圆的对称性1

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2.2圆的对称性(1).2 圆的对称性(1)课件

初中数学九年级上册（苏科版）
2.2
圆的对称性（一）
复习回忆
1、什么是中心对称图形？举例说明
把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形
2、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
尝试
1.在两张透明纸片上，分别作半径相等的 O和 O’
AB = A’B’ AOB= A’O’B’
3.
AB=A’B’

1的圆心角
C D
1的弧
O
n的圆心角
B A
n的弧
n的圆心角对着 n的弧， n的弧对着 n的圆心角。
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
典型例题
例 1：如图在 ABC 中， C=90， B=28，以 C为圆心，以 CA为半径的圆交 AB于点 D，交 BC于点 E ，求 AD， DE的度数。
B
D
E
A
C
例 2：如图 ,AB,AC,BC 都是 O的弦， AOC= BOC， ABC与 BAC相等吗？为什么？
解： ABC= BAC
∵ AOC= BOC
O
AC=BC
ABC= BAC
A C B
巩固练习
1.如图，在 O中，AC =BD ， AOB=50，求 COD的度数。 A
C D O B A
O B C
2.如图，在 O中，AB =AC， A=40，求 ABC的度数。
3.如图，在同圆中，若 AOB=2 COD，则AB与 2CD的大小关系是（（ A）AB ＞ 2CD (B) AB ＜ 2CD (C) AB＝ 2CD (D) 不能确定

3.1 圆的对称性(1)用

结论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的
两条弧. 已知
结论
｝｛（1）直径
（2）垂直于弦
（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
A
如图∵ AB是直径,（直径）
C E└
D
AB⊥CD, （垂直于弦）
●O
∴CE=DE, （平分弦）
A⌒C =A⌒D, （平分劣弧）
B
C⌒B=D⌒B. （平分优弧）
知二推三
课后作业：作业单七 1-6，11
解：过点O作OE⊥AB，垂足为点E，连接OA
连接半径构造直角三角形
A
E
└.
B
O
在直径650mm的圆柱形油槽中倒一些油后，截面如图。若油面宽AB=600mm，求油的
做课本74页习题 2
例3. 1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥(如图)，桥拱近似于圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.02m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高 )为7.23m．求桥拱所在圆的半径(精确到0.1m)．
.
挑战自我：动手画一画
❖如图,P为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使点P恰为AB的中点吗？说明你的理由.
C
A
●P
B
●O
利用垂径定理
探索：
C
O
推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
O E
A
B
结论：
D
①CD是直径
③ AE=BE
(AB不是直径的弦)
②CD⊥AB ④弧AC=弧BC ⑤弧AD=弧BD
同步训练：
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆D弧？

圆形对称图形的知识点总结

圆形对称图形的知识点总结
1. 圆的对称中心: 圆形是一种高度对称的图形，因此它的对称中心即为圆心。

无论是将圆
形沿着任何轴线进行翻转、旋转或倒影，都将得到一致的图形，因为圆形的每一点到圆心
的距离都相等。

2. 圆的轴对称: 圆形具有无数个轴对称轴线，这是因为圆形的任意一条直径都是它的轴对
称轴线。

将圆形沿着任意直径进行翻转、旋转或倒影，所得到的图形都与原图形完全一致。

3. 圆的中心对称: 圆形具有中心对称性，也就是说如果将圆形沿着圆心进行旋转180度，
那么所得到的图形与原图形将完全一致。

这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，因
此无论如何旋转，都将得到一致的图形。

4. 圆形的旋转对称: 圆形在任意角度的旋转下都具有对称性，也就是说无论将圆形旋转多
少度，所得到的图形都与原图形完全一致。

这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，
因此无论如何旋转，都将得到一致的图形。

5. 圆形的对称性质: 圆形的对称性质使得我们能够更好地理解和描述它的特征和性质。

通
过对称性的分析，我们可以得到许多重要的结论，例如圆形的面积公式和周长公式，圆形
的切线性质和弦的性质等等。

总之，圆形对称图形具有高度的对称性，包括轴对称、中心对称和旋转对称等多种对称性质。

这些对称性质使得我们能够更好地理解和描述圆形的特征和性质，为解决各种几何问
题提供了重要的理论基础。

因此，对圆形的对称性进行深入的研究和分析，有助于我们更
好地掌握几何学知识，提高解决问题的能力。

32圆的对称性(1)垂径定理

九年级数学(下)第三章圆
2. 圆对称性(1) 垂径定理
想一想P88 1
圆的对称性
驶向胜利的彼岸
圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
B M
E D
A OF
C
N
试一试P93 14
挑战自我画一画
驶向胜利的彼岸
3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
试一试P93 15
挑战自我画一画
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
想一想P91 9
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③
结论
命题
③④⑤
D 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
问题的?
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.

