协方差分析
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析是数据统计学的一个名词。
它将每组实验数据标上号码，然后依照它们在总体中出现次数的大小，以及每一组数据与其他数据之间的平均差异，求得一组平均数据代表整个总体的概率。
简单来说，就是在均值的基础上，加减方差的和，或者说在众多的数据中取最好的一个数据作为代表整体的标准，这个量化了的标准就叫做“均值”。
这个“均值”是不是真正代表总体呢？不是的，因为它有偏差。
即“协方差”。
协方差分析的目的：协方差分析可以消除假设检验的各种局限性，消除非参数检验中可能存在的假定导致的检验误差，提高非参数检验的效度；而且通过对观测数据的处理，还可以获得一些新的信息，例如平均值变化的原因，检验数据的随机趋势是否符合某种规律，从而为非参数检验建立更好的假设检验方案。
协方差分析包括方差分析和分类变量回归分析两部分内容。
这里仅对方差分析进行介绍。
协方差分析法的基本思想是利用统计软件，根据研究所需的条件自动地选择适当的分析方法，并用数学方法对实验数据进行分析，得到一些重要的参数，例如最大似然估计、协方差、协方差矩阵、相关系数、协方差阵等。
把这些参数应用到假设检验和回归分析中去，就可以确定最优的回归方程。
通常是采用以下3种分析方法。
1.协方差分析法协方差分析是一种比较常见的非参数统计方法，它是根据样本和总体的协方差矩阵来分析总体特征的，即寻找样本与总体的差别以及差别的来源，而不涉及具体的数值解。
这一方法适用于那些对分类变量数值有兴趣的研究。
协方差分析法主要由协方差矩阵和协方差系数两部分组成，其中协方差系数反映了两个变量之间的线性相关程度，其计算公式如下：上述公式的含义是：协方差矩阵E=∑×∑×，式中P是每个变量的数值， Q是各变量的协方差，即协方差矩阵E 的特征值或特征向量为：式中：1．检验每个随机样本与某个特定均值间有无关系，即证明它们的均值之间是否存在协方差。
2．如果没有关系，可以在检验区间内取若干样本点进行多重比较，看看是否存在协方差。
第四章协方差分析
MSe
1 n
xi• x•• E XX
2
(4 18)
即：各处理的方差应具备齐性，它们都是从具有 同一方差的正态总体中的来的；个处理的回归系
数i均等于以及反应变量与协变量之间的回归 系数≠0。因此，在对一组数据做协方差分析时，
首先要对以上各个条件做检验。只有以上条件得 到满足时，才能做协方差分析。
yij i (xij x•• ) ij
i 1,2,, a
j
1,2,, n
(4 1)
其中yij是第 i 次处理所得到的反应变量的第 j 次
观察值。cij是相当于yij的协变量值。c··是cij的 平均数，是总平均数，i是第i次处理效应， 是yij在cij上的线性回归系数，ij是随机误差成份。 做协方差分析，需要满足以下几个条件：ij是 服从正态分布的独立随机变量；≠0，即yij与cij
变差来源
平方 和
回归 处理
误差 总和
S2XY／SXX SS’e－SSe＝(SYY－S2XY／SXX)
－(EYY－E2XY／EXX) SSe＝EYY－E2XY／EXX
SYY
自由度 1
a－１
a(n－1)－1 an－1
均方 (SS’e－SSe)／(a－1)
F (SS’e－SSe)／ (a-1)／MSe
MSe＝SSe／[a(n－1)－1]
2
a i1
n j 1
yi2j
y•2• an
SXX
a i 1
n j 1
xij
x••
2
a i 1
n j 1
xi2j
x•2• an
a n
S XY
xij x••
i1 j1
yij y••
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析（CovarianceAnalysis）是一种常见的统计分析方法，是衡量两个变量之间线性关系强度的有效手段。
协方差分析与相关分析（correlation analysis）有很多相关点，都是用来识别变量之间的关系，但两者的方法不同。
协方差分析的核心是对变量之间关系的衡量，而这种衡量有多种形式。
一般情况下，协方差分析主要是通过计算变量之间的协方差来完成的。
协方差（covariance）是衡量两个变量的线性关系的函数，可以从变量的期望值（expected value）和方差（variance）来计算。
如果变量之间的协方差大于0，则表明两个变量之间存在正相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B也有可能会上升；如果变量之间的协方差小于0，则表明两个变量之间存在负相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B可能会下降。
此外，协方差分析还可以用于研究多个变量之间的关系，其中最常用的方法是多元协方差分析（multivariable covariance analysis）。
它可以用来研究多个变量之间的变化与偏差，以及它们之间关联程度的大小。
此外，协方差分析还可以用于研究两个或多个样本之间的关系，也就是说，它可以分析两个或多个样本集中的变量之间是否存在关联性。
例如，可以利用协方差分析，分析一组调查者的年龄、职业、教育水平和收入之间的关系，这有助于统计学家和社会研究者了解他们的研究结果。
最后，协方差分析是一种常用的数据分析方法，它可以帮助研究者和社会科学家分析不同变量之间的关系，同时它也可以帮助研究者分析不同样本集之间的关系，从而使他们更好地理解社会、经济和文化现象。
它的分析结果可以为社会科学研究提供更多的参考依据，从而改善当前的社会现状。
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
方差分析及协方差分析
方差分析及协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系和差异。
