高中数学 圆锥曲线复习课课件
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数学圆锥曲线复习课件
5 （C）
4
（D）
7 4
C
)
12
练习一：
1、如图所示，已知两圆 A：(x＋1)2＋y2＝1，B：(x－1)2＋y2 ＝25，动圆 M 与圆 A 外切，与圆 B 内切，求动圆 M 的圆心 M 的轨迹方程．
13
x2 y2 2、已知点 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的位于第二象限的点，且点 P 16 4 到椭圆左焦点 F1 的距离为 2， 则线段 PF1 的中点 M 到椭圆中心 的距离是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
14
作业：1、一动圆与圆(x＋3)2＋y2＝1 外切，又与圆(x－3)2＋y2＝9 内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________．
x2 y2 － ＝1 (x≥2) 4 5
15
x2 y2 1 一点 ， F1和F2 是椭圆的焦点， 例2：已知点P 是椭圆 25 9 ⑴若∠F1PF2=90°，求△ F1PF2的面积 改成双曲线 ⑵若∠F1PF2=60°，求△ F1PF2的面积
20
2.求椭圆、双曲线的标准方程
最常用方法为定义法、待定系数法，求解时注意有两个定形条
件(如已知a，b，c，e中的任意两个)和一个定位条件(对称轴、
x2 y 2 焦点或准线等)．对于双曲线要注意双曲线 2 2 1(a 0, b 0) a b x y 与渐近线 0 的关系，这两条渐近线方程可以合并表示为 a b 2 2 2 2 x y x y ，一般地，与双曲线 2 2 1有共同渐近线的双曲 0 a b a 2 b2 2 2 x y ( 0) 线方程是 2 2 a b
[思路] 题目没有说明长轴所在的位置，解题时要分类讨 论，设出椭圆方程，利用待定系数法求解．
高三复习圆锥曲线复习1PPT课件
课 堂 题 型 设 计
3．已知椭圆
规
律 方
________.
法
提
炼
的离心率
则k＝
课 后 强 化 作 业
首页
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第8章 圆锥曲线方程
高
考
导
航
解题思路：由于椭圆的焦点位置不确定，应分两种情
况进行讨论．
知
识 梳
(1)当椭圆的焦点在x轴上时，
理
∵a2＝k＋8，b2＝9.
课
堂 题
∴c2＝a2－b2＝(k＋8)－9＝k－1.
律
方 法
重点，所以要熟练掌握求曲线方程的一般方法：直接法、
提
炼 定义法、待定系数法、相关点法、参数法等．
课 后 强 化 作 业
首页
上页
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末页
第8章 圆锥曲线方程
高 考 导 航
3．关注“热点”问题，直线与圆锥曲线的位置关系
知
识 梳
问题一直是高考命题的热点，这类问题常涉及圆锥曲线的
理
性质和直线的基本知识点，分析问题时要注意数形结合思
高 考 导 航
知
识 梳
5．着力抓好“运算关”．解析几何问题的解题思路
理
容易分析出来，但往往由于运算不过关而半途而废．因
课
堂 题
此，在复习中要注意寻求合理的运算方案，以及简化运算
型
设 计
的基本途径与方法，亲身经历运算困难的发生与克服困难
规 的完整过程，增强解决复杂问题的信心.
