有限元单元刚度矩阵
有限元法与ANSYS技术-刚度矩阵
k
e
BiT BjT
D
Bi
Bj
Bm
t
kii k ji
kij k jj
kim k jm
(3-35)
BmT
kmi kmj kmm
其中 krs Br T DBs t
Et
4 1 2
bcrbrbss1122cbrrccss
br cs
1
2
cr bs
cr cs
1
2
brb s
Kij
Kim
Kin
K
K j1
K ji
K jj
K jm
K jn
考虑到[k]扩充以后，除了对应的i, j, m 双行和双列 上的九个子矩阵之外，其余元素均为零，故（3-33）式
中的单元位移列阵{}e2n×1 便可用整体的位移列阵 {}2n×1 来替代。这样，（3-33）式可改写为
k
Re
2n2n
2n1
2n1
把上式对N个单元进行求和叠加，得
N e1
e
ui
vi
u j
v j
um
T
vm
且假设单元内各点的虚位移为{f *}，并具有与真实位移 相同的位移模式。
故有
f N e
(c)
参照（3-13）式，单元内的虚应变{ *}为
B e
(d)
于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写
为
({ }e )T Re
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
码的排序一致。各单元的节点力列阵经过这样的扩充之
后就可以进行相加，把全部单元的节点力列阵叠加在一
起，便可得到 (l)式所表示的弹性体的载荷列阵，即
单元刚度矩阵
单元刚度矩阵单元刚度矩阵是在结构力学中的一个重要概念，它是一个矩阵，用来表示刚性和结构特性。
它可以用来描述广泛的结构，如桥梁，大型建筑物和其他复杂的构造。
它的研究有助于更好地理解结构的运动和反应。
它也可以用来预测和控制结构的变形和损坏，从而减少结构建设过程中可能发生的各种问题。
单元刚度矩阵是一个n x n等阶矩阵，其中n是一个复杂结构中的单元数量。
它代表了单元之间的约束关系，表明它们如何互相影响。
这也就是所谓的单元刚度矩阵。
每个矩阵元素代表了任意两个单元之间的受拉或受压力的数量，可以用来计算结构中每一个单元之间的刚度和约束。
单元刚度矩阵有几种不同的类型，其中一种是静态刚度矩阵，它用来表示复杂结构在静态荷载作用下的刚度。
它可以用来预测荷载作用下结构变形的情况，并作出相应的改善。
另外一种是有限元分析，它可以用来对复杂结构在动态荷载下的变形，受力，反应，以及可能发生的结构破坏作出分析。
单元刚度矩阵的计算方法有很多。
有些是利用有限元分析的方法来进行的，也有些是直接从节点和单元的计算和配置来得出的。
有些方法只需简单地求解结构中一组特定问题，而另一些方法则要求对结构中所有部件进行复杂的数值计算。
单元刚度矩阵的计算可以帮助从两个角度来改善设计：一方面，单元刚度矩阵可以帮助改善结构运动的性能，另一方面，它可以帮助减少结构上可能发生的变形以及提高结构的耐久性。
单元刚度矩阵的计算和研究非常重要，现代的结构力学和建筑设计工程正在用这个技术来设计新型的可靠性更高，耐久性更强的建筑结构。
基于单元刚度矩阵的计算和研究，科学家们可以更好地理解结构力学，并减少建筑物的再建设和变形，以及可能发生的损坏。
总之，单元刚度矩阵的研究和计算存在着很多的优势。
现代的结构力学和建筑设计都需要用到它，以便更好地分析和控制结构的变形和损坏。
它的研究也有助于开发更安全，更高效的建筑结构，有助于结构力学中的其他方面的研究。
optistruct 单元刚度矩阵
optistruct 单元刚度矩阵
在有限元分析中，单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）是用于描述一个单元对应的局部坐标系下的刚度性质的矩阵。
OptiStruct是一种常用的有限元分析软件，它也根据单元的几何形状和材料特性计算出单元的刚度矩阵。
单元刚度矩阵描述了单元受力和变形之间的关系，它可以用于计算整个结构的全局刚度矩阵。
OptiStruct使用几何非线性、材料非线性和接触等特性来计算单元刚度矩阵。
根据不同的单元类型（如线性、非线性、壳单元等），OptiStruct采用不同的方法和公式来计算单元刚度矩阵。
一般来说，单元刚度矩阵的计算需要考虑以下几个方面：
1. 几何刚度：单元的形状和尺寸对刚度矩阵的计算有影响，如线性单元的刚度矩阵与单元长度有关。
2. 材料性质：材料的弹性模量和泊松比等材料特性对刚度矩阵的计算有影响。
3. 边界条件：单元所在的整体结构的边界条件对刚度矩阵的计算也有影响。
4. 单元类型：不同的单元类型具有不同的刚度矩阵计算方法。
了解单元刚度矩阵的计算对于进行有限元分析模拟和结果预测非常重要。
通过OptiStruct等有限元分析软件，可以方便地计算出各种类型的单元刚度矩阵，并进一步分析结构的强度和刚度等性能。
有限元 第3讲补充_平面问题-整体刚度矩阵
整体刚度矩阵
通过以上组装过程可以得到组装整体刚度矩阵的一般规则： 1 ）结构中的等效节点力是相关单元结点力的叠加，整体 刚度矩阵的子矩阵是相关单元的单元刚度矩阵子矩阵的集成； 2）当整体刚度矩阵中的子矩阵K rs 中r=s时，该节点（节点r 或s）被哪几个单元所共有，则K rs 就是这几个单元的刚度矩阵 e 中的子矩阵 K rs 的相加。如 K 33 应该是单元①－④中对应子矩阵 (1) (2) (3) (4) 的集成，即 K33 K33 K33 K33 K33
0
0
0
0 1 0 2 (2) 0 3 K 0 4 0 5
式中： Fi (2) ——②号单元中第i（i=1,3,4）节点所受力；
K (2) ——②号单元的扩大刚度矩阵。
y
4 ④ ② ① 1 2 3③ 5
(1)
0 0
0 0
0 0 1 0 0 2 (1) 0 0 3 K 0 0 4 0 0 5
4 ④ ② ① 1 2 3③
5
x
o
K (1) ——①号单元的扩大刚度矩阵或称为单元贡献矩阵。
5
整体刚度矩阵
y
4 ④ ② ① 14 ④ ② ① 1 2 3③ 5
x
o
(1) (2) (1) (1) (2) (2) K11 K11 K12 K13 K13 K14 0 (1) (1) (3) (1) (3) (3) K 22 K 22 K 23 K 23 0 K 25 K 21 (1) (2) (1) (3) (1) (2) (3) (4) (2) (4) (3) (4) K 31 K 31 K 32 K 32 K 33 K 33 K 33 K 33 K 34 K 34 K 35 K 35 (2) (2) (4) (2) (4) (4) 0 K 43 K 43 K 44 K 44 K 45 K 41 (3) (3) (4) (4) (3) (4) 0 K K K K K K 52 53 53 54 55 55
汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。
1.1杆单元---最简单的两节点一维单元， 用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴 向分布载荷q为(x) 。单元2个节点的位移 向量为： e ui u j T
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：
{} [B]{ }e [[B1 ][B2 ][B20 ]]{ }e
由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可 以表示成：
[ ] [D][ ] [D][B]{ }e [S]{ }e
单元刚度矩阵为 ：
[k]e
[B]T [D][B]dV
[k1e1
[k
e 21
这其中设定单元位移模式，利用虚功 原理建立单元节点力与节点位移关系并组建 单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分 析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋 小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移 函数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位 移项；
这样空间梁单元就由3个节点组成i,，j,k 点必
须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节
点为单元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、
j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定
则可以确定另一坐标iz, 轴j, k(或y轴)。
三点
确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面
方位也就完全确定下来。所增加的一个用于
] ]
[k1e2 ]
[k
e 22
]
[k1e20
[k
有限元法基础重点归纳(精)
30、有限元法的任务:建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间的关系的平衡方程。31、单元刚度矩阵:表达了单元节点位移与节点力之间的转换关系。
32、单元刚度矩阵的性质:①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义②K e是对称矩阵③K e的每一行或每一列元素之和为零,因此K e为奇异矩阵④K e不随单元的平行移动或作n π角度的转动而改变。33、刚度集成法集成规律:①先对每个单元求出其单元刚度矩阵K e ,而且以分块形式按节点编号顺序排列②将单元刚度矩阵扩大阶数为2n*2n ,并将单元刚度矩阵中的子块按局部码与总码的对应关系,搬到扩大后的矩阵中,形成单元贡献矩阵K e。③将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵,各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵K。34、整体刚度矩阵的性质:①整体刚度矩阵是对称矩阵②整体刚度矩阵中每一元素的物理意义:整体刚度矩阵的第一列元素代表使第一个节点在x方向有一单元位移,而其余节点位移皆为零时必须在节点上施加的里。对于K的其余各列也有类似意义③整体刚度矩阵K的主对角线上的元素总是正的④整体刚度矩阵K是一个稀疏阵⑤整体刚度矩阵K是一个奇异阵。35、带形矩阵:整体刚度矩阵K的非零元素分布在以主对角线为中心的斜带形区域内的矩阵。
γxy
=E 1−μ
2∗
1−μ2
γxy
42、制造位移函数:{u (x,y =α1+α2x +α3y
v (x,y =α4+α5x +α6y
43、等参单元精度比四边形单元高,四边形精度比三角形精度高。
44、轴对称问题:很多工程物件,它们的几何形状承受的载荷以及约束条件都对称于其一固定轴,这即为对称轴,此时载荷作用下的位移、应变和应力也对称于该对称轴的问题。45、等参数单元:优点:①形状方位任意,适应性好,精度高,容易构造高阶单元②具有统一形式,规律性强,采用数值积分算,程序处理方便③高阶等参单元精度高,描述复杂边界,形状能力强,所需单元少。缺点:①单元各方向尺寸要尽量接近②单元边界不能过于曲折,不能有拐点折点,尽量接近直线或抛物线③边之间夹角要尽量接近直角④单元形状不能过度畸变,边中节点不能过于偏离中间。46、有限元法基础理论:弹性力学,材料力学
c3d8有限元单元方程推导过程
有限元单元方程推导过程1.引言有限元分析是一种数值计算方法，用于求解结构力学、流体动力学等领域的物理问题。
在有限元分析中，有限元单元是构成整个有限元模型的基本单元，通过推导有限元单元的方程，可以实现对结构或系统的精确分析和计算。
本文将从有限元方法的基本原理出发，详细介绍有限元单元方程的推导过程。
2.有限元方法基本原理有限元方法是将连续的物理问题离散化，转化为有限个代表性元素的集合，通过对每个元素施加适当的边界条件和力学方程，最终得到整个系统的解。
有限元方法通过有限元单元之间的相互作用，从而模拟整个系统的行为。
3.有限元单元的概念有限元单元是有限元模型中最小的离散单元，它是对实际的结构或系统进行离散化的结果。
不同的物理问题和结构，可以采用不同类型的有限元单元进行离散化，如梁单元、壳单元、板单元等。
4.有限元单元方程的一般形式有限元单元方程的一般形式可以表示为：\[K_{e}U_{e}=F_{e}\]其中\(K_{e}\)为有限元单元的刚度矩阵，\(U_{e}\)为有限元单元的位移矢量，\(F_{e}\)为有限元单元的荷载矢量。
5.有限元单元方程推导的基本步骤有限元单元方程的推导主要包括以下几个基本步骤：5.1 单元刚度矩阵的推导首先需要根据有限元单元的几何形状和材料性质，推导出单元刚度矩阵。
单元刚度矩阵可以通过对单元内部的应变能量或者应力-应变关系进行积分得到。
5.2 单元位移矢量的表示在推导单元方程过程中，需要选择合适的位移矢量表示方式，可以采用基函数展开的方法，将位移矢量表示为一组未知系数乘以基函数的线性组合形式。