圆的对称性(1)

2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、弦心距等计算问题．
2020/2/6
[例一心]段)如，圆右其弧图中(所即C示D图=，中60一C0⌒m条D，，公点E路为O的是C⌒转DC⌒上弯D的一处圆点是，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
想一想：
1、如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
2020/2/6
说一说你的理由。
总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示

∵∴CAMD⊥=BAMB，，A⌒CDD=为⌒B⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。如图, 弦AB，弦CD
3．直径：经过圆心的弦叫直径。
如图,直径CD
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做一做：按下面的步骤做一做
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么 ?
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理 2.由总。结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示

§3.2 圆的对称性1、2

§3.2 圆的对称性学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程，理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理，圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理重点:垂径定理及其应用，圆心角、弧、弦之间关系定理．难点:垂径定理及其应用，“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明学习过程:一、举例：【例1】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例2】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．【例3】如图1,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2,若直线EF平移到与直径AB相交于点P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、当堂训练：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.6.已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE ＝DF 7.在⊙O 中,弦AB ∥EF,连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB8.已知如图等腰三角形ABC 中,AB ＝AC,半径OB ＝5，圆心O 到BC 的距离为3，求ABC 的长 9.已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F.求证：EC ＝DF 第6题 5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．三、课后练习：1.已知，如图在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC ＝BD2.已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm 和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离3.已知：⊙O 弦AB ∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4.已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB 于F 求证：AE ＝BF 第1题第2题第3题第4题第5题第7题第8题第9题§3.2 圆的对称性（第二课时）学习目标:圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．学习过程:一、例题讲解：【例1】如图，AB 、CD 、EF 都是⊙O 的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC 、EB 、DF是否相等？为什么？【例2】如图，弦DC 、FE 的延长线交于⊙O 外一点P ，直线PAB 经过圆心O ，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2．二、当堂训练：1、判断题（1）相等的圆心角所对弦相等（）（2）相等的弦所对的弧相等（）2、填空题⊙O 中，弦AB 的长恰等于半径，则弦AB 所对圆心角是________度．3、选择题:如图，O 为两个同圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点,OE ⊥AB ，垂足为E ，若AC ＝2.5 cm ，ED ＝1.5 cm ，OA ＝5 cm ，则AB 长度是___________．A 、6 cmB 、8 cmC 、7 cmD 、7.5 cm4、选择填空题: 如图2，过⊙O 内一点P 引两条弦AB 、CD ，使AB ＝CD ，求证：OP 平分∠BPD ．证明：过O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ．A.OM⊥PBB.OM⊥ABC.ON⊥CDD.ON⊥PD三、课后练习：1．下列命题中，正确的有（）A ．圆只有一条对称轴B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2．下列说法中，正确的是（）A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等3．下列命题中，不正确的是（）A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．以上都不对4．半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于（）A ．43RB ．23RC ．3RD ．23R5．如图1，半圆的直径AB=4，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为（）A ．23B ．3C ．5D ．256．已知：如图2，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为P ，且AP=4cm ，PD=2cm ，则⊙O 的半径为（）第3题第4题例2图例1图A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（） A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：48．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE：OF=（）A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．09．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．1610．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对11．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为．12．若圆的半径为2cm，圆中的一条弦长23cm，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为．13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ．14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．15．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF，⌒AC⌒AE，AC AE．20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．21．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．（1）求证：AC=DB；（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．23．已知一弓形的弦长为4 ，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．6。

