第14讲 平面几何解题方法介绍 湖南师范大学附属中学 羊明亮

Hale Waihona Puke Baidu
1 PC QD PQ 0 2


PC AQ QD AP (注意到了 AP PC , AQ QD )
PC AQ sin ARP QD AP sin ASQ .
这由 PRA ASQ 及
PC AP 知成立. QD AQ
故 KN PQ .同理 KM PQ . 又由 AP PC , AQ QD 及 O 为 AF 的中点,知 O 为 APQ 的外心,从而 OK PQ . 故 M , N , O 三点共线. 例 3 给 定 圆 内 接 五 边 形 ABCDE . 已 知 AC DE , M 为 BD 的 中 点 , 且
作 IN BC 于 N ,则 NEI .,于是 IP IE sin x
又 2 IP IQ , IM IN ,则 2sin x cos( y ) sin( ) .
而 2sin x cos( y ) sin( x y ) sin( x y ) sin( x y ) sin( ) 于是 sin( x y ) sin( ) sin( ) 2 cos sin , 即 sin cos( x y ) cos sin( x y ) 2 cos sin . (1) 由对称性,同理可得
0
1 0 ,则 60 . 2

例 5 设凸四边形 ABCD 的外接圆的圆心为 O .已知 AC BD ,且 AC 与 BD 交于点 E , 若 P 为四边形 ABCD 内部一点,且 PAB PCB PBC PDC 90 .
AMB CMB .
证明: BE 平分 AC . 证明:不妨设五边形 ABCDE 内接于复平面上以原点 O 为圆心的单位圆, A, B, C , D, E 对应的复数分别为 a, b, c, d , e ,则 M 对应的复数 m 由 AC DE ,有 ac de . ① 由 AMB CMB ,有
⑦ S 2 R sin A sin B sin C ;
2
⑧ S p ( p a ) tan 范例选讲
A B C 1 p ( p b) tan p ( p c) tan , P (a b c ). 2 2 2 2
例 1 设 P 为 ABC 的一个内点, PA, PB, PC 分别交边 BC , CA, AB 于 D, E , F . 证明 : 上. 证明:设 S APB a, S BPC b, S CPA c,
S PAF SPBD S ABC
1 S ABC 成立当且仅当 P 至少位于 ABC 的一条中线 2
AF c BD a CE b , , . FB b DC c EA a 1 ac bc ca abc 从而 S PAF S PBD S ABC S ABC . bc ca ab 2 2
1 (b d ) . 2
(a m)(c m) R , (b m) 2
于是
(2a (b d ))(2c (b d )) R . (b d ) 2 (2a (b d ))(2c (b d )) (2a (b d ))(2c (b d )) (b d ) 2 (b d ) 2
个向量法）来、解决。 ③ ④ ⑤ 一般用向量的内积来解决平行与垂直、长度关系及交角等问题。 一般用向量的外积来解决与面积有关或判断共线与否等问题。 几何中旋转变换问题在向量法中对应的是向量的外积表示， 由向量的外积可以
表示平面上一个向量旋转以后的向量。 5、面积法 用图形的面积知识来解决几何问题的方法称为面积法， 一般有两类： ①求多边行的面积； ②用面积有关知识作为计算或论证手段， 通过适当的变换， 从而得出所考虑的量与量之间关 系，最后得出结论，或者将边之间的比和面积结合起来得到一个等式（称面积方程） ，然后 通过面积方法去解决有关问题。
sin cos( y x) cos sin( y x) 2 cos sin . (2)
(1) sin (2) sin , 可得 sin sin( x y ) 0 , 而 sin 0 , 所以 sin( x y ) 0 , 从而 x y .代入(1)中, sin 2 cos sin ,于是 cos 所以 A 180 2( ) 60 .
ABC 的面积公式（其中 P
①S
1 ： ( a b c), R 为∆ABC 外接圆半径， r 为内切圆半径） 2
1 1 1 ； aha ahb chc ( ha , hb , hc ，分别为 a, b, c 边上的高的长度） 2 2 2 1 1 1 ② S ab sin C ac sin B bc sin A; 2 2 2 1 ③ S p ( p a )( p b)( p c), p ( a b c ) （海伦公式） ； 2
平面几何解题方法介绍
羊明亮 湖南师范大学附属中学 知识与方法 数学竞赛中常用的著名定理有：梅涅劳斯定理及其逆定理、塞瓦定理及其逆定理、托勒 密定理（不等式） 、西姆松定理及其逆定理、欧拉定理，另外，还用到斯特瓦尔定理、蝴蝶 定理等. 除了上述定理外,我们还应掌握有关根轴、完全四边形、调和四边形、调和线束（点列） 等相关内容和灵活运用 ;此外,也要掌握一些非纯平面几何解题方法: 1、三角法 三角法是代数法的一种，在解题过程中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及 三角函数公式等，将几何间的线段、角的关系表示成代数形式，然后通过三角运算，解决几 何问题， 这可以使平面几何中复杂的量与量之间的关系变得简单明了， 可以将复杂的演绎推 理转化为三角运算，方法简单、思路清晰. 2、解析法 解析法是指建立适当的坐标系，将平面几何问题化归为代数运算，并运算相应的解析 几何知识来解决平面几何问题的一种方法， 它是数形结合这一数学思想的代表之一， 它能使 复杂的平面几何问题思路有序、直观简捷，其基本要点是：①建立适当的直角坐标系；②引 进某角（直线的倾斜角或三角形中某角）作为参数，用其表示点的坐标、曲（直）线的方程； ③通过三角运算，使问题获得解决. 3、复数法 复数法是指通过数计算来证明平面几何问题的方法， 首先是将几何问题 （如证明平行与 垂直、与旋转角度有关问题等）转化为相应的复数问题，然后再用复数知识方法解决。此方 法常用到以下有关公式： ① 则z 定比分点公式： 若 Z1Z ZZ 2 ，