本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。
一、方差分析（Analysis of Variance）1.基本概念：方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异是否非随机的统计方法。
它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显著差异。
2.原理：方差分析的原理基于对总体变异的分解。
总体变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个体之间的差异。
方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断组间差异是否显著。
3.适用场景：方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生成绩的影响等。
4.步骤：方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。
二、协方差分析（Analysis of Covariance）1.基本概念：协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。
协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。
2.原理：协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。
通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。
3.适用场景：协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。
4.步骤：协方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的协方差分析模型、建立回归模型、计算协方差分析统计量和p值、进行结果解释。
总结：方差分析和协方差分析都是常用的统计分析方法，用于研究组间差异和变量之间的关系。
协方差分析
协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。
方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。
一般说来，质量因子是可以人为控制的。
回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系。
但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。
目录基本定义协方差的性质协方差在农业上的应用编辑本段基本定义方差反应参数的波动情况。
而两个不同参数之间的方差就是协方差。
若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。
定义E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
协方差与方差之间有如下关系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y) 因此，COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
编辑本段协方差的性质（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；（2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常数）；（3）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。
由协方差定义，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。
协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。
为此引入如下概念：定义ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，称为随机变量X和Y的相关系数。
定义若ρXY=0，则称X与Y不相关。
即ρXY=0的充分必要条件是COV(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。
定理设ρXY是随机变量X和Y的相关系数，则有（1）∣ρXY∣≤1；（2）∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）定义设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。
应用统计学(第九章 协方差分析)
从而求得相应的均方； 两个变量的总乘积和与自由度也可按变异来源进行剖分
而获得相应的均积； 把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并
获得获得相应均积的方法称为协方差分析。
在随机模型的方差分析中，根据均方MS和期望均方的关 系，可以得到不同变异来源的方差组分的估计值；
b* SP / SP
e
ex
回归关系的显著性可用F检验或t检验，这时误差项目回
归自由度dfeU=1，回归平方和：
U SS b*SP SP2 / SP
e
ey
e
e
ex
误差项离回归平方和：
Q SS U SS SP2 / SS
e
ey
Байду номын сангаасey
ey
e
ex
离回归自由度：
df df df k(n 1) 1
矫正平均数的计算
yi.(xx..) yi . by / x ( xi . x..)
