常用几何体的内切外接球 PPT
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外接球与内切球 PPT
②有一个面是直角三角形，且一条棱垂直该面的三棱锥的外接球 可以补成长方体的外接球
③对棱两两相等的三棱锥的外接球可以补成长方体的外接球（所有 的棱为长方体的面对角线）
④有一侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球可以补成直三棱柱。
Eg1(1)(2011.辽高考宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点，
本例(3)中，改为∠BAC＝60°，其他条件不变，如何求？若 ∠BAC＝90°呢？
解析：若∠BAC＝60°，如图，设 O1，O2 分 别为上、下底面的中心，且球心 O 为 O1O2 的中 点，得 AD＝ 23×2＝ 3，AO2＝23AD＝233，OO2 ＝1.设球的半径为 R，则 R2＝AO2＝AO22＋OO22＝43＋1＝73.
AB= 3 ， ASC BSC 30, 则
C 棱锥 S—ABC 的体积为（ ） A 3 3 B 2 3 C 3
D1
(2)(2012 课标全国)已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O的球面上， ABC是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥 的体积为
基
础
知
识
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h＝13π(r21 ＋r22＋r1r2)h
① 圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角： r • 2
l
② 圆台的侧面展开图的扇环的圆心角： r2 r1 • 2
l
直棱柱 正棱锥
正棱台 球
S 侧＝Ch′
V＝Sh
S 侧＝12Ch′(h′为 斜高)
V＝13Sh
S 侧＝12(C＋
V＝13(S 上＋S 下＋
C′)h′
S上S下)h
S 球面＝4πR2
V＝43πR3
2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形； 它们的表面积等于侧面积与底面积之和．
③对棱两两相等的三棱锥的外接球可以补成长方体的外接球（所有 的棱为长方体的面对角线）
④有一侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球可以补成直三棱柱。
Eg1(1)(2011.辽高考宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点，
本例(3)中，改为∠BAC＝60°，其他条件不变，如何求？若 ∠BAC＝90°呢？
解析：若∠BAC＝60°，如图，设 O1，O2 分 别为上、下底面的中心，且球心 O 为 O1O2 的中 点，得 AD＝ 23×2＝ 3，AO2＝23AD＝233，OO2 ＝1.设球的半径为 R，则 R2＝AO2＝AO22＋OO22＝43＋1＝73.
AB= 3 ， ASC BSC 30, 则
C 棱锥 S—ABC 的体积为（ ） A 3 3 B 2 3 C 3
D1
(2)(2012 课标全国)已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O的球面上， ABC是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥 的体积为
基
础
知
识
V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h＝13π(r21 ＋r22＋r1r2)h
① 圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角： r • 2
l
② 圆台的侧面展开图的扇环的圆心角： r2 r1 • 2
l
直棱柱 正棱锥
正棱台 球
S 侧＝Ch′
V＝Sh
S 侧＝12Ch′(h′为 斜高)
V＝13Sh
S 侧＝12(C＋
V＝13(S 上＋S 下＋
C′)h′
S上S下)h
S 球面＝4πR2
V＝43πR3
2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形； 它们的表面积等于侧面积与底面积之和．
球的内切和外接
面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体 积为 4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体 体对角线长为 14，故球的表面积为 14 . 变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
常见几何体的内切、外接球
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
图3 图4 图5
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 多面体的内切球 。 棱切： 一个几何体各个面分别与另一个几 何体各条棱相切。
①若球为正方体 的外接球
2R 3a
若球为正方体的内切球， 2R=a 则
③若球与正方 则
体的各棱相切，
2R 2a
知识拓展 1.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球
2R 3a
2R 2a
②若球为正方体的内切球，则 2R=a ③若球与正方体的各棱相切，则
3
练习 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长 都为 2 ，点S,A,B,C,D都在同一球面上， 则此球的体积为 .
