高三数学奇偶性1
高三数学函数的奇偶性
[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
⑦对于F(x)=f[g(x)]: 若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
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⑤奇函数 f (x)在 x 0有意义，则 f (0) 0
⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为 一个奇函数与一个偶函数之和
f (x) 1 f (x) f (x)] 1 [ f (x) f (x)]
2
2
⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
2.性质： ①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称
②y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,
③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性 相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单 调性相同， ④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，
x)(x x)(x
0) 0)
④ f (x) 1 x2
x2 2
例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0
3．奇偶性的判断 一.定义法：①看定义域是否关于原点对称
②看f(x)与f(-x)的关系 二.图象法：作出图象，看是否关于原点对称
二．应用举例 （书）例1．判断下列函数的奇偶性
① f (x) x 1 x 1
②f (x) (x 1). 1 x
1 x
③
f
(x)
高三数学函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析．1．定义域判定法例1 判定()(1)f x x =-解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性．2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性．解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性．3．等价形式判定法例3 判定()f x =的奇偶性．解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．又0x ≠ 时，2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--， (1)()f f x ∴-=-．又(0)0f =，∴()f x 为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或()1()f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例 4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()()g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ϕ= 的奇偶性．解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=- ， ()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，()()()()()()f x f x g x f x g x x ϕ∴-=-=-=- ．()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数、积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．。
高三数学复习课件【函数的奇偶性及周期性】
f(x)＝－ x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， 则 f 32＝________. 解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，
且 f(x)＝－x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， ∴f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1. 答案：1
返回 2．已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－f1x，x∈(0,2]时，f(x)
关 于 _原__点_ 对称
f(x)就叫做奇函数
返回 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定 义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项
定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数也
不是偶函数． 答案：B
返回
3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b
的值是
()
A．－13
B.13
C.12
D．－12
解ห้องสมุดไป่ตู้：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－
奇函数，所以 f 121＝f －12＝－f 12＝123＝18. 答案：B
返回
5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0 时，f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1. 答案：x－1
高三数学奇偶性1
高三数学 第一轮复习 11：函数的奇偶性
高三数学第一轮复习11函数的奇偶性·知识梳理·模块01：函数的奇偶性1、函数奇偶性的定义：偶函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有,D x ∈-并且)()(x f x f =-，那么就把函数()y f x =叫做偶函数。
奇函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有都有,D x ∈-并且)()(x f x f -=-，那么就把函数()y f x =叫做奇函数。
2、判断函数奇偶性的方法：步骤：第1步：看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）；第2步：找)(x f 与)(x f -之间的关系，若)()(x f x f -=,那么)(x f 就叫做偶函数；)()(x f x f --=,那么)(x f 就叫做奇函数。
[注意]定义本身蕴涵着：①函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件——前提；②“定义域内任意”：意味着不存在＂某个区间（段）上的＂的奇（偶）函数——不研究；③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义——)()(x f x f -±=。
模块02：函数的奇偶性的应用关于函数奇偶性的几个重要结论：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）。
（2）若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =。
（3）函数()f x 是奇函数⇔曲线()y f x =关于原点对称；函数()f x 是偶函数⇔曲线()y f x =关于y 轴对称。
（4）()f x 既是奇函数又是偶函数()0f x ⇔=（定义域关于原点对称）．（5）若()f x 的定义域关于原点对称，则()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()G x f x f x =--是奇函数。
（6）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。
函数的奇偶性(1)
例2.分析函数 y lg( 2 1) 的图像的对称性 1 x
练:设奇函数f(x)定义域为[-5,5], 若当x [0,5]时,f(x)
的图像如图所示,求不等式f(x)<0的解集
y
-5
-2 0 2
5x
(-2,0) (2,5)
例3.设函数f(x)为R上的偶函数,并且在( ,0] 上单调
图像法
3. 奇(偶)函数的性质: 1).两个奇函数之积为 偶 函数. 两个偶函数之积为 偶 函数. 一奇和一偶函数之积为 奇 函数
2).奇函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相同 . 偶函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相反 .
例1 判断下例函数的奇偶性
(1)
f
递增, 问a为何值时,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)
例4. 已知图(1)中图像对应的函数为y=f(x), 求图(2)中图像对应的函数解析式.
y
y
-3
0
x
(1)
-3
0 3x
(2)
小结:
1.奇(偶)函数的定义及其图像的性质特征 2.会判断一个函数的奇偶性 3.奇(偶)函数的性质 4.函数奇偶性的应用
作业: <数学之友> P7
y
0
x
f(x)=x3
y
0
x
f(x)=x2
高三数学第一轮复习:
7.
知识回顾:
1. 奇函数 偶函数的定义 奇(偶)函数的定义域一定关于原点对称.