律 方 法 提 炼
课 后 强 化 作 业
高
考
导
航
备考指南：
1．注重“三基”训练．重点掌握椭圆、双曲线、抛
圆锥曲线复习课课件
函数思想法
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
圆锥曲线复习ppt课件
复习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的几 何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线 的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线 的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图 形，并了解圆锥曲线的初步应用.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
x轴，长轴长2a， x轴，实轴长2a， y轴，短轴长2b y轴，虚轴长2b
(±c，0)
(±c，0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
0<e<1
e>1
x轴 (p/2，0)
e=1
x=±a2/c x=±a2/c x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a) x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
A．k＜1 B．k＞2 C．k＜1或k＞2 D．1＜k＜2
2、已知方程 a x 2 b y 2 a b 和 a x b y c 0 ( 其 中 a b 0 , a b , c 0 ) 它们所表示的曲线可能是( B)
x1
和
A
B
C
D
3、双曲线 x 2 y 2 1 的两条渐近线所成的锐角是 ( C )
y
A
O
x
B
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
5、设F1、F2分别是椭 圆
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的几 何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线 的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线 的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图 形，并了解圆锥曲线的初步应用.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
x轴，长轴长2a， x轴，实轴长2a， y轴，短轴长2b y轴，虚轴长2b
(±c，0)
(±c，0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
0<e<1
e>1
x轴 (p/2，0)
e=1
x=±a2/c x=±a2/c x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a) x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
A．k＜1 B．k＞2 C．k＜1或k＞2 D．1＜k＜2
2、已知方程 a x 2 b y 2 a b 和 a x b y c 0 ( 其 中 a b 0 , a b , c 0 ) 它们所表示的曲线可能是( B)
x1
和
A
B
C
D
3、双曲线 x 2 y 2 1 的两条渐近线所成的锐角是 ( C )
y
A
O
x
B
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
5、设F1、F2分别是椭 圆
圆锥曲线复习_课件(经典)
a
由两渐近线互相垂直得 b ·(- b )=-1,即a=b.
从而e= c = a2 b2 = 2 . a a
a
a
10.若双曲线C的焦点和椭圆2x52
y2 5
=1的焦
点相同，且过点(3 2,2)，则双曲线C的
方程是 x2 y2 =1 .
12 8
由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在
x轴上，设双曲线C的方程为
(3)代入法(相关点法)：当所求动点M 是随着另一动点P(称之为相关点)而运动， 如果相关点P满足某一曲线方程，这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把 相关点代入曲线方程，就把相关点所满足 的方程转化为动点的轨迹方程；
(4)参数法：有时求动点应满足的几何 条件不易得出，也无明显的相关点，但却 较易发现这个动点的运动常常受到另一个 变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的 制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一 变量的变化而变化，我们可称这个变量为 参数，建立轨迹的参数方程；
c
从而 c2 ≥ 1,故 2≤ <c1,故e∈［ ,12 ).
a2 2
2a
2
方法提炼
1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点 的距离时，应利用定义求解.
2.求椭圆方程的方法，除了直接根据 定义法外，常用待定系数法.当椭圆的焦点 位置不明确，可设方程为 x2 + y2 =1(m＞
mn
0,n＞0),或设为Ax2+By2=1(A＞0,B＞0).
在定义中，当② 2a=|F1F时2|表示两条射 线,当③ 2a>|F1F2|时,不表示任何图形.
6.双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线:④
x2 y2 a2 b2
