6、第六讲：数的整除性(二)
《数的整除特征》课件
数据存储与传输
在计算机科学中，整除是一个非常重要 的概念。例如，在数据存储和传输中， 我们需要用到二进制数，而二进制数的 整除可以用来进行数据的加密和解密。
VS
算法设计与优化
在算法设计和优化中，整除也是一个非常 重要的概念。例如，在排序算法中，我们 可以利用整除来快速判断一个数是否为整 数，从而优化算法的性能。
数的整除特征
偶数的整除特征
总结词
偶数可以被2整除
详细描述
偶数是能被2整除的整数，其特征是末尾数字为0、2、4、6或8。偶数的整除特 性表明，偶数除以2的余数为0。
奇数的整除特征
总结词
奇数不能被2整除
详细描述
奇数是除以2余数为1的整数，其特征是末尾数字为1、3、5、7或9。奇数的整除特性表明，奇数除以 2的余数只能是1。
《数的整除特征》ppt 课件
目录
• 整除的定义与性质 • 数的整除特征 • 整除的应用 • 数的整除特征的扩展知识 • 练习与思考
CHAPTER 01
整除的定义与性质
整除的定义
整除：如果整数a除以整数b（ b≠0）的余数为0，那么就称a能
被b整除。
整除是数学中的一个基本概念， 是研究整数的一个重要的分支。
Байду номын сангаас
判断题
一个数如果是3的倍数，那么它 一定是9的倍数。（ ）
选择题
一个四位数，千位数字是个位数 字的2倍，百位数字是个位数字 的3倍，十位数字是个位数字的4
倍，这个四位数是（ ）。
填空题
一个四位数，千位数字是百位数 字的2倍，百位数字是十位数字 的3倍，个位数字是十位数字的4 倍，这个四位数的千位数字是（ ），百位数字是（ ），十位数字 是（ ），个位数字是（ ）。
数的整除知识点范文
数的整除知识点范文数的整除是数学中一个重要的概念和知识点，它在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。
本文将详细讨论数的整除的定义、性质、判定方法以及一些常见的相关概念和定理。
一、整除的定义和性质在数学中，如果一个整数a能够被另一个整数b整除（即a能够被b整除），则称a是b的倍数，b是a的约数。
用数学符号表示为：如果a是b的倍数，则记作b，a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
如果a不能被b整除，则记作b∤a，读作“b不整除a”或“a不能被b整除”。
整除具有以下几个基本的性质：1.对于任意整数a，a，a（即一个数能够整除它自身）。
2.如果a，b且b，c，则a，c（即如果a能够整除b，b能够整除c，那么a可以整除c）。
3.对于任意整数a，1，a且a，a（即1能够整除任何数，任何数整除它本身）。
4.如果a，b且b≠0，则，a，≤，b，（即如果一个数能够整除另一个非零数，那么它的绝对值要小于等于另一个数的绝对值）。
二、整除的判定方法和性质1.朴素整除判定法：要判断一个数a是否能够被另一个数b整除，可以用以下方法：（1）求出a的所有约数；（2）判断b是否为a的约数之一这种方法的时间复杂度是O(a)。
2.整除的性质：（1）如果a，b且a，c，则a，(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
（2）如果a，b且a，c，则a，(b±c)。
（3）如果a，b且a，(b±c)，则a，c。
三、相关概念和定理1. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指整数a和b的最大正约数，记作gcd(a, b)；最小公倍数是指整数a和b的最小正倍数，记作lcm(a, b)。
两者满足以下性质：（1）gcd(a, b) = gcd(b, a)；（2）如果a能够整除b，则gcd(a, b) = ，a；（3）gcd(a, b) * lcm(a, b) = ，a * b。
2.质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。
它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。
下面将对数的整除进行详细总结。
一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。
可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。
二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。
2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。
3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。
4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。
5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。
6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。
三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。
如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。
2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。
四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。
2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。
3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。
4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。