矫正平均数的多重比较
LSD0.05=0.8769， LSD0.01 =1.1718 食欲添加剂配方1、2、3号与对照比较， 其矫正50 日 龄平均重间均存在极显著的差异，配方1、2、3号的矫正50 日龄平均重均极显著高于对照。
回归关系的显著性检验：
变异来源 df 误 差回 归 1 误差离回归 43 误 差 总 和 44
SS 47.49 37.59 85.08
MS 47.49 0.87
F 54.32**
F0.01 7.255
F检验表明，误差项回归关系极显著，表明哺乳仔猪 50 日龄重与初生重间存在极显著的线性回归关系
协方差分析
肥料间（组间） 2 356.083 178.042 6.34** 60.750 30.376 <1
肥料内（组内） 21 589.750 28.083
830.875 39.565
总变异
23 945.833
891.625
注： F0.05（2，23）=3.47 F0.01 （2，23） =5.78
从上述方差分析看，施肥前，产量（x）存在显著差 异，说明24株树，三个组间存在极显著差异。
矫正平均数（y）间的差异
2 222.84 111.420
F 45.63**
注： F0.01 (2, 20) 5.85
结论：施不同肥料对果树的产量影响差异显著。这种 结论与前面的分析不同，前面不作协方差分析时，施不同 肥料间对果树产量影响差异不显著。
3）多重比较方法： ① 对观察值 y 的各处理平均数矫正
本例x-y变量间回归系数检验，回归关系 极显著，必须对反应量（y）进行矫正。
◆ 测定矫正后 yi (x x) 的差异性
① 计算总变异离回归平方和 （即对总变异
进行离回归分析）
QT
SST y
(SPT )2 SST x
765.752 891.625
945.833
271.67
VT n k 2 8 3 2 22
2.44281
1 8
50.875 51.8752
589.75
0.784
t 62.06 64.29 2.844* 0.784
B-C比较：
S d
2.442
1 8
1 8
59.5 51.8752
589.75
0.923
t 59.51 64.29 9.512** 0.923
方差分析与协方差分析
方差分析与协方差分析方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 和协方差分析 (Analysis of Covariance, ANCOVA) 是统计学中常用的两种数据分析方法。
它们在比较多个组或处理之间的差异时非常有用，并且可以探究因素对观察结果的影响。
本文将详细介绍方差分析和协方差分析的概念、原理和应用。
一、方差分析的概念和原理方差分析是一种用于比较多个组之间均值差异的统计方法。
它基于对总体方差的分解，将观察结果的变异分解成不同的来源，如组内变异和组间变异。
方差分析的目标是确定组间变异是否显著大于组内变异，进而判断不同组均值之间的差异是否具有统计学意义。
方差分析通常基于以下假设：1. 观察结果服从正态分布；2. 不同组之间的观察结果具有同方差性；3. 观察结果是相互独立的。
方差分析的原理是通过计算不同组之间的均方差（Mean Square, MS）和F统计量来进行推断。
F统计量是组间均方差与组内均方差的比值，如果F值显著大于1，则说明不同组之间存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，其中单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况，而多因素方差分析则适用于有多个自变量的情况。
二、方差分析的应用方差分析在科学研究和实际应用中广泛应用，以下是一些常见的应用场景：1. 实验比较：方差分析可用于比较不同处理、不同实验条件下的实验结果。
例如，在农业领域，可以利用方差分析比较不同肥料、不同温度等对作物产量的影响。
2. 组间比较：方差分析可用于比较不同组别、不同样本间的差异。
例如，在医学研究中，可以利用方差分析比较不同药物对疾病治疗效果的差异。
3. 教育评估：方差分析可用于教育研究中，比较不同学校或不同教学方法对学生学习成绩的影响。
三、协方差分析的概念和原理协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它用于比较多个组别或处理之间的差异，同时控制一个或多个协变量的影响。
第十章协方差分析