5.3 单元荷载矢量的求解单元荷载矢量是由外部施加的荷载和边界条件共同决定的，在推导单元方程的过程中需要将这些荷载转化为局部坐标系下的形式，并利用位移矢量的表示方式，将荷载矢量表达为位移矢量和未知系数的线性组合。
5.4 单元方程的组装需要将单元刚度矩阵、位移矢量和荷载矢量组装成完整的单元方程，可以通过坐标变换或者有限元单元之间的关系对单元方程进行组装。
有限元中单元刚度矩阵和残差矩阵关系(一)
有限元中单元刚度矩阵和残差矩阵关系(一)有限元中单元刚度矩阵和残差矩阵关系什么是有限元分析有限元分析是一种解决连续介质力学问题的数值计算方法。
它将复杂的结构划分为许多小的单元，并对每个单元进行离散化和建模，以求解分析问题。
在有限元分析中，单元刚度矩阵和残差矩阵是两个重要的概念。
单元刚度矩阵单元刚度矩阵是对每个单元在局部坐标系下进行局部建模后的刚度矩阵。
它描述了单元内部各个节点之间的刚度关系。
单元刚度矩阵的计算通常基于材料的性质、几何形状和边界条件等。
残差矩阵残差矩阵是在有限元分析中引入的一个重要概念，用于描述节点的约束关系。
它是根据边界条件和节点位移的计算结果生成的。
在有限元分析中，为了保证整个结构的连续性和平衡，必须对节点之间的位移进行限制和约束。
残差矩阵表示这些约束关系。
单元刚度矩阵和残差矩阵的关系单元刚度矩阵和残差矩阵之间存在着紧密的关系。
这种关系可以通过有限元分析的公式推导得到。
通常来说，在线性静力学问题的有限元求解过程中，可以通过以下步骤来求解整体的刚度矩阵和残差矩阵：1.将整个结构划分为若干个单元，对每个单元进行局部建模和刚度矩阵的计算。
2.根据节点之间的约束关系，将所有单元的局部刚度矩阵进行组装，得到整个结构的总体刚度矩阵。
3.在施加边界条件的情况下，求解整体刚度矩阵和施加边界条件的节点位移，得到节点位移的解。
4.根据节点位移的解，计算整体结构的残差矩阵，即节点受到的力的不平衡情况。
因此，可以说单元刚度矩阵是构建整体刚度矩阵的基础，而残差矩阵则是在整体刚度矩阵和节点位移的解的基础上得到的。
单元刚度矩阵和残差矩阵之间的关系是有限元分析中求解问题的关键所在。
以上就是有限元中单元刚度矩阵和残差矩阵关系的简述和解释。
通过对单元刚度矩阵和残差矩阵的理解和计算，可以帮助我们更好地理解和解决连续介质力学问题。
有限元法中空间梁单元矩阵的组集
有限元法中空间梁单元矩阵的组集有限元法是一种常用的工程分析方法，用于解决结构力学问题。
它将连续体分割成大量的小区域，即有限元，通过对每个小区域的应力和变形进行计算，进而得到整个结构体系的力学性能。
在有限元法中，梁单元是一种常用的元素类型，用于分析和设计梁结构。
空间梁单元是三维空间中的梁元素，用于分析和设计具有一定长度、截面和材料特性的结构。
它通常由两个节点和一些节点上的自由度组成。
在有限元法中，通过对空间梁单元的刚度矩阵进行组集，可以对梁结构进行强度和刚度等力学性能的计算和评估。
空间梁单元的刚度矩阵是一个重要的参数，它描述了梁元素在受力作用下的应力和变形关系。
在有限元法中，通过将梁单元划分为许多小单元，每个小单元的刚度矩阵可以通过材料性质和几何形状等参数进行计算和组集。
通过将所有小单元的刚度矩阵按照一定规则组合，可以得到整个梁单元的刚度矩阵。
组集空间梁单元的刚度矩阵需要考虑以下几个方面的因素：1. 几何因素：梁单元的几何形状对其刚度矩阵有很大的影响。
梁单元的长度和横截面形状将决定其自由度的数量和排列方式。
在组集刚度矩阵时，需要将这些几何因素考虑进去，确保计算结果的准确性。
2. 材料性质：梁单元的材料性质对其刚度矩阵的计算也有影响。
不同材料的弹性模量和剪切模量将导致不同的应力和变形响应。
在组集刚度矩阵时，需要将材料性质的影响考虑进去，以获得准确的结果。
3. 节点约束：梁单元的刚度矩阵还需要考虑节点约束的影响。
节点约束可以限制节点上的位移和旋转自由度，影响刚度矩阵的计算。
在组集刚度矩阵时，需要将节点约束的影响考虑进去，以获得准确的结果。
通过以上几个因素的考虑，可以得到空间梁单元的刚度矩阵。
该刚度矩阵可以用于计算梁单元的应力、变形、弯曲刚度、切割刚度等力学性能，也可以用于解决梁结构在受力作用下的静力分析和动力分析问题。
对于空间梁单元刚度矩阵的组集，可以按照如下步骤进行：1. 划分梁单元为若干个小单元：根据需要和几何形状，将梁单元划分为若干个小单元，每个小单元可以视为一个简单的线性结构，易于计算其刚度矩阵。
有限元单元刚度矩阵计算方法
有限元单元刚度矩阵计算方法
有限元单元刚度矩阵是有限元分析中的一个关键组成部分，它描述了结构中每个元素在承受载荷时的刚度响应。
以下是一个计算有限元单元刚度矩阵的基本步骤：
1. 确定元素类型和参数：首先需要确定所使用的元素类型（例如，杆、梁、板、壳等），以及这些元素的参数，如横截面面积、惯性矩、厚度等。
2. 建立局部坐标系：为每个元素建立一个局部坐标系。
在局部坐标系中，可以方便地描述元素内部的应力和应变。
3. 计算应变矩阵：根据有限元理论，计算元素两端的节点坐标差值，并由此得到应变矩阵。
4. 计算应力矩阵：根据材料的物理性质和胡克定律（Hooke's law），将应变矩阵转换为应力矩阵。
5. 形成刚度矩阵：将应力矩阵乘以相应的刚度系数，得到该元素的刚度矩阵。
6. 组装整体刚度矩阵：将所有元素的局部刚度矩阵组合起来，形成整体结构的刚度矩阵。
7. 施加边界条件和载荷：根据实际问题的边界条件和载荷，对整体刚度矩阵进行修正。
8. 求解线性方程组：通过求解修正后的线性方程组，得到结构中每个节点的位移。
以上步骤仅为有限元分析中的一种基本方法，实际应用中可能还需要考虑更多的因素，如非线性行为、材料失效等。
此外，有限元分析软件（如ANSYS、SolidWorks等）通常已经内置了这些计算过程，用户可以直接调用相应的功能进行有限元分析，而无需手动编写代码。
单元刚度矩阵转换为整体刚度矩阵
单元刚度矩阵是在有限元分析中经常用到的一个概念，它描述了单个有限元单元的刚度性质。
而整体刚度矩阵则是描述了整个结构的刚度性质。
在有限元分析中，通常需要将单元刚度矩阵转换为整体刚度矩阵，以便对整个结构进行分析和计算。
本文将介绍单元刚度矩阵转换为整体刚度矩阵的方法和步骤。
1. 确定整体刚度矩阵的尺寸在将单元刚度矩阵转换为整体刚度矩阵之前，首先需要确定整体刚度矩阵的尺寸。
整体刚度矩阵的尺寸取决于整个结构的自由度数量。
通常情况下，整体刚度矩阵的尺寸为总自由度的数量乘以总自由度的数量。
在确定整体刚度矩阵的尺寸之后，可以开始进行单元刚度矩阵的转换了。
2. 单元刚度矩阵的转换单元刚度矩阵的转换是整体刚度矩阵计算的关键步骤。
