一、动量算符1、动量算符的本征值方程是动量算符的本征值,
《量子力学》课程6
2 p ( r ) p ( r ) d c e
* 2
d dxdydz
c
i
e
[( p x p x ) ( p y p y ) y ( p z p ) z ] x z
3 2
p (r )
1
e
i p r
量子力学
函数为
(x) px
1 ( 2 )
1/ 2
i
e
pxx
3、箱归一化
如果我们仍然要求按通常的归一化方式 对动量本征函数归一化，就必须放弃无穷空 间的积分，采用箱归一化方法。以一维为例 [ L , L ] 中运 讨论。设粒子只能在有限空间 2 2 动。由
(x) pn
1 L
i 2 n x
e
L
则满足归一化条件
* pn
pn
dx 1
讨论： h L , p n p n 1 p n L 0 1）当 h 则本征谱由分立谱变成了连续谱 L dp 2）三维情况：粒子被限制的边长为 L 的一个 正方形箱中，取箱的中心为坐标原点，波函 数满足的周期性边界条件为：在两个相对的
L
i L
dx
L 2
i
*
dx
2
L 2
) (
L 2
)
所以对于任意的 ,
(L) 2
*
都有
const 1
( L ) 2
*
量子力学 第一节 力学量算符 教案
第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：, ,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三 算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四 算符之积定义: 算符 与 的积 为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。
五 逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六 算符的复共轭，转置，厄密共轭1． 两个任意波函数与的标积2． 复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节 力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于 测量力学量O ，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量 所得结果完全确定。
即. 这种状态称为力学量的本征态。
在这种状态下称为算符的一个本征值， 为相应的本征函数。
二 力学量算符的性质 1. 力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量 时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。
动量算符的本征函数
动量算符的本征函数动量算符是量子力学中的一种物理量算符，表示粒子的动量。
它在动量空间中是Hermitian的，其本征值对应着测量结果，本征函数描述了相应的量子态。
动量算符的本征函数可以通过求解薛定谔方程得到。
薛定谔方程是描述量子力学系统演化的基本方程，它是一个偏微分方程，其一般形式为：<i>Ĥψ = Eψ</i>其中，Ψ是波函数，表示系统的状态，Ĥ是哈密顿算符，E是能量的本征值。
在动量空间中，薛定谔方程可以写成动量算符p的本征值方程：<p> (p^2/2m)Ψ(p) = EΨ(p)</p>这个方程可以化简为：<p>-(ħ^2/2m) ∇^2 Ψ(p) = EΨ(p)</p>其中，∇^2是动量空间中的拉普拉斯算符。
这个方程的解为：<p>Ψ(p) = Ae^(ipr/ħ)</p>其中，A是归一化常数。
动量算符的本征函数（平面波）描述了自由粒子的行为，其形式为一个平面波的波函数。
平面波具有无限延展性和确定的动量。
其波函数描述了粒子的位置和动量空间的分布。
动量算符的本征函数具有如下特点：1. 平面波性质：动量算符的本征函数描述了自由粒子的行为，其波函数是一个平面波，表现为空间均匀延伸。
2. 经典粒子对应：经典力学中，粒子的动量是直接测量得到的物理量。
在量子力学中，动量算符的本征函数对应着经典粒子的动量。
3. 正交性：动量算符的本征函数在正交归一的基础上构成完备集，即可以通过线性组合构造出任意波函数。
4. 不确定性原理：根据不确定性原理，动量和位置是不能同时精确测量的。
动量算符的本征函数描述了粒子的位置空间波函数分布，与位置算符的本征函数具有相似的统计性质。
动量算符的本征函数在量子力学中有着重要的应用。
在量子力学中，粒子的动量是其运动状态的基本特征之一，动量算符的本征函数描述了粒子的动量分布和运动方式。
通过测量动量算符的本征值，可以得到粒子的动量信息，从而了解量子态的特性和演化过程。
动量算符和角动量算符
当波函数ψ 表示为坐标 x 、y 、z 的函数时，动量 p 和动量算符 − ih∇ 相对应，定义动量算符 pˆ ：
pr → prˆ = −ih∇
px
=
−ih
∂ ∂x
py
=
−ih
∂ ∂y
pz
=
−ih
∂ ∂z
本征方程： 各分量方程：
显然有如下性质