第十章协方差分析协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）是一种多元统计方法，用于在考虑一个或多个共变量（covariates）的情况下，评估一个或多个自变量（independent variables）对于因变量（dependent variable）的影响。
在实际研究中，常常会遇到一些与因变量相关但未被考虑的其他变量，而这些变量可能会对因变量与自变量之间的关系产生干扰。
ANCOVA通过引入共变量来修正这种干扰，从而提高自变量对因变量的解释效果。
ANCOVA的基本思想是通过构建一个线性回归模型，将自变量、共变量以及其交互项作为预测变量，将因变量作为被预测变量，进而评估自变量对因变量的影响。
在这个过程中，共变量的作用是控制或削弱对因变量的影响，从而更准确地评估自变量的效果。
在进行ANCOVA分析之前，需要满足一些前提条件。
首先，因变量和自变量之间应该存在线性关系。
其次，各个共变量与自变量和因变量之间也应该存在线性关系。
最后，自变量与因变量之间的差异不能完全由共变量解释。
在进行ANCOVA分析时，需要进行一些统计检验来评估因变量与自变量、共变量之间的关系。
例如，可以计算自变量和因变量之间的相关系数，使用方差分析来比较组间差异，以及计算共变量与因变量的相关系数等。
ANCOVA的优势在于可以更准确地评估自变量对因变量的影响，同时控制其他可能干扰的因素。
此外，ANCOVA还可以用于提高实验的统计效力，减少研究中可能出现的偏差。
然而，ANCOVA也存在一些局限性。
首先，ANCOVA要求共变量与自变量和因变量之间存在线性关系，因此如果数据不符合线性假设，则ANCOVA可能不适用。
其次，ANCOVA要求样本量足够大，才能保证结果的可信度。
此外，ANCOVA对于共变量和自变量之间的交互作用也存在敏感性。
总结来说，协方差分析是一种有效的多元统计方法，可以用于控制共变量的干扰，评估自变量对因变量的影响。
协方差分析
协方差协方差分析：（一）协方差分析基本思想通过上述的分析可以看到，不论是单因素方差分析还是多因素方差分析，控制因素都是可控的，其各个水平可以通过人为的努力得到控制和确定。
但在许多实际问题中，有些控制因素很难人为控制，但它们的不同水平确实对观测变量产生了较为显著的影响。
协方差分析例如，在研究农作物产量问题时，如果仅考察不同施肥量、品种对农作物产量的影响，不考虑不同地块等因素而进行方差分析，显然是不全面的。
因为事实上有些地块可能有利于农作物的生长，而另一些却不利于农作物的生长。
不考虑这些因素进行分析可能会导致：即使不同的施肥量、不同品种农作物产量没有产生显著影响，但分析的结论却可能相反。
再例如，分析不同的饲料对生猪增重是否产生显著差异。
如果单纯分析饲料的作用，而不考虑生猪各自不同的身体条件（如初始体重不同），那么得出的结论很可能是不准确的。
因为体重增重的幅度在一定程度上是包含诸如初始体重等其他因素的影响的。
（二）协方差分析的原理协方差分析将那些人为很难控制的控制因素作为协变量，并在排除协变量对观测变量影响的条件下，分析控制变量（可控）对观测变量的作用，从而更加准确地对控制因素进行评价。
协方差分析仍然沿承方差分析的基本思想，并在分析观测变量变差时，考虑了协变量的影响，人为观测变量的变动受四个方面的影响：即控制变量的独立作用、控制变量的交互作用、协变量的作用和随机因素的作用，并在扣除协变量的影响后，再分析控制变量的影响。
方差分析中的原假设是：协变量对观测变量的线性影响是不显著的；在协变量影响扣除的条件下，控制变量各水平下观测变量的总体均值无显著差异，控制变量各水平对观测变量的效应同时为零。
检验统计量仍采用F统计量，它们是各均方与随机因素引起的均方比。
（三）协方差分析的应用举例为研究三种不同饲料对生猪体重增加的影响，将生猪随机分成三组各喂养不同的饲料，得到体重增加的数据。
由于生猪体重的增加理论上会受到猪自身身体条件的影响，于是收集生猪喂养前体重的数据，作为自身身体条件的测量指标。
第十三章 协方差分析
SS总 SS回
S S回 b l XY
S S 修 正＋ S S 组 内 残 差
（ l2 ）组 内 XY =（ l Y Y ）组 内 － （ lXX ）组 内
- xi )
2
SS修正 SS总残 SS组内残差
总 残 差＝ N － 2
修 正＝ k －1
SS组内残差
组 内 残 差＝ 总 残 差－ 修 正
32
1. 进行各组间线性趋势的初步判断： 绘制散点图
33
1. 进行各组间线性趋势的初步判断： 绘制散点图
34
1. 进行各组间线性趋势的初步判断： 绘制散点图
35
1. 进行各组间线性趋势的初步判断： 绘制散点图