圆锥曲线复习+课件
圆锥曲线在解决几何问题中具有广泛应用，例如求图形的面积、体积、角度、线 段长度等问题。
在其他数学分支中的地位和作用
圆锥曲线在解析几何、微积分、线性代数等数学分支中都有 重要应用。
圆锥曲线在解决物理、工程、经济等领域的问题中也有广泛 应用，例如物理学中的光学、力学问题，经济学中的供需关 系、最优问题等。
物体运动轨迹
在物理学中，圆锥曲线被用来描述各种 物体的运动轨迹。例如，当物体在重力 的作用下自由下落时，其运动轨迹可能 是一个抛物线；当物体沿着斜面滑下时 ，其运动轨迹可能是一个螺旋线。
VS
粒子运动
在量子力学和粒子物理学中，粒子在强磁 场中的运动轨迹通常被描述为复杂的曲线 ，这些曲线的形状和变化规律对于理解粒 子的性质和行为至关重要。
THANKS
感谢观看
圆锥曲线在几何学中的应 用
在几何学中，圆锥曲线被广泛应用于解决各 种问题，如轨迹问题、最值问题等。
现代圆锥曲线的研究方向和成果
圆锥曲线与代数几何的结合
现代数学家将圆锥曲线与代数几何相结合，研究了一些深层次的问题，如圆锥曲线的分类、几何不变量等。
圆锥曲线在物理学中的应用
在物理学中，圆锥曲线被应用于解决一些实际问题，如行星运动轨迹的计算、光学问题等。
• 解析
首先求出圆心A到抛物线准线的距离，然后与圆的半径进行比较，得 出圆与抛物线的位置关系。
解答题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且经过两个点$P_1(1,1)$和 $P_2( - frac{1}{5}, - frac{9}{5})$，求椭圆C的标准方程。
• 解析
根据椭圆的性质和给定的两个点，我们可以列出方程组解出椭圆的标 准方程。
06
圆锥曲线复习题及解析
在其他数学分支中的地位和作用
圆锥曲线在解析几何、微积分、线性代数等数学分支中都有 重要应用。
圆锥曲线在解决物理、工程、经济等领域的问题中也有广泛 应用，例如物理学中的光学、力学问题，经济学中的供需关 系、最优问题等。
物体运动轨迹
在物理学中，圆锥曲线被用来描述各种 物体的运动轨迹。例如，当物体在重力 的作用下自由下落时，其运动轨迹可能 是一个抛物线；当物体沿着斜面滑下时 ，其运动轨迹可能是一个螺旋线。
VS
粒子运动
在量子力学和粒子物理学中，粒子在强磁 场中的运动轨迹通常被描述为复杂的曲线 ，这些曲线的形状和变化规律对于理解粒 子的性质和行为至关重要。
THANKS
感谢观看
圆锥曲线在几何学中的应 用
在几何学中，圆锥曲线被广泛应用于解决各 种问题，如轨迹问题、最值问题等。
现代圆锥曲线的研究方向和成果
圆锥曲线与代数几何的结合
现代数学家将圆锥曲线与代数几何相结合，研究了一些深层次的问题，如圆锥曲线的分类、几何不变量等。
圆锥曲线在物理学中的应用
在物理学中，圆锥曲线被应用于解决一些实际问题，如行星运动轨迹的计算、光学问题等。
• 解析
首先求出圆心A到抛物线准线的距离，然后与圆的半径进行比较，得 出圆与抛物线的位置关系。
解答题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且经过两个点$P_1(1,1)$和 $P_2( - frac{1}{5}, - frac{9}{5})$，求椭圆C的标准方程。
• 解析
根据椭圆的性质和给定的两个点，我们可以列出方程组解出椭圆的标 准方程。
06
圆锥曲线复习题及解析
高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课ppt课件
C.钝角三角形 D.随m，n变化而变化
类型二 圆锥曲线的性质及其运用
∴ba2＝12，ba＝ 22，
答案 解析
(2)知抛物线y2＝4x的准线与双曲线 代入双曲线方程－可得a2＝15， y2＝1交于A，B两点，点F为抛物 线的焦点，假设△FAB为直角三角形，那么该双曲线的离心率于是c＝ a2＋1＝是56. ____.
类型三 直线与圆锥曲线的位置关系
所以 x1＋x2＝1＋4k22k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝1－＋22kk2.
(1)求椭圆的规范方程； 解答
所以 AB 的中点坐标为(1＋2k22k2，1＋－2kk2).
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，假设y轴上一点M(0①当k≠0时，，AB的中垂线方程为y－1＋－2kk2＝－1k(x－1＋2k22k2)， )满足 |MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值. 解答
所以 sin ∠F1PF2＝82711，所以
＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
S △ F P ＝12×3×9×82711＝4
1
11.即△F1PF2 的面积为 4
F2
11.
跟踪训练 1 已知椭圆xm2＋y2＝1(m>1)和双曲线xn2－y2＝1(n>0)有相同的焦 点 F1，F2，P 是它们的一个交点，则△F1PF2 的形状是
设P为椭圆 xa22＋yb22 ＝1(a>b>0)上恣意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且 ∠F1PF2＝α，那么△PF1F2为焦点三角形(如图).
1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方
程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程.如双曲线Байду номын сангаасx22－by22＝1(a>0，b>0)
圆锥曲线复习课PPT课件
椭圆上点到定点、定直线距离的最值
例： 1、求椭圆 x2 y2 1上的点
94 (1)与定点（0，1）的最大距离； (2)与直线2x y 10 0的最大距离. 2、A是椭圆x2 y2 1上任意一点B，为圆
25 9 (x 1)2 y2 1上任意一点 ,求| AB|的范围.