lˆ++ = lˆ− ， lˆ−+ = lˆ+
这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系
[lˆz , lˆ± ] = ±hlˆ± ， [lvˆ 2 , lˆ± ] = 0 ， lˆ+lˆ− = lvˆ 2 − lˆz2 + hlˆz ， lˆ−lˆ+ = lvˆ 2 − lˆz2 − hlˆz ④ Lˆ2 在球坐标中的表示
或
∇2 = − pˆr2 − lvˆ 2 = − pˆr2 − lvˆ 2
h2 h2r2
h2 h2r2
其中
pˆ r
=
h( ∂ i ∂r
+
1 ), r
pˆ r2
=
−h 2
1 r2
∂ ∂r
(r 2
∂ )， ∂r
pˆ r 可称为径向动量算符。
③角动量升降阶算符
(I) 定义
5
lˆ+ = lˆx + ilˆy ， lˆ− = lˆx − ilˆy
例： l = 1 m = 0 时，写出Ylm (θ ,ϕ) = Y10 (θ ,ϕ)
r
x
将 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 两边分别对 x 、 y 、 z 求偏导，得 ∂r ， ∂r ， ∂r ∂x ∂y ∂z
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
⑴动量算符的本征值。其中，为的本征值，是属于的本征态。为求其本征....
2.p pL ξ∧∧→→∧→和的本征值方程1、动量算符⑴动量算符的本征值。
p p p i p r p r i iψψ→→∧∧→→→→→⎛⎫⎛⎫=-∇=∇∴∇= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的本征方程为 其中，p →为p ∧→的本征值，p r ψ→→⎛⎫ ⎪⎝⎭是属于p →的本征态。
为求其本征态，可先求x p ∧的本征态，其本征值方程为()()()x y z 'p p p p p p i r r x c exp y z r cexp p r x x i p p x x i ψψψψψψ→→→→→→→→∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其解为：同理可得：，综合可得： 讨论：若粒子位置不受限制，则x p p p y z （,）可取一切实数值（,-∞+∞），它是连续变化的，上述本征态表示平面波，是不能归一化的。
⑵连续谱本征态是不能归一化的。
量子力学中最常见的几个力学量是：,,,r p L E →→→其中，r →和p →的取值（本征值）是连续变化的，L →的本征值是分立的。
而E 的本征值往往兼而有之。
将看到，连续谱的本征态是不能归一化的。
以p →本征态为例，一维粒子的本征值为p →的本征态为平面波：()()22,()0,ipxp p x ce p c x dx cdx ψψ+∞+∞-∞-∞=-∞<<+∞≠==∞⎰⎰显然只要这个结论的理解：因为()p x ψ描述的状态下，几率密度为常数2c （()2222ipx p x c ec ψ==）即粒子在空间各点的相对几率是相等的。
在().x x dx +内找到粒子的几率为()220p x dx c dx dx c ψ∝=∝≠只要在全空间找到粒子的几率必定是无穷大。
习惯上常取()x ip x p x e ψ=。
⑶δ函数为处理连续谱本征态“归一化”问题，引用狄拉克δ函数是很方便的。
一维δ函数定义为：()()()()()0,,a 0f 1x 1x ax a f x x a dx f a x a x d δδδ+∞-∞+∞-∞≠⎧-=-=⎨∞=⎩===⎰⎰以及：....⑴取，，得：即δ函数对全实数轴的积分等于1.利用傅里叶积分公式，可以将δ函数用具体形式表示出来：()()()()()()()()]()()()()()'''''''''....()......ikx ikxikx ikx ik x x f x g k e dk f x x g k f x edxf x f x e dx e dk f x e dk dx x f x x x δ+∞+∞-+∞+∞--∞-∞+∞+∞--∞-∞+∞-∞==⎡∴=⎢⎣⎡⎤=⎥⎦-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰的傅氏变换为g 其逆变换为：⑵(f =dx )比较⑴和⑵得：()()''()11ik x x ikxx x edkx edkδδ+∞--∞+∞-∞-==⎰⎰或所以，若取动量本征态为()()()()()()''''exp exp xx xx p p x x p x x x x ip x x i x x dx p p x dx i x p p x d p p ψψψδ+∞+∞*-∞+∞-∞⎛⎫=⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰ 则： 于是，平面波“归一化”就用δ函数的形式表示出来了。
第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系 ppt课件