圆对称性1垂径定理

×
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）
√
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
） ×
（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）
√
2.如图为一圆弧形拱桥，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2m，求桥拱所在圆的半径。
解：连接AB,作CO⊥AB,交 AB于点C,交⌒ AB于点D. 连接OA,OB ∵OC⊥AB, ∴AD=
∟
A
M
B
O
●
AC=BC
⌒ ⌒
⌒ ⌒
D
AD=BD
垂直于弦直径平分弦平分弧 ∵ CD为⊙O的直径，垂径定理的逆定理： AM=BM 平分弦(不是直径 )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 ∴ CD⊥AB ， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧. AD=BD，AC=BC.
拓展：如图，AB是⊙O的弦 ①CD是直径；② CD⊥AB ； ⌒ ⌒ ③CD平分AB； ④ AC=BC ⑤ AD=BD
∟
A
M
B
O
●
D
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
C
问题1：如图，AB是⊙O的一条弦， CD是直径，CD⊥AB于M
AM=BM AC=BC

∟
A
M
B
O
●
⌒ ⌒
⌒ ⌒
D
AD=BD
平分弦直径垂直于弦垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。平分弧 ∵CD⊥AB，CD为 ⊙O的直径 ∴AM=BM， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD，AC=BC.

5.2圆的对称性(1)

利用多媒体劝态演示，使得内容直观形象，从学生接受的情况看还是不错的，达到了本节课的学习目标。但是，学生知识的掌握并不代表能力的提高。很多学生眼高手低，在具体的几何逻辑推理中常常不能严谨的进行推理，或叙述不准确或定理不会运用，这都需要在平时的教学中要注意规范和引导的。
5
学生踊跃发言，气氛生认识到原来
（2）我们采用的是什么方法来研究中热闹
生活中处处有
心对称图形的呢？
数学，从而激
（3）出示投影片 1（轮子转动）
学生想象儿时的摩天发学生学习数
二、探索活动：
轮
学的兴趣。
活动一：尝试与交流
师：请同学们拿出课前准备好的两张透明
白纸，并出示投影片 2
（1）分别作半径都为 5 ㎝的⊙O、⊙O'；
苏教版九年级数学上册第五章第二节第一课时教学设计
5.2 圆的对称性（1）
江苏省赣榆县初级中学陈庆霞邮编：222100
一、教材简解：
本节内容是学生在小学学过的一些圆的知识及学习本册教材第五章第一节
圆的有关概念的基础上，进一步探索和圆有关的性质。本究过程中通过师生动手
n 度的圆心角
n 度的弧
关键：将顶点在圆心的周角分成 360 份，
每一份的圆心角是 1º的角，于是，整个圆
也被等分成 360 份。我们把 1º的圆心角所
对的弧叫做 1º的弧。
【板书二】
（二）、弧的大小：
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
注意：1.圆心角的度数与它所对的弧的度
数相等，不是角与弧相等；
分组讨论后，学生板演，教师加以讲评，及时纠正一些解题规范。
学生解答，并板演，教师点评。
拓宽学生的知识面，让学生对圆心角与弧有进一步的了解。同时又培养了学生用类比的思想去解决一些问题。

§5.2圆的对称性(1)

初三数学教学案课题：§5.2圆的对称性(1) 课型：新授时间：〖学习目标〗1．经历探索圆的对称性及有关性质的过程.2．理解圆的对称性及有关性质.3．会运用圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理等解决有关问题.〖学习过程〗一、创设情境：(1) 什么是中心对称图形?(2) 我们采用什么方法研究中心对称图形?二、探索活动：活动一、按照下列步骤进行小组活动：1、在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '2、在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接ＡＢ、''B A .3、将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图）.4、固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合.在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流._______________________________________________ 活动二、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?2、圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.’ ’试一试：如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD分别是⊙O 、⊙O '的两条弦.填空：（1）若AB=CD ，则，（2）若，则，（3）若∠AOB=∠CO 'D ，则， .活动三、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.三、例题分析：例：如图,AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC.∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？四、课堂小结：通过本节课的学习.你对圆的对称性有什么认识？五、随堂练习：1．如图，在⊙O 中，AC=BD ，∠AOB=50°,求∠COD 的度数．2. 如图，在⊙O 中，AB=AC A=40°,求∠B 的度数．C3.如图,在△ABC中, ∠C=90°, ∠B=28°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC与点E,求AD的度数.4.如图，AD、BE、CF是⊙O的直径，且∠AOF=∠BOC=∠DOE。

圆的对称性(1)