例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。
2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。
数的整除性质
数的整除性质整数是我们日常生活中经常会接触到的概念，它们是自然数、负整数和零的总称。
在整数中，我们经常会遇到一种关系，那就是整除。
整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是没有余数。
在本文中，我们将探讨数的整除性质，包括整除的定义、性质和应用。
一、整除的定义首先，我们需要明确整除的定义。
设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得a=b×c，我们说a能被b整除，b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数。
简而言之，整除就是没有余数。
例如，6能被3整除，因为6=3×2；而8不能被3整除，因为8÷3=2余2。
因此，8不是3的倍数，3不是8的因数。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
证明：假设a=b×m，b=c×n，其中m和n是整数。
将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(c×n)×m=c×(n×m)，即a能被c整除。
2. 反对称性：如果a能被b整除，且b能被a整除，则a等于b的相反数或零。
证明：假设a=b×m，b=a×n，其中m和n是整数。
将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(a×n)×m=a×(n×m)。
那么，如果n×m等于1，也就是说a=a，那么a等于零；如果n×m等于-1，也就是说a=-a，那么a等于b的相反数。
3. 整除与加减法：如果a能被b整除，那么a加上或减去任意多个b后仍能被b整除。
证明：假设a=b×m，其中m是整数。
我们需要证明a+kb和a-kb都能被b整除，其中k是任意整数。
根据整数的加减法运算性质，a+kb=b×m+kb=b×(m+k)，a-kb=b×m-kb=b×(m-k)。
因此，a+kb和a-kb都能被b整除。
三、整除的应用整除的性质在数论和代数中有着广泛的应用。
数的整除课件
如果一个数能被另一个数整除，则它们的最大公约数等于被除数与 商的最大公约数。
最大公约数的整除应用
在数学、计算机科学等领域中，最大公约数的整除性质有着广泛的 应用。
最小公倍数的整除
01
最小公倍数的定义
两个或多个整数的最小正整数倍数。
02
最小公倍数的整除性质
如果一个数能被另一个数整除，则它们的最小公倍数等于被除数与商的
在计算机科学中的应用
在计算机科学中，整除的概念也具有广 泛的应用。例如，在计算机算法中，整 除的概念可以帮助我们快速准确地完成
各种计算和数据处理任务。
在计算机图形学中，整除的概念也经常 被用到。例如，当我们需要将图像分成 若干等份时，整除的概念可以帮助我们 确保每个图像的像素和比例都是相同的
。
在网络安全领域，整除的概念也具有广 泛的应用。例如，在加密算法中，整除 的概念可以帮助我们快速准确地完成各
者进行练习。
1. 题目
2. 题目
3. 题目
判断以下哪个数字可以 被7整除：14、28、35
、42。
一个数被12整除，那么 这个数的个位数字是多
少？
如果一个数除以8的余数 是5，那么这个数是多少
？
进阶练习题
总结词
这些题目难度稍有提升，需要 掌握一些整除的性质和规律。
1. 题目
求出以下数字的最大互质数的整除
互质数的整除
如果两个数的最大公约数为1，则它 们互质，互质数的两数相除，商为1 。
互质数的整除性质
互质数的整除应用
在数学、计算机科学、密码学等领域 中，互质数的整除性质有着广泛的应 用。
互质的两个数相乘，其积能被这两个 数整除。
数的整除性质
数的整除性质数的整除性质是数学中一个非常基础且重要的概念。
整除是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数叫做除数，能够被整除的数叫做被除数。
在数的整除性质中，有一些基本的定理和规律，我们一起来探讨。
一、整除的定义在数学中，如果存在整数a和b，使得b乘以a得到的结果等于一个整数c，那么我们就说b能够整除c。
这个定义可以用符号表示为：b|c，读作“b整除c”。
例如，4能够整除12，我们可以表示为4|12。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。
例如，如果2能够整除4，4能够整除8，那么2一定能够整除8。
2. 自身整除：任何一个数都能够整除自身。
例如，5能够整除5。
3. 1整除任何数：1能够整除任何一个数。
例如，1能够整除8。
4. 零的整除性：任何一个数都能够整除0。
例如，任何数都能够整除0。
5. 任何一个数都能够整除1：任何一个数都能够被1整除。
例如，任何数都能够被1整除。
6. 如果a能够整除b，那么a能够整除b的倍数。
例如，如果3能够整除6，那么3一定能够整除6的倍数12。
7. 如果a能够整除b，那么b能够整除a的因数。
例如，如果2能够整除4，那么4一定能够整除2的因数。
三、整除和最大公因数最大公因数是指两个或多个整数中最大的能够整除这些整数的数。
最大公因数可以通过求解数的因数来得到。
例如，求解12和15的最大公因数，我们可以找到12的因数：1、2、3、4、6、12，15的因数：1、3、5、15，他们的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。
最大公因数有以下的性质：1. 最大公因数是两个数的公因数中最大的一个。
2. 如果最大公因数为1，那么这两个数互质。
3. 如果最大公因数为a，那么这两个数的倍数中最大的一个为a。
四、整除与质数质数是指大于1的正整数，除了1和本身，没有其他的因数。
质数和整除有着密切的关系。