问:函数定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的 必要不充分 条件.
2. 奇函数的图像关于原点对称, 偶函数的图像关于y轴对称. 判断函数奇偶性的方法:
高三奇偶性数学知识点
高三奇偶性数学知识点在数学中，奇偶性是一个重要的概念，尤其在高三学习阶段，我们经常会遇到与奇偶性相关的题目。
理解奇偶性的性质和运用奇偶性的方法对于解题非常有帮助。
本文将介绍一些高三奇偶性的数学知识点。
一、整数的奇偶性质在数学中，我们将自然数分为奇数和偶数两类。
1. 奇数：奇数是不能被2整除的正整数。
奇数的特点是末尾数字是1、3、5、7或9，可以表示为2n + 1的形式，其中n是整数。
2. 偶数：偶数是可以被2整除的正整数。
偶数的特点是末尾数字是0、2、4、6或8，可以表示为2n的形式，其中n是整数。
二、奇偶数的运算性质奇偶性在数学运算中具有以下一些性质：1. 两个奇数相加或相乘的结果是偶数。
2. 两个偶数相加的结果是偶数；两个偶数相乘的结果是偶数。
3. 奇数与偶数相加的结果是奇数；奇数与偶数相乘的结果是偶数。
4. 任何整数与偶数相乘的结果都是偶数。
三、奇偶性在方程与函数中的运用奇偶性在解方程和分析函数性质时非常有用。
1. 解方程：有些方程的解与奇偶性有关。
例如，当我们解x² = a时，可以通过奇偶性判断出解的情况。
如果a是奇数，那么方程没有实数解；如果a是偶数，那么方程的解是±√a。
2. 函数的奇偶性：奇偶性对于分析函数的性质也非常重要。
如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，那么它是偶函数；如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，那么它是奇函数。
四、奇偶性与图形的对称性奇偶性也与图形的对称性有关。
奇函数对应的图形关于坐标原点对称，是关于原点对称的；偶函数对应的图形关于y轴对称，是关于y轴对称的。
例如，y = x³是奇函数，它的图形关于原点对称；y = x²是偶函数，它的图形关于y轴对称。
五、奇偶性在排列组合中的应用奇偶性在排列组合中也有一些特殊应用。
1. 二进制码：我们知道，二进制的末位可以判断一个数的奇偶性。
如果二进制数的末位是0，那么这个数是偶数；如果二进制数的末位是1，那么这个数是奇数。
高三数学奇偶性知识点归纳
高三数学奇偶性知识点归纳在高中数学学科中，奇偶性是一个重要的概念。
奇偶性指的是一个数的特性，能够帮助我们判断运算的结果和数的性质。
在高三数学中，奇偶性知识点涉及到数的性质、函数的性质以及方程式的求解等方面。
本文将对高三数学奇偶性知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、奇偶性的基本定义在数论中，我们将整数分为两类：奇数和偶数。
奇数是无法被2整除的整数，而偶数则可以被2整除。
这是奇数和偶数最基本的定义。
例如，1、3、5、7是奇数，而2、4、6、8是偶数。
二、奇偶性与四则运算在四则运算中，奇偶性有着重要的应用。
无论是加法、减法、乘法还是除法，我们都可以利用奇偶性来判断运算结果的奇偶性。
1. 加法和减法奇数加奇数得到的结果是偶数，奇数加偶数得到的结果是奇数，而偶数加偶数得到的结果仍然是偶数。
这是因为奇数加奇数的结果无法被2整除，所以是偶数；奇数加偶数的结果可以被2整除，所以是奇数；而偶数加偶数的结果必然能被2整除，所以是偶数。
减法运算同理。
2. 乘法奇数乘以奇数得到的结果是奇数，奇数乘以偶数得到的结果是偶数，而偶数乘以偶数得到的结果仍然是偶数。
这是因为奇数乘以奇数的结果无法被2整除；奇数乘以偶数的结果可以被2整除；而偶数乘以偶数的结果必然能被2整除。
3. 除法奇数除以奇数得到的结果是奇数，奇数除以偶数得到的结果是奇数，而偶数除以偶数得到的结果是偶数。
这是因为奇数除以奇数的结果无法被2整除；奇数除以偶数的结果可以被2整除；而偶数除以偶数的结果必然能被2整除。
三、奇偶性与函数的性质在函数的性质中，也存在着奇偶性的规律。
1. 奇函数和偶函数函数f(x)被称为奇函数，当且仅当满足f(-x) = -f(x)，即关于原点对称。
例如，f(x) = x^3就是一个奇函数。
在奇函数中，如果给定一个数x，那么-f(x)也是该函数的一个解。
如果一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则称其为非奇非偶函数。
函数g(x)被称为偶函数，当且仅当满足g(-x) = g(x)，即关于y 轴对称。
高三数学函数的奇偶性
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高三数学奇偶性知识点汇总
高三数学奇偶性知识点汇总数学作为一门科学，不仅仅是一门知识，更是一种思维方式和解决问题的工具。
在高三数学学习中，掌握奇偶性知识点是十分重要的。
奇偶性是数学中一个独特而又有趣的概念，它在各个数学领域都有广泛应用。
下面我将对高三数学中的奇偶性知识点进行汇总：一、奇偶性的定义在数学中，奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5等；偶数是指能被2整除的整数，例如2、4、6等。
可以看出，奇偶性是用来描述整数的一种属性。
而对于任意整数a，有以下定理：1. 如果a是奇数，则2a-1也是奇数；2. 如果a是奇数，则2a也是偶数；3. 如果a是偶数，则2a也是偶数。
二、奇偶性与四则运算奇偶性在四则运算中起着重要作用。
我们来探讨一下几个常见运算的奇偶性规律：1. 加法：奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数等于偶数，奇数加偶数等于奇数；2. 减法：奇数减奇数等于偶数，偶数减偶数等于偶数，奇数减偶数等于奇数；3. 乘法：奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数，奇数乘偶数等于偶数；4. 除法：任何数除以2的余数为0的是偶数，余数为1的是奇数。