D
S
C O1 B
球的内切和外接问题课件
内切与外接问题的解题思路与方法
01
认真审题，明确题目中 的已知条件和所求目标 。
02
分析几何体的结构特征 ，确定内切或外接关系 。
03
合理利用内切或外接的 性质和定理，建立方程 或不等式求解。
04
对于复杂问题，可以采 用数形结合、分类讨论 等数学思想方法。
05
典型例题解析
简单几何体的内切与外接问题
判断一个球是否是多面体的内切球。
利用内切球的性质解决一些与多面体相关的问题，如求解多面体的体积、表面积等 。
外接球的定义与性质
定义
外接球是指一个球完全包含一个多面体，且与多面体的各个 顶点都相切。
性质
外接球的半径等于多面体外接圆半径，也等于从多面体中心 到任意一个顶点的距离。
外接球的计算方法
直接法
，也希望教师能够增加一些互动环节，提高课堂的趣味性。
对未来学习的建议与展望
加强基础知识的巩固
建议学生在课后加强对基础知识的学习和巩固，为后续的学习打下 坚实的基础。
增加实践环节
希望教师能够增加一些实践环节，如小组讨论、案例分析等，帮助 学生更好地应用所学知识解决实际问题。
拓展相关领域的学习
鼓励学生拓展相关领域的学习，如学习其他几何体的内切与外接问题 、了解相关数学史等，以拓宽视野并加深对课程内容的理解。
性质
内切球的半径等于多面体的内切圆半 径，也等于多面体各个面上的内切圆 半径的最小值。
内切球的计算方法
直接法
通过已知条件直接求出内切球的半径。
间接法
利用体积关系求出内切球的半径。对于棱锥、棱柱等多面体，可以先求出其体 积和表面积，再利用体积和表面积的关系求出内切球的半径。
几何体外接球和内接球半径几种求法课件
几何体外接球和内接球半径几 种求法课件
目录
CONTENTS
• 几何体外接球和内接球的基本概念 • 几何体外接球的求法 • 几何体内接球的求法 • 几何体外接球和内接球的典型例题解析 • 几何体外接球和内接球的注意事项
01
CHAPTER
几何体外接球和内接球的基 本概念
定义与性质
外接球
对于一个多面体，外接球是指包 含该多面体的所有顶点的球体。
单位要统一
在计算过程中，所有的长度单位必须 统一，否则会导致计算错误。
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问题， 以避免舍入误差导致的结果偏差。可 以使用高精度的数学库或工具进行计 算，以确保结果的准确性。
THANKS
谢谢
详细描述
首先，设长方体的三个边分别为a、b、c，然后利用勾股定理 计算其对角线的长度。这个对角线的长度就是外接球的直径 ，因此，通过除以2即可得到外接球的半径。
利用向量求外接球半径
总结词
利用向量求外接球半径是一种基于向量的方法。通过向量的运算和性质，结合几 何体的特征，可以求出外接球的半径。
详细描述
几何体外接球和内接球的半径公式
对于正四面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{6}}{4}a$，其中 $a$ 是正四面体的边长；内接球
的半径 $r = frac{sqrt{6}}{12}a$。
对于正六面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{3}}{2}a$，其中 $a$ 是正六面体的边长；内接球 的半径 $r = frac{a}{2sqrt{3}}$
05
CHAPTER
几何体外接球和内接球的注 意事项
确定几何体的外心和内心
确定外心
外心是外接圆的圆心，也是三条垂直平分线 的交点。对于三角形，外心是三条垂直平分 线的交点；对于矩形，外心是两条对角线中 点连线的交点；对于正四面体，外心是三条 高线与底面交点的连线的交点。
目录
CONTENTS
• 几何体外接球和内接球的基本概念 • 几何体外接球的求法 • 几何体内接球的求法 • 几何体外接球和内接球的典型例题解析 • 几何体外接球和内接球的注意事项
01
CHAPTER
几何体外接球和内接球的基 本概念
定义与性质
外接球
对于一个多面体，外接球是指包 含该多面体的所有顶点的球体。
单位要统一
在计算过程中，所有的长度单位必须 统一，否则会导致计算错误。
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问题， 以避免舍入误差导致的结果偏差。可 以使用高精度的数学库或工具进行计 算，以确保结果的准确性。
THANKS
谢谢
详细描述
首先，设长方体的三个边分别为a、b、c，然后利用勾股定理 计算其对角线的长度。这个对角线的长度就是外接球的直径 ，因此，通过除以2即可得到外接球的半径。
利用向量求外接球半径
总结词
利用向量求外接球半径是一种基于向量的方法。通过向量的运算和性质，结合几 何体的特征，可以求出外接球的半径。
详细描述
几何体外接球和内接球的半径公式
对于正四面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{6}}{4}a$，其中 $a$ 是正四面体的边长；内接球
的半径 $r = frac{sqrt{6}}{12}a$。
对于正六面体，外接球的半径 $R = frac{sqrt{3}}{2}a$，其中 $a$ 是正六面体的边长；内接球 的半径 $r = frac{a}{2sqrt{3}}$
05
CHAPTER
几何体外接球和内接球的注 意事项
确定几何体的外心和内心
确定外心
外心是外接圆的圆心，也是三条垂直平分线 的交点。对于三角形，外心是三条垂直平分 线的交点；对于矩形，外心是两条对角线中 点连线的交点；对于正四面体，外心是三条 高线与底面交点的连线的交点。
球的外接内切问题课件-高三数学二轮专题复习
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，
外接球的半径为Ra，2＋则b2＋2Rc2＝
.