23.1圆的认识（一）
回顾：
1、圆是对称图形吗？它有哪些对称性？ 2、能否用手中的圆演示出它的各种对
称性呢？圆的对称轴在哪里，对称中心和旋转中心在哪里？
圆既是轴对称图形，又是中心对
称图形,也是旋转对称图形。旋转角度
可以是任意度数。对称轴是过圆心任意
一条直线。
探究一：
将图中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度。在得到的图形中，同学们可以通过比较前后两个图形，发现有何关系？
（第 2 题）
2.如图，AB是直径，B︵C＝C︵D＝D︵E，
∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
1、如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于
E．则下列结论中错误的是( C ).
A.∠COE＝∠DOE B.CE＝DE
C.AE＝OE
D.BC= BD
︵︵
2.如图，已知AD＝BC，
A
C
试说明AB=CD
D
B
O
1、在同圆或等圆中, 对应弧、弦、圆心
角之间的关系。
C
2、垂径定理
题设
结论 A
O B
｝（1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦图23.1D.7 （4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧
/ 时彩五星胆码计划
三小格の交情极为深厚单是从时间上来讲那两各人交往の历史要比他那各王爷长久许多他们别过才是区区八年の主仆情分外加壹各似有似无の二舅子关系可是年羹尧既是他雍亲王の二舅子同样也是抚远大将军の二舅子！年羮尧与二十三小格除去多年の八党渊源现在更是同在西北征战是同壹战壕の生死之交那种将脑袋别在裤腰带上换来の生死之交岂是他仅凭雍亲王门主身份能够比得上の？还有壹各至关重要の因素！二十三小格目前储君呼声壹浪高过壹浪识实务者为俊杰年二公子能够舍弃二十三小格那各金主靠山而坚守他雍亲王那各没落主子？那么多年来都没什么表过任何忠心の年羹尧在现如今那各风声壹边倒の时刻能够忠贞别二地为他效力卖命？所以在那天高皇帝远の西北荒漠之地年羮尧临时反水倒戈坚定地站在二十三小格壹边别是没什么可能而是极有可能所以想要凭借年羮尧の壹已之力助王爷夺取皇位完全就是别切实际の幻想他既是理想主义者、完美主义者更是现实主义者、实干主义者他别会裹足别前更别会临阵逃脱但是他又必须正视现实把握机遇所以现在是到咯需要做两手准备の时候咯第壹卷第802章气节所谓の两手准备壹方面在夺储の道路上积极争取另壹方面也要为事败想好退路以卵击石是盲动只进攻别防守是傻干退路别是退缩是积蓄能量、保存实力の明智之举政治上の退路自有他の幕僚们出谋划策而爱情上の退路呢？水清虽然曾经将他气得咬牙切齿曾经将他陷入被动难堪の境地更是在半年前将他羞辱得颜面尽失、威风扫地但是平心而论她却又是最对他脾气の诸人他们也有甜蜜温馨の过往值得他永远铭记在心中永生别忘就好比是刚才片刻の温柔、须臾の迷恋竟然会令他有些把持别住令他开始后悔那各决定但是那也只是偶尔の把持别住他仍然依靠顽强の意志力坚持咯下来坚持咯那各决定但是他仍会将刚刚の那壹幕温馨の场景深深印刻在脑海他要记得她所有の好忘掉她の所有の错他是怜香惜玉之人更是英雄惺惺相惜之人既然她有那么好の退路既然他们无法相亲相爱他愿意放她壹条生路而别是跟他拴在壹条线上壹荣俱荣壹损俱损他想通咯他要对她放手他の其它の诸人们与他同甘同苦几十年相处时间最少の惜月、韵音她们两人也有十五各年头他们同舟共济肝胆相照、荣辱与共当他还是壹各光头小格无官无爵の时候春枝、淑清、排字琦、云芳就相继走进咯他の生活惜月和韵音虽然晚壹些但也是在他灰头土脸、窝窝囊囊の贝勒爷时期陪他走过人生の那段低迷时期而水清是在他晋封为王爷之后才风风光光地成为他の侧福晋却壹直游离在整各王府之外游离在他の感情世界之外假设别是那壹次の宿醉他们现在仍是毫无瓜葛の两各人别过是空有夫妻の名分而已既然她别爱他而他又给别咯她应有の荣耀和尊荣何苦将她死死地拴在他の身边？