力矩转动定律
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4-2 力矩 转动定律
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作 用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作
用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力
的作用点的位置对物体的运动有影响吗？
F F
第四章 刚体转动
F F
Fi 0 , Mi 0
圆盘静止不动
Fi 0 , Mi 0
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
一
力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力
为由点O 到力的作用点 P 的径 且在转动平面内, r 矢. M F 对转轴 Z 的力矩 z F M r F M r * M Fr sin Fd O P
第四章 刚体转动
y
Ff m g
x
N
C
ห้องสมุดไป่ตู้ aC
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 质心运动方程
mgsin Ff maC
转动定律
y
Ff R J
角量、线量关系
Ff m g
x
N
C
aC
Ja ma mg sin 2 R m gR2 sin a1 2 g sin 3 a 2 a2 g sin 2 mR J
l 2
O
l 2
r
l
dr O´
dr O´
设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 2 2 质量元 dm dr dJ r dm r dr
r 处的
转轴过中心垂直于棒 J 2 转轴过端点垂直于棒
第四章 刚体转动
用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力
的作用点的位置对物体的运动有影响吗？
F F
第四章 刚体转动
F F
Fi 0 , Mi 0
圆盘静止不动
Fi 0 , Mi 0
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
一
力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力
为由点O 到力的作用点 P 的径 且在转动平面内, r 矢. M F 对转轴 Z 的力矩 z F M r F M r * M Fr sin Fd O P
第四章 刚体转动
y
Ff m g
x
N
C
ห้องสมุดไป่ตู้ aC
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 质心运动方程
mgsin Ff maC
转动定律
y
Ff R J
角量、线量关系
Ff m g
x
N
C
aC
Ja ma mg sin 2 R m gR2 sin a1 2 g sin 3 a 2 a2 g sin 2 mR J
l 2
O
l 2
r
l
dr O´
dr O´
设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 2 2 质量元 dm dr dJ r dm r dr
r 处的
转轴过中心垂直于棒 J 2 转轴过端点垂直于棒
第四章 刚体转动
力矩转动定律转动惯量解析课件
02
CATALOGUE
转动惯量基础概念
转动惯量的定义
转动惯量
描述刚体绕固定轴转动的惯性大 小的物理量。
定义公式
I = Σ(m * r^2)，其中m为刚体的 质量，r为刚体上任意质点到转动 轴的距离。
转动惯量的性质
转动惯量只与刚体的质量分布 和转动轴的位置有关，与刚体 的运动状态无关。
对于同一刚体，不同的转动轴 位置，其转动惯量可能不同。
力矩转动定律转动 惯量解析课件
contents
目录
• 力矩转动定律概述 • 转动惯量基础概念 • 力矩与转动惯量的关系 • 转动惯量的计算方法 • 转动惯量的应用实例
01
CATALOGUE
力矩转动定律概述
力矩的定义
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂的乘积。
力矩是一个向量，其大小等于力和力臂的乘积。力臂是从转动轴到力的垂直距离 。在二维平面中，力矩可以表示为M=F×r，其中F是力，r是力臂。
CATALOGUE
转动惯量的应用实例
飞轮的设计与优化
飞轮的设计
飞轮是利用转动惯量储存能量的重要 装置，其设计需要考虑转动惯量的大 小、质量分布、转速等因素。
飞轮的优化
为了提高飞轮的储能效率和稳定性， 需要对飞轮进行优化设计，如采用轻 质高强度的材料、优化飞轮的形状和 尺寸等。
陀螺仪的设计与优化
陀螺仪的设计
陀螺仪是利用角动量守恒原理工作的惯性导 航和姿态测量器件，其设计需要考虑转动轴 的稳定性、转动惯量的大小和分布等因素。
陀螺仪的优化
为了提高陀螺仪的测量精度和稳定性，需要 对陀螺仪进行优化设计，如采用高性能的轴 承材料、减小摩擦力矩等。
电机转子的设计与优化
力矩和转动定律
m σ= 2 πR ds = rdrdθ dm = σ ds = σ rdrdθ
dN = gdm = σ rgdrdθ df = dN = σ rgdrdθ dM f = rdf = σ r gdrdθ
2
M f = ∫ dM f = σ g ∫ dθ ∫ r 2 dr
0 0
2π
R
2 = mgR 3 M f = jβ 1 mR 2 2 4 g β = 3R 3R j=
三 转动惯量
J = ∑ mi ri
2
2
如果刚体连续分布
m:质点惯性的量度 : J:刚体惯性的量度 : 转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量 几种常见刚体的转动惯量: 有关推导详见教材 有关推导详见教材P120) 几种常见刚体的转动惯量:(有关推导详见教材 细棒 细棒
标量. 标量 J = ∫ r dm kg . m2,标量. r r 对比 F = m a M = Jβ
F2 =
r2