1.坐标和动量
[,] 0 [pˆ, pˆ]0 [,p ˆ]i (,x,y,z)
2.角动量和坐标
[Lˆx , x] 0 [Lˆx, y]i z
[Lˆx,z]i y
即
[Lˆ,]i 或 [,Lˆ]i
3.角动量和动量
[Lˆx, pˆx] 0
[Lˆx, pˆy]i pˆz
即
[L ˆ,p ˆ]i p ˆ
22 r12rr2r2Lˆ2r2
pˆ
2 r
2
Lˆ2
2r2
径向动能算符 横向动能算符
其中径向动量算符 这是因为
pˆr
i r
1 r
p ˆr22r1 r r r2 2 r 2 r21 r r1 r r r2
2
2
r2
2 r
r
2
r2
r
r2
r
2
1 r
2 r2
(r
)
几个重要算符在球坐标系中的表示
1.算符的共轭
数： caib
cc*aib
矩阵： F ij
Fij Fj*i （即转置后取复共轭）
算符： 对任意的波函数 和1 ，2 的Aˆ 共轭 满足Aˆ
1 *A ˆ 2 d 2(A ˆ1 )*d
如 Aˆ c（复数），则
1 * c 2 d ( c1 ) *2 d1 * c *2 d
sinsin cossin
cosi sinj
e sin cos
0 k
3. 的Lˆ 本z 征解
Lˆz
i
d d
m
Aeim
由周期性条件
()(2) eim2 1 m 0 , 1 , 2 ,
本征值
m ( m 0 , 1 , 2 , )
量子力学中的位置与动量算符
量子力学中的位置与动量算符量子力学是描述微观世界的一种物理学理论，它的基础是量子力学方程和算符。
在量子力学中，位置和动量是两个基本物理量，它们的算符分别是位置算符和动量算符。
本文将详细介绍量子力学中的位置与动量算符，包括它们的定义、性质以及它们之间的关系。
一、位置算符在经典力学中，位置是一个确定的物理量，可以用一个具体的数值来描述。
然而，在量子力学中，位置并不是一个确定的量，而是一个算符，即位置算符。
位置算符用符号x表示，它的定义是：x = iħ∂/∂p其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，∂/∂p表示对动量p求偏导数。
位置算符的本质是描述粒子在空间中的位置分布。
位置算符的性质有以下几点：1. 位置算符是厄米算符。
厄米算符是指满足厄米共轭关系的算符。
对于位置算符x来说，它的厄米共轭算符是x†=x。
2. 位置算符的本征态是位置本征态。
位置本征态是指满足位置本征值方程的态。
对于位置算符x来说，位置本征值方程是x|x⟩=x'|x⟩，其中x'是位置本征值，|x⟩是位置本征态。
3. 位置算符的本征值是连续的。
在经典力学中，位置是连续变量，而在量子力学中，位置算符的本征值也是连续的。
二、动量算符动量是一个描述物体运动状态的物理量，它的算符是动量算符。
动量算符用符号p表示，它的定义是：p = -iħ∂/∂x其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，∂/∂x表示对位置x求偏导数。
动量算符的本质是描述粒子的运动状态。
动量算符的性质有以下几点：1. 动量算符是厄米算符。
对于动量算符p来说，它的厄米共轭算符是p†=p。
2. 动量算符的本征态是动量本征态。
动量本征态是指满足动量本征值方程的态。
对于动量算符p来说，动量本征值方程是p|p⟩=p'|p⟩，其中p'是动量本征值，|p⟩是动量本征态。
3. 动量算符的本征值是连续的。
与位置算符类似，动量算符的本征值也是连续的。
三、位置与动量算符的关系在量子力学中，位置算符和动量算符之间存在一种重要的关系，即不确定关系。
算符的本征值与本征态
算符的本征值与本征态算符是量子力学中非常重要的概念之一，用于描述物理量的性质和测量结果。
在量子力学中，算符的本征值与本征态是非常有用的工具，它们可以帮助我们理解和计算系统的物理性质。
本文将介绍算符的本征值与本征态的概念及其在量子力学中的应用。
一、算符的本征值和本征态的定义在量子力学中，算符用来描述测量物理量的操作。
一个算符作用于一个波函数上，会得到一个新的波函数或者一个数值结果。
当算符作用于一个波函数时，如果结果等于原波函数乘以一个常数，这个常数就是算符的本征值，而原波函数就是算符的本征态。
根据量子力学的原理，每个物理量都有对应的算符。
例如，位置算符描述了粒子在空间中的位置，动量算符描述了粒子的动量，能量算符描述了粒子的能量等。
这些算符都有自己的本征值和本征态。
二、算符的本征值与本征态的性质算符的本征值和本征态具有一些重要的性质。
首先，算符的本征值只能取实数或复数。
其次，算符的本征值可以是离散的或连续的。
对于离散的本征值，我们称其为离散谱；对于连续的本征值，我们称其为连续谱。
算符的本征态具有归一化的性质，即本征态的模长平方等于1。
本征态之间也可以进行线性组合，得到新的波函数，这些新的波函数也是算符的本征态。
因此，本征态构成了一个完备的正交基。
三、算符的本征值与本征态的应用算符的本征值与本征态在量子力学中有广泛的应用。
首先，它们用于描述系统的物理性质。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的所有本征值和本征态，从而了解系统的能级以及相应的波函数形式。