120
增 重ห้องสมุดไป่ตู้（ Y） kg
110
100
90 C增 重 80 C初 始 重 量 B增 重 70 B初 始 重 量 A增 重 60 10 20 30 40 A初 始 重 量
XY 组内
420.87 2 1238.38 227.64 175.25
21 1 20
2 ˆ 修正均数 (Y Y ) 934.84 227.64 707.20
22 20 2
MS组内 227.64 / 20 11.38 MS修正 707.20/2 353.60 353.60 F 31.07 11.38 F0.05(2,20) 3.49
10
问题的解决
在实际工作中，类似于以上的影响因素在实验 设计时是难以控制的，如何扣除或均衡这些不可 控因素的影响，可在统计分析阶段采用协方差分 析的方法。
11
协方差分析是将线性回归分析和方 差分析结合起来的一种统计方法。
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析是把多个指标的数据经过适当处理后计算出一个数，这个数就可以反映被测量的总体分布情况。
一、名词解释（对3个以上不同时期的数据进行比较）。
1、协方差矩阵：用来表示协方差阵的特征值和特征向量。
2、相关系数：用来表示两变量之间相关程度的参数。
即两变量之间线性相关程度。
3、线性相关：两变量之间线性相关说明二者有相同的变化趋势。
4、线性无关：两变量之间不存在线性相关关系。
5、协方差阵：用来表示协方差阵的特征值和特征向量。
6、相关系数：用来表示两变量之间相关程度的参数。
即两变量之间线性相关程度。
7、标准误：为了使各组观察值与真实值接近而引入的标准化因子。
8、标准差：是用来描述统计量分布范围大小的量，其定义为所有数据平均值的平方根。
9、相关系数：用于分析两个随机变量是否相关，若相关则它们的函数图形一定是直线，而且直线的斜率是1。
若相关程度小于0，则其函数图形并不是直线，其斜率不一定等于1。
10、自由度：研究某一个随机变量的取值范围和数学期望的维数，即该随机变量的一次可能值的个数。
11、标准差：为了使各组观察值与真实值接近而引入的标准化因子。
12、极差：如果对于所有数据，它的标准差都很小，那么它的数值也很小。
13、平均值：如果将所有的数据加权求和，那么这个数据点落在这个数据区间内的概率是最大的，也就是这个数据点离均值最近。
14、方差：随机误差的平方和。
15、协方差：随机误差的平方和的平方根。
16、方差齐性：指相应的协方差矩阵的特征值相等，特征向量也相同。
17、方差齐性：指相应的协方差矩阵的特征值相等，特征向量也相同。
18、方差膨胀：指相应的协方差矩阵的特征值增大，特征向量减少。
19、方差缩小：指相应的协方差矩阵的特征值减小，特征向量增加。
20、方差不变性：当用单位正态分布估计实际的正态分布时，设定了协方差矩阵的秩，则对给定的实际分布，它的方差矩阵的秩等于方差矩阵的秩，即它的协方差矩阵的秩等于方差矩阵的秩。
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析是一种统计分析方法，用于检验两个或多个变量之间的关系。
这种关系可以是正相关，即当一个变量增加时，另一个变量也会增加；也可以是负相关，即当一个变量增加时，另一个变量减少；或者是零相关，即两个变量之间没有相关性。
协方差分析是统计推断的重要工具，可以用来检验假定或推断的假设，以及确定是否需要进一步的研究来深入探讨。
协方差分析的主要目的是确定两个或多个数据变量之间的关系，以及预测变量的变化可能会如何影响其他变量。
在协方差分析中，我们通过观察一组数据，并从中测量其中各个变量之间的变化，来确定这些变量之间是否存在相关性。
协方差分析的结果可以协助研究者确定变量之间是否存在某种相关性，以及相关性的强度。
协方差分析的主要指标是协方差（Covariance），其表示两个变量之间的变化，它的取值范围是-1到+1，其中零表示没有相关性，负值表示负相关，正值表示正相关。
协方差越大，变量之间的相关性就越大。
此外，协方差分析还可以用来测量变量之间的相关系数（Correlation Coefficient），以及两个变量之间的线性关系（Linear Relationship）。
通常使用协方差分析来解释变量之间的关系，并帮助实施正确的策略和政策。
协方差分析也可以用于预测市场趋势，经济变化，或者某一个变量的变化可能如何影响另一个变量。