= j β = j dω dt cω = j dω dt dω = c dt ω j ω dω t c ∫ω0 ω =∫0 j dt
ct ω = ω0e j ct ω = ω0e j
M f = cω
练习18 练习
dθ = ω dt
t = c ln 2 j
= 1 ω0 2
jω0 c ln 2) (t = θ= j 2c θ = jω0 N= 2π 4π c
L m
1 J = mL2 + m1 L2 3
m1
质点 与刚 体组 合的 转动 惯量
R
m
r m1
1 J = mR 2 + m1 r 2 2
五,转动定律的应用 例1,一根轻绳跨过一定滑轮(滑轮 ,一根轻绳跨过一定滑轮( 视为圆盘), ),绳的两端分别 视为圆盘),绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体,m1 <m2 ,滑轮的 质量为 m ,半径为 R,所受的摩擦阻 , 绳与滑轮间无相对滑动. 力矩为 Mf ,绳与滑轮间无相对滑动. 试求:物体的加速度和绳的张力. 试求:物体的加速度和绳的张力. 已知: 已知: m1,m2 ,m, R ,Mf , 求: a , T1 , T2 解: 研究对象 m1 ,m2 ,m 建立坐标, 建立坐标,受力分析 如图 对m1 : 1 m1 g = m1a T 对m2: m 2 g T 2 = m 2 a
力矩、转动定律、角动量守恒
mgl 1 mgl 1 mv2 v gl 4g
2
2
l
P24 1-6: As shown in below figure, the body A is connected to the body B by the light rope which is through uniform solid cylinder（圆柱体） with a mass Mand a radius R. The body A has a mass of m1 and the mass of B is m2.There is not relative motion between the rope and cylinder. Find the tension force between the solid cylinders with
a R
（4）以上三式联立，可得物体 下落的加速度和张力：
a
m2
m2
m1 2
g
T m1m2 g 2m2 m1
m2 R(m2
m1 ) 2
g
o m1
m2 x
P34.习题19 质量为m、长为L的均质细杆可绕水平光滑轴O在竖直 平面内转动。若使杆从水平位置开始由静止释放，试求杆转至铅垂
T=?
J 1 MR2 2
M,R
m1 A
B m2
解：⑴ 研究对象：A、B和圆柱体； ⑵ 受力分析如图：
A向上运动，有加速度aA，B向下运动，加速 度aB，圆柱体顺时针转动。
T
T
T
A
B
T
m1g m2g
T
T1
T2
T2
（3）列方程：
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
19
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系．
A
mA
FN
mA FT1
PA
O
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB
PB y
第四章 刚体转动与流体运动
20
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动与流体运动
1
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
讨论
（1）若力
F
不在转动平面内，把力分
解为平行 和垂 直于 转轴方向的两个分量
F
Fz
F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
第四章 刚体转动与流体运动
4
物理学 第六版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积 元 dA Ldy ，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
4-2-力矩-转动定律-转动惯量jm
方向: 服从右手螺旋法则
2、刚体的定 轴 转动定律
M J
d: 力臂
Z
R Om
40
二 转动惯量
➢ 离散质点系 J miri2 ➢ 连续质点系 J r 2dm
* r: 质点到转轴的垂直距离
➢ 平行轴定理 J Jc md 2
41
➢ 常用的转动惯量公式
m质点：J r2m 圆盘(圆柱): J 1 mR2
7
（2）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
刚体对转轴的合内力矩为零。
Mij 0
Z
M
O
rj
i
j F
d ri F
M
Mij M M Fd Fd 0
8
5、求合力矩
M rF
M Frsin Fd
R+ T
r
R
T1
T2
对转轴：M TR 转对轴：M T2R T1r
9
FT1
2L
o d
26
➢ 转动定律应用 M J
说明
(1) M J , 与 M 方向相同
(2) 为瞬时关系
(3) 转动中M J与平动中F ma
地位相同
27
例: 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，一轻绳
两边分别系 m1 和 m2 两物体挂于滑轮上，绳不伸
长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角 速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
圆环：J mR 2 更稳定ຫໍສະໝຸດ 飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
定轴转动定理
M J
M / J
25
定轴转动定理 M J
细棒绕其一端 J 1 mL2
竿 子
3
长
§4.2 力矩 转动惯量 转动定律
Fi
3. Mz、J、皆对同一轴而言。
fi
n
ri Fi ri fi ( miri2)
i
i
i 1
o ri
f
i
mi
Fi
n
ri Fi J i1
Mz J ( 转动定律 )