她の性情太过倔强他们现在已经是两败俱伤强扭の瓜别甜既然他们也没什么开始啥啊既然她有那么好の退路他愿意成全她就像他对婉然の真心祝福那样对于他曾经真心真意、刻骨铭心爱过の诸人他都希望她们能够有壹各更好の未来他真心实意地想要成全她可是在水清看来却是遭受咯平生以来最大の奇耻大辱！假设上壹次他因为宿醉而冒犯咯她那是名节问题现在他用啥啊退路来成全她那简直是比上壹次更令水清怒别可遏因为那是气节问题！她是有气节の人有骨气の人是视尊严为生命之人别是贪生怕死、苟且偷生之流！可是她刚才已经用那么义正言辞の语言表达咯她の强烈别满表达咯她最真实の心意为啥啊他竟壹点儿反应也没什么？难道他别相信她？难道他那是在试探她在考验她？第壹卷第803章明志以前别论他如何羞辱她冤枉她她虽然也是用各式各样の方式表达咯她の严正抗议与强烈别满但是那各时候他只是她名义上の夫君而已他们既没什么任何瓜葛她也没什么将他放在心上所以生过气生过病愤怒过反抗过事后水清也就全都忘记咯那两、三年来她壹点点地走进咯他の生命里而他何尝别是壹样也壹点点地驻足在她の心间？被毫别相干の人误解她满别在乎可是现在别壹样！他早已是她极为在意の壹各人视若知己此情已付可是在他失意落魄の时候在她更加坚定地要与他风雨同舟、共度此生の时候却被他如此别信任如此曲解误会甚至说出咯啥啊同意她回娘家寻靠山那种陷她于别仁别义境地の话来！先别说她爱别爱他那壹回事单单是她守别守妇道那壹回事而且还是关乎她名节、气节の大是大非原则问题她岂能任由他那般侮辱她の人格和尊严？出乎水清意料の是以往都是他被气得火冒三丈而她则是横眉冷对任由他气得跳脚也拿她无奈何现在经过与她多年の斗智斗勇他居然也学会咯她の招数－－冷暴力：冷冷地面对她の愤怒冷冷地面对她の反抗别发壹言沉默以待无动于衷地冷眼看她の笑话换作她愤怒得象壹头发狂の狮子愤怒到极点の水清没什么任何办法面对那各冷漠地面对の他水清只剩壹条路来证明自己の清白那就是以死言志！在她の眼中气节是比生命更为宝贵和重要の东西她就是死也要坚定地捍卫它！眼前就是山之巅峰跳下去她要用自己の生命换来她の气节她要告诉他她没什么任何“退路” 她即使死也别会选择啥啊“靠山”！既然他别相信她那是她唯壹の选择！他哪里晓得她竟然会采取如此极端の方式向他表达最强烈の抗议当他反应过来の时候虽然勉强拉住咯她の胳膊但是由于事发突然又是雪地打滑他の脚根本吃别上力只坚持咯壹小会儿就被拖向咯悬崖边上而此刻の水清抱着必死の信念即使被他の手拉住咯胳膊仍是用足咯全身の力气朝悬崖冲去眼看着她已经滑到咯悬崖の边缘他壹下子急咯在他就要因为雪地打滑而摔倒前の那壹刻仍是奋力抬脚朝她の腿上踹咯过去手上の力度也增加到咯极限瘦弱の水清哪里受得住他那狠命の壹脚当即壹头就栽倒在地上可是巨大の惯性仍使她朝悬崖边上滑去在最后の关头他迅速地从雪上撑起身子壹招“恶虎扑食” 将水清死死地按在咯身下而此时の她已经真真正正地抵达咯悬崖之边幸亏被他及时按倒在地因为她の两只脚都已经开始悬空将她死死地按压在身下没什么咯性命之忧他才算是长长地出咯壹口气如劫后余生般地庆幸别已第壹卷第804章武力劫后余生の“庆幸别已”只是王爷壹各人の壹厢情愿水清却是抱着必死の决心根本就别是虚情假意の走过场更别是跟他故作姿态所以现在被他死死按下身下别得动弹使她求死别得求生又别是她の本愿可是她又根本别是她の对手任何反抗企图全是徒劳无益の白白浪费体力那各结果令她更加恼怒别已此刻の水清根本就别想报答他の所谓救命之恩她只想快快地咯断此生咯断与他の此世情缘成就她の气节保全她の名节于是她拼命地扭动着身子企图摆脱他の压制束缚摆脱与他纠缠别清の恩恩怨怨他怎么可能扔下她别管？别要说他曾经热烈地爱恋过她就算是他们彼此水火别容の从前和伤心透顶の现在作为他の诸人他也断然别会将她丢弃在那万丈悬崖之下只要是他の诸人他就有责任保护她他断然别会将她丢弃别顾而她呢？却是壹门心思想要离开他摆脱他就此咯断壹生此时の她别仅别配合他回到安全地带反而竭力挣脱别但身体在全力挣脱他の压制连悬空の两只脚也开始胡乱地蹬踹结果原本就别很结实の崖边碎石竟随着她那双别安分の双脚乱踹乱蹬之下而哗啦啦地滚落咯好几块！碎石滚落の声音在那寂静の山谷引起咯巨大の回声别晓得发生咯啥啊事情の两各人顿时被惊得全

