛⎫⎪ ⎪−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2313121231000010200100000r r r r r r --+⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭所以1α，2α，3α是一个极大线性无关组。
《近世代数》模拟试卷(三)
《近世代数》模拟试卷（三）一、填空题（每空2分，共20分）1、设ϕ是集合A 到A 的满射，则==)(Im A ϕϕ 。
2、设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类[]=a ｛ ｝。
3、 设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边的乘法是普通乘法），则仅就结合律、交换律而言， 适合如下运算律： 。
4、设G =()a 是10阶循环群，则G 的生成元是 。
5、写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 。
6、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha 。
7、设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是 。
8、设F 是一含有4个元的域，则F 的特征是 。
9、设G =()a 是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 。
10、实数域R 的全部理想是 。
二、简答题（先说出结论，后简述理由）（每小题6分，共30分）1、设A 是实数集，规定A 的元间的一个关系如下：0,,≥⇔∈∀ab aRb A b a 。
问R 是不是A 的元间的等价关系？2、群的同态是否具有对称性？3、设N 是G 的不变子群，N n G a ∈∈∀,，是否一定存在N n ∈1使1an na =？4、模47的剩余类47Z 有没有零因子？5、设G 是一个循环群，N 是G 的子群，N G 是循环群吗？三、选择题（每小题2分，共10分）1、指出下列那些运算是二元运算（ ）①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
2、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。
那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-。
漓江学院近世代数试卷(B)
教研室主任 (签字)： 系主任(签字)：广西师范大学漓江学院试卷 （2010 —2011学年第一学期） 课程名称：近世代数 课程序号： 开课院系：理学系 任课教师：陈迪三 年级、专业：08数学 考试时间：120分钟 考核方式：闭卷 ■ 开卷 □ 试卷类型：A 卷 □ B 卷■ C 卷 □一、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） （正确的打“√”，错的打“×”）。
1．任何集合与它的一个真子集之间都不存在一一映射。
（ ） 2．群G 的两个子群的交与并仍是G 的子群。
（ ） 3．有理数全体Q 对于在数的乘法下构成群。
（ ） 4．循环群的同态像仍然是循环群。
（ ） 5．如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构 （ ） 6．无零因子环的同态象无零因子。
（ ） 7．由素数p 所生成的主理想()p 一定是最大理想。
（ ） 8．模47的剩余类环47Z 无零因子。
（ ） 9．整环I 中非零非单位的元一定有唯一分解 （ ） 10．在整环I 中，单位元与单位等价。
（ ） 二、填空题（本大题共7小题，每空2分，共20分） （请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分）。
1. 如果~集合A 的元间的一个等价关系，在这个等价关系~下，[][],a b 是两个等价类，[][]a b =的充要条件是 A 的元素a 所在的等价类[]a = 。
2．规定R 的运算为2a b ab =(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结合律和交换律而言，这个运算满足 。
3．n 次对称群n S 的阶是 。
学 号：姓名：所属院系：年 级：专业：装订密封线考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整。
4．特征为p 的交换环R 中，()p a b -= 。
5．假定R 是有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，则R I 是域的充要条件是： 。
昆明理工大学线性代数考试试题集及答案