二. 双曲线
1、双曲线定义
x p 2
x2 2py
p0
0 , p 2
y p 2
x2 2py
p0
0 , p 2
y p 2
y
3、焦点弦长公式 A1
A(x1,y1)
(1)AB 1k2 x1x2
1
1 k2
y1 y2
(2)ABx1x2p
O
(3)AB2p1k12si2np2
(是直A线B的倾斜) 角 B1
(2)(3)只适用于焦点弦
在x轴 上
例2、在双曲ax线 22
y2 b2
1(a0,b0)的右支上
与右焦点和左准相线等距的离点e， 的求 取值
范围
例3、已 知 A (3,2 点 )F , (2,0)，在 双x2曲 y32 线 1 上 求P， 一 使 |P 点 |A 1 2|F|P 最 小
三. 抛物线
1、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l l
F1
x2 y2 1 a2 b2
y2 a2
x2 b2
1
(a0,b0)
F(±c,0)
F(0,±c)
a.b.c的关
系及意义
c2=a2+b2
(1)c最大a， ,b大小不定 (2)a含在为正的那一项
图象
方程 准线
渐近 线 顶点 e
y F1 o F2 x
高三数二轮专题复习课件圆锥曲线
理解参数方程与圆锥曲线的关联，掌 握利用参数方程解决圆锥曲线问题的 方法。
极坐标与圆锥曲线
理解极坐标与圆锥曲线的交汇点，掌 握利用极坐标解决圆锥曲线问题的方 法。
05
圆锥曲线解题技巧与策略
代数法求解圆锥曲线问题
利用代数方法进行求解
代数法是解决圆锥曲线问题的一种基本方法，主要通过将问题转化为代数方程， 然后进行求解。这种方法需要掌握圆锥曲线的标准方程和相关性质，以及代数方 程的求解技巧。
抛物线
离心率e为1，因为抛物线是所有点与固定点（焦 点）距离相等的点的集合。
03
圆锥曲线的应用
曲线的切线问题
切线斜率
通过求导数或利用曲线的参数方程，求出切线的斜率，进而求出 切线方程。
切线长
利用切线斜率和点到直线的距离公式，求出切线长。
切线与弦的关系
利用切线与弦的垂直关系，求出弦的中点坐标和长度。
THANKS
感谢观看
关于x轴和y轴都是对称的 。
抛物线
只有一条对称轴，通常为 y=x或y=-x。
曲线的范围
椭圆
在x轴和y轴上都有一定的范围， 确保所有点都在椭圆上。
双曲线
在x轴和y轴上都有一定的范围，确 保所有点都在双曲线上。
抛物线
只关于一个轴有范围，通常为y≥0 或y≤0。
曲线的顶点和焦点
椭圆
有两个顶点和两个焦点，顶点是 曲线的最高和最低点，焦点用于
确定曲线的形状。
双曲线
有一个顶点和两个焦点，顶点是 曲线的最高或最低点，焦点用于
确定曲线的形状。
抛物线
有一个顶点和焦点，顶点是曲线 的最高或最低点，焦点在顶点的
正上方或正下方。
曲线的离心率
椭圆
极坐标与圆锥曲线
理解极坐标与圆锥曲线的交汇点，掌 握利用极坐标解决圆锥曲线问题的方 法。
05
圆锥曲线解题技巧与策略
代数法求解圆锥曲线问题
利用代数方法进行求解
代数法是解决圆锥曲线问题的一种基本方法，主要通过将问题转化为代数方程， 然后进行求解。这种方法需要掌握圆锥曲线的标准方程和相关性质，以及代数方 程的求解技巧。
抛物线
离心率e为1，因为抛物线是所有点与固定点（焦 点）距离相等的点的集合。
03
圆锥曲线的应用
曲线的切线问题
切线斜率
通过求导数或利用曲线的参数方程，求出切线的斜率，进而求出 切线方程。
切线长
利用切线斜率和点到直线的距离公式，求出切线长。
切线与弦的关系
利用切线与弦的垂直关系，求出弦的中点坐标和长度。
THANKS
感谢观看
关于x轴和y轴都是对称的 。
抛物线
只有一条对称轴，通常为 y=x或y=-x。
曲线的范围
椭圆
在x轴和y轴上都有一定的范围， 确保所有点都在椭圆上。
双曲线
在x轴和y轴上都有一定的范围，确 保所有点都在双曲线上。
抛物线
只关于一个轴有范围，通常为y≥0 或y≤0。
曲线的顶点和焦点
椭圆
有两个顶点和两个焦点，顶点是 曲线的最高和最低点，焦点用于
确定曲线的形状。
双曲线
有一个顶点和两个焦点，顶点是 曲线的最高或最低点，焦点用于
确定曲线的形状。
抛物线
有一个顶点和焦点，顶点是曲线 的最高或最低点，焦点在顶点的
正上方或正下方。
曲线的离心率
椭圆
选修21人教版圆锥曲线复习课共15张PPT
x轴、y轴、 原点对称
(+a,0)
(0,+a)
e c a
e c a
e 1
ybx a
yax b
图像 标准方程
抛物线
ly
ox
yl
ox
y
o lx
y
o
l
x
y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
范围 焦点 准线 对称性 离心率
A
11
22
o
P
x B
联立方程
y
x2 4
kx 1 k + y2 =1
2
消去y, 得 (1 2k 2 )x2