协方差分析的一些重要概念是自变量（independent variable），因变量（dependent variable），相关系数（correlation coefficient）和线性关系（linear relationship）。
自变量可以被定义为驱动因变量变化的变量，而因变量是受自变量影响而变化的变量。
相关系数是协方差分析中最重要的指标，它能反映两个变量之间的相关性。
线性关系表明，在满足相应约束条件的情况下，变量之间存在着一定程度的线性关系。
协方差分析是一种常见的统计分析方法，它可以帮助检验假设，检验变量之间关系，预测变量的变化，以及推断市场趋势等等。
第章协方差分析
第章协方差分析协方差分析，又称CoVAN（Covariance Analysis），是一种统计分析方法，用于研究多个变量之间的关系。
它通过计算变量之间的协方差，来衡量它们之间的相关性，并进行推断和解释。
本文将详细介绍协方差分析的原理、应用和步骤。
一、协方差的含义协方差是一种用于衡量两个变量之间关系的统计量，表示两个变量的变化趋势是否一致。
当协方差为正值时，表示两个变量呈正相关；当协方差为负值时，表示两个变量呈负相关；而当协方差为0时，表示两个变量之间没有线性相关关系。
二、协方差分析的原理协方差分析常用于验证和分析一个或多个独立变量对一个因变量的影响。
它可以分为一元协方差分析和多元协方差分析。
一元协方差分析是指只有一个独立变量和一个因变量的情况。
它通过比较不同独立变量水平下的因变量均值差异，来判断独立变量是否对因变量有显著影响。
具体步骤如下：（1）假设检验：首先，设置原假设和备选假设，以确定所要验证的关系；（2）方差分析表：构建方差分析表，计算变量的平方和、均方、自由度等统计量；（3）F检验：计算F值，并进行假设检验，判断差异是否显著；（4）解释结果：根据F检验结果，判断独立变量是否对因变量有显著影响。
多元协方差分析是指有多个独立变量和一个因变量的情况。
它可以同时分析多个独立变量对因变量的影响，并控制其他变量的影响。
具体步骤如下：（1）构建模型：首先，确定因变量和独立变量之间的关系模型；（2）多元回归：进行多元回归分析，估计各个回归系数；（3）方差分析表：构建方差分析表，计算模型的平方和、均方、自由度等统计量；（4）F检验：计算F值，并进行假设检验，判断模型是否显著；（5）解释结果：根据F检验结果和回归系数，解释各个变量对因变量的影响。
三、协方差分析的应用协方差分析可以应用于许多领域，例如实验心理学、社会科学、教育研究等。
它可以用于验证因果关系、探索变量之间的相互作用、预测因变量的值等。
1.实验心理学在实验心理学中，协方差分析可以用于探索处理变量对实验结果的影响。
协方差分析
F
1.04
P
0.375
对y的方差分析 df
2 18 20
SS
2.201 44.251 46.452
s2
1.100 2.458
F
0.45
P
0.646
从方差分析结果来看，不论是营养液喷洒前还
是喷洒后，瓜苗的高度均没有显著区别！ 但在本题中应注意到：营养液喷洒前瓜苗的高 度就是不一致的，虽然这种不一致的程度并没 有达到显著，但仍有可能对最终的结果产生影 响。 对于这一类题目的分析，宜采用协方差分析进 行！
se ( y / x )
sbe ( y / x )
Qe 18.9 1.054 df e ( Q ) 17
se ( y / x ) SS ex 1.054 0.827 1.623
t
be ( y / x ) sbe ( y / x )
3.952 4.779 0.827
按df＝17查表得t（0.01）＝2.898，t值达极显著水
各乘积和的自由度为：
nk 1 (k 1) k (n 1)
相应地，各乘积和的计算公式为：
SPT ( xij x )( yij y ) xij yij
i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
k
n
TxTy nk
TxTy 1 k SPt n ( xi . x )( y i . y ) (Txi Tyi ). n i 1 nk i 1
组间：
n nk 1404.56 1362.87 1371.15 12428.68 0.616 7 21
SPt n ( xi x )( yi
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常见的实例
（1）比较正常妊娠妇女与患葡萄胎的妇女 血中胎盘生乳素（hpl）含量的差别，以了 解葡萄胎对胎盘功能的影响，这时停经天 数就是一个混杂因素，因为停经天数对hpl 有直接影响 。
8
常见的实例