《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第一 学期课程试卷 A一、填空11 1 12 345 12.1.=49 16 25 827641252． 设 A 、B 为 4阶方阵，且 | A 13 B81，则|AB | 1/2.| 2 ,3. 给定矩阵 A ，且 AE 可逆, 满足 ABEA 2B ,则B AE.1 0 01 0 04．设 A0 1 1 ，则 A 121 .0 12115．已知1,2, 3 线性相关 ,3不能由 1,2 线性表示，则1,2 线性 相关．116．设 12 ,2t ,32 ，且 1,2,3 线性相关， 则 t8．3611 2 37.设A 是43矩阵,且 R(A)2 ， B0 1 0 则R(AB) __2___3 12．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为零， 又R(A) 2 ，则齐次线性方程组AxO 的通解为81 k 1 ( kR ).113 0 19. 向量组11的一个最大线性无关组为1, 22 ,3 1,4 1 1131,2,4.10. 设 A 为 n 阶方阵 , Ax0 有非零解 , 则 A 必有一个特征值为0.二、单项选择x3 1x2 y 4z2 1.. 若 y0 21 , 则30 2 ( A )z21121(A)1 ； (B )2 ； (C )1 ；(D) 0.2．设 A , B , C 均为二阶方阵， ABAC ，则当 (C ) 时，可以推出 B C ．1 0 1 1 0 1 1 1 (A) A;(B)A; (C) A; (D) A.1 011 13. 下列结论正确的是 ( A ) ．( A )1,2,,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;(B ) 若向量1,2,3 线性相关，则 1 , 2 线性相关；(C ) 若 n 阶方阵 A 与对角阵相似，则 A 有 n 个不同的特征值 ;( D ) 若方程组 AxO 有非零解，则 Axb 有无穷多解 .14 4. 已知, 3 是四元方程组 Ax2， 241 ,2b 的三个解，其中 R( A)3,13 3，444则以下不是方程组Axb 的通解为 ( D ) .21 11 123 1 0 2 ;0 2 0 2 ;( D ) k2 2 ( A ) k2 3 ( B ) k; ( C ) k2 1 .1 3 1 344242245. 设向量组1 ,2,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（B ）( A ) 12,23,31;( B ) 1,2 ,31;(C )1,2,213 2 ;( D )2,3,223.．若 n 阶矩阵 A , B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A）6( A ) A 与B 相似;(B) A B ，但|A B| 0;(C )AB ;(D) A 与 B 不一定相似，但 | A | |B |.7. 设 Ap11 p1, Ap22 p2 , 且12 , 则以下结论正确的是（ B ） .( A ) p1p2不一定是A的一个特征向量;( B )p1p2一定不是A的一个特征向量 ;(C ) p1p2一定是A的一个特征向量 ;( D )p1p2为零向量 .x 1x 2x 41,三、 k 为何值时 ,线性方程组x 1 2 x2x 3 2 x 4 3 ,有解，并在有解时求通解 . x 1x 2x 3x4 6 ,x 2x4k1101111011解 :1212301112A11160010510101k0101k1101111011011120111200105001050010k 20 0 00k 3当 k3时，方程组有解，1000401013A010，0500000x 1440 x 2 3 x 4，（12分）通解为 X3k1 x 3550 x 4x 401a0b四、已知矩阵 A010的特征值之和为1，特征值之积为 1 ．b00(1) 求a , b( b0) 的值；(2)求可逆矩阵 P 和对角阵，使得 P 1. APa101001解a0, b 1.A010, 21b10001E A010(21 )1, 3 1 .1 ) (121010110101当121时， E A000000,p11, p20101000011011011当31时，EA020010, p301010001 0111取 P10011有P AP0111a 11a1a1五、计算 D n a 2 a 21 a 2.a n a n a n1111 n a 2a21a2解 D r1r n a i（1)i1a n a n a n1c2c1100 n a210（ a i1)c ni1c1a n01 n（ a i 1 )(1) n 1i1六、设 A 为3阶矩阵， 1 ,2为 A 的分别属于特征值1,1特征向量，向量 3 满足A32 3，证明（ 1）1 ,2,3线性无关；（）令P1,2,3，求1.2P AP证明 k 11k2 2k 33O (1)，A ( k 1 1 k 22k 33)O即 k1 1k 22k 3 (23)O (2) (2)-(1)2 k 11k3 2O因为1,2 线性无关，k 1k 30 ,代入（ 1），得 k 22O ,2O , k 2 01,2,3 线性无关1 0（2）P 1AP0 1 1 01《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷 B一、填空1 2 3 61. 设2 2 2 2 又 是 aij 的代数余子式 则A42A 43 A 44 =0| A | | ( a ij )4 4 |1 0 7, A ij, A 41234182 设 A 、B 为 3阶方阵，且 | A|2, 3 B181 ，则|A1B| 1/6 .3. 设 A 为方阵 ,满足 A20,则 A1AE.A 2 E21 1 01 31 04．设 A130，则A 1 1 1 0.2 215．向量组 1 , 2 ,3 ,1 线性相 关．6．设 A 是 mn 矩阵 , R ( A )r ,则齐次线性方程组 Ax O 有非零解的充分必要条件是r n1 2 37.