1. 质数只能被1和自身整除。
2. 任何一个数都可以被质数整除。
专题02 数的整除性
专题02 数的整除性阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有：①若a|b，b|c，则a|c；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|a，则[b，c]|a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )A．只有①正确B．只有②正确C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．【例3】已知整数13456ab 能被198整除，求a ，b 的值．(江苏省竞赛试题)解题思想：198=2×9×11，整数13456ab 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a ，b 的等式，求出a ，b 的值．【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？(“华罗庚金杯”邀请赛试题) 解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．(2013年全国初中数学竞赛试题) 解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m的“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0；⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．(2013年“创新杯”邀请赛试题) 解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得19990x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．能力训练A级1．某班学生不到50人，在一次测验中，有17的学生得优，13的学生得良，12的学生得及格，则有________人不及格．2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．(上海市竞赛试题) 3．一个五位数398ab能被11与9整除，这个五位数是________．4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( ) A．532 B．665 C．133 D．7985．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A．1 B．2 C．3 D．6(江苏省竞赛试题) 6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( ) A．12个B．18个C．20个D．30个(“希望杯”邀请赛试题) 7．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？(黄冈市竞赛试题)8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．(上海市竞赛试题)9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．4．有以下两个数串1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999⎧⎨⎩同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．A．333 B．334 C．335 D．3365．一个六位数1991a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．A．4 B．6 C．8 D．126．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．(美国数学邀请赛试题)8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．(武汉市竞赛试题)9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．(“五羊杯”竞赛试题)10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．(重庆市竞赛试题) 11．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求n的最小值．(2013年全国初中数学竞赛试题)。
数的整除性质与应用
数的整除性质与应用数的整除性质是数学中的重要概念之一，它描述了一个数能够整除另一个数的性质。
在日常生活和数学应用中，我们经常用到数的整除性质来解决问题。
本文将对数的整除性质进行详细介绍，并探讨它在实际应用中的作用。
一、整数的除法定义与整除性质在数学中，我们将一个整数a除以另一个非零的整数b，如果能够得到一个整数q，使得a = bq，我们就称a能够被b整除，或者说b能够整除a，记作b|a。
整除性质主要包括以下几个方面：1. 传递性: 如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a也能够被c整除。
2. 常数倍数性质: 如果a能够被b整除，那么对于任意非零常数k，ka也能够被kb整除。
3. 相等性: 一个数能够被自身整除，即对于任意非零整数a，a能够被a整除。
4. 整除的基本性质: 如果a能够被b整除，那么a的所有倍数也能够被b整除。
二、整除的应用数的整除性质在实际应用中起着重要的作用，以下是一些常见的应用场景：1. 分数化简在分数的运算中，我们经常需要对分数进行化简。
利用整除性质可以帮助我们快速找到最大公约数，从而将分数化简为最简形式。
例如，对于分数12/18，我们可以通过求12和18的最大公约数来进行化简。