（2）比较不同HbsAg携带率与肝硬化率的 关系时，酒精消耗量是混杂因素。 （3）比较两种药物治疗高血压的疗效，年 龄是一个混杂因素。 （4）研究不同饲料对动物增加体重的作用 时，动物的初始体重、进食量等因素。 （5）… …
如果： x1 x 2 或胆固醇含量与年龄无 直线关系，即：bc 0
' ˆ1 y
' ˆ2 y
y
1 y2
（两样本均数比较）
26
本例
y y ˆ1 ˆ 2 =（5.0923-6.7846）-0.09417
（46-54.4615）=-0.8955。 修正均数之差（0.8955）小于原均数之 差（1.6923），说明协变量对原均数确有影响。
27
⑷对修正均数间的差别进行假设检验 ①两修正均数间的比较可用t检验或方差分析； ②多个修正均数间的比较可用方差分析。
F
SS修正 / 修正 SS残差 / 残差
28
SPSS操作步骤：
29
30
Tests of Between-Subjects Effects Dep endent Variable: 胆 固醇 Source Corrected Model Intercept 年龄 组别 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 32.916a 4.440 14.301 4.405 31.126 980.940 64.042 df 2 1 1 1 23 26 25 Mean Square 16.458 4.440 14.301 4.405 1.353 F 12.161 3.281 10.567 3.255 Sig . .000 .083 .004 .084
总变异
组间变异 组内变异
23
2 21
2555.958
1317.583 1238.375 658.792 58.970 11.17 ＜0.01
34
考察三组猪的初始重量是否相同？
三种饲料喂养猪的初始重量（单位：kg）
A饲料
1 2 3 4 5 6 15 13 11 12 12 16
B饲料
17 16 18 18 21 22
处理因素
T + S1
混杂因素
e + s1
（实验组）
－
T
S2
e
s2
（对照组）
（在设计阶段控制混杂因素的方法）
6
在混杂因素中，有些是难以完全控制的， 如停经天数，酒精消耗量，饲料的进食量； 有些是可以控制的，如年龄，动物的初始体 重。 可以控制的混杂因素：最好在设计阶段（也可 在分析阶段）进行控制。 难以控制的混杂因素：在分析阶段进行控制。
22
24 20 23 25 27 30
89
91 83 95 100 102 105
8
17
90
18
94
32
110
39
均值
13.750 81.750
18.625 98.000
25.375 96.875
9
在分析阶段控制混杂因素的方法：
1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较 同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。 （适用：计量、计数资料）
2、率的标准化（适用：计数资料） 3、协方差分析（适用：计量资料） 4、多因素分析（适用：计量、计数资料）
10
协方差分析
将线性回归与方差分析结合起来，检 验两组或多组修正均数间有无差异的一种 统计方法，用于消除混杂因素对分析指标 的影响。 协变量：在进行协方差分析时，混杂因素 统称为协变量。
37
协方差分析结果
38
表13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位：kg） 编号
1
2 3 4 5 6 7 A饲料 X1 Y1 B饲料 X2 Y2 X3 C饲料 Y3
15
13 11 12 12 16 14
85
83 65 76 80 91 84
17
16 18 18 21 22 19
97
90 100 95 103 106 99
a. R Squared = .514 (Adjusted R Sq uared = .472)
组别 Dep endent V ariable: 胆 固 醇 组别 正常组 超重组 Mean 5.475a 6.402a Std. Error .343 .343 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound 4.765 6.186 5.691 7.112
xy )1 (l xy ) 2 组内的lxy bc 或bc 组内的l xx (l xx )1 (l xx ) 2 本例组内l xy 258.8923 , 组内的l xx 2749.2308 258.8923 则bc 0.09417 2749.2308
