圆的对称性1

圆的对称性（第一课时）学案

一、学习目标

1、理解圆的有关概念；能利用垂径定理进行相关的计算和证明；

2、会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；

3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生的空间观念、推理能力等等。

二、学习导航

教师引导学生用画图、折叠、测量的方法猜想出垂径定理的结论，而用推理证明的方法验证是本节的难点，让学生动手折叠、思考交流后，师板演示范证明.

三、知识链接

1.平面内到__________________________的所有点组成的图形叫做圆。

2.点与圆的位置关系以及相对应的数量关系是(d表示圆心与点之间的距离,r表示半径)

(1)_________________________(2)______________________(3)____________________

四、探究新知

(一)圆的轴对称性

圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?用什么方法?

总结____________________________________________________________________ (二)与圆有关的概念．

1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．

2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．

3．直径：经过圆心的弦叫直径．

4.等弧:在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧.

5．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．

注意: 直径是弦，但弦不一定是直径．

弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上

图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．

半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．

(三)探究垂径定理及推论

1、操作、探索拿出事先准备好的透明的纸片，在上面画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图1）。沿着直径将圆对折（如图2），你有什么发现？

垂径定理：__________________________________

_____________________________________________.

命题题设：___________________________________

结论：____________________________________________

. A B

O

O

A

C

D

B

.

用几何符号表示为：

议一议:

如图,AB 是⊙O 的弦(不是直径)，M 是 AB 的中点，作经过点M 的直径CD, 与⊙O 相交于点C 、D ，你能得到哪些结论？你能证明你的结论吗？

总结推论：_____________________________________________________________ 想一想：为什么要强调AB 是⊙O 的弦而不是直径？

(四)例题讲解：

[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ， 点O 是弧CD 的圆心)，其中CD=600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ， 垂足为F ，EF=90 m ．求这段弯路的半径．

五、巩固新知：

1.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米， 圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径。

2.已知：如图，两个圆都以O 为圆心，小圆的弦CD 与 大圆的弦AB 在同一条直线上，你认为AC 与BD 的大小 有什么关系？请证明你的结论。

3.求证：如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹弧相等.

●O

A

B

C

D

M └

4.已知:在⊙O 中,弦AB 与CD 互相平行,且AB=6cm,CD=8cm,求两条弦之间的距离.

5.求证:直径是圆中最长的弦.

6.如图,已知⊙O 的半径为30mm,弦AB=36mm.

(1)求点O 到AB 的距离.

(2)求∠OAB 的余弦值.

7.在1300多年前,我国隋朝建立了赵州石拱桥,它的桥拱是圆弧形,跨度(即弧所对的弦长)为37.4米,拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2米,求桥拱所在的圆的半径(结果精确到0.1米)

8.如图，⊙O 的直径AB=20，∠ABC=30°，求弦BC 的长.

B A O

C

O

A

C

D B A B

D

E F

C

B D A

9．如图，在⊙O 中AB 为弦，C 、D 在AB 上，AC=BD ， 求证：△OAC ≌△OBD

10．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，

以C 为圆心，CA 为半径的圆交斜边于D ，求AD 的长.

11．已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，以A 为圆心，分别以AB ，AC 为半径作圆，分别交CB 的延长线BC ，AC 于点D E ，F ，若DE=10，BA=6，求AC 的长.

六、交流评价：

1.知识方面：

2．辅助线的添加规律：