5.2圆的对称性1

1. ∠AOB=∠A′O′B′

{AB=A′B′
A B =A′B′
2.
A B =A′B′

{
AB=A′B′
∠AOB=∠A′O′B′
3.
AB=A′B′
{
A B =A′B′ ∠AOB=∠A′O′B′
1的圆心角
C D
1的弧
O
n 的圆心角
B A
n 的弧
的弧，n 的弧对着 n 的圆心角。
B ）
(D) 不能确定
A C
B
O
D
总结
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等。
3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
回顾总结
通过本课的学习，你又有什么收获？
n 的圆心角对着 n
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
典型例题
例 1：如图在 ABC 中， C=90， B=28，以 C为圆心，以 CA为半径的圆交 AB于点 D，交 BC于点 E，求 AD， DE的度数。
B
解：连接CD
∵∠C=90°,∠B=28° ∴∠A=62°
又∵CA=CD ∴∠ACD=56° ∴∠BCD=34° ∴ A D、 D E
D
E
的度数
A
C
分别为56°，34°
例 2：如图 ,AB,AC,BC 都是 O的弦， AOC= BOC， ABC与 BAC相等吗？为什么？

2.2《圆的对称性(1)》教学课件

AB＝A′B′;
AB＝A′B′.
∠AOB＝∠ A′O′ B′. ∠AOB ＝∠ A′O′ B′.
观察思考
1°的圆心角
C D
1°的弧
O
B
n°的弧
A n°的圆心角
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
例题探究
例1 如图, AB、AC、BC都是⊙O的弦,∠AOC＝
∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
AB ＝ A′B′
AB＝A′B′
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦相等．
议一议
在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?为什么?
B A B′ A′
O
O′
AB＝A′B′ AB＝A′B′
∠AOB ＝∠ A′O ′B ′
在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弦相等,那
B
A B O C 图2
O 图1
2．如图2,在⊙O中, AB＝ AC ,∠A＝40º，求
∠ABC的度数.
拓展练习
如图,在同圆中,若AB＝2CD,则AB与2CD的大小关系是( B )． B．AB＜2CD D．不能确定
B O D A C
A．AB＞2CD C． AB＝2CD
拓展：在同圆中，若AB ＞ CD ，那么AB与CD的大小关系关系如何？
课堂小结
通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识？ 1．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 2．在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组都分别相等. 3．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
课后作业
课本P48 第2、3、4.
2.2

2.2圆的对称性(1)教案

2.2圆的对称性（1）教案【教学目标】1、知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；2、理解圆的对称性；掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系；会运用圆心角、弧、弦之间的相等关系来解决具体的问题。

3、经历用“叠合法”、旋转的思想探索圆的对称性的过程，引出圆心角、弧、弦之间的相等关系定理，体现了知识之间的密切联系。

4、通过分析、观察、归纳、类比等数学活动，激励学生努力探求未知知识的积极性，并从中获取解决具体问题的方法。

【重点、难点】重点：认识圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，同时圆还具有旋转不变性，从而得出圆心角、弧、弦之间的相等关系。

难点：如何运用圆心角、弧、弦之间的相等关系来解决具体的问题。

【教学过程】一、情境创设：情境1：（1）我们在八年级已经学过中心对称图形，那什么是中心对称图形呢？（2）我们采用的是什么方法来研究中心对称图形的呢？让几位学生回答（直至有学生回答中有“旋转”一词）通过引出“旋转”的概念，为下面的操作、思考埋下伏笔。

情境2：操作、思考：把学生分四个学习小组学生动手活动、折叠、旋转圆的图片，多媒体演示，引导学生观察、归纳探究本节课的第一个知识点。

将其中一个圆旋转任意角度，两个圆还能重合吗？利用旋转的方法可以得到：一个圆绕它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合。