4k(k
1)x
2(k
2
2k
1)
0
令 0,即16k2(k 1)2 8(1 2k2) k2 2k 1 0, 恒成立。
由韦达定理得x1
x2
4k(k 1) 1 2k 2
.
又P平分AB， x1 x2 2
4k(k 1) 2,解得k 1 , 又直线过P点，直线方程为y-1=- 1 (x 1),
1 2k 2
2
2
即x+2y-3=0
注2： (1)联立方程组
例3 P(1,1)为椭圆 x2 + y2 =1内一定点，经过P引一弦，使此弦
42
在P点被平分，求此弦所在的直线方程。
解：法2：点差法 设弦的两个端点 A(x1, y1), B(x2, y2 )
（
）
A2
B3
C6
D9
A (2)直线y kx k 1与椭圆 x2 y2 1恒有（ ）个交点。 94
高二数学圆锥曲线复习课(与“标准”有关的文档共13张)
y 2x 1
联立
x
2
y2 2
无解
1
不存在这样的直线
第十二页，共13页。
例5、双曲线y2
(a21)x2 a2
1(a1)上支的顶点为A，与
直线yx交于点P，以A为焦点，M(0,m)为顶点的的抛
物线经过点P，设PM的斜率为k(k[1,1])，求a的范围。
43
y
解：由 M (题 0,m )意 ,A(0,1得 )P ,(a,a)
第六页，共13页。
韦达定理
或点差法
例题选讲
1 、 圆 锥 曲 线 的 标 准 方 程 ； 2 、 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 交 点 ；
3 、 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 弦 长 ； 4 、 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 弦 的 中 点 ； 5、 圆 锥 曲 线 综 合 题 .
第七页，共13页。
•M
kmamkaa a
P• • A
设抛物线方 :x2程 2为 p(ym)其中p m1
O
x
2
抛物线方 x2[4 程 4(k为 a a)： ]y(ka a)
p在抛物线上
a 2 [4 4 (k a a )a ] ( k a a )a4k2
4k 4k1
a [12 ,4]
4k
4 1
k
4
7
第十三页，共13页。
抛 直线与圆锥曲线的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系：
物 直线与圆锥曲线的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系：
线 直线与圆锥曲线的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系：
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题型一 圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意 识，“回归定义”是一种重要的解题策略.
研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上 的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把 曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利 用数形结合的思想去解决有关的最值问题.
例 3 已知椭圆 C：xa22＋by22＝1 (a>b>0)的离心率为 36，短轴
一个端点到右焦点的距离为 3.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线
l 的距离为 23，求△AOB 面积的最大值.
解
(1)设椭圆的半焦距为
c＝ c，依题意有a
S＝12×|AB|max×
23＝
3 2.
小结 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似， 一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求 函数值域的方法求解. (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不 等式求参数范围.
跟踪训练 3 已知向量 a＝(x， 3y)，b＝(1,0)且(a＋ 3b)⊥(a － 3b). (1)求点 Q(x，y)的轨迹 C 的方程； (2)设曲线 C 与直线 y＝kx＋m 相交于不同的两点 M、N， 又点 A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数 m 的取值范围.