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
P. 27 / 18 .
1. Mz J 反映了力矩 Mz与角加速度 间的瞬时关系。
P. 29 / 18 .
例 已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。
解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 Mz J 可
知，细杆作匀变速转动：
m, l
而 J 1 ml 2 3
0 t
0 t0 0
0
t0
M阻 J
ml 2 3t 0
i 1
二、转动惯量
n
J miri2 i 1
mi
m3
ri
r3
r2
r1 m1
m2
1 2
(
n i1
mi ri2
) 2
Ek
1( 2
n i1
mi ri2
) 2
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
P. 9 / 18 .
n
可知： 一定时， miri2越大，刚体转动动能亦越大。
i 1
n
ri Fi J i1
Mz J
Fi fi
o ri
F ma
f
i
mi
Fi
( 转动定律 )
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
力矩转动定律转动惯量jm汇总课件
力矩的物理意义
总结词
力矩描述了力使物体绕某点转动的趋势或转动效果。
详细描述
力矩决定了物体绕某点转动的趋势或转动效果，其方向与力和力臂的乘积方向 相同。力矩越大，物体转动的趋势或转动效果越明显。
力矩的计算方法
总结词
力矩的大小等于力和力臂的乘积，计中力臂是从转动轴（或转动中心）到力的垂 直距离。计算公式为 M=FL，其中 M 为力矩，F 为力，L 为力臂。同时，力矩的 方向与力和力臂的乘积方向相同。
转动惯量的大小决定了物体旋转运动 的加速度、角速度和角动量等参数的 变化规律，进而影响物体的运动状态 和稳定性。
转动惯量的计算方法
转动惯量的计算方法主要包括平行轴定理和垂直轴定理。
平行轴定理指出，对于一个质量分布均匀的刚体，其相对于某固定轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以质心到该轴的距离 的平方，再加上所有相对于此轴的离散质量的转动惯量之和。垂直轴定理则说明，一个质量分布均匀的刚体相对于任一垂直 于其对称平面的轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以其对称轴到质心的距离的平方。
车辆工程
在车辆工程中，力矩转动定律用于分析车辆动力学和稳定性 问题。例如，通过分析车轮的力矩，可以研究车辆的操控性 能和行驶稳定性。
力矩转动定律在科研中的应用
物理学研究
力矩转动定律是物理学中分析转 动问题的基本原理，广泛应用于 分析天体运动、刚体动力学等问 题。
生物学研究
在生物学研究中，力矩转动定律 用于分析生物体的运动和平衡机 制，如动物的行走、飞行等。
动惯量。
实验步骤
2. 将刚体安装到实验装置上 ，调整力矩计和角位移传感
器的位置和角度。
1. 准备实验器材：刚体、力 矩计、角位移传感器、数据
42力矩转动定律转动惯量
dm ——质量线密度 dl
dm r dl
r1
m1
J mr 2
m2
（2）质量离散分布刚体的转动惯量 J m j rj2 m1r12 m2r22 （3）质量连续分布刚体的转动惯量
J r 2 dm
j
r2
r3m3转轴来自dm：质量元15
第四章 刚体的转动 4-2力矩 转动定律 转动惯量
F ：垂直于转轴的分力；
F F F
k
O
F
F
r
P
F
M r F 大小： M rF sin rd
方向： 右手螺旋法则
4
第四章 刚体的转动 4-2力矩 转动定律 转动惯量
对于作定轴转动的刚体，一般规定： 如力矩使刚体沿逆时针方向转动，力矩为正； 如力矩使刚体沿顺时针方向转动，力矩为负； 讨论 1 力矩的三要素： （1）力的大小和方向； （2）力的作用点； （3）转轴位置 . 2. 若力F不在转动平面内： z
j
转动定律
M J
2 J m r jj 刚体的转动惯量：
刚体定轴转动的角 加速度与它所受的合外 力矩成正比 ，与刚体的 转动惯量成反比.