由于18能够整除12，所以12/18可化简为2/3。
2. 整数的因数与倍数在数的因数和倍数问题中，整除性质是一个重要的工具。
我们可以利用整除性质判断一个数是否是另一个数的因数，或者判断两个数是否互为倍数。
例如，判断一个数是否是另一个数的因数时，我们只需要通过整除性质将这两个数相除，如果余数为0，则该数是另一个数的因数。
3. 素数与合数素数是指只有1和自身两个因数的数，而合数是指除了1和自身之外还有其他因数的数。
利用整除性质，我们可以判断一个数是否为素数。
例如，判断一个数n是否为素数时，我们只需要将n与2到√n之间的所有整数相除，如果都无法整除，则n为素数。
因为如果n能够被大于√n的数整除，那么一定能够被小于√n的数整除。
小学数学点知识归纳数的整除性质与判断方法
小学数学点知识归纳数的整除性质与判断方法数的整除是数学中的一个重要概念，它是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数称为因数，而被整除的数称为倍数。
在小学数学中，学生需要掌握数的整除性质与判断方法，以便能够正确地解决与整除相关的问题。
本文将对小学数学中数的整除性质与判断方法进行归纳，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、整除性质1. 整除定义：如果一个数a能被另一个数b整除，即a÷b的结果是一个整数，那么我们说a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
2. 整除传递性：如果a能被b整除，并且b能被c整除，那么a能被c整除。
例如，如果2能够整除6，6能够整除12，那么2也能够整除12。
3. 整除对称性：如果a能被b整除，那么b也能被a整除。
例如，如果4能够整除8，那么8也能够整除4。
4. 0的整除性：任何一个非零数与0做除法时都不能整除0，但0除以任何一个非零数都等于0。
5. 1的整除性：任何一个整数都能被1整除。
二、判断整除的方法1. 除法法：判断整数a能否整除整数b，可以直接进行除法运算，即计算a÷b的结果。
如果结果是一个整数，那么a能被b整除；反之，如果结果不是整数，则a不能被b整除。
2. 因数法：如果一个数是另一个数的因数，那么它能整除这个数。
可以通过列举出一个数的所有因数，然后判断这些因数是否能整除给定的数。
3. 整除性质法：利用数的整除性质来判断整除关系。
例如，能被2整除的数必定是偶数，能被3整除的数的各位数字之和能被3整除，能被5整除的数的个位数字只能是0或5等。
三、应用示例下面通过一些具体的示例来说明数的整除性质与判断方法的应用。
1. 判断一个数是否能被2整除：如果一个数的个位数字是0、2、4、6或8，则它能被2整除；反之，如果个位数字是1、3、5、7或9，则不能被2整除。
2. 判断一个数是否能被3整除：将这个数的各位数字相加，如果所得和能被3整除，则这个数也能被3整除；反之，如果所得和不能被3整除，则这个数不能被3整除。
第六讲 数的整除(二)
数的整除(二)教案设计教学内容：《黄冈金牌数学72变》六年级上册第六讲（教材48页至56页）教学目标：运用学习的性质来解决实际问题，培养学生熟练掌握并应用的能力。
教学重点：掌握数的整除的性质及其应用教学难点：如何把数的整除的性质付之于应用。
教学方法：自主探究、合作交流。
教学准备：多媒体课件教学过程：一．复习旧知，导入新课。
师：同学们让我们回顾一下，什么叫整除，什么叫质因数，如何找出几个数的最小公倍数。
二．讲授新课:（1）.整除的性质例1.四位数57A1能被9整除，求A。
思路点拨：依据性质1，依四位数57A1的各位数字的和应该是9的倍数。
解；5+7+A+1=A+13因为四位数57A1能被9整除，故A+13应是9的倍数。
又因为A大于等于0小于等于9，所以A+13就大于等于13小于等于18，所以A=18-13=5.三，巩固练习1.六位数a8919b能被33整除，求a和b。
答案；33=3×11，因为a8919b能被33整除，所以a8919b同时是3与11的倍数，故a+8+9+1+9+b=27+a+b应是3的倍数，且（a+9+9）—（8+1+b）=9+a-b应是11的倍数。
所以9+a-b是11的倍数，得出，a-b=2.故a-b是偶数，所以，a+b为偶数，因为27+a+b是3的倍数，所以a+b是3的倍数。
又因为a不为0，所以a+b不为0，又因为a-b=2，所以a+b不等于18，故a+b=6或者12，所以a=4，b=2.或a=7，b=5.例2.在568后面补上三位数，组成一个六位数，使它分别能被3.4.5整除，且使这个数值尽可能小，求这个六位数。
.根据一个整数分别被3；4；5整除的特征，通过分析推理，探求应补上的三个数。
解；设所求的六位数为568abc，568abc能被5整除，所以c=0或5，又因为568abc能被4整除，所以c=0.要使568abc的数值尽可能的小，则二位数bc=20568abc能被3整除，5+6+8+a+b+c=21+a是3的倍数。
数的整除性及性质
数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。
整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。
性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。
性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。
性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。
性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。
性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。
性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。