例 1 若点 M(2,1)，点 C 是椭圆1x62 ＋y72＝1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是_8_－____2_6_. 解析 设点 B 为椭圆的左焦点，点 M(2,1) 在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋ |AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
＝3＋9k4＋126kk22＋1＝3＋9k2＋12k12＋6 (k≠0)
≤3＋2×132＋6＝4.
当且仅当 9k2＝k12，即 k＝± 33时等号成立. 此时 Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，当 k＝0 或不存在时，|AB|＝ 3，
综上所述，|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB 面积取得最大值
C.x＝±
3 4y
D.y＝±
3 4x
解析 由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上，
∴椭圆焦点( 3m2－5n2，0)，双曲线焦点( 2m2＋3n2，0)， ∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，
又∵双曲线渐近线为 y＝± 26|m·|n| |·x， ∴代入 m2＝8n2，|m|＝2 2|n|，得 y＝±
解 (1)由题意，得 a＋ 3b＝(x＋ 3， 3y)，a－ 3b＝(x－ 3， 3y)，
∵(a＋ 3b)⊥(a－ 3b)，∴(a＋ 3b)·(a－ 3b)＝0， 即(x＋ 3)(x－ 3)＋ 3y· 3y＝0. 化简得x32＋y2＝1，
题型二 有关圆锥曲线性质的问题
有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中
常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，
大都可以顺利求解.
例2
已知椭圆 x2 3m
2＋5yn22＝1
和双曲线2xm2 2－3yn22＝1
有公共的
焦点，那么双曲线的渐近线方程是
(D )
A.x＝± 215y
B.y＝± 215x
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝3－k26＋km1，x1x2＝33mk22＋－11.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)33k62k＋2m122－123km221－m2＝3k2＋3k12＋91k22＋1
36，
∴b＝1.∴所求椭圆方程为x32＋y2＝1. a＝ 3，
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2).
①当 AB⊥x 轴时，|AB|＝ 3. ②当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m.
由已知 1|m＋|k2＝ 23，得 m2＝34(k2＋1). 把 y＝kx＋m 代入椭圆方程，
∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(±4,0)， 渐近线方程为 y＝±bax，即 y＝± 3x，化为一般式为 3x±y＝0.
题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题 1.直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有
一个公共点及有两个相异的公共点.其中，直线与圆锥曲线 仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双 曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于 抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行. 2.有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与 圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范 围、最值等问题. 3.这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的 思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关 系等.
而 a＝4，|BM|＝ 2＋32＋1＝ 26，
所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－ 26.
跟踪训练 1 已知椭圆x92＋y52＝1，F1、F2 分别是椭圆的左、 右焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点 P 为椭圆上一点，求 |PA|＋|PF1|的最大值.
解 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所 以|PF1|＝6－|PF2|，这样|PA|＋|PF1|＝6＋|PA| －|PF2|.求|PA|＋|PF1|的最大值问题转化为 6＋ |PA|－|PF2|的最大值问题，即求|PA|－|PF2|的最 大值问题，如图，在△PAF2 中，两边之差小于第三边，即|PA| －|PF2|<|AF2|，连接 AF2 并延长交椭圆于 P′点时，此时|P′A| －|P′F2|＝|AF2|达到最大值，易求|AF2|＝ 2，这样|PA|－|PF2| 的最大值为 2，故|PA|＋|PF1|的最大值为 6＋ 2.
3 4 x.
跟踪训练 2 已知双曲线xa22－yb22＝1 的离心率为 2，焦点与椭
圆
x2 25
＋
y2 9
＝
1
的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为
_(±_4_,_0_)___；渐近线方程为___3_x_±_y_＝__0_.
解析 ∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， ∴c＝4.∵e＝ca＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝2 3.
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意 识，“回归定义”是一种重要的解题策略.
研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上 的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把 曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利 用数形结合的思想去解决有关的最值问题.
例 3 已知椭圆 C：xa22＋by22＝1 (a>b>0)的离心率为 36，短轴
一个端点到右焦点的距离为 3.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线
l 的距离为 23，求△AOB 面积的最大值.
解
(1)设椭圆的半焦距为
c＝ c，依题意有a
S＝12×|AB|max×
23＝
3 2.