z1 z2 1 .当 1 时，z ( z1 z2 ) 即 1 2
为中点公式。 ②
Z1 、 Z 2 、 Z 3 三点共线
z2 z1 R. z3 z1
③
z z Z1Z 2 // Z3 Z 4 4 3 R. z2 z1
④ S pr Rr Rr (sin A sin B sin C )
4 Rr cos
⑤S
A B C cos cos ; 2 2 2
abc ; 4R
a 2 sin B sin C b 2 sin A sin C c 2 sin A sin B ⑥S 2sin( B C ) 2sin( A C ) 2sin( A B)
从而
PC AP . QD AQ
设 PQ 的中点为 K , BE , CD, AF 的中点分别为 M , N , O .
下证: KN PQ . 事实上, KN PQ KN PQ 0

PC QD PA AQ 0 .
化简,得 2( a c b d ) ( ac bd )( a c)(b d ) .这就是②.
2 2 2 2
故命题成立. 例 4 ABC 中， BD, CE 为内角平分线，内心为 I ，作 IP DE 交 DE 于 P ，交 BC 于 Q ，若 IP
1 IQ. 2
从而
2 1 1 2 1 1 ( ( ))( ( )) a b d c b d . 1 1 ( )2 b d
化简,得 2( a c b d ) ( ac bd )(a c)(b d ) . ②
2 2 2 2
现需证 b, e,
ac 所对应的复平面上的点共线,即只需证 2
则
a b b c c a a b b c c a
2 2

2
0.
a b, b c, c a 中至少有一个成立.
即 P 至少位于 ABC 的一条中线上. 例 2 在凸五边形 ABCDE 中, BAC EAD , BCA EDA .直线 BC 与 DE 相 交于点 F . 求证: 三条线段 BE , CD, AF 的中点共线. 证明: 过 A 作 AP BC , AQ ED ,垂足分别为 P, Q . 设 AQ 交 BC 于 R , AP 交 ED 于 S .则 PRA ASQ ,且 APC AQD .
ac b 2 R . ac e 2 ac ac ac b b b 而 2 R 2 2 ac ac a c e e e 2 2 2
1 1 ac a c 1 b b , 2 注意到①,只需证 2 a c ac 1 1 d d a c ac 2
④
z z Z1Z 2 Z3 Z 4 4 3 ki (k 0). z2 z1
Z1Z 2 Z 3 为正三角形 z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3 z2 z3
⑤ ⑥
S Z1Z2 Z3
1 Im( z1 z2 z2 z3 z3 z1 ). 2

证明： A 60 .
A
证明: 设 IBC
, ICB , IDE y .
E
N P
IED x, BIE
I
作 IM BC 于 M ,则
IQM 900 y .
B
Q
M
C
所以
IQ
IM IM . 0 sin( 90 y ) cos( y ) IN sin x . sin(
注：以上点 Z 对应的复数用 z 表示。 4、向量法 由于向量既反映数量关系， 又体现位置关系， 所以它能数形相辅地用代数方法研究几何 问题，即把几何代数化，时几何问题能用代数运算解决，由此可见，解析法、复数法实质上 是一种特殊的向量方法，向量法兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性等待点. 使用向量法应注意一下几点： ① 算。 ② 在确定点的位置时，一般用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿于整 首先要在图中指定一些线性无关的向量为基础的向量， 然后以此为依据进行计