假设有n个有限元单元，每个单元的刚度矩阵为K1、K2、...、Kn，对应的自由度编号为dof1、dof2、...、dofn。
单元刚度矩阵可以通过以下公式转换为整体刚度矩阵：[整体刚度矩阵] = [整体刚度矩阵] + [单元刚度矩阵]其中，整体刚度矩阵和单元刚度矩阵都是按照对应的自由度编号排列的。
转换的过程中需要将每个单元刚度矩阵根据对应的自由度编号放置到整体刚度矩阵的相应位置上，并进行累加。
这样就可以得到整体刚度矩阵。
3. 处理自由度约束在进行单元刚度矩阵转换为整体刚度矩阵的过程中，还需要处理自由度的约束。
通常情况下，整个结构中会存在一些自由度被约束的情况，这就需要在转换过程中进行处理。
一般来说，可以通过对整体刚度矩阵进行修改，将被约束的自由度对应的行和列删除，同时将约束后的位移值代入整体刚度矩阵中相关方程中进行处理。
4. 检验整体刚度矩阵转换完成后，需要对整体刚度矩阵进行检验，以确保计算的准确性。
通常可以通过一些验证计算、模拟和实验结果对比等方法，来验证整体刚度矩阵的正确性和可靠性。
通过以上步骤，就可以将单元刚度矩阵转换为整体刚度矩阵。
整体刚度矩阵描述了整个结构的刚度性质，对于有限元分析和结构设计具有重要的意义。
有限元单元刚度矩阵
实现功能：输入欲求的单元号,得到该单元的面积和该单元刚度矩阵；输入完所有的单元号,得到所有的单元刚度矩阵后,直接得到半带宽存储的数组。
（所有的单元刚度矩阵和半带宽数组分别存在所有单元的刚度矩阵.txt和SK矩阵.txt）第1单元面积为：0.5000弹性模量、泊松比和厚度分别为:100.0000 0.3000 0.1000单元1单元的应力矩阵-109.8901 -32.9670 109.8901 0.0000 0.0000 32.9670-32.9670 -109.8901 32.9670 0.0000 0.0000 109.8901-38.4615 -38.4615 0.0000 38.4615 38.4615 0.0000第1单元的单元刚度阵为7.4176 3.5714 -5.4945 -1.9231 -1.9231 -1.64843.5714 7.4176 -1.6484 -1.9231 -1.9231 -5.4945-5.4945 -1.6484 5.4945 0.0000 0.0000 1.6484-1.9231 -1.9231 0.0000 1.9231 1.9231 0.0000-1.9231 -1.9231 0.0000 1.9231 1.9231 0.0000-1.6484 -5.4945 1.6484 0.0000 0.0000 5.4945半带宽存储的数组7.4176 3.5714 -1.9231 -1.6484 -5.4945 -1.92317.4176 -1.9231 -5.4945 -1.6484 -1.9231 0.00009.8901 -2.3810 -4.9451 4.7619 -3.0220 -0.45799.8901 4.7619 -4.9451 -0.7326 0.5495 0.000020.8791 -2.3810 0.5495 -2.3810 -10.989 1.648413.7363 -2.3810 -3.0220 1.9231 -3.8462 0.00003.4341 1.1905 -0.9615 1.9231 0.0000 0.00005.2198 1.6484 -2.7473 0.0000 0.0000 0.000011.9506 -3.5714 0.0000 0.0000 0.0000 0.00006.5934 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000#include <stdio.h>#define jds 5#define d 2main(){int nj,ne,i,j,k,a,n,*lnd;int JDS[3];xj,yj,xo,yo;float B[3][6],b1[3][6];D[3][3],E,u,t;S[3][6],s1[6][3];K[6][6];Kk[2*jds][2*jds]={{0}};float SK[2*jds][(d+1)*2]={{0}};float x1,x2,x3,y1,y2,y3,ae,*xy;FILE *fp1,*fp2,*fp3,*fp4,*fp5,*fp7;fp1=fopen("节点坐标.txt","r"); fp2=fopen("单元节点编号.txt","r");fp3=fopen("材料参数.txt","r");fp4=fopen("输出结果.txt","a"); fp5=fopen("节点总数和单元总数.txt","r");fp7=fopen("SK矩阵.txt","w"); fscanf(fp5,"%d",&nj);fscanf(fp5,"%d",&ne);xy=(float*)malloc(nj*2*sizeof(float));lnd=(int*)malloc(ne*3*sizeof(int));for(i=0;i<nj;i++)for(j=0;j<2;j++)fscanf(fp1,"%f",&xy[i*2+j]);for (i=0;i<ne;i++)for (j=0;j<3;j++)fscanf(fp2,"%d",&lnd[i*3+j]);for(n=0;n<ne;n++){printf("请输入所求的单元号:");scanf("%d",&a);i=lnd[(a-1)*3+0],j=lnd[(a-1)*3+1],k=lnd[(a-1)*3+2];JDS[0]=i;JDS[1]=j;JDS[2]=k;x1=xy[(i-1)*2+0];y1=xy[(i-1)*2+1];x2=xy[(j-1)*2+0];y2=xy[(j-1)*2+1];x3=xy[(k-1)*2+0];y3=xy[(k-1)*2+1]; ae=0.5*((x2-x1)*(y3-y1)-(x3-x1)*(y2-y1));printf("第%d单元的面积为：%7.4f\n",a,ae);fprintf(fp4,"\n第%d单元面积为：%7.4f ",a,ae);b1[0][0]=y2-y3,b1[0][2]=y3-y1;b1[0][4]=y1-y2,b1[1][1]=x3-x2;b1[1][3]=x1-x3,b1[1][5]=x2-x1;b1[2][0]=b1[1][1],b1[2][1]=b1[0][0];b1[2][2]=b1[1][3],b1[2][3]=b1[0][2];b1[2][4]=b1[1][5],b1[2][5]=b1[0][4];b1[1][0]=0,b1[0][1]=0, b1[1][2]=0,b1[0][3]=0,b1[1][4]=0,b1[0][5]=0; for(i=0;i<3;i++)for(j=0;j<6;j++)B[i][j]=(0.5/ae)*b1[i][j];fscanf(fp3,"%f %f %f",&E,&u,&t);printf("弹性模量、泊松比和厚度分别为:%7.4f %7.4f %7.4f\n",E,u,t);fprintf(fp4,"\n弹性模量、泊松比和厚度分别为:%7.4f %7.4f %7.4f",E,u,t);D[0][0]=E/(1-u*u), D[0][1]=E*u/(1-u*u), D[0][2]=0;D[1][0]=E*u/(1-u*u),D[1][1]=E/(1-u*u), D[1][2]=0;D[2][0]=0, D[2][1]=0, D[2][2]=E*(1-u)/(2*(1-u*u));for(i=0;i<3;i++)for(j=0;j<6;j++)for(k=0,S[i][j]=0;k<3;k++)S[i][j]=S[i][j]+D[i][k]*B[k][j];printf("第%d单元的应力矩阵为:\n",a);fprintf(fp4,"\n单元%d单元的应力矩阵\n",a);for(i=0;i<3;i++){for(j=0;j<6;j++){printf("%7.4f ",S[i][j]);fprintf(fp4,"%7.4f ",S[i][j]);}fprintf(fp4,"\n");printf("\n");}for(i=0;i<3;i++)for(j=0;j<6;j++)s1[j][i]=S[i][j];for(i=0;i<6;i++){for(j=0;j<6;j++)for(k=0, K[i][j]=0;k<3;k++)K[i][j]=K[i][j]+s1[i][k]*B[k][j]*ae*t;}printf("第%d单元的单元刚度阵为:\n",a);fprintf(fp4,"\n第%d单元的单元刚度阵为\n",a);for(i=0;i<6;i++){for(j=0;j<6;j++){ printf("%7.4f ",K[i][j]);fprintf(fp4,"%7.4f ",K[i][j]);}fprintf(fp4,"\n");printf("\n");}for(i=0;i<6;i++){k=i/2;xj=JDS[k]*2-1;xo=JDS[k]*2;if(i%2==0)for(j=0;j<6;j++){k=j/2;yj=JDS[k]*2-1;yo=JDS[k]*2;if(j%2==0)if(yj>=xj&&(yj-xj)<(d+1)*2)SK[xj-1][yj-xj]=SK[xj-1][yj-xj]+K[i][j];if(j%2!=0)if(yo>=xj&&(yo-xj)<(d+1)*2)SK[xj-1][yo-xj]=SK[xj-1][yo-xj]+K[i][j];}elsefor(j=0;j<6;j++){k=j/2;yj=JDS[k]*2-1;yo=JDS[k]*2;if(j%2==0)if(yj>=xo&&(yj-xo)<(d+1)*2)SK[xo-1][yj-xo]=SK[xo-1][yj-xo]+K[i][j];if(j%2!=0)if(yo>=xo&&(yo-xo)<(d+1)*2)SK[xo-1][yo-xo]=SK[xo-1][yo-xo]+K[i][j];}}}for(i=0;i<2*jds;i++){for(j=0;j<2*(d+1);j++){fprintf(fp7,"%7.4f ",SK[i][j]);}fprintf(fp7,"\n");}fclose(fp1);fclose(fp2);fclose(fp3);fclose(fp4);fclose(fp5);fclose(fp7);//fclose(fp6); }。
有限元中单元刚度矩阵和残差矩阵关系
2.残差矩阵（Residual Matrix）：在有限元分析中，残差矩阵是由已知载荷和位移向量计算得到的。在求解有限元方程组时，我们需要通过计算结构的位移向量来满足平衡方程。残差矩阵表示在应用已知载荷以用来评估有限元分析的准确性和收敛性。当残差矩阵趋近于零时，意味着结构达到平衡，有限元分析的结果较为准确。
关系：单元刚度矩阵和残差矩阵之间的关系在有限元方法中是通过组装整个结构的刚度矩阵和载荷向量来建立的。在有限元分析中，我们首先计算每个单元的刚度矩阵，然后将这些单元刚度矩阵根据它们的连接方式进行组装，形成整个结构的总刚度矩阵。
在有限元分析中，单元刚度矩阵和残差矩阵是两个重要的概念，它们在求解有限元方程组时起着关键作用。
1.单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：在有限元分析中，将结构或物体离散成若干个单元，每个单元内部有一定的刚度，这些刚度的集合构成了单元刚度矩阵。单元刚度矩阵描述了单个有限元单元的刚度特性，通常通过解析计算或数值积分得到。
接下来，我们通过施加边界条件和已知载荷，将总刚度矩阵转化为有限元方程组。解这个方程组可以得到结构的未知位移向量。然后，我们可以计算残差矩阵，看它是否趋近于零。如果残差矩阵趋近于零，说明结构已经达到平衡，有限元分析的结果较为准确。
总之，单元刚度矩阵和残差矩阵是有限元分析中两个重要的概念。单元刚度矩阵描述了单个有限元单元的刚度特性，是构建结构总刚度矩阵的基本组成部分；而残差矩阵用于评估有限元分析的准确性和收敛性，它与结构的未知位移向量直接相关。通过计算单元刚度矩阵、组装总刚度矩阵、求解方程组以及计算残差矩阵，可以得到结构的有限元分析结果。
第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
二、整体刚度矩阵
讨论了单元的力学特性之后，就可转入结构的整体分析
。假设弹性体被划分为N个单元和n个节点，对每个单元 按前述方法进行分析计算，便可得到N组形如（4-25）
式的方程。将这些方程集合起来，就可得到表征整个弹 性体的平衡关系式。
1
i
j
m
n
1
外力在虚位移上所做的虚功
V
F1
* 1
F2
* 2
F3
* 3
* T
F
单位体积内的虚应变能
x
* x
y
* y
z
* z
xy
* xy
yz
* yz
zx
* zx
*
T
整个物体的的虚应变能
U * T dxdydz
e
ui
vi
u j
v j
um
T
vm
且假设单元内各点的虚位移为{f *}，并具有与真实位移
相同的位移模式。
故有
f N e
(c)
参照（4-13）式，单元内的虚应变{ *}为
B e
(d)
于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为
