复合函数单调性、奇偶性6

复合函数的定义域和解析式以及单调性和奇偶性

1、复合函数的定义

函数为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的函数称为复合函数。 说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

① 已知)(x f 的定义域为(a,b)，求))((x g f 的定义域的方法：

已知)(x f 的定义域为)(b a ，，求))((x g f 的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ，∈，)()(b a x g ，∈。通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。

② 已知))((x g f 的定义域为(a,b)，求)(x f 的定义域的方法：

若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。实际上是已知直接变量

x 的取值范围，即)(b a x ，∈。先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则

)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。

2．求有关复合函数的解析式

已知

)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。

配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，

再直接把

)(x g 换成x 而得)(x f 。 换元法：就是先设

t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f 。

3.求复合函数的单调性

“同增异减”法则

4.复合函数的奇偶性

一偶则偶，同奇则奇

5．典型例题讲解

例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．

例2．⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；

⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；

⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．

例3．已知

x x x f 2)12(2-=+，求)122(+f 例4．①已知

,1)(2+=x x f 求)1(-x f ； ②已知 1)1()1(2++=-x x f ，求)(x f ．

例5．①已知x x x f 1

)1(+=- ，求)(x f ；

②已知

221)1(x x x x f +=-，求)1(+x f ． 例6．①已知)(x f 是一次函数，满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ； ②已知x x f x f 4)1(2)(3=+，求)(x f ．

例7、已知函数1()(1)1

x x a f x a a -=>+, (1)判断函数的奇偶性；

(2)证明()f x 是R 上的增函数。

例8、已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭

，求其单调区间及值域。

．

例9、已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-1)

()()()212f x =x -a-1x+5,12f 2⎛⎫ ⎪⎝⎭例、如果二次函数在区间上是增函数，求的取值范围。

()()()()()()()+3f x R 1f xy =f x +f y f =1.1)f 1;2)3f x +f 2-x <2,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭

例、已知函数是定义在上的减函数，并且满足

且求的值如果求的取值范围。

课后练习：

⑴已知20()20

00x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，，，，则(4)___[(3)]___f f f =-=，．

⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出，

那么((1))___((2))___,((3))___,((4))___f f f g g f g g ====，．

⑶已知函数

2()1f x x =+， ① 求()(1)(1)f a f a f x ++，，； ②若函数()1g x x =+，求(())f g x ．

（4）设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．

（5）已知

x x x f 2)12(2-=+，求)122(+f （6）已知

221)1(x x x x f +=-，求)1(+x f ． （7）讨论函数y=log a (a x －1)的单调性其中a ＞0，且a ≠1．

解 由对数函数性质，知a x －1＞0，即a x ＞1，于是，当0＜a ＜1时，函数的定义域为(－∞，0)，当a ＞1时，定义域为(0，＋∞)．

当0＜a ＜1时，u ＝a x －1在(－∞，0)上是减函数，而y=log a u 也是减函数，∴y=log a (a x －1)在(－∞，0)上是增函数．

当a ＞1时，u ＝a x －1在(0，＋∞)上是增函数，而y=log a u 也是增函数，∴y ＝log a (a x －1)在(0，＋∞)上是增函数． 综上所述，函数y=log a (a x －1)在其定义域上是增函数