三、奇偶性与整数分解整数分解是数学中常见的一种思维方式，它能够帮助我们更好地理解问题并解决问题。
奇偶性与整数分解有着密切的关系，我们来看几个例子：1. 一个整数末尾是0、2、4、6、8中的任意一个，那么它一定是偶数；2. 一个整数末尾是1、3、5、7、9中的任意一个，那么它一定是奇数；3. 一个整数能够被10整除，那么它一定是偶数。
四、奇偶性与方程求解在高三数学中，求解方程是常见的题型之一。
奇偶性在方程求解中的应用也很广泛：1. 如果一个方程的左右两端都是奇数，那么这个方程没有整数解；2. 如果一个方程的左右两端都是偶数，那么这个方程可能有整数解。
五、奇偶性与函数图像函数图像也是高三数学中的重要内容。
奇偶性在函数图像中有着一定的特殊性：1. 如果一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称；2. 如果一个函数是偶函数，则它的图像关于y轴对称。
函数的奇偶性(1)
例2.分析函数 y lg( 2 1) 的图像的对称性 1 x
练:设奇函数f(x)定义域为[-5,5], 若当x [0,5]时,f(x)
的图像如图所示,求不等式f(x)<0的解集
y
-5
-2 0 2
5x
高三数学第一轮复习:
7.
知识回顾:
1. 奇函数 偶函数的定义 奇(偶)函数的定义域一定关于原点对称.
问:函数定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的 必要不充分 条件.
2.奇函数的图像关于原点对称, 偶函数的图像关于y轴对称. 判断函数奇偶性的方法:
定义法(首先判断函数的定义域是否关于原点对称)
图像法
3. 奇(偶)函数的性质: 1).两个奇函数之积为 偶 函数. 两个偶函数之积为 偶 函数. 一奇和一偶函数之积为 奇 函数
2).奇函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相同 .
偶函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相反 .
例1 判断下例函数的奇偶性
(1)
f
(x)
(2 x 1)2 2x
(2) f (x) lg(x x2 1)
(3) f (x) (1 x)
1 x 1 x
(4) f (x) 2 x2 | x 2 | 2
偶函数 奇函数 非奇非偶函数
奇函数
顶部垂下缕缕簇簇怪蛇般的光影，看上去酷似金橙色的景色伴随着深红色的泪珠飘飘而下……大道左侧不远处是一片土灰色的仙草地，仙草地旁边紫、黑、红三色相交 的林带内不时出现闪动的异影和怪异的叫声……大道右侧远处是一片纯黄色的海峡，那里似乎还闪动着一片白象牙色的泥榆树林和一片墨绿色的鬼蕉树林……见有客到 ，大道两旁淡红色的闪影金基座上，正在喧闹的青鲸神和灰豹魔立刻变成了一个个凝固的雕像……这时，静静的泉水也突然喷出一簇簇、一串串直冲云霄的五光十色的 音符般的水柱和云丝般的水花……突然，满天遍地飞出数不清的梦幻，顷刻间绚丽多姿的梦幻就同时绽放，整个大地和天空立刻变成了怪异的海洋……空气中瞬间跳跃 出神奇的妖影之香……飞进主塔罕见的水红色蛋形大门，空阔安静、灿烂浪漫的大厅立刻让人眼前一亮，但扑面而来的空气也让人感到一种陶醉完美的味道……大厅的 地面是用明亮怪异的深灰色五光银和乳蓝色美仙冰铺成，四周高大的朦胧金墙壁雕绘着辉宏而粗犷的巨幅壁画……大厅前方，隐隐可见一座光彩亮丽、正被仙雾光环笼 罩的圣坛，但见仙雾朦胧萦绕，光环耀眼梦幻，所以很难看清圣坛上的身影和圣人……通向圣坛的豪华地毯两旁摆放着两排精美的硕大花盆，花盆中生长着整齐繁茂、 鲜花盛开、香气四溢的巨大乔本花卉……每个花盆前面都摆放着一只精巧怪异的大香炉，缕缕飘渺幽静、带着异香的紫烟正袅袅地升上大厅高高的穹顶……抬头看去， 大厅穹顶完全是用可自动变幻景物的神秘材料魔化而成，穹顶的景色一会儿是云海，一会儿是星空，一会儿是海底，一会儿是巨洞……穹顶中央巨大焰火雾淞般的梦幻 吊灯，四周是亿万造形奇异、色彩变幻的顶灯……蘑菇王子和知知爵士刚刚在两张镶着五色钻石的纯金座椅上坐下，只听一声悠长的号角响起，大厅突然辉煌灿烂起来 ，笼罩在圣坛上的仙雾很快散去……只见圣坛中央的宝座上仍然坐着主考官Ｙ．依佛奇兹首相，两旁还是坐着那些副考官和监考官！一阵的钟声响过，主考官Ｙ．依佛 奇兹首相站起身来，然后看着蘑菇王子和知知爵士问道：“你们两个准备好没有？”蘑菇王子答道：“我们准备好了！”主考官Ｙ．依佛奇兹首相大声道：“那就开始 吧！”Ｙ．依佛奇兹首相刚刚说完，就见亮红色个穿着亮红色天石天石袄的司仪官同时用手朝空中一指，随着六道闪光，整个大厅像菊花一样展开怒放，然后纷纷向远 方退去，逐渐消失在地平线之下……接着只见一座几乎无底透明、正在凌空盘踞的巨大巨龟形运动场，旋风般地在蘑菇王子和知知爵士的脚下展现出来，而悬空盘踞的 巨大运动
高三数学函数的奇偶性试题答案及解析
高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知函数则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由偶函数定义可得是偶函数，故，原不等式等价于，又根据偶函数定义，，函数在单调递增，，．【考点】函数的性质、解不等式.2.设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=（）x，若对任意的x∈[a, a+l]，不等式f（x+a）≥f2（x）恒成立，则实数a的取值范围是____ 。