设A 是43矩阵,且 R(A)2 ， B0 1 0 则R(AB) __2___3128．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为 3，则 A 有特征值3 .1 319. 向量组11 3 的一个最大线性无关组为1 ,2.1, 2,35 8 911710．属于方阵 A 的不同特征值的特征向量一定 线性无关.二、单项选择a11a 12 a 13 a11a 12a 21a221.. 若 a21a 22a 231 , 则a 13a 23a31a32 a33a12 a22(A)1；(B )2 ； (C)1；2．设 A 为 m n 矩阵，且 m n ，则一定有 ( D ) ．(A)RAm ;(B)R A n ; (C ) m R An ;(D) RAm .3. 下列结论错误的是 ( D ) ．a31a 32a 33(A).a32(D) 0.( A )1, 2 ,,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;(B ) 若向量 1,2 ,3 线性无关，则1,2 线性无关；(C )n 阶方阵 A 与对角阵相似是 A 有 n 个不同的特征值的必要条件;( D ) 若方程组 Ax O 有非零解，则Axb 有无穷多解 .4. 设矩阵 A m n 的秩 R ( A ) mn ，下述结论中正确的是D.( A ) A 的任意 m 个列向量必线性无关； ( B ) A 的任意一个 m 阶子式不等于零；(C ) 齐次线性方程组Ax0 只有零解；( D ) 非齐次线性方程组Axb 必有无穷多解 .5. n 阶矩阵 A , B , C 满足 ABCE , 则下列各式中成立的是D.( A ) ACBE ;( B )CBA E ;(C )BACE ;( D )BCAE1．设矩阵 Aab4 2 的秩为 2，则 C624a 2（ A ） a0 , b0 ； （ B ） a 0 , b 0 ； （ C ） a0 , b 0 ； （ D ） a0 , b 0 .7. A , B 均为 n 阶方阵，则下列结论中 B 成立．（ ） AB 0 , 则 A O , 或 B O ；（ ） 0 ,则A0, 或B0 ；AB AB（C）AB O,则A O,或B O ；（D）AB O,则 A0,或 B 0．三、 k 为何值时，线性方程组有解．并在有解时求通解．x1x2x 3x 4x 51,3 x1 2 x2x 3x4 3 x 50 ,x 2 2 x 3 2 x 4 6 x 5k .111111解 A32113001226k11111111111101226301226301226k00000k 3当 k3时， R( A)R(B )2 5 , 所以有依赖于 3 个独立参数的无穷多解．10115201226300000k3x1x 3x4 5 x52x 2 2 x 3 2 x 4 6 x53得 x 3x 3x 4x 4x 5x 511522263x c11c20c300(c1 , c2 , c3R ).01000000101四、已知矩阵A010 ,求可逆矩阵P 与对角阵,使得 P 1. AP101101解E A010( 1 )(2),10 , 21, 3 2 ，101进一步可求得相应的特征向量为101p10 , p21, p30。
近世代数期末考试题(卷)库
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ d ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（c ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（d ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
近世代数期末考试试卷附标准答案
近世代数期末考试试卷附标准答案近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),?)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-aff1----------。
3、区间[1，2]上的运算},{min baba=的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因子有-----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群G中元素a的阶为m，如果ea n=，那么m与n存在整除关系为--------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。
线性代数B模拟试卷参考答案