18
协方差分析的基本方法（结合例1说明） 某医生欲了解成年人正常体重者与超 重者血清胆固醇含量是否不同，而胆固醇 含量与年龄有关，资料见表1。
19
研究体重与胆固醇水平的关系
正常组 (n1=13) 年龄(x1) 胆固醇(y1) 48 3.5 33 4.6 51 5.8 43 5.8 44 4.9 43 8.7 49 3.6 42 5.5 40 4.9 47 5.1 41 4.1 41 4.6 56 5.1 超重组(n2=13) 年龄(x2) 胆固醇(y2) 58 7.3 41 4.7 71 8.4 76 8.8 49 5.1 33 4.9 54 6.7 65 6.4 39 6.0 52 7.5 45 6.4 58 6.8 67 9.2
X3 22
24 20 23 25 27
Y3 89
91 83 95 100 102
7 8
14 17
84 90
19 18
99 94
30 32
105 110
33
均值
13.750 81.750
18.625 98.000
25.375 96.875
完全随机设计类型的方差分析
方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F P
饲料对猪的催肥效果是否相同？
32
研究三种饲料对猪的催肥效果
表13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位：kg） 编号
1
2 3 4 5 6 A饲料 B饲料 C饲料
X1 15
13 11 12 12 16
Y1 85
83 65 76 80 91
X2 17
16 18 18 21 22
Y2 97
90 100 95 103 106
2
3
在科研中，实验效应除了受到处理因 素的作用外，尚受到许多非处理因素的影 响。如在研究临床疗效时，疗效的好坏不 仅与治疗措施有关，还受病人的年龄、性 别、病情、心理、环境、社会等因素的影 响。
4
药物临床疗效研究
患者的状况（性别、年龄
混杂因 素
药物
疗效
病情
举 例
心 理 因 素
其他因 素
5
各组间的效应进行比较，必须保持组间的 影响因素（混杂因素的比例）相同，组间 才具有可比性。
24
⑶进行协方差分析。
为扣除年龄对胆固醇比较的影响，令X=X 求得修正的平均胆固醇值，即Y1，Y2。
' ˆ1 y ' ˆ2 y
y1 bc x x1 y2 bc x x2
25
两条回归线之差（两个修正均数之差）：
' ˆ1 y
' ˆ2 y
y
1
y2 bc x1 x2
C饲料
22 24 20 23 25 27
7 8
14 17
19 18
30 32
35
各组初始体重不同（F=32.668,P=0.000)
初始体重与增重有高度 相关，r=0.796,P=0.000
结论：需进行协方差分析
36
能否进行协方差分析？
各回归系数不 为零
各回归直线基 本平衡 结论：基本可以做协方差分析
20
21
⑴是否需进行协方差分析。有无协变量（相关分 析）且协变量组间差异（t检验）有无统计学意义。
由于正常体重者和超重者平均年龄不一样（分 别为44.46和54.46），而且根据专业知识得知年龄 与血清胆固醇含量有关，年龄越大血清胆固醇含量 越高。因此不宜直接比较这两组人平均血清胆固醇 含量（分别是5.092，6.785）是否相同，而应以年 龄作为协变量，进行协方差分析。
不满足条件时的处理方法 X与Y不满足线性关系时，通常情况下是 对X或Y或两者作适当的变量变换，使之符 合线性关系。
年龄和胆固醇取对数后，仍不满足要求
17
协方差分析适用的资料 协方差分析可用于： 完全随机设计、配伍设计、拉丁方设计、析 因设计等资料； 协变量X可以仅有一个，称一元协方差分析； 协变量也可以有多个，称多元协方差分析。
22
⑵能否做协方差分析。回归系数是否不为 零；两条回归直线是否平行 若胆固醇含量与年龄的线性关系在正 常组和超重组均成立且总体回归系数相等， 即β1≠0，β2≠0，β1=β2=βc，则两条 回归直线平行。回归方程分别是：
23
Y 1 Y1 b1 ( X 1 X 1 ) Y 2 Y2 b2 ( X 2 X 2 )
11
协方差分析的基本思想： y k 的假 在作两组或多组均数 y1，y 2 …， 设检验前，用线性回归分析方法找出协变 量X与各组Y之间的数量关系，求得在假定X 相等时修定均数 … ，然后用方 y， y2 y1 ， k 差分析比较修正均数间的差别，这就是协 方差分析的基本思想。