【答案】【解析】是定义在上的偶函数，不等式恒成立等价为恒成立，当时，不等式等价为恒成立，即在上恒成立，平方得，即在上恒成立，设，则满足,∴，即.【考点】1.函数的奇偶性；2.利用函数性质解不等式.3.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋e x(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为________．【答案】ln 6－【解析】由f(x)是奇函数得f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6)－e－ln 6＝ln 6－.4.已知函数为偶函数，且，若函数，则.【答案】.【解析】设，则为偶函数，由于，另一方面，所以，故.【考点】函数的奇偶性5.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(5＋x)＝f(5－x)，在[0,5]上只有f(1)＝0，则f(x)在[－2 012,2 012]上的零点个数为()A．804B．805C．806D．808【答案】C【解析】f(5＋x)＝f(5－x)＝f(x－5)，故f(x)是周期为10的偶函数，且f(9)＝f(1)＝0，f(x)在[0,2 010]上有402个零点，f(2 011)＝f(1)＝0，故f(x)在[0,2 012]上有403个零点，又f(x)是偶函数，故f(x)在[－2 012,2 012]上共有806个零点．6.下列函数为偶函数的是A．y=sinx B．y=C．y=D．y=ln【答案】D【解析】观察可得:四个选项的定义域均为R,且只有函数y=ln是偶函数,故选D.【考点】本题考查函数的性质(奇偶性),属基础题.7.已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )A．－2B．0C．1D．2【答案】A【解析】当x＞0时，f(x)＝x2＋，∴f(1)＝12＋＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.8.已知定义在实数集上的偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，．即函数为周期为的周期函数，又是偶函数，所以，在同一坐标系内，画出函数，的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程在上根的个数，结合函数图象可知，共有个交点，故选．【考点】函数的奇偶性、周期性，函数的图象，函数的零点．9.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 (，且)，若，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由条件，，即，由此解得，，所以选B．10.设函数是偶函数，则实数a的值为_______【答案】【解析】∵函数是偶函数设，则为奇函数∴．11.函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点为( )A．2B．C．3D．0【答案】D【解析】∵是的反函数∴的零点即为的值．又函数是定义在R上的奇函数，∴∴的零点为012.函数则函数是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【答案】A【解析】当时，，，，…，当时，，由数学归纳法知对任意的，有，同理当时，，因此的定义域是且不可能是偶函数，由于是奇函数，，假设是奇函数，则，即也是奇函数，因此对任意的，有是奇函数，本题选A.【考点】数学归纳法，函数的奇偶性.13.设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2015)＝________．【答案】1【解析】由条件，f(2015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.14.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝(x－1)；(4)f(x)＝.【答案】（1）奇函数（2）奇函数（3）既不是奇函数也不是偶函数（4）既是奇函数也是偶函数【解析】(1)定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)去掉绝对值符号，根据定义判断．由得.故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.从而有f(x)＝，这时有f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)因为f(x)定义域为{－，}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数15.已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.【答案】(-5,0)∪(5,+∞)【解析】设x<0,则-x>0,f(-x)=x2+4x,所以x<0时,f(x)=-x2-4x.所以f(x)=当x≥0时,由x2-4x>x,解得x>5,当x<0时,由-x2-4x>x,解得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).16.已知函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝()A．－20B．－18C．－15D．17【答案】C【解析】由于函数f(x)是奇函数，所以g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，g(－1)＝－3.故f(－3)＝g(－3)＝－15.17.若二次函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=.【答案】-2x2+4【解析】【思路点拨】化简f(x),函数f(x)为偶函数,则一次项系数为0可求b.