特别是：圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

设计意图：以复习中心对称的概念作为情境创设，并指出旋转变换是我们研究中心对称图形的常用方法，引起学生思考：是否可以用类似的方法研究圆的中心对称性呢？二、探索活动：活动一：尝试与交流请同学们拿出课前准备好的两张透明白纸，（操作步骤）（1）分别作半径都为5㎝的⊙O 、⊙O /；（2）在⊙O 、⊙O /中，分别作相等的圆心角∠AOB 、∠A /O /B /，连接AB 、A /B /；（3）将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O /重合；（4）用图钉固定圆心，将其中的一个圆旋转某个角度，使得OA 与O /A /重合。

4.1 圆的对称性第1课时

1 CE 2
） B
B．CE＝DE CE＝ AOC＝60° D．∠AOC＝60°
4.（2010·安徽中考）如图， C.圆心圆心O 4.（2010·安徽中考）如图，⊙O过点B 、C.圆心O在等安徽中考过点B 腰直角△ABC的内部， BAC＝ OA＝ BC＝腰直角△ABC的内部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则的内部 ⊙O的半径为（的半径为（）
A C D B O
变式5 OC=OD 变式5：______AC=BD.
跟踪训练
如图，如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝ BA延长线上一点 PO＝求⊙O的半径. 的半径. 解析：提示作OM 解析：提示作OM 垂直于连接OA. PB ，连接OA. 答案：答案： 17 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线. 条非常重要的辅助线.
C
O
E A
D B F
随堂练习
1.（2010·毕节中考）如图， 1.（2010·毕节中考）如图，毕节中考 AB为 AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，的弦，的半径为5 OC⊥AB于点D OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，于点于点C 且CD＝l，则弦AB的长是 CD＝则弦AB的长是 AB ．
【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定解析】如图所示，连接OB， OB=5,OD=4,利用勾股定 OB 理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6. 理求得BD=3,因为所以AD=BD=3,所以AB=6. BD=3, AD=BD=3,所以答案：答案：6
本课小结

圆的对称性(个人整理,经典题型)

第八讲圆的对称性（一）【你必须知道的数学小知识】1、圆的定义：平面上到定点．．的距离等于_____________的所有点组成的图形叫做圆．；其中，定点称为__________，______________称为半径，以点O为圆心的圆可记作___________。

注意：①圆是一条___________的曲线，不能认为是圆面；②圆上各点到定点的距离都等于_________，到定点的距离等于定长的点都在__________；③圆的两要素：________________________________。

2、圆具有对称性：_______________________________________________________________________________。

3、圆的相关概念（1）弦与直径：连结圆上任意两点的__________叫做弦；经过___________的弦叫做直径；（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做__________，简称________。

用符号"⌒"表示，以A、B为端点的弧记作___________；（注意”半圆“、”优弧“、”劣弧“之间的区别）4、点与圆的位置关系：（1）点在圆外——点到圆心的距离_________半径；（2）点在圆上——点到圆心的距离_________半径；（3）点在园内——点到圆心的距离_________半径；5、垂径定理：垂直于弦的____________平方这条__________，并且平分弦所对的________________.用符号语言表示为：6、垂径定理推论：平分弦（不是直径．．．．）的___________垂直于___________，并且平分弦所对的___________. 用符号语言表示为：7、知二推三【经典例题】例1、（1）若⊙O的半径为5cm，圆心O到直线α的距离OM是4cm，直线α上有一点A，AM为6cm，则A在⊙O_____________________（填内、外、上）（2）已知一点与⊙O上的点最近距离是4cm，最远距离是9cm，则这个圆的半径是______________cm。

圆的对称性1

2.2圆的对称性(1).2 圆的对称性(1)课件

3.1 圆的对称性(1)用

圆形对称图形的知识点总结

32圆的对称性(1)垂径定理

圆的对称性(1)

§3.2 圆的对称性1、2

圆对称性1垂径定理

5.2圆的对称性(1)

§5.2圆的对称性(1)

圆的对称性(1)

5.2圆的对称性1

2.2《圆的对称性(1)》教学课件

2.2圆的对称性(1)教案

4.1 圆的对称性 第1课时

圆的对称性(个人整理,经典题型)

4.1 圆的对称性第1课时