11
三 转动惯量 1. 物理意义 转动惯量与物体的惯性质量物理意义一致， 是物体转动惯性大小的量度。 2. 与转动惯量有关的因素： （3）转轴的位置； （2）质量分布； （1）刚体的总质量； 对所有质点求和：
j
第四章 刚体的转动 4-2力矩 转动定律 转动惯量
m2
2
r3
m3
（3）质量连续分布刚体的转动惯量
J r 2 dm
转轴
dm：质量元
力矩-转动定律资料
N
解: (1) 棒在任意位置时的重力矩
o
M L d M L ld gcm osL ldgc l oL到s C转为轴质的心距
0
0
0
离
l
•c
d
dm
1 2L 2gco s mL 2g co s mC g co Ls
mg
(2)MI1m2 L, 3g cos
3
2L
ddtd d ddtd d
a2
T2
T2
m2
m2
a1
T1
g
T2
a22mm1m 1m1(2m gm1m22m 122121m2)gm 1mm333g
2m1m2g m1 m2
1 2
m2m3g
1 2
m3
谢谢！
应用于刚体 => 转动定律
F
dp
dt
dL
M外 dt
问题归结为确定刚体的角动量。
1. 定轴转动刚体的角动量 (a) 质点对点的角动量
作圆周运动质点的角动量 L＝ rmv (b) 定轴转动刚体的角动量
Lrprm v Z
在以角速度ω作定轴转动的刚体内, 取质元 mi , 则其对OZ 轴的角动量为
T m1g
N r
m2g
由(2)式:
I
T=T’= r
代入(1)式: m1g -
I = m1a
r
所以:
m1g -
I = m1r
r
m1gr
= m1r2+I
m1g - T= m1a….(1)
T’r=I…(2) T’
a = r …(3)
T=T’ …(4)
I 1 mr 2 2
m1gr
4-2力矩转动定律转动惯量
J r2dm
图1
图2
J1 J2
➢ 常用的转动惯量 （P110 表）
21
四 平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动 惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
JO JC md 2
d
C mO
J Jc
22
J Jc md2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
Fit Fit miait miri
11
➢ 质元绕Z轴转动的力矩
M i ri Fit ri Fit miri2
➢ 刚体绕Z轴转动的力矩
z
Fi内
Fi外
r O i m i 质量元
Mi riFit riFit
mi ri 2
M
r
F
M Frsin Fd
5
4、一对力偶的力矩
M Fd
F
F
o
l
F 0 M 0
M F l F l Fl
22
ro
F'
F
F 0
M 0
M Fr Fr 0
6
讨论
（1）若力 F不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
41
➢ 常用的转动惯量公式
m质点：J r2m 圆盘(圆柱): J 1 mR2
2
杆：
Jc
1 12
mL2
J
端
1 3
mL2
R Om
O1
O1’
d=L/2
4.3 力矩 转动定律
jiij武汉纺织大学物理教研室大学物理学求作用在大坝上的力以及这个力对通过大坝基点武汉纺织大学物理教研室大学物理学武汉纺织大学物理教研室大学物理学1091glhlh武汉纺织大学物理教研室大学物理学1014武汉纺织大学物理教研室大学物理学1单个质点与转轴刚性连接武汉纺织大学物理教研室大学物理学2刚体质量元受外力外力矩内力矩ijjiij武汉纺织大学物理教研室大学物理学刚体的定轴转动刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比与刚体的转动惯量成反比
x O
L
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
v 对通过点 的轴的力矩 dF 对通过点Q的轴的力矩 dM = ydF h M = ∫ y[ p0 + ρg (h − y )]Ldy
0
dF = [ p0 + ρg (h − y )]Ldy
y
h
v dF
1 1 2 3 = p0 Lh + gρLh 2 6
∴∑ Mij = 0
j
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
∑M
j
ej
= ( ∑ ∆ m j r )β
2 j
z
O
定义转动惯量
v rj ∆m j
v Fej
I = ∑ ∆m r I = r 2dm ∫
2 j j j
v Fij
转动定律 M = I β 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比. 成正比， 转动惯量成反比 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比
dy 代入数据，得： 代入数据，
y O Q
M = 2.14×10 N ⋅ m
x O
L
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
v 对通过点 的轴的力矩 dF 对通过点Q的轴的力矩 dM = ydF h M = ∫ y[ p0 + ρg (h − y )]Ldy
0
dF = [ p0 + ρg (h − y )]Ldy
y
h
v dF
1 1 2 3 = p0 Lh + gρLh 2 6
∴∑ Mij = 0
j
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
∑M
j
ej
= ( ∑ ∆ m j r )β
2 j
z
O
定义转动惯量
v rj ∆m j
v Fej