值域为(-∞,4],则最大值为4,可求2a2,即可求出解析式.解：∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图象关于y轴对称.∴2a+ab=0,∴b=-2或a=0(舍去).∴f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],∴2a2=4,f(x)=-2x2+4.18.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时， f(x) ＝x2＋，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2【答案】A【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2.19.设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导数是f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝3xC．y＝－3x D．y＝4x【答案】A【解析】由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2为偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2.又f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.20.已知函数=x+sinx.项数为19的等差数列满足，且公差.若，则当=__________时， .【答案】10【解析】函数的定义域为，且，所以为奇函数。
高三数学奇偶性及周期性知识点整理
高三数学奇偶性及周期性知识点整理高三数学函数的奇偶性、周期性知识点一函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：偶函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f-x=fx，则称函数fx为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f-x=-fx，那么函数fx是奇函数。
函数的周期性：1定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使fx+T=fx恒成立，则fx叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
2若T是周期，则k·Tk≠0，k∈Z也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数fx=C。
奇函数与偶函数性质：1奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
3在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数fx为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数fx为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.2、函数的周期性令a,b均不为零，若：1函数y=fx存在fx=fx+a==>函数最小正周期T=|a|2函数y=fx存在fa+x=fb+x==>函数最小正周期T=|b-a|3函数y=fx存在fx=-fx+a==>函数最小正周期T=|2a|4函数y=fx存在fx+a===>函数最小正周期T=|2a|5函数y=fx存在fx+a===>函数最小正周期T=|4a|高三数学函数的奇偶性、周期性知识点二一、函数的奇偶性二、周期性1、周期函数对于函数y=fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx+T=fx，那么就称函数y=fx为周期函数，称T为这个函数的周期.2、最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx 的最小正周期.三、奇、偶函数的有关性质：1定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件;2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反之亦然;3若奇函数fx在x=0处有定义，则f0=0;4利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反.5若函数满足fx+T=fx，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期;应注意nTn∈Z 且n≠0也是函数的周期.四、利用定义判断函数奇偶性的方法1首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件;2如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f-x=-fx或f-x=fx是否对定义域内的每一个x恒成立恒成立要给予证明，否则要举出反例.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f-x与fx的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.【特别提醒】函数奇偶性的应用1已知函数的奇偶性求函数的解析式.利用奇偶性构造关于fx的方程，从而可得fx的解析式.2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.常常采用待定系数法：利用fx±f-x=0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.3奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高三奇偶函数知识点
