数值分析复习题及答案(20200829181216)
数值分析期末考试复习题及其答案
数值分析期末考试复习题及其答案1.已知都有6位有效数字，求绝对误差限.（4分）解:由已知可知,n=62分2分2.已知求（6分）解：1分1分1分= 2分1分3.设（6分）①写出f(x)=0解的Newton迭代格式②当a为何值时，（k=0,1……)产生的序列收敛于解:①Newton迭代格式为： 3分② 3分4.给定线性方程组Ax=b，其中：，用迭代公式（k=0，1……）求解Ax=b,问取什么实数，可使迭代收敛（8分)解：所给迭代公式的迭代矩阵为2分其特征方程为2分即，解得2分要使其满足题意，须使,当且仅当2分5.设方程Ax=b，其中，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss—Seidel迭代格式（9分）解：3分2分即，由此可知Jacobi迭代收敛1分Gauss-Seidel迭代格式：（k=0,1,2，3 (3)6.用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组:(i=1，2,3)其中，（12分)解：①A= =LU 3分由Ly=b1，即y= 得y= 1分由Ux1=y，即x1= 得x1= 2分②x2=由Ly=b2=x1,即y= 得y= 1分由Ux2=y，即x2= 得x2= 2分③x3=由Ly=b3=x2，即y= 得y= 1分由Ux3=y，即x3= 得x3= 2分7.已知函数y=f（x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H插值多项式,使（6分）解：作重点的差分表，如下:3分=-1+（x+1)-x(x+1）+2x。
x（x+1)= 3分8.有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式（7分）解：由已知条件可作差分表，3分（i=0,1,2，3）为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:=4+5x+x（x—1)= 4分9.求f(x)=x在[—1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差（8分)解：令2分取m=1，n=x，k=,计算得:（m，m）==0 （m，n)= =1 （m，k)= =0（n,k）= =0。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
数值分析习题集及答案
数值分析习题集及答案数值分析习题集及答案篇一：数值分析习题与答案第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx 的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式()()则得有5位有效数字，其误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2），相对误差限满足，而解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=,是 3位有数数字。
5.计算四个选项：取，利用：式计算误差最小。
第二、三章插值与函数逼近习题二、三 1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（）。
线性插值时，用及两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用，，三点，作二次Newton 插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次，函数表的步长h插值法求的近似值，要使误差不超过应取多少? 解：用误差估计式（），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若的值，这里p≤n+1.解：可知当而当P＝n＋1时于是得有互异，求，由均差对称性5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f()的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表由式()当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=+()+()() 由此可得f() N3()= 由余项表达式()可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表篇二：数值分析试题1参考答案参考答案 1 一、1．22．xn?1?xn?3．1, 0 4．7,f(xn)(n?0,1,?) ?f(xn)25 7(k?1)15(k)x2x11336. ? ,1(k?1)x2??x1(k?1)1220?2003??10?2?4二、(1) L?0?13?00?1??(2)1?0?120??,U??0100?5??4000?23100??0?? 3??4?1??l65?a65?(l61u15?l62u25?l63u35?l64u45);u55u56?a55?(l51u16?l52u26?l53u356?l54u46)三、先造差分表如下：（1）选x1?,x2?,x3?,x4?为节点，构造三次向前Newton插值多项式2y1?3y1N(x?th)?y1??y1?t(t?1)?t(t?1)(t?2) 31 2!3!将x1和h代入上式，则有N3(?)?25?2t?1/2*t(t?1)?5/6*t(t?1)(?2)由??解得t?,所以f()?N()?(2) 选x3?,x4?,x5?为节点，构造二次向前Newton插值式N2(x3?th)?y3??y3t?t(t?1)2!将x3和h代入上式，则有N2(?)?20?t?t(t?1) 由+=解得t=,所以 f()?N2()?（3）由f(?)3ht(t?1)(t?2)3!(,0?t?2)R2(x0?th)?f(?)3600有R（2(xi?)?(t?1)(t?2)?**maxt(t?1)(t?2)0?t?23!3!可知f(x)有两位整数，故能保证有两位有效数字。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析练习题及答案
数值分析练习题及答案数值分析练习题及答案数值分析是应用数学的一个分支，它研究如何使用数值方法解决实际问题。
在数值分析的学习过程中，练习题是非常重要的一部分，通过练习题的完成，我们可以更好地理解和掌握数值分析的原理和方法。
本文将给出一些数值分析的练习题及其答案，希望对读者有所帮助。
一、插值与拟合1. 插值是指根据已知数据点的函数值，通过某种方法推导出在这些数据点之间的函数值。
请问插值的目的是什么？答案：插值的目的是通过已知数据点的函数值，推导出在这些数据点之间的函数值，以便于我们在这些数据点之间进行计算和分析。
2. 拟合是指根据已知数据点的函数值，通过某种方法找到一个函数，使得该函数与这些数据点尽可能接近。
请问拟合的目的是什么？答案：拟合的目的是通过已知数据点的函数值，找到一个函数，使得该函数与这些数据点尽可能接近，以便于我们对数据的趋势和规律进行分析和预测。
二、数值积分1. 数值积分是指通过数值方法计算一个函数在某个区间上的积分值。
请问数值积分的应用领域有哪些？答案：数值积分在科学计算、工程设计、金融分析等领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，数值积分可以用来计算物体的质心、重心等重要物理量；在金融分析中，数值积分可以用来计算期权的价格和风险价值等。
2. 辛普森法则是一种常用的数值积分方法，它通过将积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上使用一个二次多项式来逼近被积函数。
请问辛普森法则的原理是什么？答案：辛普森法则的原理是通过将积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上使用一个二次多项式来逼近被积函数。
然后，通过对这些小区间上的二次多项式进行积分，最后将这些积分值加起来，就可以得到整个积分区间上的积分值。
三、数值微分1. 数值微分是指通过数值方法计算一个函数在某个点处的导数值。
请问数值微分的作用是什么？答案：数值微分的作用是通过数值方法计算一个函数在某个点处的导数值，以便于我们对函数的变化趋势和规律进行分析和预测。
数值分析复习题及答案
2 x1 2 x2 3x3 3
5. 用列主元消元法解线性方程组
x1 3x2 2
作第一次消元后得到的第 3 个方程（
）.