其次，算符的本征值与本征态用于描述量子测量的结果。
当我们对一个物理量进行测量时，测量结果就是算符的某个本征值，而物理系统处于相应的本征态。
算符的本征值与本征态还可以用于计算系统的平均值和方差。
平均值描述了物理量的期望值，而方差描述了测量结果的离散程度。
此外，算符的本征值与本征态在量子力学中的对易性质也是非常重要的。
通过研究不同算符的对易关系，我们可以推导出一些重要的定理，如不确定性原理等。
量子力学 第二章 算符理论
第二章（一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。
接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。
之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。
最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。
1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。
在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =⇔=αβ。
总之，方阵与线性变换一一对应。
由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。
②微分算子：在微积分中2222,,,ii x f x f dx f d dx df ∂∂∂∂ 也可简写成f f f D Df 22,,,∇∇。
前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。
简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f Dmixμ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。
考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ˆ，它的本征方程是ψ=ψλQˆ或λψψ=Q ˆ，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」（或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ，如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ）⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ˆ作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ˆ的本征值iλ。
动量算符角动量算符
这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm ( ,) ： Ylm(,) NlmPl m (cos)eim m 0, 1, 2, l (21) Pl m (cos ) 是缔合勒让德多项式，Nlm 是归一化常数。
Nlm由Ylm ( ,) 的归一化条件定出：
0
2 0
Ylm ( ,)Ylm ( ,) sin d d
2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
§3.2 动量算符和角动量 算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
函p 是数。动分量量算式符：的本征i 值，xpp((rr))是属px于 p此(r本) 征值的本征
i
y
p (r )
py
p (r )
i
z
p (r )
pz
p (r )
它们的解是 p (r ) C exp( i p r ) (2)
二、角动量算符
１、定义：角动量算符 L rˆ pˆ (12)
分量式为
Lˆx ypˆ z zpˆ y
( y z ) i i z y
(y z ) z y
Lˆy zpˆ x xpˆ z
(z x ) i i x z
力学量与算符
令本征值 令本征值
′h2 上式可写为： λ = λ 上式可写为：
该微分方程被称为球谐方程。 该微分方程被称为球谐方程。在数学物理方法中 有专门的讲述
ˆ Aunj =anunj
j =12,3,⋅⋅⋅g ,
g 为简并度
ˆ = −ih d 的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 例1：求解算符 Lz ： dϕ
解：首先写出该算符的本征值方程为： 首先写出该算符的本征值方程为：
ˆ Φ(ϕ) =−ih d Φ(ϕ) = L Φ(ϕ) Lz z dϕ i 求解此方程： 求解此方程： dΦ i Lzϕ = Lzdϕ ⇒Φ(ϕ) =ceh Φ h
i Lz 2π eh
Φ(ϕ) =Φ(ϕ +2π)
=1