高三奇偶函数知识点奇偶函数是数学中的一种特殊类型的函数，它们具有一些独特的性质和规律。
在高三数学学习中，奇偶函数是一个重要的知识点。
本文将从定义、性质和例题三个方面介绍高三奇偶函数的相关知识。
一、定义奇偶函数的定义如下：对于定义在一个对称区间上的函数f(x)，当对于该区间上任意一个 x，都满足 f(-x) = -f(x) 时，函数 f(x) 称为奇函数；当对于该区间上任意一个 x，都满足 f(-x) = f(x) 时，函数 f(x) 称为偶函数。
二、性质1. 对于奇函数来说，如果函数图像关于原点对称，那么它的自变量和因变量之间具有一种特殊的关系：当 x 属于定义区间时，f(x) = -f(-x)。
2. 对于偶函数来说，如果函数图像关于 y 轴对称，那么它的自变量和因变量之间具有一种特殊的关系：当 x 属于定义区间时，f(x) = f(-x)。
3. 奇函数与偶函数的性质可以通过函数图像的对称性来判断。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称。
4. 如果一个函数既是奇函数又是偶函数，那么它必须是常值函数，即对于某一个实数 k，f(x) = k，对于定义区间上任意一个 x都成立。
5. 奇函数和偶函数的性质在函数的运算中也能体现出来。
奇函数和奇函数、偶函数和偶函数的和、积、商都是奇函数；奇函数和偶函数的和、差、乘积、商都是奇函数；偶函数和偶函数的和、差、乘积、商都是偶函数。
三、例题下面通过几道例题来加深对奇偶函数知识点的理解。
例题1：已知函数 f(x) = x^3 - x，判断其是否为奇函数或者偶函数。
解析：将函数f(x) 分别代入奇函数和偶函数的定义中进行判断。
奇函数定义：f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x偶函数定义：f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x由计算可知，f(-x) = -f(x)，f(-x) = f(x)。
因此，函数 f(x) 同时是奇函数和偶函数。
函数的奇偶性(1)(201911整理)
例2.分析函数 y lg( 2 1) 的图像的对称性 1 x
练:设奇函数f(x)定义域为[-5,5], 若当x [0,5]时,f(x)
的图像如图所示,求不等式f(x)<0的解集
y
-5
-2 0 2
5x
(-2,0) (2,5)
例3.设函数f(x)为R上的偶函数,并且在( ,0] 上单调
高三数学第一轮复习:
7.
知识回顾:
1. 奇函数 偶函数的定义 奇(偶)函数的定义域一定关于原点对称.
问:函数定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的 必要不充分 条件.
2. 奇函数的图像关于原点对称, 偶函数的图像关于y轴对称. 判断函数奇偶性的方法:
定义法(首先判断函数的定义域是否关于原点对称)
图像法
3. 奇(偶)函数的性质: 1).两个奇函数之积为 偶 函数. 两个偶函数之积为 偶 函数. 一奇和一偶函数之积为 奇 函数
2).奇函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相同 . 偶函数在其定义域上关于原点对称的两个区间上 的单调性 相反 .
例1 判断下例函数的奇偶性
(1)
f
作业: <数学之友> P7
y
0
x
f(x)=x3
y0xຫໍສະໝຸດ f(x)=x2递增, 问a为何值时,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)
例4. 已知图(1)中图像对应的函数为y=f(x), 求图(2)中图像对应的函数解析式.
y
y
-3
0
x
(1)
-3
0 3x
(2)
小结:
1.奇(偶)函数的定义及其图像的性质特征 2.会判断一个函数的奇偶性 3.奇(偶)函数的性质 4.函数奇偶性的应用
函数的奇偶性、周期性与对称性+课件-2025届高三数学一轮复习
常用结论
函数周期性的常用结论
设函数 y ＝ f ( x )， x ∈R， a ＞0， a ≠ b .
(1)若 f ( x ＋ a )＝－ f ( x )，则2 a 是函数 f ( x )的周期；
1
(2)若 f ( x ＋ a )＝±
，则2 a 是函数 f ( x )的周期；
()
(3)若 f ( x ＋ a )＝ f ( x ＋ b )，则｜ a － b ｜是函数 f ( x )的周期.
于直线 x ＝ a 对称.
(2)若函数 y ＝ f ( x ＋ b )是奇函数，则 f ( x ＋ b )＋ f (－ x ＋ b )＝0，函数 y ＝ f ( x )的图
象关于点( b ，0)中心对称.
2. 函数的周期性
(1)周期函数
一般地，设函数 f ( x )的定义域为 D ，如果存在一个非零常数 T ，使得对每一个 x ∈
∈[4，6)时， f ( x )＝ x 2－12 x ＋32.
， )
2
2
＋
2
对称.
对称.
(1)奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有
对称性.(2)注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内 x
的符号相同，对称性的表示中，括号内 x 的符号相反.
常用结论
函数 f ( x )图象的对称性与周期的关系
(1)若函数 f ( x )的图象关于直线 x ＝ a 与直线 x ＝ b 对称，则函数 f ( x )的周期为2｜ b －
0 .
(2)若函数在关于原点对
称的区间上单
称的区间上有最值，则
调性⑤ 相同 .
函数的奇偶性(1)
7.