A ． x2 x3 2 x2 0.5x3 1.5
B ． 2x2 1.5x3 3.5
C ． 2 x2 x3 3
D．
二、填空
1. 设 x 2.3149541... ，取 5 位有效数字，则所得的近似值 x=
1, x2
9
1．设
4
4
（ 1）试求
fx
在
19 ,
4 4 上的三次 Hermite 插值多项式
x 使满足
H (x j ) f ( xj ), j 0,1,2,... H ' ( x1) f ' (x1) ， x 以升幂形式给出。
（ 2）写出余项 R(x) f ( x) H (x) 的表达式
， 。
2．已知
(1) 用拉格朗日插法求 f (x) 的三次插值多项式； (2) 求 x ， 使 f (x) 0 。
确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度
24、用 Gauss 消去法求解下列方程组
1
1
. 试求 x1, x2 使求积公式
f ( x)
1
[ f ( 1) 2 f ( x1) 3
11 dx
01 x .
9．用二次拉格朗日插值多项式 L2 ( x)计算 sin 0.34 的值。
插值节点和相应的函数值是（ 0，0），（，），（，）。
10. 用二分法求方程
f (x)
3
x
x 1 0在 [1.0,1.5] 区间内的一个根，误差限
10
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案**注意：以下是一份数值分析试卷及答案，试卷和答案分别按照题目和解答的格式排版，以确保整洁美观，语句通顺。
**---数值分析试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 数值分析是研究如何用计算机处理数值计算问题的一门学科。
以下哪个选项不是数值分析的应用领域？A. 金融风险评估B. 天气预测C. 数据挖掘D. 图像处理2. 在数值计算中，稳定性是指算法对于输入数据的微小扰动具有较好的性质。
以下哪个算法是稳定的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 不动点迭代法D. 雅可比迭代法二、填空题（每题3分，共30分）1. 下面关于插值多项式的说法中，不正确的是：一般情况下，插值多项式的次数等于插值点的个数减1。
2. 线性方程组中，如果系数矩阵A是奇异的，则该方程组可能无解或有无穷多解。
......三、解答题（共50分）1. 请给出用割线法求解非线性方程 f(x) = 0 的迭代格式，并选择合适的初始值进行计算。
解：割线法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - f(x_k) * (x_k - x_(k-1)) / (f(x_k) - f(x_(k-1)))选择初始值 x0 = 1，x1 = 2 进行计算：迭代1次得到：x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))迭代2次得到：x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1))继续迭代直至满足精度要求。
2. 对于一个给定的线性方程组，高斯消元法可以用来求解其解空间中的向量。
请简要描述高斯消元法的基本思想并给出求解步骤。
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式，然后再通过回代求解方程组的未知数。
求解步骤如下：步骤1：将方程组表示为增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量连接在一起。
步骤2：从第一行开始，选取第一个非零元素作为主元，然后通过行变换将其它行的该列元素消去。
数值分析试题及答案
1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得 分 评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案()101x L x -=-()12x L x -=-()10.8L x ⎧-⎪=⎨⎪⎩()1.50.8L =2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其左右相等，得一、 填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
数值分析考试卷及详细答案解答
数值分析考试卷及详细答案解答姓名班级学号一、选择题1.()2534F,,,-表示多少个机器数(C ).A 64B 129C 257D 2562. 以下误差公式不正确的是( D)A ．()()()1212x *x *x *x *εεε-≈+B ．()()()1212x *x *x *x *εεε+≈+C ．()()()122112x *x *x *x *x x *εεε?≈+ D ．()()()1212x */x *x *x *εεε≈-3. 设)61a =, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出a 较好的近似值？(D )A6)12(1+ B 27099- C 3)223(- D3)223(1+4. 一个30阶线性方程组, 若用Crammer 法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )A 31×29×30!B 30×30×30!C 31×30×31!D 31×29×29!5. 用一把有毫米的刻度的米尺来测量桌子的长度, 读出的长度1235mm, 桌子的精确长度记为（ D ）A 1235mmB 1235-0.5mmC 1235+0.5mmD 1235±0.5mm二、填空1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。
2.十进制123.3转换成二进制为1111011.01001。
3.二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。
4. 二进制0101.转换成十进制为57。
5.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限5% 。
6. ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是 0.693 。
7.31415926x .π==，则131416*x .=，23141*x .=的有效数位分别为5 和3 。
8.设200108030x*.,y*.==-是由精确值x y 和经四舍五入得到的近似值，则x*y*+的误差限0.55×10-3 。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。
A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。
A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。
A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。
A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。
A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。
A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。
A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。
A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。
A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。
A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。
答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。
答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。
答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。
数值分析试题及答案.