br cs
1
2
cr bs
cr cs
1
2
brb s
( r = i、j、m；s = i、j、m ) (4-28)
有限元中弹性连接单元的刚度矩阵
第 39 卷第 6 期2023 年12 月结构工程师Structural Engineers Vol. 39 ， No. 6Dec. 2023有限元中弹性连接单元的刚度矩阵张军锋1，*胡连超2温珺博1耿玉鹏3李杰1（1.郑州大学土木工程学院，郑州 450001； 2.中建七局交通建设有限公司，郑州 450003；3.河南濮泽高速公路有限公司，濮阳 457000）摘要针对常用有限元软件中弹性连接单元的刚度矩阵开展研究。
类似普通梁单元刚度矩阵的分析方法，将弹性连接单元的空间受力状态分解为伸缩、弯曲和扭转三种独立的模式进行分析，并提出两种方式推导弯曲受力模式下的刚度矩阵。
对于弯曲受力状态下的刚度矩阵，明确了MIDAS中弹性连接单元输入参数包括弯曲和剪切刚度系数、弹性连接长度和剪切距离比R在刚度矩阵中的表现形式，给出了其刚度矩阵的理论表达式；阐明了剪切距离比R的力学意义，即用以考虑弹性支承两端因剪力传递的弯矩，其对结构的影响只体现在杆端位移结果中，杆端力始终满足静力平衡条件而不受R的影响，并且在R取0.5时，MIDAS中弹性连接的单元刚度矩阵与普通欧拉梁单元的刚度矩阵最为接近。
同时通过分析对比，明确了ANSYS和ABAQUS中弹性连接单元的弯剪效应是独立的，这与MIDAS中弹性连接单元在不考虑剪切距离比R时的特性一致。
研究成果既有助于理解弹性连接单元刚度矩阵，又为其工程应用提供了参考。
关键词弹性连接单元，刚度矩阵，平面弯曲受力，剪切距离比，有限元软件Stiffness Matrixes of Elastic Connection Elements inFinite Element MethodZHANG Junfeng1，*HU Lianchao2WEN Junbo1GENG Yupeng3LI Jie1（1.School of Civil Engineering，Zhengzhou University， Zhengzhou 450001， China；munications Construction Company of CSCEC 7th Division Co.，LTD.， Zhengzhou 450003， China；3.Henan Puze Expressway Co.，LTD， Puyang 457000， China）Abstract The study was initiated for the stiffness matrixes of elastic connection elements in Finite Element Method （FEM）. The derivation was decomposed into three uncoupled conditions， including tension， torsion，and bending， as the derivation for beam elements. Two methods were proposed to derivate the matrix in the bending condition. Following the analysis of the participation of parameters of the elastic connection element in MIDAS， including the bending and shearing stiffness values， the connection length， and the shear distance ratio R，the theoretical expression of the stiffness matrix of the elastic connection element in MIDAS was obtained. Especially，the mechanical implications of the shear distance ratio R were also elaborated：it was used to transfer the bending moment from one end to another due to the shear force； it had influence on the displacement results but not on the static equilibrium condition；the matrix of elastic connection element in MIDAS was close to the matrix of Euler-beam element if R=0.5. Moreover，a comparative investigation was given on the elastic connection elements in ANSYS， ABAQUS and MIDAS. It was found that the shear and bending effects are independent for the elastic connection elements in ANSYS and ABAQUS，which is the case when R is not considered for the elastic connection element in MIDAS. The derivation process and conclusion are instructive for the understanding of stiffness matrixes of elastic connection elements and helpful for practical application.收稿日期：2022-06-25*联系作者：张军锋（1983-），男，博士，副教授，主要研究方向为结构和桥梁抗风。
弹性力学及有限元考试复习简答题
弹性力学及有限元考试复习简答题1、简述有限单元法常分析的问题。
答：有限单元法是一种用于连续场分析的数值模拟技术，他不仅可以对机械、建筑结构的位移场和应力场进行分析，还可以对电磁学中的电磁场、传热学中的温度场、流体力学中的流体场进行分析。
2、在有限单元法中，位移模式应满足哪些基本条件。