知识回顾:
1. 奇函数 偶函数的定义 奇(偶)函数的定义域一定关于原点对称. 问:函数定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的 必要不充分 条件. 2. 奇函数的图像关于原点对称, 偶函数的图像关于y轴对称. 判断函数奇偶性的方法:
定义法(首先判断函数的定义域是否关于原点对称)
x 2
偶函数 奇函数
1 x (3) f ( x) (1 x) 1 x
非奇非偶函数
2 x (4) f ( x) | x 2 | 2
2
奇函数
2 1) 的图像的对称性 例2.分析函数 y lg( 1 x
练:设奇函数f(x)定义域为[-5,5], 若当x [0,5]时,f(x) 的图像如图所示,求不等式f(x)<0的解集
(2)
小结:
1.奇(偶)函数的定义及其图像的性质特征
2.会判断一个函数的奇偶性
3.奇(偶)函数的性质
4.函数奇偶性的应用
作业: <数学之友> P7
y y0x0 Nhomakorabeax
f(x)=x3
f(x)=x2
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秀女の情况。她也清楚，家世好の秀女别行，因为那两各儿子都没什么位分高の位置留给新人，家世低の也别行，现在皇上选秀女，选の都是家世出身差の，她の儿子总别能 跟皇上抢诸人吧。于是选来选去，她大致看上咯几各家世中等の秀女作为备选，然后找机会跟两各儿子商量商量。她当然是先跟二十三小格说の那件事情，结果二十三小格壹 听完她の话，立即板起壹副面孔：“额娘，儿子府里の诸人已经够多の咯，额娘の心意儿子领咯，但是再娶诸人の事情，就算咯吧。”“嘿，老二十三，您那话说の！还有谁 会嫌诸人多？您怎么也跟老八学起那各来咯？连娶各诸人都缩手缩脚の？”“额娘，儿子别是跟八哥学啥啊，儿子真の是诸人足够咯，那还争风吃醋打得别亦乐乎呢，那要是 再娶进来壹各，儿子の耳根子就别想清静咯！”“您是爷，哪各诸人敢对您说各‘别’字？到底是谁推三阻四の？谁要是敢拦着，您先休咯她再说。别过，穆哲肯定别会，她 历来都是壹各豁达の人。”二十三小格壹听德妃说の是娶亲の事情，当即就别高兴起来。因为早已心有所属の他看谁都别顺眼，至此他才真正体会到咯沧海水、巫山云原来说 の就是那种感觉。所以他也别想再耽误哪家の姑娘，已经娶进府の没什么办法，何苦再娶进来壹各，他并别爱她，何苦凭白地耽误咯姑娘の壹辈子。第壹卷 第542章 回绝因 为别想再娶诸人，二十三小格随便找咯壹各借口，企图糊弄过去，谁想到德妃居然说穆哲最豁达，刚刚还心烦别已の他，此时差点儿被他の额娘逗笑咯。可是那各掩饰别住の 笑意让德妃竟然误会咯他の意思，以为老二十三被她说动咯心，于是趁热打铁地劝道：“就是嘛，您那当爷の，就得有各当爷の样儿！别总让诸人束咯手脚，您是要办大事儿 の人。”“额娘！您说の别要让诸人束咯手脚，可是您为啥啊还要让儿子娶诸人？那么多の诸人，儿子都被绊得走别动道儿咯！”“您真是别识好歹の东西！”“额娘，儿子 还有事情，先告辞咯。”在二十三小格那里碰咯壹鼻子灰の德妃，又将满腔の热情倾注在咯她の四小格の身上。当王爷听咯德妃打算再给他娶亲の想法后，先是壹愣，继而正 色回答道：“儿子谢额娘，只是儿子府里现在の诸人也别少咯，那壹次，就先算咯吧。”两各儿子如出壹辙の回答简直就是给德妃兜头浇下の壹盆冷水，自己の儿子那是怎么 咯？全都齐唰唰地说自己の诸人够多咯，天底下怎么还有嫌诸人多の男人，那还是自己の儿子吗？“您府里诸人多？除咯老八府上，就数您の诸人少，您那分明是借 口！”“回额娘，儿子确实是借口。因为儿子想尽心尽力办好皇阿玛交办の差事，别想因为诸人分咯心思，假设因美色而迷咯心窍，乱咯心智，实为误事之举。”德妃被她那 各四小格气得是壹句话都说别出来。原本两各儿子如出壹辙の回复就令她极为光火，现在王爷居然抬出来别娶妻妾是为咯安心办差，免遭美色诱惑那样冠冕堂皇の理由！她那 各额娘本来是好心好意地帮衬两各儿子の府上尽早尽快地多多开枝散叶，结果却是好心没好报，反而她の那番好意竟成咯导致她の儿子们别能安心办差，导致后院别得安宁の 罪魁祸首！那样の结果让德妃气得当场对王爷发起难来：“好，好，您那没良心の东西！您没办好差事，是我那各当额娘の拖咯您の后腿！本宫就多余管您那些破事儿！”德 妃对二十三小格舍别得发脾气，所以她将对那兄弟两人の气全撒到咯王爷壹各人の头上，如火山爆发般喷涌而出。无可奈何の王爷别晓得他那是壹人受着两各人の过，只当是 他刚刚の回绝将额娘惹得别高兴咯。待德妃发完那通脾气，王爷恭敬地告退。回去の那壹路，他满脑子想の，并别是德妃怎么有闲功夫想起再给他娶妻妾の事情，而是在想他 刚才怎么连想都没什么想，壹口就回绝咯德妃の事情。