齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1

从而α1,α2, α3线性相关。
1 0 2 0 2 2 0 5 5
1 0 2 0 2 2 0 0 0
1 0 2
注：也可通过计算 1 2 4 = 0 得出结论。
1 5 7
4.定理2：如果向量组中有一部分向量线性相关，则 整个向量组线性相关。 （部分相关，则整体相关） 分析：若存在一组不全为零的数k1, k2 , ···, kr，使得： r≤s 则： k1α1+k2α2+···+krαr+0αr+1+···+ 0αs=O 5.推论3：线性无关向量组中任何一部分组皆线性 无关。 （整体无关，则部分无关） 例 含有零向量的向量组线性相关。 0α1+0α2+···+ 0αs+1·O=O 或：零向量线性相关（部分相关，则整体相关） k1α1+k2α2+···+krαr=O
三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组 A:α1,α2,···,αs；B:β1,β2,···,βt 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 A B 向量组等价。 2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示。(传递性）
1 2 4 ~ 2 −1 3 A= − 1 1 − 1 5 1 11
1 2 0 − 5 0 3 0 − 9
4 −5 3 −9
1 2 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0
二、向量的线性组合 1.定义：给定向量组：α1, α2, ···, αs和向量β，如果存 在一组数k1,k2,···,ks, 使得： β=k1α1+k2α2+···+ksαs 则称β可由向量组α1,α2,···,αs 线性表示(线性表出)； 又称β是向量组α1,α2,···,αs 的线性组合。 例：若β = (2,−1,1)T , ε1 = (1,0,0)T , ε 2 = (0,1,0)T , ε 3 = (0,0,1)T 则β可由向量组ε1,ε2,ε3线性表示为： β=2ε1－ε2＋ε3 T α 任一n维向量： = (a1 , a2 ,⋯, an ) = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n
练习： 1.α=(1,1,1)T, β=(1,3,0)T, γ =(2,4,1)T, 试将α表示为β, γ的 线性组合。 性相关性。 线性相关性。 4.课本96页第7题。 α=－β＋γ 线性相关 线性相关 2.讨论α1=(1,2,1)T, α2=(4,－1,－5)T, α3 =(2,1,－1)T 的线 3.若α1,α2, α3线性无关，讨论α1－α2,α2－α3 ,α3－α1的
1 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0
所以x1=2,x2=1， 即：β=2α1+α2.
判断向量β能否用向量组α1,α2,···,αs线性表示，等同 于判断x1α1+x2α2+···+xsαs=β是否有解。 线性方程组 2.定理：向量β能用向量组α1, α2, ···, αs线性表示的充 r(α1, α2, ···, αs)= r(α1, α2, ···, αs,β) 要条件是： 注：(1) r(α1, α2, ···, αs)= r(α1, α2, ···, αs,β)=s时，表示 式唯一； (2) r(α1, α2, ···, αs)= r(α1, α2, ···, αs,β)< s时，表示式不 唯一。
列向量（列矩阵）
α = (a1 , a2 ,⋯, an )
行向量（行矩阵）
2.一些特殊向量： （1）零向量：所有分量都为零的向量； （2）单位向量组： ε1 = (1,0,⋯,0)T , ε 2 = (0,1,⋯,0)T ,⋯, ε n = (0,0,⋯,1)T a1 j a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n 的每一列α = a2 j j （3）A = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a a mj am 2 ⋯ amn m1
α1
α2
αn
都是m维列向量； 而其每一行 β i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ) 都是n维行向量。
a11 a12 a21 a22 （3）A = ⋯ ⋯ a m1 am 2
β1 β2 故A可记为： = (α1 , α 2 ,⋯, α n ) = A ⋯ β m
⇔ r(α1,α2,···,αs)<s
注：向量组:α1,α2,···,αs线性无关⇔ r(α1,α2,···,αs)=s
对齐次线性方程组，我们有以下结论： 推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数 个数，则它必有非零解。 向量维数 向量个数 推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零 解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是 |A|≠0. 所以对向量，我们相应有： 2.推论1：向量个数大于维向量维数时，向量组线性 相关。 3.推论2：n个n维向量组:α1,α2,···,αn线性相关 ⇔ |α1,α2,···,αn |=0, 线性无关 ⇔ |α1,α2,···,αn |≠0.