小结 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似， 一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求 函数值域的方法求解. (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不 等式求参数范围.
跟踪训练 3 已知向量 a＝(x， 3y)，b＝(1,0)且(a＋ 3b)⊥(a － 3b). (1)求点 Q(x，y)的轨迹 C 的方程； (2)设曲线 C 与直线 y＝kx＋m 相交于不同的两点 M、N， 又点 A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数 m 的取值范围.
例 1 若点 M(2,1)，点 C 是椭圆1x62 ＋y72＝1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是_8_－____2_6_. 解析 设点 B 为椭圆的左焦点，点 M(2,1) 在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋ |AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
＝3＋9k4＋126kk22＋1＝3＋9k2＋12k12＋6 (k≠0)
≤3＋2×132＋6＝4.
当且仅当 9k2＝k12，即 k＝± 33时等号成立. 此时 Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，当 k＝0 或不存在时，|AB|＝ 3，
综上所述，|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB 面积取得最大值
C.x＝±
3 4y
D.y＝±
3 4x
解析 由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上，
∴椭圆焦点( 3m2－5n2，0)，双曲线焦点( 2m2＋3n2，0)， ∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，
又∵双曲线渐近线为 y＝± 26|m·|n| |·x， ∴代入 m2＝8n2，|m|＝2 2|n|，得 y＝±
解 (1)由题意，得 a＋ 3b＝(x＋ 3， 3y)，a－ 3b＝(x－ 3， 3y)，
∵(a＋ 3b)⊥(a－ 3b)，∴(a＋ 3b)·(a－ 3b)＝0， 即(x＋ 3)(x－ 3)＋ 3y· 3y＝0. 化简得x32＋y2＝1，
题型二 有关圆锥曲线性质的问题
有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中
常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，
大都可以顺利求解.
例2
已知椭圆 x2 3m
2＋5yn22＝1
和双曲线2xm2 2－3yn22＝1
有公共的
焦点，那么双曲线的渐近线方程是
(D )
A.x＝± 215y
B.y＝± 215x
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝3－k26＋km1，x1x2＝33mk22＋－11.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)33k62k＋2m122－123km221－m2＝3k2＋3k12＋91k22＋1
36，
∴b＝1.∴所求椭圆方程为x32＋y2＝1. a＝ 3，
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2).
①当 AB⊥x 轴时，|AB|＝ 3. ②当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m.
由已知 1|m＋|k2＝ 23，得 m2＝34(k2＋1). 把 y＝kx＋m 代入椭圆方程，
∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(±4,0)， 渐近线方程为 y＝±bax，即 y＝± 3x，化为一般式为 3x±y＝0.
题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题 1.直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有
一个公共点及有两个相异的公共点.其中，直线与圆锥曲线 仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双 曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于 抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行. 2.有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与 圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范 围、最值等问题. 3.这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的 思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关 系等.
而 a＝4，|BM|＝ 2＋32＋1＝ 26，
所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－ 26.
跟踪训练 1 已知椭圆x92＋y52＝1，F1、F2 分别是椭圆的左、 右焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点 P 为椭圆上一点，求 |PA|＋|PF1|的最大值.
解 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所 以|PF1|＝6－|PF2|，这样|PA|＋|PF1|＝6＋|PA| －|PF2|.求|PA|＋|PF1|的最大值问题转化为 6＋ |PA|－|PF2|的最大值问题，即求|PA|－|PF2|的最 大值问题，如图，在△PAF2 中，两边之差小于第三边，即|PA| －|PF2|<|AF2|，连接 AF2 并延长交椭圆于 P′点时，此时|P′A| －|P′F2|＝|AF2|达到最大值，易求|AF2|＝ 2，这样|PA|－|PF2| 的最大值为 2，故|PA|＋|PF1|的最大值为 6＋ 2.
3 4 x.
跟踪训练 2 已知双曲线xa22－yb22＝1 的离心率为 2，焦点与椭
圆
x2 25
＋
y2 9
＝
1
的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为
_(±_4_,_0_)___；渐近线方程为___3_x_±_y_＝__0_.
解析 ∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， ∴c＝4.∵e＝ca＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝2 3.