2 Lz π +isin 2πLz =1 cos h h 2πLz 2 Lz π =m2π m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ cos =1⇒ , h h
则本征值及本征波函数为： 则本征值及本征波函数为：
Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , Φ(ϕ) =ceimϕ 积分常数c 利用归一化条件来确定积分常数 ： 2π 1 2 2 ∫0 Φ(ϕ) dϕ = c 2π =1⇒c = 2π 最后结果： 最后结果： Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , 1 imϕ Φ(ϕ) = e 2π
§2、力学量的测得值与平均值
问题: 问题 如何确定在一定的微观状态下, 如何确定在一定的微观状态下 微观粒子各力学量的取值呢? 微观粒子各力学量的取值呢
对微观粒子进行力学量的测量, 对微观粒子进行力学量的测量 每次测得的结果只能是该力学量算 符的所有本征值中的一个. 符的所有本征值中的一个
量子力学中的算符与本征值
量子力学中的算符与本征值量子力学是一门具有浓厚抽象性和深远影响的科学学科，而算符与本征值则是它的核心概念之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨算符与本征值在量子力学中的重要性和应用。
量子力学中的算符是用来描述物理量的数学运算符号，通常用字母表示，如动量算符p、位置算符x、能量算符H等。
这些算符与经典力学中的物理量类似，但它们的性质和运用有着本质的不同。
在量子力学中，算符具有两个重要的特性：线性性和非对易性。
线性性意味着一个算符作用于多个态的叠加态时，其结果等于对每个态作用后的叠加；非对易性则表明两个算符的乘积与它们的顺序有关。
量子力学的核心理论是薛定谔方程，它描述了体系的波函数在时间和空间上的演化规律。
在解薛定谔方程的过程中，算符与本征值的重要性得以彰显。
我们知道，算符作用于波函数可以得到一组数，这些数便是算符的本征值。
而与之对应的，是一组与本征值对应的本征态，它们是算符在某个特定本征值下的特殊解。
本征值和本征态的组合构成了量子力学的基本框架。
算符与本征值不仅仅是量子力学的数学形式，更具有实际的物理意义。
我们以动量算符p为例来说明。
当动量算符作用于某个波函数时，它会得到一个数，这个数便是动量算符的本征值。
然而，本征值本身并没有很大的意义，更重要的是与之对应的本征态。
本征态描述了体系的物理状态，通过对本征态的展开，我们可以得到某个动量本征值下的概率分布。
这使得我们能够研究粒子的运动规律和性质。
除了描述物理量，算符还可以描述物理过程中的变换。
我们以位置算符x为例。
当位置算符作用于一个波函数时，它将会使波函数发生平移。
这个平移的大小正好等于位置算符的本征值。
因此，通过位置算符，我们可以研究粒子运动的轨迹与位置分布。
而对于一些对称性问题，如空间反演对称性和时间反演对称性等，我们可以利用相应的算符来描述相应的变换关系。
算符与本征值的重要性和广泛应用不仅限于基本的量子力学理论，还涉及到其他领域的研究。
在固体物理和材料科学中，电子结构的计算和分析通常涉及到算符的代数运算和本征值的求解。
动量算符的本征函数
动量算符的本征函数动量算符是量子力学中的一个重要物理量算符，用于描述粒子的运动状态。
动量算符的本征函数和本征值在量子力学中有较广泛的应用，例如描述粒子的波函数和能级结构等。
本文将简要介绍动量算符的本征函数相关内容。
1. 符号表示：在描述动量算符时，常用符号表示为p，表示为一个矢量，其方向与粒子的运动方向一致。
根据量子力学的原理，动量算符是一个矢量算符，可以表示为：\hat{p} = (\hat{p}_x,\hat{p}_y,\hat{p}_z)2. 动量算符的本征值和本征函数：动量算符的本征函数表示粒子的运动状态。
通常使用波函数ψ(x,y,z)来描述粒子的运动状态，其中x、y、z分别表示粒子在坐标轴上的位置。
动量算符连接了波函数和其导数之间的关系，即：\hat{p}\psi(x,y,z) = p_x\frac{\partial}{\partial x}\psi(x,y,z) +p_y\frac{\partial}{\partial y}\psi(x,y,z) +p_z\frac{\partial}{\partial z}\psi(x,y,z) = p\psi(x,y,z)其中p_x、p_y、p_z分别为动量算符在x、y、z方向上的本征值。
根据量子力学的原理，动量算符的本征值是实数。
3. 动量算符的本征函数的特点：动量算符的本征函数具有一些重要的特点，如下所示：（1）动量算符的本征函数是正交的：即对于不同本征值的本征函数，它们之间的内积为零，即<ψ_p | ψ_{p'}> = 0，其中p、p'为不同的本征值。
（2）动量算符的本征函数是归一化的：即对于具有相同本征值的本征函数，它们的模的平方的积分等于1，即∫|ψ_p|^2 dV= 1，其中V为三维空间的体积元。