1 0 2 例 讨论 α1 = 1,α 2 = 2 ,α3 = 4 的线性相关性。 1 5 7
1 0 2 解：(α1,α 2 ,α3 ) = 1 2 4 1 5 7的线性运算： 向量的加法和数乘运算。 矩阵的加法和数乘运算。
⋯ a1n ⋯ a2 n ⋯ ⋯ ⋯ amn
4.线性方程组的向量表示：
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1 n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = b2 线性方程组 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bm αn α1 α2 β 可表示为 x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = β
§2 向量与向量组的线性组合 一、向量及其线性运算 1.定义： n个有次序的数a1, a2, ⋅⋅⋅ , an所组成的数组称 为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数 ai称为第i个分量。 a1 a2 如： = = (a1 , a2 ,⋯, an )T α ⋮ a n
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + knα n = O
1.定义：对于向量组:α1,α2,···,αs，如果存在一组不全 为零的数k1,k2,···,ks, 使得： k1α1+k2α2+···+ksαs=O 则称向量组α1,α2,···,αs 线性相关； 如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向 量组α1,α2,···,αs 线性无关。 例 α1=(1,1)T,α2=(2,2) T 线性相关。 2α1－α2=O 例 n维单位向量组 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 线性无关。 若 k1ε1 + k2ε 2 + ⋯ + knε n = O = (k1 , k2 ,⋯, kn )T 则： 1 = k2 = ⋯ = kn = 0 k
练习：判断以下向量组是否线性相关。 1.α1=(1,2,3)T,α2=(0,4,5)T,α3 =(0,0,6)T 2.α1=(1,1,1)T,α2=(3,2,3)T,α3 =(4,3,4)T 3.α1=(1,2,3)T,α2=(2,3,4)T,α3 =(3,4,5)T ,α3 =(4,5,6)T 4.α1=(1,0,0,2,5)T,α2=(0,1,1,3,4)T,α3 =(0,0,0,0,0)T
二、齐次线性方程组 定理：齐次线性方程组有非零解 ⇔ r ( A) < n 齐次线性方程组只有零解⇔ r ( A) = n 推论1：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数 个数（m<n），则它必有非零解。 推论2：n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零 解的充要条件是|A|=0；而它只有零解的充要条件是 |A|≠0.
例 零向量可由任一向量组线性表示： O = 0α1 + 0α 2 + ⋯ + 0α s 例 向量组α1, α2, ···, αs中的任一向量αj都可由该向量 组线性表示：α j = 0α1 + ⋯ + 0α j −1 + α j + 0α j +1 ⋯ + 0α s 判断向量 β = (4,3,−1,11)T能否表示为向量组： α1 = (1,2,−1,5)T ,α 2 = (2,−1,1,1)T 的线性组合，若可以， 写出表示式。 x1 + 2 x2 = 4 2x − x = 3 2 解： 设 β = x1α1 + x2α 2 ，即： 1 − x1 + x2 = −1 5 x1 + x2 = 11 例
例 一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关； 例 证明：若α1,α2线性无关，则α1+α2,α1－α2也线性 无关。 二 、向量组线性相关性的一些判定定理 n维向量组:α1,α2,···,αs线性相关等同于齐次线性方程组 x1α1+x2α2+···+xsαs=O 有非零解。 1.定理1：n维向量组:α1,α2,···,αs线性相关
§3 向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 引例 齐次线性方程组Ax=O的向量形式为
x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = O
显然，其必有零解。 (零向量可由任一向量组线性表示) 我们关心其是否有非零解？ 其是否有非零解等同于是否存在一组不全为零的数 k1,k2,···,kn, 使得：