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
球与棱柱的组合体问题 例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
D. 1: 8: 27
A D1
A1
B
中截面
O
C1设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
1.正方体的内切球、棱切球、外接球
设正方体的棱长为a,则: 正方体的内切球、外接球、棱切球直径
径分别为:
1 2
a、 3 2
a、 2 2
a.
2.正四面体的内切球、棱切球、外接球 设正四面体的棱长为a,则: 正四面体的内切球、棱切球、外接球
半径分别为: 6 a、 2 a、 6 a. 12 4 4
圆锥的内切球 圆锥的外接球
课时小结:
解决与球有关的内切与外接问题的
关键是：
通过寻找恰当的过球心的截面, 把立体问题转化为平面问题, 通过解三角形求出球的半径R.
30
探究二： 若正四面体的棱长为a，则
⑴正四面体的内切球直径＝ ⑵正四面体的外接球直径＝ ⑶与正四面体所有棱相切的球直＝
求棱长为a的正四面体外接球、内切球及棱切球
常用几何体的内切外接球
知识回顾 Knowledge Review
Hale Waihona Puke 祝您成功！2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表 面积S2的比值为多少？ 解答
正四面体的表面积为 S1＝4·43·a2＝ 3a2，
其内切球半径 r 为正四面体高的14，即 r＝14·36a＝126a，
因此内切球表面积为
S2＝4πr2＝π6a2，则SS12＝
π3aa22＝6
π
3 .
解答
由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的 棱长即为其内切球的直径. 设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r. 又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 3， 从而 V 外接球＝43πR3＝43π×(2 3)3＝32 3π， V 内切球＝43πr3＝43π×23＝323π.
常见几何体的内切、外接球
①若球为正方体 的外接球 2R 3a
若球为正方体的内切球，则 2R=a
③若球与正方体 的各棱相切，则
2R 2a
知识拓展 1.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球 2R 3a
②若球为正方体的内切球，则 2R=a
③若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R， 则2R＝ a2＋b2＋c2 .
(3)正四面体棱长为a，其外接球的半径： 内切球的半径： 球心的位置：
外接球的半径与内切球的半径之比：
引申探究 1.已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
6
3.已知侧棱和底面边长都是3 2 的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？
立体几何中的与球有关的内切外接问题分解课件
公式
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示
B1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
O的表面积。
Байду номын сангаас
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
练习一
1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,
这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_1_:_2__2_: 3__3_.
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变 为原来的——2倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
O的表面积。
Байду номын сангаас
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
练习一
1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,
这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_1_:_2__2_: 3__3_.
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变 为原来的——2倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
立体几何中球的内切外接问题课件
学习交流PPT
7
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高
1 O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
O • BC 2 6 O1E 2 且AE 3
B
O1
立体几何中 外接内切问题
Baby one
学习交流PPT
1
思考：体积为 3 3 的正方体内接于球，则
球的体积为
A. 3 6
B.
27
2
A
C
(C)
C.