I = ∑ ∆m r I = r 2dm ∫
2 j j j
v Fij
转动定律 M = I β 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比. 成正比， 转动惯量成反比 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比
dy 代入数据，得： 代入数据，
y O Q
M = 2.14×10 N ⋅ m
9 力矩 转动定律
r fi
ω
i
o ri
∑r Fτ + ∑r f τ = (∑∆m r
i i i i i i
i=1
n
2
i i
)α
fiτ
∆ mi
Fiτ
τ
∴
∑r Fτ = Jα
i=1 i i
n
Mz = Jα
( 转动定律 )
1. Mz = Iα 反映了力矩 Mz与角加速度 α 间的瞬时关系。 间的瞬时关系。 瞬时关系 2. 矢量关系（但在定轴转动中力矩只有两个方向）。 矢量关系（但在定轴转动中力矩只有两个方向 只有两个方向）。 3. Mz、I、α 皆对同一轴而言。 同一轴而言 而言。 4. 综合解题时，除了考虑运用牛顿定律外, 还需考 综合解题时，除了考虑运用牛顿定律外, 虑刚体的转动定律。 虑刚体的转动定律。 转动定律
I = ∫ r 2 dm
绕细杆边缘轴的转动惯量为 m l 1 2 I = ml o 3
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量
1 I = ml 2 12
m l o
过圆盘中心轴的转动惯量为
1 2 I = mR 2
m
R
过圆环中心轴的转动惯量为
I = mR
2
m
R
平行轴定理 定理表述： 定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 I，等于绕质心轴的转动惯量 IC 加上刚 ， 体质量与两轴间的距离平方的乘积。 体质量与两轴间的距离平方的乘积。 IC I 2 I = I C + md 刚体绕质心轴 的转动惯量最小。 的转动惯量最小。
在总质量一定的情况下， 在总质量一定的情况下， 越大。 质量分布离轴越远 I与转轴的位置有关。 与转轴的位置有关
刚体的动能
ω
i
o ri
∑r Fτ + ∑r f τ = (∑∆m r
i i i i i i
i=1
n
2
i i
)α
fiτ
∆ mi
Fiτ
τ
∴
∑r Fτ = Jα
i=1 i i
n
Mz = Jα
( 转动定律 )
1. Mz = Iα 反映了力矩 Mz与角加速度 α 间的瞬时关系。 间的瞬时关系。 瞬时关系 2. 矢量关系（但在定轴转动中力矩只有两个方向）。 矢量关系（但在定轴转动中力矩只有两个方向 只有两个方向）。 3. Mz、I、α 皆对同一轴而言。 同一轴而言 而言。 4. 综合解题时，除了考虑运用牛顿定律外, 还需考 综合解题时，除了考虑运用牛顿定律外, 虑刚体的转动定律。 虑刚体的转动定律。 转动定律
I = ∫ r 2 dm
绕细杆边缘轴的转动惯量为 m l 1 2 I = ml o 3
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量
1 I = ml 2 12
m l o
过圆盘中心轴的转动惯量为
1 2 I = mR 2
m
R
过圆环中心轴的转动惯量为
I = mR
2
m
R
平行轴定理 定理表述： 定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 I，等于绕质心轴的转动惯量 IC 加上刚 ， 体质量与两轴间的距离平方的乘积。 体质量与两轴间的距离平方的乘积。 IC I 2 I = I C + md 刚体绕质心轴 的转动惯量最小。 的转动惯量最小。
在总质量一定的情况下， 在总质量一定的情况下， 越大。 质量分布离轴越远 I与转轴的位置有关。 与转轴的位置有关
刚体的动能
3力矩转动定律(大学物理 - 刚体部分)
F
二、转动定律
刚体作定轴转动时，合外力矩等于 刚体的转动惯量与角加速度的乘积。 M Jβ
注意几点
1. 是矢量式 2. 具有瞬时性。 3. M、J、是对同一轴而言的。
§5.力矩、转动定律 / 二、转动定律
三. 解题方法及应用举例
M Jβ
1.确定研究对象。
2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。
M J
l 1 2 mg cos ml 2 3 3 g cos 2l
习题课 / 例3
m,l
mg
3 g cos 2l
60时
0时
3 g 4l 3 g 2l
m,l
mg
习题课 / 例3
3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转 动刚体列转动定律方程和角量与线量关系)。
§5.力矩、转动定律 / 三、解题方法及应用举例
例1：如图所示，两个同心圆盘结合在一 起可绕中心轴转动，大圆盘质量为 m1、 半径为 R，小圆盘质量为 m2、半径为 r， 两圆盘都用力 F 作用，求角加速度。
解：以 m1、 m2 为研 究对象，它们有共同 的角加速度，只有 F、 F 产生力矩。 FR Fr ( J1 J 2 )
第三节
力矩 转动定律
一、力矩
力与力臂的乘积。
O d
M
r
P r M dF r sin F M rF sin 根据矢量乘积法则： A B AB sin 用矢量方法表示力矩： M r F 单位：牛顿· 米， N ·m 方向：从r沿小于角右旋到F，大拇指指向。
§5.力矩、转动定律 / 一、力矩
m2 r
R
m1
大学物理-力矩-转动定律-转动惯量
F
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
mg T ma
(2) Tr J
a r
两者区别?