性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。
性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。
性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。
性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。
性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。
性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。
性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。
性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。
数的整除六年级知识点
数的整除六年级知识点整数是数学中的一种基本概念，它包括正整数、负整数和零。
在六年级的数学学习中，数的整除是一个重要的知识点。
在本文中，我们将详细介绍数的整除的概念、性质以及相应的解题方法。
概念:在数学中，将一个整数a除以另一个整数b，如果结果恰好为整数且余数为0，那么我们说a可以被b整除，或者说b是a的因数。
我们用符号"|"来表示"整除"的关系。
例如，如果a可以被b整除，我们可以写作a|b。
性质:1. 如果a能被b整除，那么a肯定也能被b的倍数整除。
2. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。
3. 如果a能被b整除，那么a+b、a-b也能被b整除。
解题方法:1. 整除的判断：在判断一个数是否能被另一个数整除时，可以通过试除法进行验证。
即用这个数去除以可能的因数，如果余数为0，则可以确定它能被整除。
2. 整除的求解：要求解一个数的所有因数，可以通过列举法进行求解。
逐个尝试可能的因数，看是否能整除给定的数。
例如，我们来看一个具体的例子：问题：找出100以内能被7整除的所有数。
解析：我们可以通过列举法逐个尝试并验证每个数是否能被7整除。
首先我们可以观察到7 x 1 = 7，7 x 2 = 14，7 x 3 = 21，可以确定7是100以内能被7整除的数之一。
接下来我们逐渐增加7的倍数，即 7 x 4 = 28, 7 x 5 = 35, ...，一直到 7 x 14 = 98。
可以得出结论：100以内能被7整除的数为7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98。
通过上述例子，我们可以看出，在解决整除问题时，我们可以通过试除法或者列举法来判断和求解整除的数，这是六年级数学学习中的重要技巧之一。
综上所述，数的整除是六年级数学学习中的重要知识点。
了解整除的概念、性质以及相应的解题方法，能够帮助我们更好地理解和应用整除的概念，同时也提升了我们解决数学问题的能力。
《数的整除总复习》课件
整除与分治策略在数学中有着广泛的应用。例如，在求解最大公约数和最小公倍数时，常常采用分治 策略，将问题分解为更小的部分，分别求解后再合并结果。这种方法能够简化问题，提高解题效率。
整除与数论的关系
总结词
数论是研究整数的性质和结构的数学分 支，整除是数论中的一个基本概念。
VS
详细描述
整除是数论中的一个核心概念，它是整数 的一个基本性质。通过研究整除的性质和 规律，可以深入了解整数的结构，进一步 探索数论中的其他问题。同时，整除也为 密码学、计算机科学等领域提供了重要的 理论基础和应用价值。
05
数的整除拓展
整除与同余式
总结词
同余式是整除的一种扩展，它描述了整数在模运算下的等价关系。
详细描述
同余式是数论中的一个重要概念，它表示两个或多个整数在模运算下具有相同 的余数。整除是同余式的一个特例，即当模数为1时，如果一个数a能被另一个 数b整除，则a与b模1同余。
整除与分治策略
总结词
分治策略是将复杂问题分解为若干个简单子问题，通过解决子问题来达到解决原问题的目的。
逻辑推理
03
利用整除性质进行逻辑推理是解决一些数学竞赛问题的重要方
法。
在日常生活中的应用
购物优惠
商家经常使用整除点来设置商品价格，以提供优 惠或促销活动。
时间计算
在日程安排和时间管理中，整除常用于计算时间 间隔或确定特定时间点。
金融计算
在投资和理财方面，整除在计算复利、评估风险 和制定预算时非常有用。
整除的唯一分解定理
总结词
整除的唯一分解定理是指，一个正整数可以表示为若干个质数的乘积，并且这种 表示方法是唯一的。
详细描述
这是整除的一个重要定理，它告诉我们一个正整数可以分解为若干个质数的乘积 ，而且这种分解方式是唯一的。这个定理在数学中有着广泛的应用，因为它可以 帮助我们更好地理解整数的结构，并解决与整数有关的数学问题。
奥数第六讲 整除性问题 知识点总结
第六讲整除性问题知识点总结1整除：一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a要点：1.被除数、除数、商都必须是整数； 2.没有余数例如：15÷3=5 可以表示成：3｜15 读：3能整除1563÷7=9 可以表示成：7｜63 读：7能整除6316÷5=3….1 可以表示成：516 读：5不能整除162.常见数字的整除判定方法一、尾数系1. 因为2×5=10（末一位）一个数的末一位能被2整除，这个数就能被2整除；一个数的末一位能被5整除，这个数就能被2整除；2. 因为4×25=100（末二位）一个数的末两位能被4整除，这个数就能被4整除；一个数的末两位能被25整除，这个数就能被25整除；3. 因为8×125=1000（末三位）一个数的末三位能被8整除，这个数就能被8整除；一个数的末三位能被125整除，这个数就能被125整除；二、数字和系一个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.余数法（试除法）在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