线性代数B模拟试卷参考答案线性代数B 模拟试卷参考答案模拟试卷⼀⼀、（15分）填空题：1.设123456110A ??=-，则 |A|= , A*=,A -1=.2.设4维向量α=(1,2,0,-3)T , β=(2,-1,5,0)T ,则α与β的内积(α,β)= , 夹⾓<α,β>= .3.齐次线性⽅程组123412341234123423024025200ax x x x x x x x x x x x x x x x +++=??-+-=??+--=??+++=?有⾮零解，则a= . （由系数⾏列式为0推得） 4.设矩阵123456A ??=??-??，1224510B ??=??-??，初等矩阵P 满⾜：AP=B,则P=.（A 的第3列-第1列得B ，所以P 为E 的第3列-第1列所得初等阵） 5. α1,α2,α3,α4均为3维向量，则向量组α1,α2,α3,α4必线性关. （ch3/Th7/推论2）⼆、（15分）选择题： 1.设3阶⾏列式112233112233112233a x a x a x Db y b y b yc z c z c z +++=++++++则（）. （A ）123123123123123123a a a x x x D b b b y y y c c c z z z =+；（B ）122331223312233122331223312233a a x a x x a x a x D b b y b y y b y b y c c z c z z c z c z ++++=+++++++++ （C ）123123123123123123123123123a a x a x a x a a Db b y b y b y b bc c z c z c z c c =++. (ch1/⾏列式性质5)2.设矩阵A 的秩R(A)=r,则（）.(A)A 中只有⼀个r 阶⼦式不为零，其余的r 阶⼦式全为零；(B) A 中存在⼀个r 阶⼦式不为零，所有的r+1阶⼦式（若有）全为零； (C) A 中所有的r 阶⼦式均不为零，⽽⾼阶⼦式全为零.3. 设线性⽅程组12312321231ax x x x ax x a x x ax a ++=??++=??++=?有唯⼀解，则（）. (A)a=1;(B)a=-2;(C)a ≠1且a ≠-2.4.设向量组α1,α2,…，αs 线性相关，则（）.(A) α1⼀定可由α2,α3,…，αs 线性表⽰； (B) α1⼀定不可由α2,α3,…，αs 线性表⽰；(C) 其中⾄少有⼀个向量可由其余s-1个向量线性表⽰. 5.n 阶⽅阵A 与对⾓阵相似，则（）.(A)A 有n 个不同的特征值；(B) A 有n 个相同的特征值；(C) A 有n 个线性⽆关的特征向量. 三、（14分）设n 维向量αT = (1/2,0,…,0,1/2),⼜A=E-ααT , B=E+2ααT ,其中E 为n 阶单位矩阵，求AB,A -1,B -1,并写出A -1与B -1的具体形式.四、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(2,3,4,5)T , α3=(3,4,5,6)T , α4=(4,5,6,7)T ,求该向量组的秩及⼀个最⼤⽆关组，并将其余向量表⽰成最⼤⽆关组的线性组合. 五、（14分）求⾮齐次线性⽅程组1234123412342546235843622x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??-+-=?的通解.六、（18分）设⼆次型f=2x 12+3x 22+3x 32+4x 2x 3. 1.写出f 的矩阵；2.求A 的特征值与特征向量；3.⽤正交变换X=QY 将f 化为标准形，并写出正交矩阵Q. 七、（8分）证明：若为A 正交矩阵，则A 的伴随矩阵A*也为正交矩阵.模拟试卷⼆⼀、（15分）填空题：1.在4阶⾏列式det[aij]中，含有因⼦a 11a 32的项有：.130121A ??=A T 为A 的转置矩阵，则矩阵乘积AA T = ，A T A= .3. 矩阵103211000000A =??的秩= . 4.设B,C 为可逆矩阵，分块矩阵O B A C O ??=??, 则A -1= 5. ⽤矩阵形式表⽰⼆次型f=x 12+x 1x 2+2x 22+3x 32-2x 2x 3,f= X T AX ，其中X=123x x x ?? ?，.⼆、（15分）选择题：1.设α=(1,2,3)T , β=(1,1/2,1/3)T ,A=αβT ,则A 10=（）.（A ）310; (B) 911/21/33212/333/21；（C ）10101010101011123221()333()12. .2.设线性⽅程组1231232312(2)(2)33(2)3x x x x a x b x ax a b x +-=?++-+=??-++=-?有⽆穷多组解，则（）.(A)a=b ≠0;(B) a ≠0且a ≠b;(C)a=b=0.. 向量组α1,α2,…，αs 线性⽆关的充要条件为（）.(A) α1不能由α2,α3,…，αs 线性表⽰；(B)α1,α2,…，αs 的秩⼩于s ； (C) α1,α2,…，αs 的秩等于s. 4.设b A a ??=为正交矩阵，则（）. （b=(B) a=b=(C) a=b=0. 5.设3阶⽅阵A 与对⾓阵100020003??-??相似，则（）.(A)A -1有特征值1，2，-3；(B) A+E 有特征值2,3,-2；(C) A 2有特征向量1,2,-3 三、（18分）设矩阵1201512031001000A=，,试求1.|A|;2.A -1;3.|A 4|. 2.12011000100000015120010002011001[|]31000010010000131000000101200105r A E-?--1000001100001010000130100001300011025001001/21/210020011200011025r r--→→---???---, ∴A -1=0001001301/21/211025-?--??-??. 3.|A 4|=|A|4=16.四、（16分）求齐次线性⽅程组1234123412342546235843622x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??-+-=?的通解.