答：1位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）2所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解3、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。
答：对称矩阵奇异矩阵稀疏矩阵具有相对独立性4、简述有限单元法中单元刚度矩阵的性质。
答：1．单元刚度矩阵是对阵矩阵2．单元刚度矩阵的主对角线元素恒为正值3．单元刚度矩阵是奇异矩阵4．单元刚度矩阵仅与本身有关5、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。
答：必须假定一个函数，所假定的位移函数必须满足两个条件：其一，它在单元节点上的值应等于节点位移；其二，由该函数出发得到的有限元解收敛于真实解。
6、要保证有限单元法计算结果的收敛性，位移函数必须满足那些条件？答：1、完备性条件：要求单元的位移函数必须能够满足刚性位移和常量应变状态2、协调性条件：要求单元的位移函数在单元内部必须是连续函数，且必须保证相邻单元间位移协调9、用有限元法分析实际工程问题有哪些基本步骤？需要注意什么问题？1）建立实际工程问题的计算模型2）选择适当的分析工具侧重考虑以下几个方面1）前处理（Preproceing）2）求解（Solution）3）后处理（Potproceing10、在弹性力学中根据什么分别推导出平衡微分方程、几何方程、物理方程，这三个方程分别表示什么关系？答：根据静力学、几何学和物理学三方面条件，分别推导出平衡方程、几何方程和物理方程；三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。
11、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。
单元刚度矩阵每个元素的物理意义
文章标题：探究单元刚度矩阵每个元素的物理意义1.概述在结构力学中，单元刚度矩阵是一个重要的概念，它描述了结构中的单元在受力作用下的变形情况。
单元刚度矩阵中的每个元素都承载着特定的物理意义，通过对这些元素进行深入的分析和理解，我们可以更好地认识到结构受力的行为规律，为工程实践提供更有效的指导。
2.单元刚度矩阵简介单元刚度矩阵是描述结构单元在受力作用下的刚度和变形的矩阵形式表示。
它可以通过有限元方法进行求解，是结构分析中常用的重要工具。
单元刚度矩阵的每个元素都代表着结构在某种特定情况下的性能参数，因此对这些元素的物理意义进行深入的探究具有重要的意义。
3.单元刚度矩阵每个元素的物理意义3.1. 主对角线元素单元刚度矩阵的主对角线元素代表了结构单元在自身受力下的刚度。
这些元素的大小反映了结构单元在相应方向上的抗弯刚度和扭转刚度，是结构在受力下保持形状稳定的重要参数。
主对角线元素的物理意义在于描述了结构单元对外力的响应情况，进而影响整体结构的受力性能。
3.2. 非主对角线元素单元刚度矩阵的非主对角线元素代表了结构单元在外力作用下的变形对其他因素（如位移或转角）的影响程度。
这些元素描述了结构单元之间的相互影响关系，体现了结构在不同方向上的变形耦合性。
非主对角线元素的物理意义在于揭示了结构在受力下的相互影响现象，为结构的整体稳定性和变形性能提供了重要参考。
4.总结与展望单元刚度矩阵每个元素都承载着特定的物理意义，通过对这些元素进行深入的分析和理解，我们可以更好地认识到结构受力的行为规律，为工程实践提供更有效的指导。
在未来的研究中，可以进一步探讨单元刚度矩阵元素与材料性能、结构形状等因素之间的关系，以及如何通过调整单元刚度矩阵元素来优化结构设计，从而更好地满足工程实践的需求。
5.个人观点和理解在我看来，对单元刚度矩阵每个元素的物理意义进行深入的探究有助于提高结构工程师对结构受力行为的理解和把握。
通过深入理解单元刚度矩阵中各个元素的意义，我们可以更好地优化结构设计，提高结构在受力下的性能。
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实现功能：输入欲求的单元号,得到该单元的面积和该单元刚度矩阵；输入完所有的单元号,得到所有的单元刚度矩阵后,直接得到半带宽存储的数组。
（所有的单元刚度矩阵和半带宽数组分别存在所有单元的刚度矩阵.txt和SK矩阵.txt）第1单元面积为：0.5000弹性模量、泊松比和厚度分别为:100.0000 0.3000 0.1000单元1单元的应力矩阵-109.8901 -32.9670 109.8901 0.0000 0.0000 32.9670-32.9670 -109.8901 32.9670 0.0000 0.0000 109.8901-38.4615 -38.4615 0.0000 38.4615 38.4615 0.0000第1单元的单元刚度阵为7.4176 3.5714 -5.4945 -1.9231 -1.9231 -1.64843.5714 7.4176 -1.6484 -1.9231 -1.9231 -5.4945-5.4945 -1.6484 5.4945 0.0000 0.0000 1.6484-1.9231 -1.9231 0.0000 1.9231 1.9231 0.0000-1.9231 -1.9231 0.0000 1.9231 1.9231 0.0000-1.6484 -5.4945 1.6484 0.0000 0.0000 5.4945半带宽存储的数组7.4176 3.5714 -1.9231 -1.6484 -5.4945 -1.92317.4176 -1.9231 -5.4945 -1.6484 -1.9231 0.00009.8901 -2.3810 -4.9451 4.7619 -3.0220 -0.45799.8901 4.7619 -4.9451 -0.7326 0.5495 0.000020.8791 -2.3810 0.5495 -2.3810 -10.989 1.648413.7363 -2.3810 -3.0220 1.9231 -3.8462 0.00003.4341 1.1905 -0.9615 1.9231 0.0000 0.00005.2198 1.6484 -2.7473 0.0000 0.0000 0.000011.9506 -3.5714 0.0000 0.0000 0.0000 0.00006.5934 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000#include <stdio.h>#define jds 5#define d 2main(){int