（3）动量算符的本征函数具有平面波的形式：在动量空间中，动量算符的本征函数可以用平面波来描述，即ψ_p(x,y,z) =e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}，其中\mathbf{p} =(p_x,p_y,p_z)为动量的矢量，\mathbf{x} = (x,y,z)为坐标的矢量。
角动量算符的本征值和本征函数
角动量算符的本征值和本征函数角动量算符是量子力学中非常重要的一个概念，它描述了粒子的旋转运动。
而角动量算符的本征值和本征函数则是解决角动量问题的基础。
我们来了解一下角动量算符的定义。
在量子力学中，角动量算符是用来描述粒子围绕一个固定点旋转的运动的。
它是一个矢量算符，通常用符号$\hat{L}$表示。
角动量算符可以被分为轨道角动量算符和自旋角动量算符两种类型。
轨道角动量算符$\hat{L}$描述的是粒子在绕某个点旋转时的运动，而自旋角动量算符$\hat{S}$描述的是粒子自身固有的旋转运动。
接下来，我们来了解一下角动量算符的本征值和本征函数。
本征值和本征函数是解决角动量问题的基础。
本征值是指在某个特定的状态下，测量角动量算符所得到的结果。
而本征函数则是指在这个状态下，角动量算符作用于某个量子态所得到的结果。
对于轨道角动量算符$\hat{L}$来说，它的本征值为$L(L+1)\hbar^2$，其中$L$为量子数，$\hbar$为普朗克常数除以$2\pi$。
轨道角动量算符的本征函数是球谐函数，它们描述的是粒子在三维空间中的运动。
对于自旋角动量算符$\hat{S}$来说，它的本征值为$s(s+1)\hbar^2$，其中$s$为自旋量子数。
自旋角动量算符的本征函数是自旋函数，它们描述的是粒子自身固有的旋转运动。
在物理学中，我们经常需要计算多个角动量算符的本征值和本征函数。
这时候，我们可以使用CG系数来计算。
CG系数是一组复数系数，它们描述的是两个角动量算符的本征函数之间的关系。
角动量算符的本征值和本征函数是解决角动量问题的基础。
我们可以使用它们来计算粒子的旋转运动，以及多个角动量算符之间的关系。
在量子力学中，角动量算符的本征值和本征函数是非常重要的概念，对于我们理解粒子的旋转运动和量子力学的基础理论都有着重要的作用。
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。
(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。
(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。
(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。
这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。
2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。
本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。
3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。
对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。
4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。
对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。
5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。
其中a和b分别是A和B的本征值。
6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。
如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。
第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。
动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。
动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。
§3.1-3.2 表示力学量的算符 动量算符和角动量算符
[Ô, Û] = 0 (Ô Û)+ = Ô Û
1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
d d d2 (1) 4 x 2 2 (c1u1 + c2u2 ) = 4 x 2 2 (c1u1 ) + 4 x 2 2 (c2u2 ) dx dx dx d2 d2 = c1 ⋅ 4 x 2 2 u1 + c2 ⋅ 4 x 2 2 u2 是线性算符 dx dx
（3Байду номын сангаас算符之和
若两个算符 Ô、Û 之和定义为：对体系的任何波函数 有： 、 之和定义为：对体系的任何波函数ψ