五、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(-1,1,-1,0)T ,α3=(2,-1,3,1)T , α4=(0,3,2,4)T ,求该向量组的秩及⼀个最⼤⽆关组，并将其余向量表⽰成最⼤⽆关组的线性组合.六、（20分）设对称矩阵A=2000120211.求A 的特征值与特征向量；2.求⼀个正交矩阵Q 和对⾓阵Λ,使得Q -1AQ=Λ.模拟试卷三⼀、（15分）填空题：1.设n 阶⽅阵A 的⾏列式|A|=2,则A 的伴随阵的⾏列式|A*|= .123110,111A =--??121111,110B ??=--矩阵X 满⾜： AX=B,则X=A -1B=3. 设ξ1=(2,0,-1)T, ξ2=(1,0,0)T 为线性⽅程组1231231232112225x x x x x x ax bx cx ++=??-+=??++=? 的两个解向量，则⽅程的通解为 .（⽅程解不唯⼀，故系数⾏列式|A|=0，R （A ）=2，AX=0基础解系有n- R （A ）=3-2=1个解向量, ξ=ξ1-ξ2=(1,0,-1)T 为基础解系）4. 向量组α1=(1,2,-3)T , α2=(-2,1, 0)T , α3=(0,5,-6)T ,线性关.5. 设n 阶⽅阵A 与B 相似，A 有特征值1，2，-3,则 B -1+E 有特征值 . ⼆、（15分）多项选择题：1.设A,B 均为n 阶可逆⽅阵,则（）.(A)齐次线性⽅程组ABX=0只有零解; (B)(A+B)-1=A -1+B -1; (C) A 的特征值全不为零.2.设A,B 均为n(n ≠1)阶矩阵则（）. (A)(AB)T =A T B T ;(B)|AB|=|A||B|;(C)|2A|=2|A|.3.设λ为n 阶可逆矩阵A 的特征值，则（）. (A)1/λ为A -1的特征值；(B) λ2为A 2的特征值； (C)φ(λ) 为φ(A)的特征值,其中φ(x)为x 的多项式.4.n 阶⾏列式.....................a b b b a bb b a的值为（）. (A)(a+nb)(a-b)n-1;(B) (a-b)n +nb(a-b)n-1；(C)[a+(n-1)b](a-b)n-1. 5.设α1=(1,-2,5)T , α2=(-2,4,-10)T ,则（）.(A)(α1,α2)= -60；(B) α1 与α2正交；(C) α1,α2线性相关. 三、（10分）求⾮齐次线性⽅程组四、（10分）求向量组α1= (1,1,2,3)T , α2=(1,-1, 1,1)T , α3=(1,3,3,5)T , α4=(4,4,8,12)T ,的秩及五、（15分）问a,b 为何值时，线性⽅程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=??++=??++=?有唯⼀解？有⽆穷多组解？⽆解？六、（20分）设对称矩阵A=120 220 001-1.求A的特征值与全部特征向量；2.求⼀个正交矩阵Q和对⾓阵Λ,使得Q-1AQ=Λ.七、证明题：1.（7分）设A,B均为n阶正交矩阵，试证A-1B也是正交矩阵.2.（8分）设向量组α1,α2,…，αs（s>1）线性⽆关，⼜β1=α2+α3+…+αs，β2=α1+α3+…+αs ，β3=α1+α2+α4+…+αs，… ，βs=α1+α2+…+αs-1，证明向量组β1, β2,…，βs线性⽆关.。
《近世代数》模拟试题1与答案
近世代数模拟试题一.单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C.－1D. 1/n，n 是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G 只包含一个元g，乘法是gg＝ g。
G 对这个乘法来说作成一个群;B . G 是全体整数的集合，G 对普通加法来说作成一个群;C . G 是全体有理数的集合，G 对普通加法来说作成一个群;D. G 是全体自然数的集合，G 对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M 的一个关系是等价关系，则不一定具备的是().A . 反身性 B.对称性 C.传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z 来说，下列不正确的是（）.A.Z 没有生成元 .B. 1 是其生成元 .C.－1 是其生成元 .D.Z 是无限循环群 .5.下列叙述正确的是（）。
A.群 G 是指一个集合 .B.环 R 是指一个集合 .C.群 G 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 .D.环 R 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 .二. 计算题 (每题 10 分，共 30 分)1.设 G 是由有理数域上全体 2 阶满秩方阵对方阵普通乘法作成1213的群，试求中 G 中下列各个元素 c, d0,cd ，011的阶 .2.试求出三次对称群S3(1), (12), (13), (23),(123),(132)的所有子群 .3.若 e是环 R 的惟一左单位元，那么 e 是 R 的单位元吗？若是，请给予证明 .三. 证明题(第1小题 10分，第 2小题 15分，第 3小题 20分，共45 分).1.证明 : 在群中只有单位元满足方程x2x.2．设G是正有理数乘群，G是整数加群.证明：: 2n b na是群 G 到G的一个满同态，其中a, b 是整数，而 (ab,2) 1.3．设S是环R的一个子环.证明:如果R与S都有单位元，但不相等，则 S 的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008 年 11 月一、单项选择题 (每题 5分，共 25 分)1.A2. D3.D4.A 5 . C二.计算题(每题10分，共30分)1.解：易知 c 的阶无限，(3 分)d 的阶为 2.（3 分）但是1 1cd,01的阶有限，是 2.2.解： S3的以下六个子集（2 分）（2 分）H1(1) , H2(1),(12) ,H 3 (1),(13) ,H 4(1),(23) ,H 5 (1),(123),(132) , H 6 S3（7 分）对置换乘法都是封闭的，因此都是S3的子集.（3 分）3.解： e是R的单位元。