法1.余数法能分别被3、4、5整除，说明是3、4、5倍数，肯定是3×4×5=60的倍数因为最小，所以我们填000，看行不行（试验下）865000除以60=1441 (40)865000-40=864960但864960不能满足，所以864960+60=865020最小是865020（找最大时，我们就填999）下面是利用数字特征方法来求解：余数法比较适合求尾数！！。
第六讲数的整除(二)解答[五竞]
![第六讲数的整除(二)解答[五竞]](https://img.taocdn.com/s3/m/34fda53fccbff121dd368373.png)
第二讲数的整除（二）1、整除的性质(用a，b，c 表示不为0的任意整数)(1)若c 能整除a，又能整除b，则c 能整除(a 士b)。
(2)若b 能整除a，c 能整除a，且b、c 互质，则bc 能整除a。
(3)若b 能整除a，c 能整除b，则c 能整除a。
2、数的整除特征：(1)2、5、3倍数的特征.(2)一个整数各数位上数字之和是9的倍数，则这个整数是9的倍数。
(3)一个整数的未两位数是4或25的倍数，则这个数就是4或25的倍数。
(4)一个整数的末三位数是8或125的倍数，则这个数能是8或125的倍数。
(5)一个整数奇数位上的数字与偶数位上的数字之差是11的倍数，则这个数是11的倍数。
(6)一个整数末三位与前几位的差（如果还大于三位又继续进行），是7、11、13的倍数，则这个数就是7、11、13的倍数。
（7）因为abcabc =abc ×1001，7×11×13=1001，所以abcabc 是7、11、13的倍数。
3.熟记100以内的所有质数2，3，5，7又11；13和17；19，23，29；31来37；41，43，47；53，59，61；67和71；73，79，83；89和97。
在所有的质数中，只有2是一个偶数，其余均为奇数。
但是，奇数不一定都是质数。
4.一个自然数N 的标准分解质因数的形式为：m a m a a a p p p p N ⨯⨯⨯⨯= 321321（其中m 321p p p p 、、、、 是质数，且m 321p p p p 〈〈〈〈 ，m 321a a a a 、、、、 是非0自然数。
）如75324202⨯⨯⨯=，通过这个标准分解式，我们可以得出求自然数N 的约数个数的方法和N 的所有约数和的方法：（1）N 的约数个数=()()()11121+⨯⨯+⨯+m a a a （2）N 的所有约数和=()()()m a m m m a a p p p p p p p p p ++++⨯⨯++++⨯++++ 22222121111121如420的约数个数为：（2+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=24（个）420所有约数的和为：()()()()7151312212+⨯+⨯+⨯++=13445.最大公因数与最小公倍数因数和倍数在小学数学竞赛中占有重要的地位。
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第6讲数的整除性（二）
特殊的数——1001。
因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。
例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？
例3 已知10□8971能被13整除，求□中的数。
例4说明12位数abbaabbaabba一定是3、7、13的倍数。
例5 如果41位数55……5□99……9能被7整除，那么中间方格内的数字是几？
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20个 20个
判断一个数能否被27或37整除的方法：
对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。
例6 判断下列各数能否被27或37整除：
（1）2673135；（2）8990615496。
判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：
为了叙述方便，将个位是9的数记为 k9（= 10k+9），其中k为自然数。
对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。
连续进行这一变换。
如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；否则，这个数就不能被k9整除。
例7 （1）判断18937能否被29整除；（2）判断296416与37289能否被59整除。
练习6
1.下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？
88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842，805532， 75778885。
2.六位数175□62是13的倍数。
□中的数字是几？ 3、已知七位数132A679是7的倍数，求A？
4、六位数ababab能否被7和13整除？
5、12位数aabbaabbaabb能否被7和13整除？
6、33……3□88……8能被13整除，求中间□中的数？
20个 20个
7.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。
8.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？
1861026， 1884924， 2175683， 2560437，11159126，131313555，266117778。
9.在下列各数中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？
55119， 55537， 62899， 71258，186637，872231，5381717。