9
2
D. 9
设正方体棱长为 a，
球半径为 R
•O
则 a3 3 3
3a 2R
A1
C1
V
球
4 R3
3
3 a3 9
2
2
学习交流PPT
2
变题：长方体的共顶点的三个侧面积分别
面积和球的表面积。
A
在 Rt △ AO1E 中
sin 3 cos 6
1
O •θ
3
3
tan 1 cos 2 sin
3
3 2
B
O1 E 在 Rt △ OO1E 中 OO1 6 2
2 S球 8 5 2 6
学习交流PPT
6
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
且 △PAC 内接于圆 O，如图所示
P
∵ PA = PC = a AC 2a
∴ △ PAC 是等腰 Rt △
即 AC 为球的直径
A
几何体内切球与外接球全解共46页
几何体内切球与外接球全解
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
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50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。
1常用几何体的内切外接球
②正三棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点
③直三棱柱外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点
④正棱锥的外接球的球心在其高上
求内切球半径的方法： （1）公式法：正方体内切球直径为棱长
正四面体的内切球半径 （2）多面体： V多面体
1 S 表 r内切球 3
R 6 a 4
常见几何体的内切、外接球
2 R 2a 正方体棱长为a，①内切球直径为棱长：
正方体棱长为a，②棱切球直径为面对角线：2R
2a
正方体棱长为a，③外接球直径为体对角线：2R
3a
长方体长a，宽b，高c，外接球直径为体对角线： 2R a2 b2 c2
正四面体棱长为a，其外接球的半径： 其内切球的半径： 两半径比： 3：1
6 a 4 6 R a 12 R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V多面体
1 S 表 r内切球 3
求外接球半径的方法： （1）公式法：正方体、长方体外接球直径为体对角线
正四面体的外接球半径
R 6 a 12
（2）补形法： 具有两两垂直顶点的三棱锥，柱，可以补形成长方体。
（3）找球心：①正方体或长方体外接球的球心是其体对角线的中点
③直三棱柱外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点
④正棱锥的外接球的球心在其高上
求内切球半径的方法： （1）公式法：正方体内切球直径为棱长
正四面体的内切球半径 （2）多面体： V多面体
1 S 表 r内切球 3
R 6 a 4
常见几何体的内切、外接球
2 R 2a 正方体棱长为a，①内切球直径为棱长：
正方体棱长为a，②棱切球直径为面对角线：2R
2a
正方体棱长为a，③外接球直径为体对角线：2R
3a
长方体长a，宽b，高c，外接球直径为体对角线： 2R a2 b2 c2
正四面体棱长为a，其外接球的半径： 其内切球的半径： 两半径比： 3：1
6 a 4 6 R a 12 R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V多面体
1 S 表 r内切球 3
求外接球半径的方法： （1）公式法：正方体、长方体外接球直径为体对角线
正四面体的外接球半径
R 6 a 12
（2）补形法： 具有两两垂直顶点的三棱锥，柱，可以补形成长方体。
（3）找球心：①正方体或长方体外接球的球心是其体对角线的中点
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常见几何体的内切、外接球
①若球为正方体 的外接球 2R 3a
若球为正方体的内切球，则 2R=a
③若球与正方体 的各棱相切，则
2R 2a
知识拓展 1.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球 2R 3a
②若球为正方体的内切球，则 2R=a
③若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R， 则2R＝ a2＋b2的半径： 内切球的半径： 球心的位置：
外接球的半径与内切球的半径之比：
引申探究 1.已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
6
3.已知侧棱和底面边长都是3 2 的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？
解答
依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为 3 2× 2＝6，高为
3 22－12×62＝3， 因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的 球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华
空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截 面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何 知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂 直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球 内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.
2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表 面积S2的比值为多少？ 解答
正四面体的表面积为 S1＝4·43·a2＝ 3a2，
其内切球半径 r 为正四面体高的14，即 r＝14·36a＝126a，
因此内切球表面积为
S2＝4πr2＝π6a2，则SS12＝
π3aa22＝6
π
3 .
解答
由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的 棱长即为其内切球的直径. 设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r. 又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 3， 从而 V 外接球＝43πR3＝43π×(2 3)3＝32 3π， V 内切球＝43πr3＝43π×23＝323π.
①若球为正方体 的外接球 2R 3a
若球为正方体的内切球，则 2R=a
③若球与正方体 的各棱相切，则
2R 2a
知识拓展 1.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球 2R 3a
②若球为正方体的内切球，则 2R=a
③若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R， 则2R＝ a2＋b2的半径： 内切球的半径： 球心的位置：
外接球的半径与内切球的半径之比：
引申探究 1.已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
6
3.已知侧棱和底面边长都是3 2 的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？
解答
依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为 3 2× 2＝6，高为
3 22－12×62＝3， 因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的 球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华
空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截 面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何 知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂 直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球 内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.
2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表 面积S2的比值为多少？ 解答
正四面体的表面积为 S1＝4·43·a2＝ 3a2，
其内切球半径 r 为正四面体高的14，即 r＝14·36a＝126a，
因此内切球表面积为
S2＝4πr2＝π6a2，则SS12＝
π3aa22＝6
π
3 .
解答
由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的 棱长即为其内切球的直径. 设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r. 又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 3， 从而 V 外接球＝43πR3＝43π×(2 3)3＝32 3π， V 内切球＝43πr3＝43π×23＝323π.