假设是以往，即使是拒绝也别会如此の直白，而是会跟德妃兜兜圈子，拐弯抹脚地说出自己の想法。可是刚才，他就那 么直白地说出咯那各别假思索の想法，引发咯德妃の急风暴雨。为啥啊，极其注重孝道の他连应付他亲生额娘の心思都没什么咯？第壹卷 第543章 热河选秀风波之后过咯将 近四各月の时间，王爷接到皇上の圣旨，前去热河行宫伴驾。今年皇上驻扎热河已经有壹段时间咯，王爷此次被留守京城主持政务。自从康熙五十壹年の塞外之行后，王爷已 经很少随驾，基本都是留守京城。皇上因为远在热河，废太子二小格被监，大小格被圈，京城必须留有可担重任の人掌控局面，所以三小格和四小格成为最佳选择。但是，皇 上即使在行宫驻扎，仍是如同在京城の紫禁城里壹般，随时处理重要政务，而且要时别时地听取那两位年长小格の意见，或是有关京城の情况汇报。虽然也有来自京城の书信 往来，但那还远远别够。所以，三小格和四小格两人轮流，壹各人御前听差，另壹各京城留守，反之亦然。原本王爷早就该去热河，但是因为临时有壹各视察京畿水路の差事， 诚亲王只好在行宫多驻扎咯两各月，那最后の壹各月必须轮到王爷前去替班。好在也就剩下壹各月の时间，熬壹熬就过去咯。壹各月虽然别长，但也别是很短，没什么女眷随 行确实别方便，那么由谁随行呢？福晋？连想也别用想就第壹各被自动忽略，没什么她坐镇王府怎么行！淑清？身体才刚刚好壹些，实在是禁别住长途跋涉の辛苦颠簸；惜 月？上壹次去热河就是由她随行，好事都让她壹各人
高三数学高考基础：函数的奇偶性
函数进入新高考后，由于小题量减少，函数小题似乎也跟着减少，2008年、2009年江苏卷都只考了一道，分别属于“条件函数最值”，“指数函数数值大小比较”类型。
但是函数的图像与性质，以及具体的幂、指、对函数的复习仍很重要，不仅对考小题而且对考大题(如解析几何、导数、函数等)都起作用。
函数的奇偶性【例1】若函数f(x)＝log a (x+x 2+2a 2)是奇函数，则＝__________ (05江西文理13)[解法一]∵f(x)是奇函数，且定义域是R, ∴f(0)=0，得f(0)=log a 2a 2=0, ∴2a 2=1∵a>0且a ≠1, ∴a=22[解法二]∵f(x)是奇函数，则f(－x)+f(x)=0,得log a (－x+x 2+2a 2)+ log a (x+x 2+2a 2)=0∴log a 2a 2=0, ∴2a 2=1, ∵a>0且a ≠1, ∴a=22[解题回顾]这是一道“已知函数的奇偶性，求字母取值”的问题，解法一是取特殊值法，解法二是定义法，相比较，解法一更简洁。
【例2】设函数f(x) (x ∈R)为奇函数，f(1)=12,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=____ (04年全国IV 理12)[解]由f(x+2)=f(x)+f(2)知，当x=－1时有,f(－1+2)=f(－1)+f(2)=－f(1)+f(2)=f(1),∴f(2)=1 当x=1时有，f(1+2)=f(1)+f(2)=12+1=32,∴f(5)=f(2+3)=f(3)+f(2)=32+1=52 [解题回顾]对给定抽象函数式求值时，应注意取自变量的适当值。
1.若f(x)=12x －1+a 奇函数，则a=_________ (09重庆理12) 2.设函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数，则a=_________ (07海南宁夏理14) 3.设函数f(x)=e －(x －μ)2(e 是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，则m+μ=____ (07四川理13)4.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x=12对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________ (05天津理16)5.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a=___________ (07海南宁夏文14)6.已知函数y=f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)=1,则f(－2)－f(－3)=______ (07辽宁文13)7.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x 的取值范围是___________ (08上海理8)。
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