线性代数B试卷答案
《线性代数B 》课程试卷一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分)1. 设A 是四阶方阵，且,1=A 则=2-1-A16 .2．设三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E A A B 2+5-=2的特征值为 -2，8，-4.3. 已知321ααα,,线性相关,3α不能由21αα,线性表示，则21αα,线性 相关.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-0151-4-02021=t A 的秩为2，则t = 3 . 5. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400021032=A ，则1-A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4100021-03-2.6．设4阶矩阵[]321=γγγα,,,A ，[]321=γγγβ,,,B ，且,2=A ,3=B 则=+B A 40.二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)1. 矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r)(A A 中任何1+r 列线性相关；)(B A 中任何r 列线性相关；)(C A 中有r 列线性无关； )(D A 中线性无关的列向量最多有r 个.2. 若n 阶方阵B A , 均可逆，C AXB = ，则=X （ C ） C BAA 1-1-)( ; 1-1-ACBB )(; 1-1-CBAC )(; 1-1-CABD )( .3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A1111，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A B1111，其中ij A 是ij a 的 代数余子式（i ，j=1，2，…，n ），则 （ C ）)(A A 是B 的伴随矩阵； )(B B 是A 的伴随矩阵；)(C B 是T A 的伴随矩阵； )(D B 不是TA 的伴随矩阵.4. A 与B 均为n 阶矩阵，若A 与B 相似，则下列说法正确的是（ C ）．)A (A 与B 有相同的特征值和特征向量； )B ( B E A E -=-λλ；)C (对任意常数k ，有 A kE -与B kE -相似； )D (A 与B 都相似于同一对角阵.5. 非齐次线性方程组b Ax =中A 为)(n m n m ≠⨯矩阵，则（ B ）(A) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 仅有零解；(B) 若b Ax =有唯一解，则0=Ax 仅有零解; (C) 若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解; (D) 若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解.三、计算.（10分）1-1-1-n 2121n 21a a a a a a a a a n解 )1-=∑1=ni i n a D （1-11-11222n n n a a a a a a分4=)1-∑1=ni i a （1-0101-1001分8 1-1-=n )()1-∑1=ni i a （分10四、（10分）设B A ,满足关系式A B AB +2=，且 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103=A ， 求矩阵B . 解 A E A B 1-2-=)( 分3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4121001101-1103101=2- )(A E A 分5 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡410211-12-1-1-0103101−→−分6 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-1002-3-40102-2-5001−→−分9⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 (分或8⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111-1-2-21-1-2=2-1- )(E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡322-2-3-42-2-5=∴X 分10 )五、 (14分) 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032，问a 、b 为何值时，方程组有解，并求出所有解。