(Ô＋Û)ψ=Ôψ+ Ûψ
Hˆ = Tˆ + V ˆ 算符 Hamilton 体系动能算符 势能算符 表明 Hˆ 等于 Tˆ 和 V ˆ 之和。 之和。
显然，算符求和满足交换率和结合率。 显然，算符求和满足交换率和结合率。
4 掌握氢原子的量子力学处理方法和相关的结果。了 解 掌握氢原子的量子力学处理方法和相关的结果 氢原子的量子力学处理方法和相关的结果。 氢原子内电子坐标取值的概率分布、 氢原子内电子坐标取值的概率分布、电流密度分布和原 子磁矩的概念。 子磁矩的概念。 5 掌握厄密算符的性质：本征值为实数，本征函数的正 掌握厄密算符的性质 本征值为实数， 厄密算符的性质： 交性和完备性。 交性和完备性。 6 理解和掌握测不准关系。 理解和掌握测不准关系。 测不准关系
例如： 例如：算符 x ∂ ˆ px = −iℏ ∂x 不对易。 不对易。
证：
ˆ (1) xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ = − iℏx ∂∂x ψ
ˆ (2) px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ = −iℏψ − iℏx ∂∂x ψ
动量算符的本征函数
动量算符的本征函数动量算符是量子力学中的一个重要概念，它描述了物体运动的特征。
在量子力学中，动量算符的本征函数是指在特定的动量值下，物体的波函数满足一定的条件。
本文将讨论动量算符的本征函数及其性质。
首先，我们需要了解动量算符及其作用。
动量算符可以表示为：$$\hat{p}=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$其中，$\hbar$是普朗克常数，$i=\sqrt{-1}$，$\frac{\partial}{\partial x}$是对波函数的空间坐标$x$求偏导。
动量算符的作用是将波函数沿着$x$方向推动一定的距离，同时改变它的相位。
对于一个具有确定动量的粒子，其波函数可以表示为：$$\psi(x)=Ae^{i\frac{px}{\hbar}}$$其中，$A$是归一化系数，$p$是粒子的动量。
这个波函数是动量算符的本征函数，因为它满足动量算符$\hat{p}$作用下的本征方程：$$\hat{p}\psi(x)=p\psi(x)$$我们可以看到，当动量算符作用于这个波函数时，得到的结果是其动量的本征值$p$乘以自身。
这表明波函数的形式是固定的，但是其大小和相位会根据动量的不同而发生变化。
通过上述内容，我们可以得出动量算符的本征函数具有以下性质：1. 动量算符的本征函数是沿着$x$方向定向的平面波。
2. 动量算符的本征函数具有确定的动量值。
3. 动量算符的本征函数是归一化的（其积分值为$1$）。
4. 动量算符的本征函数是相互垂直的，也就是说，它们是正交的。
除了以上列举的性质之外，动量算符的本征函数还具有一些其他的性质。
例如，它们可以用来表示任何函数都可以分解为一系列具有确定动量的平面波的线性组合。
因此，动量算符的本征函数在物理学的各个领域中都有重要的应用，比如固体物理、量子化学、粒子物理等等。
总之，动量算符的本征函数是量子力学中的一个基本概念，它描述了物体运动的特征。
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2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
)d
1 L3
L
L
L
2 dx 2 dy 2 dz 1
L 2
L 2
L 2
这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件
归一化方法，称为箱归一化。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数， 它是动量算符的本征态。
(r , t)
1
(2
)3 2
e i ( pr Et) (11)
测量粒子的动量 p ，有确定值 p ，即动量算符的本征值。
９、球谐函数的例子：
s态 : Y00
1 p态 :
4
Y1,1
3 sin ei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sin ei 8
可取 (2l 1)个不同值，即对于Lˆz 的一个本征值 l(l 1) 2 ，有 (2l 1)个不同的本征函数 Ylm ( ,) 。
l 0,1, 2,3 分别称为s态,p态,d态,f 态
８、简并和简并度
若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数，称 为状态简并，这类本征函数的数目称为简并度。
Lˆ2 本征值是 (2l 1)度简并的。
相邻两个分立值的差：
px
2
L
,
py
2
L
,
pz
2
L
当 L 时， px dpx , py dpy , pz dpz , 分立
值 连续谱。
引入周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化