rO
F T
T
J
mgr mr 2
98 0.2 0.5 10 0.22
i
J r2dm
9
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
在圆规迹切线方向
mk ak mk rk Fk fk
两边乘以rk，并对整个刚体求和
第二章 动力学基础
z
o
vk
mk
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
k
k
k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
17
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四、转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
(完整版)转动定律讲解
d力臂:转轴到力作用线的垂直距离
方向: r F 的方向 单位: N m
对于定轴转动；
z
M
r
Od
F
P*
规定转动正方向,力矩使刚体绕
正方向转动, M 取正,反之取负。
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
讨论 1）与转轴平行的力对转轴不产生力矩;
2）与转 轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩； 3）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方 向的两个分 量 F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M r F
M z rF sin
4）合 力矩 等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
第四章 刚体的定轴转动
z
k
Fz
F
O r
F
定轴转动：（规定转动 正方向）
M Mi
i
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
r 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径
矢 .
F 对转轴 Z 的力矩 M rF
M
力矩是矢量
大小: M Frsin Fd
M i Fitri (mi )atri
at ri
Mi (mi )ri2
z
Fit
O
ri
mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量
方向: r F 的方向 单位: N m
对于定轴转动；
z
M
r
Od
F
P*
规定转动正方向,力矩使刚体绕
正方向转动, M 取正,反之取负。
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
讨论 1）与转轴平行的力对转轴不产生力矩;
2）与转 轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩； 3）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方 向的两个分 量 F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M r F
M z rF sin
4）合 力矩 等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
第四章 刚体的定轴转动
z
k
Fz
F
O r
F
定轴转动：（规定转动 正方向）
M Mi
i
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
r 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径
矢 .
F 对转轴 Z 的力矩 M rF
M
力矩是矢量
大小: M Frsin Fd
M i Fitri (mi )atri
at ri
Mi (mi )ri2
z
Fit
O
ri
mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量
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零，故力对转轴的力矩
F Fz F
z
Fz
F
F
或
M z rF sin M z r F
M M1 M 2 M 3
O
r
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
3
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
O
ri
f i fit FitFi
Δmi
Fit f it mi ait mi ri
两边同乘以 ri ，得：
ri Fit ri f it mi ri
2
6
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
ri Fit ri f it mi ri
F
Fi 0 , M i 0
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.1
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
一 力矩 刚体绕 O z 轴旋转 ,
为由点O 到力的作用点 P 的径矢 . 在转动平面内, r F 对转轴 Z 的力矩 M M Fd Fr sin z
m
R o
m
0
m
T
P y
a
o R
m
T'
对物体m，列牛顿方程
mg T ma
1 对滑轮m’，根据转动定律，有 T R J mR 2 15 2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
mg T ma
1 R J mR 2 T 2 另有 a R
解： 飞轮制动时受力如图， （接头处受力不考虑） 以ω0为正方向,飞轮的角加 速度为
F
f
R 0 1000 / 60 0 t 5 2 25 20.9 (rad/s ) 负值表示α与ω0的方向相反。
0
m
N
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
R
0
2Nr dr 2 NR 2 3 R
2
以顺时针方向为正,由转动定律可 得圆盘角加速度
0
dr
刹车片
M 3 N J 4 MR 0 3 mR0 停止转动需时 t 4 N
r
dl
dFf
18
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
P 和铰链对细杆的约束力 F N
F 牛顿第二定律 a m
牛顿第二定律是解决质点 运动问题的基本定律。
它们的形式很相似：外力矩M和外力F相对应，角加速 度α与加速度a相对应，转动惯量J 与质量 m 相对应。 10
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
2
三 转动惯量
J mi ri
国际单位：kg· 2 m
转动惯量物理意义：转动惯性的量度. 对质量离散分布刚体的转动惯量
2
z
式中：Fit ri 是合外力Fi 的对 Oz轴的力矩；
O
ri
fit Fit
Δmi
fit ri是内力 fi 对Oz轴的力矩。
故上式左边为作用在质点i 上 的外力矩与内力矩之和。 对于刚体上所有的质点，可得：
(r F ) (r f
i it i i
i it
) ( mi ri )
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
P96 表4-1列出了一些均匀刚体的转动惯量 . 平行轴定理 质量为m的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 Jc，则 对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
2
（证明略）
例：圆盘对P 轴的转动惯量
1 2 2 3 J P mR mR mR2 2 2
a mR2 J
圆柱
Ff m g
x
N
C
aC
1 2 J1 mR 2
薄壁圆柱筒
J 2 mR
2
23
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
mgR sin a mR2 J
2
y
2 g sin 圆柱 a1 3
Ff m g
x
N
C
aC
g sin 薄圆柱筒 a2 2
由匀变速直线运动公式，可得 圆柱
2l t1 2.3( s) a1
圆柱比圆筒先到达底部. 24
2l 薄圆柱筒 t 2 2.6( s) a2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
补充例题 一个飞轮的质量 m＝60kg，半径为R＝0.25m， 正在以ω0＝1000速而最后停下来。求闸瓦对轮 子的压力N为多大？假使闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数 为μk＝0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的 外周上，转动惯量为J＝mR2。
受力：细杆受重力 解： 由转动定律得
P98例3 一长为 l 质量为 m的匀质细杆竖直放置，其下 端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖直放 置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时， 细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.试计算细 杆转动到与竖直线成θ角时的角加速度和角速度.