《近世代数》09-10(B)卷
安徽大学2009—2010学年第一学期《近世代数》考试试卷（B 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由）（本题共5小题，每小题3分，共15分）1、设:X Y ϕ→为一个映射，A 是X 的一个非空子集，则1(())A A ϕϕ-=．2、整数集Z 对于普通的数的乘法作成一个半群．3、整数环的全部素理想是由所有素数p 生成的主理想p <>和自己本身．4、若,H G K G ≤≤，则HK G ≤．5、域是一个欧氏环．二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分）1、给出剩余类环12Z 的所有素理想和极大理想．2、设(143)(45)(26)τ=，7(267)(43)S σ=∈，1) 求τ，σ的阶；2) 计算1?στσ-=， 1?στσ-=．3、求多项式321x x x +-- 在8Z 中的所有根．三、举例题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 对下列的各种情形，请各举一例1、除环而非域；2、群的正规子群而非特征子群．四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分） 1、证明：1) 若环R 有正则元，则全体正则元对乘法作成一个半群；2) 环R 的元素0a ≠是正则元当且仅当由0axa =可得0x =．2、设,H K 是群G 的两个正规子群，且二者的交为{}e ．证明：H 与K 的元素相乘时可换．3、设G 是一个群，,a b G ∈，11a b ab --称为,a b 的换位元，记作[],a b ．由G 的全体换位元生成的群称为G 的换位子群，记作G '．证明： 1) G '是G 的正规子群；2) 设N G <，则G N 是交换群G N '⇔≤4、设,a b是群G中阶分别为m与n的两个元素．证明：若ab ba=，则[],ab m n，其中[],m n为m与n的最小公倍数, 并证明G中有阶为[],m n的元素．5、证明：Gauss整环[]Z i是一个欧氏环．6、设R是一个阶大于1且有单位元的可换环．证明：R是域 R到任意环的非零同态都是单的．。
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合 肥 工 业 大 学 试 卷（A 、B ）
2010 ～2011学年第一 学期 课程代码 10000400 课程名称 近世代数 学分 3 课程性质:必修
选修
限修
考试形式:开卷 卷 专业班级（教学班） 2008数学、信息计 考试日期 2010.11. 命题教师 李平 系（所或教研室）主任审批签名
命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A ”、“试卷B ”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。
2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。
注：本试卷中整环均指有单位元1且1≠0的无零因子的交换环。
一 、判断题（每小题2分，共20分，对的写√，错的写×）。
1. 三元集{,,}A a b c =上恰好可以规定9个不同的代数运算。
( ) 2. 单位元为e 的群G 中，若元,a b 满足ab e =，则ba e =。
( ) 3. 不是每一个有限群都与一个置换群同构。
( ) 4. 27元域27F 的特征是27。
( ) 5. 除环仅有两个理想。
( ) 6. 整数环2Z 是整环。
( ) 7. 11阶群一定是交换群。
( )
8. 设G 是一个循环群，N 是G 的子群，则G/N 是循环群。
( ) 9．5阶交换环一定是域。
( ) 10．6阶群仅有2个生成元。
( )
二、 填空题（每小题4分，共24分）
1．Z 是整数集，对Z 定义乘法“ ”：,,3
a b Z ab a b ∀∈=++。
则},{ Z 是一个群，它的单位元是 ，6在},{ Z 中的逆元是
2．模9的剩余类环10Z ={[0],[1],,[8] }的全部零因子是 。
3．模18的剩余类加群恰好有 个子群。
4．3次对称群3S 恰好有 个3阶子群。
5．若R 是有单位元的环，a R ∈，则理想()a = 。
6．8次对称群8S 中元素(35)(24678)的阶是 。
三、 综合题（共56分） 1、R 是有单位元1R 的环，{1|}R S n n Z =∈。
求证：S 是R 的子环。
（6分）
2. 设,H K 是群G 子群，且HK KH =，求证：HK 是G 的子群。
（6分）
3. 群G 是4阶非循环群，写出它的代数运算表。
（8分）
4. 求模18的剩余类环18Z 的所有理想，并指出哪些是极大理想。
（8分）
5. 设:R R ϕ→是环同态，0是R 的零元，求证：(0)ϕ是R 的零元。
（6分）
6．设:R R ϕ→是环满同态，R 有单位元1R ，求证：R 也有单位元。
（6分）
7. 设:f R R →是环同态，求证： Kerf 是R 的理想。
（6分）
8．求证：商环[]/(,)Z x x n 与模n 的剩余类环同构。
（10分）。