为１，归一化常数 C
1
3
，即
L2
p
1
3
exp i p r (10)
L2
证：
p
(r
)
p
(r
2
2
Y
(
,
)Leabharlann Y(,)
(19)
其中，Y ( ,)是 Lˆ2 算符属于本征值 2的本征函数。
５、角动量平方本征值方程的解
方程(19)是缔合勒让德方程，波函数标准条件要
求 Y ( ,)
在
，
变化的范围都能取有限值。
: (0, ) : (0, 2 )
必须取限制条件确定本征值 ，才可以使无穷级
数中断成为多项式： l(l 1) l 0,1, 2, (20)
本征值 ( px , py , pz ) p 可取所有实数，构成连续谱。
２、动量本征函数的归一化
p (r ) C exp( i p r ) 求归一化常数 C ？
计 算 积 分 ：
p
(r
)
p
(r
)d
C2
exp
i
( px
px ) x
( py
py) y
( pz
pz
)
z
dxdydz
６、角动量 z 分量算符 Lˆz的本征值方程
LˆzYlm (,) m Ylm (,) (25) Lˆz 算符的本征值为 m ，本征函数为Ylm ( ,) 。
７、角量子数与磁量子数
(24)式中 l 表示角动量的大小， l 称为角量子数，而 m 则称为磁量子数。对于一个 l ，m 0, 1, 2, l ，共
这时，方程(19)的解是球谐函数 Ylm ( ,) ： Ylm(,) NlmPl m (cos)eim m 0, 1, 2, l (21) Pl m (cos ) 是缔合勒让德多项式，Nlm 是归一化常数。
Nlm由Ylm ( ,) 的归一化条件定出：
0
2 0
Ylm ( ,)Ylm ( ,) sin d d
＋ exp
－
i
(
px
px ) x dx
2
( px px), 其中 ( px px)
是以px px为宗量的函数。
p
(r
)
p
(r
)d
(2 )3C2 ( px px) ( py py) ( pz pz)
C2 (2 )3 ( p p)
如果取 数。
C2
1
(2
)3
，则动量本征函数归一化到
这样p x 只能取分立值：
px
nx
2
L
nx 0, 1, 2,
(7)
同理，根据周期性条件 (x, L , z) (x, L , z) 和
(x,
y,
L)
(x,
y,
L)
2
可得到
2
2
2
py
ny
2
L
, ny 0, 1, 2,
(8)
pz
nz
2
L
, nz 0, 1, 2,
(9)
设想将粒子限制在一个边长为L的正方形箱中，取 箱中心为坐标原点。引入周期性边界条件：要求波函数 在两各相对的箱壁上的对应点有同值，即
( L , y, z) ( L , y, z)
2
2
C
exp
i
(
1 2
px L
py y
pz z)
C
exp
i
(1 2
px L
py
y
pz z) (5)
或 exp i ( pxL) 1 pxL 2nx , nx 0, 1, 2, 3 (6)
y r sin sin cos z / r (15)
z r cos tan y / x z
可得
Lˆx i
(sin
ctg cos )
Lˆy
i
(cos
ctg sin ) (16)
y
Lˆz i
x
和
Lˆ2z
2 2 (17)
2
Lˆ2
函
即
p
(r
)
p (r )d
(p
p) (3)
其中 p (r ) 1 3 exp( i p r ) (4) (2 ) 2
为什么 p (r ) 不能归一化为1，而是归一化为 函数：
这是由于动量本征值可以取连续值， p 的各分量可取任
意实数，动量本征值构成连续谱。
３、动量本征值的分立化：箱归一化
§3.2 动量算符和角动量算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
函p 是数。动分量量算式符：的本征i 值，xpp((rr))是属px于 p此(r本) 征值的本征
i
y
p (r )
py
p (r )
i
z
p (r )
pz
p (r )
它们的解是 p (r ) C exp( i p r ) (2)
1 (22)
得 Nlm
(l m )! 2l 1 (23)
(l m )! 4
所以，角动量平方算符的本征值是l(l 1) 2， 本征
函数是式(20)所属的球谐函数 Ylm ( ,) ： Lˆ2Ylm(,) l(l 1) 2Ylm(,) (24)
本征方程(24)是式(18)的简化表示。
二、角动量算符
１、定义：角动量算符 L rˆ pˆ (12)
分量式为
Lˆx ypˆ z zpˆ y
( y z ) i i z y
(y z ) z y
Lˆy zpˆ x xpˆ z
(z x ) i i x z
(z x ) (13) x z
Lˆz xpˆ y ypˆ x
(x y ) i i y x
(x y ) y x
２、角动量平方算符定义：
Lˆ2 Lˆ2 Lˆx2 Lˆy2 Lˆz2
2
(
y
z
z
y
)2
(
z
x
x
z
)2
(
x
y
y
x
)2
(14)
利用直角坐标和球坐标变量之间的关系 (x, y, z) (r,,)
x r sin cos r2 x2 y2 z2