J mi ri
2
本节 21 结束
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
*P98例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角θ= 5o. 有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿 斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
m l
FN
l 2
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3
o
P
19
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
1 1 2 mgl sin ml 2 3
d 3g d d d 得 sin 2l d t d dt d
M (ri Fit )
2
i
i
为刚体内所有质点所受的外力 对转轴的力矩的代数和，即合 力矩。
∴
M (mi ri )
—转动定律
8
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
M (mi ri )
2
—转动定律
式中
(m r
2
i i
)
是只与刚体的形状、质量以及转轴的位置有关，而与 运动无关的因子，定义为刚体对轴的转动惯量
d : 力臂
矢量式
力F
作用在刚体上点 P , 且
M r F
M
O
r
F
*
d
P
2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
一 力矩
讨论 1）若力 F 不在转动平面内，可把力分解为 平行于和垂直于转轴方向的两个分量
M r F
第四章 刚体转动
其中 Fz 对转轴的力矩为
0
d
0
3g sin d 2l
m l
3g 得 (1 cos ) l
FN
l 2
o
P
20
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
M
本节小结：
一、力矩
M r F
二、转动定律
M J
O d
r
P
F
刚体定轴转动定律：刚体定 轴转动的角加速度与它所受 的合外力矩成正比 ，与刚体 的转动惯量成反比 . 三、转动惯量 刚体对轴的转动惯量 四、平行轴定理 J＝JC＋md2
m
R o
m
0
m
T
P y
a
o R
T T
解得
m
T'
2mg a 2m m mmg T 2m m 2mg (2m m) R
16
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
P97例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω 0绕 通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相 同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压 力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正 压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数μ 均已被实验测出. 试问经过多长时间圆盘才停止转动? 解：在圆盘上取面积微元, 面积 元所受对转轴的摩擦力矩大小
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一 点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问 题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对 物体的运动有影响吗？
F
F F
Fi 0 , M i 0
圆盘静止不动
2 i
7
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
(r F ) (r f
i it i i
i it
i it
) ( mi ri )
2 i
由于刚体内各质点间的内力对转轴的合力矩为零，即
(r f ) 0 ∴有： (r F ) ( m r
i it
2
i i
)
∵
0
dr
刹车片
N dM rdF f r 2 dldr πR
r
F Fz F
z
Fz
F
F
或
M z rF sin M z r F
M M1 M 2 M 3
O
r
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
3
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
O
ri
f i fit FitFi
Δmi
Fit f it mi ait mi ri
两边同乘以 ri ，得：
ri Fit ri f it mi ri
2
6
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
ri Fit ri f it mi ri
F
Fi 0 , M i 0
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.1
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
一 力矩 刚体绕 O z 轴旋转 ,
为由点O 到力的作用点 P 的径矢 . 在转动平面内, r F 对转轴 Z 的力矩 M M Fd Fr sin z
m
R o
m
0
m
T
P y
a
o R
m
T'
对物体m，列牛顿方程
mg T ma
1 对滑轮m’，根据转动定律，有 T R J mR 2 15 2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
mg T ma
1 R J mR 2 T 2 另有 a R
解： 飞轮制动时受力如图， （接头处受力不考虑） 以ω0为正方向,飞轮的角加 速度为
F
f
R 0 1000 / 60 0 t 5 2 25 20.9 (rad/s ) 负值表示α与ω0的方向相反。
0
m
N
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
R
0
2Nr dr 2 NR 2 3 R
2
以顺时针方向为正,由转动定律可 得圆盘角加速度
0
dr
刹车片
M 3 N J 4 MR 0 3 mR0 停止转动需时 t 4 N
r
dl
dFf
18
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
P 和铰链对细杆的约束力 F N
F 牛顿第二定律 a m
牛顿第二定律是解决质点 运动问题的基本定律。
它们的形式很相似：外力矩M和外力F相对应，角加速 度α与加速度a相对应，转动惯量J 与质量 m 相对应。 10
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
2
三 转动惯量
J mi ri
国际单位：kg· 2 m