nj,ne,i,j,k,a,n,*lnd;int JDS[3];xj,yj,xo,yo;float B[3][6],b1[3][6];D[3][3],E,u,t;S[3][6],s1[6][3];K[6][6];Kk[2*jds][2*jds]={{0}};float SK[2*jds][(d+1)*2]={{0}};float x1,x2,x3,y1,y2,y3,ae,*xy;FILE *fp1,*fp2,*fp3,*fp4,*fp5,*fp7;fp1=fopen("节点坐标.txt","r"); fp2=fopen("单元节点编号.txt","r");fp3=fopen("材料参数.txt","r");fp4=fopen("输出结果.txt","a"); fp5=fopen("节点总数和单元总数.txt","r");fp7=fopen("SK矩阵.txt","w"); fscanf(fp5,"%d",&nj);fscanf(fp5,"%d",&ne);xy=(float*)malloc(nj*2*sizeof(float));lnd=(int*)malloc(ne*3*sizeof(int));for(i=0;i<nj;i++)for(j=0;j<2;j++)fscanf(fp1,"%f",&xy[i*2+j]);for (i=0;i<ne;i++)for (j=0;j<3;j++)fscanf(fp2,"%d",&lnd[i*3+j]);for(n=0;n<ne;n++){printf("请输入所求的单元号:");scanf("%d",&a);i=lnd[(a-1)*3+0],j=lnd[(a-1)*3+1],k=lnd[(a-1)*3+2];JDS[0]=i;JDS[1]=j;JDS[2]=k;x1=xy[(i-1)*2+0];y1=xy[(i-1)*2+1];x2=xy[(j-1)*2+0];y2=xy[(j-1)*2+1];x3=xy[(k-1)*2+0];y3=xy[(k-1)*2+1]; ae=0.5*((x2-x1)*(y3-y1)-(x3-x1)*(y2-y1));printf("第%d单元的面积为：%7.4f\n",a,ae);fprintf(fp4,"\n第%d单元面积为：%7.4f ",a,ae);b1[0][0]=y2-y3,b1[0][2]=y3-y1;b1[0][4]=y1-y2,b1[1][1]=x3-x2;b1[1][3]=x1-x3,b1[1][5]=x2-x1;b1[2][0]=b1[1][1],b1[2][1]=b1[0][0];b1[2][2]=b1[1][3],b1[2][3]=b1[0][2];b1[2][4]=b1[1][5],b1[2][5]=b1[0][4];b1[1][0]=0,b1[0][1]=0, b1[1][2]=0,b1[0][3]=0,b1[1][4]=0,b1[0][5]=0; for(i=0;i<3;i++)for(j=0;j<6;j++)B[i][j]=(0.5/ae)*b1[i][j];fscanf(fp3,"%f %f %f",&E,&u,&t);printf("弹性模量、泊松比和厚度分别为:%7.4f %7.4f %7.4f\n",E,u,t);fprintf(fp4,"\n弹性模量、泊松比和厚度分别为:%7.4f %7.4f %7.4f",E,u,t);D[0][0]=E/(1-u*u), D[0][1]=E*u/(1-u*u), D[0][2]=0;D[1][0]=E*u/(1-u*u),D[1][1]=E/(1-u*u), D[1][2]=0;D[2][0]=0, D[2][1]=0, D[2][2]=E*(1-u)/(2*(1-u*u));for(i=0;i<3;i++)for(j=0;j<6;j++)for(k=0,S[i][j]=0;k<3;k++)S[i][j]=S[i][j]+D[i][k]*B[k][j];printf("第%d单元的应力矩阵为:\n",a);fprintf(fp4,"\n单元%d单元的应力矩阵\n",a);for(i=0;i<3;i++){for(j=0;j<6;j++){printf("%7.4f ",S[i][j]);fprintf(fp4,"%7.4f ",S[i][j]);}fprintf(fp4,"\n");printf("\n");}for(i=0;i<3;i++)for(j=0;j<6;j++)s1[j][i]=S[i][j];for(i=0;i<6;i++){for(j=0;j<6;j++)for(k=0, K[i][j]=0;k<3;k++)K[i][j]=K[i][j]+s1[i][k]*B[k][j]*ae*t;}printf("第%d单元的单元刚度阵为:\n",a);fprintf(fp4,"\n第%d单元的单元刚度阵为\n",a);for(i=0;i<6;i++){for(j=0;j<6;j++){ printf("%7.4f ",K[i][j]);fprintf(fp4,"%7.4f ",K[i][j]);}fprintf(fp4,"\n");printf("\n");}for(i=0;i<6;i++){k=i/2;xj=JDS[k]*2-1;xo=JDS[k]*2;if(i%2==0)for(j=0;j<6;j++){k=j/2;yj=JDS[k]*2-1;yo=JDS[k]*2;if(j%2==0)if(yj>=xj&&(yj-xj)<(d+1)*2)SK[xj-1][yj-xj]=SK[xj-1][yj-xj]+K[i][j];if(j%2!=0)if(yo>=xj&&(yo-xj)<(d+1)*2)SK[xj-1][yo-xj]=SK[xj-1][yo-xj]+K[i][j];}elsefor(j=0;j<6;j++){k=j/2;yj=JDS[k]*2-1;yo=JDS[k]*2;if(j%2==0)if(yj>=xo&&(yj-xo)<(d+1)*2)SK[xo-1][yj-xo]=SK[xo-1][yj-xo]+K[i][j];if(j%2!=0)if(yo>=xo&&(yo-xo)<(d+1)*2)SK[xo-1][yo-xo]=SK[xo-1][yo-xo]+K[i][j];}}}for(i=0;i<2*jds;i++){for(j=0;j<2*(d+1);j++){fprintf(fp7,"%7.4f ",SK[i][j]);}fprintf(fp7,"\n");}fclose(fp1);fclose(fp2);fclose(fp3);fclose(fp4);fclose(fp5);fclose(fp7);//fclose(fp6); }。