转动惯量物理意义：转动惯性的量度. 对质量离散分布刚体的转动惯量
2
z
式中：Fit ri 是合外力Fi 的对 Oz轴的力矩；
O
ri
fit Fit
Δmi
fit ri是内力 fi 对Oz轴的力矩。
故上式左边为作用在质点i 上 的外力矩与内力矩之和。 对于刚体上所有的质点，可得：
(r F ) (r f
i it i i
i it
) ( mi ri )
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
P96 表4-1列出了一些均匀刚体的转动惯量 . 平行轴定理 质量为m的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 Jc，则 对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
2
（证明略）
例：圆盘对P 轴的转动惯量
1 2 2 3 J P mR mR mR2 2 2
a mR2 J
圆柱
Ff m g
x
N
C
aC
1 2 J1 mR 2
薄壁圆柱筒
J 2 mR
2
23
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
mgR sin a mR2 J
2
y
2 g sin 圆柱 a1 3
Ff m g
x
N
C
aC
g sin 薄圆柱筒 a2 2
由匀变速直线运动公式，可得 圆柱
2l t1 2.3( s) a1
圆柱比圆筒先到达底部. 24
2l 薄圆柱筒 t 2 2.6( s) a2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
补充例题 一个飞轮的质量 m＝60kg，半径为R＝0.25m， 正在以ω0＝1000速而最后停下来。求闸瓦对轮 子的压力N为多大？假使闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数 为μk＝0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的 外周上，转动惯量为J＝mR2。
受力：细杆受重力 解： 由转动定律得
P98例3 一长为 l 质量为 m的匀质细杆竖直放置，其下 端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖直放 置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时， 细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.试计算细 杆转动到与竖直线成θ角时的角加速度和角速度.
J mi ri
2
本节 21 结束
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
*P98例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角θ= 5o. 有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿 斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
m l
FN
l 2
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3
o
P
19
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
1 1 2 mgl sin ml 2 3
d 3g d d d 得 sin 2l d t d dt d
M (ri Fit )
2
i
i
为刚体内所有质点所受的外力 对转轴的力矩的代数和，即合 力矩。
∴
M (mi ri )
—转动定律
8
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
M (mi ri )
2
—转动定律
式中
(m r
2
i i
)
是只与刚体的形状、质量以及转轴的位置有关，而与 运动无关的因子，定义为刚体对轴的转动惯量
d : 力臂
矢量式
力F
作用在刚体上点 P , 且
M r F
M
O
r
F
*
d
P
2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
一 力矩
讨论 1）若力 F 不在转动平面内，可把力分解为 平行于和垂直于转轴方向的两个分量
M r F
第四章 刚体转动
其中 Fz 对转轴的力矩为
0
d
0
3g sin d 2l
m l
3g 得 (1 cos ) l
FN
l 2
o
P
20
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
M
本节小结：
一、力矩
M r F
二、转动定律
M J
O d
r
P
F
刚体定轴转动定律：刚体定 轴转动的角加速度与它所受 的合外力矩成正比 ，与刚体 的转动惯量成反比 . 三、转动惯量 刚体对轴的转动惯量 四、平行轴定理 J＝JC＋md2
m
R o
m
0
m
T
P y
a
o R
T T
解得
m
T'
2mg a 2m m mmg T 2m m 2mg (2m m) R
16
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
P97例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω 0绕 通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相 同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压 力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正 压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数μ 均已被实验测出. 试问经过多长时间圆盘才停止转动? 解：在圆盘上取面积微元, 面积 元所受对转轴的摩擦力矩大小
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一 点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问 题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对 物体的运动有影响吗？
F
F F
Fi 0 , M i 0
圆盘静止不动
2 i
7
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体转动
(r F ) (r f
i it i i
i it
i it
) ( mi ri )
2 i
由于刚体内各质点间的内力对转轴的合力矩为零，即
(r f ) 0 ∴有： (r F ) ( m r
i it
2
i i
)
∵
0
dr
刹车片
N dM rdF f r 2 dldr πR
r