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得分 评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩L得 分 评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---%[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--%所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩%()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=%2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案3. 解()331f x x x=--，()130f=-<，()210f=>()233f x x'=-，()12f x x''=，()2240f=>，故取2x=作初始值迭代公式为()()3111112113133n n nn n nn nf x x xx x xf x x---------=-=-'-()312121()31nnxx--+-或，1,2,...n= 02x=，()3122311.88889321x⨯+==⨯-，()3222 1.8888911.879453 1.888891x⨯+==⨯-210.009440.0001x x-=>()3322 1.8794511.879393 1.879451x⨯+==⨯-，320.000060.0001x x-=<方程的根 1.87939x*≈4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分111dxx+⎰.计算题4.答案4 解梯形公式()()()2bab af x dx f a f b-≈⎡+⎤⎣⎦⎰应用梯形公式得11111[]0.75 121011dxx≈+=+++⎰辛卜生公式为()()()[4()]62bab a a bf x dx f a f f b-+≈++⎰应用辛卜生公式得()() 111010[04()1] 162dx f f fx-+≈++ +⎰1111[4]16101112=+⨯++++25 36 =得 分 评卷人四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其左右相等，得1011123112()02()3A A A h h A A h A A h ---⎧⎪++=⎪--=⎨⎪⎪+=⎩得1113A A h -==，043hA =。
数值分析期末考试复习题及其答案
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限.(4分）解：由已知可知，n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分)解:{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分) ① 写出f(x ）=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时,)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解:①Newton 迭代格式为:xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0，1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛 (8分）解:所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b,其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss —Seidel 迭代格式 （9分)解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式:⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1，2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1，2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f （x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式,使'11'33)(,)(y x H y x H i i == (6分）解:作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+（x+1）-x （x+1）+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表:试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分)解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 (i=0，1，2，3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x （x-1)=442++x x 4分9. 求f （x ）=x 在[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x ， k=2x ,计算得： （m ，m)=dx ⎰-111=0 (m,n ）=dx x ⎰-11=1 （m,k)=dx x ⎰-112=0(n,k ）=dx x ⎰-113=0。
数值分析试题库与答案解析
y1
y0
h( 2
k1
k2)
2 0. 1 ( 0. 5 0. 5 7 1 4 2 9 )
2. 1 0 7 1 4 2 9
33 5 3 解 设3 5 9
5 9 17
1
d1
1 l21 l31
l21 1
d2
1 l32
l31 l32 1
d3
1
利用矩阵乘法可求得
2
5
d1 3 ， d 2 2 ， d3
， l 21 1 ， l31
7. xk 1 xk xk f (xk ) ; 8. x j ; 9. 1 f (xk)
(B) 1;
10. 1 x3
x2
1 x,
f (4) ( )( x 1)x( x 1)(x 2) / 24
6
6
( 1,2)
二、综合题
1．差商表：
1 15
20
1 15
15
20
7
1 15
22
1
42
8
2 57
30
72
2 57
＝
.
5．解初始值问题
y f ( x, y)
的改进的 Euler 方法是
y(x0) y0
阶方法；
5 x1 3 x2 0.1x3 3
6．求解线性代数方程组
2 x1 6 x2 0.7 x3 2 的高斯—塞德尔迭代公式为
，
x1 2 x2 3.5x3 1
若取 x (0) (1, 1,1) , 则 x(1)
.
7．求方程 x f ( x) 根的牛顿迭代格式是
， l 32 2
3
3
解方程组
1
y1
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曲 為 viZk#数值分析复习题、选择题1.3.142和3.141分别作为 的近似、数具有（） 和 （）位有效数字• A . 4 和 3B . 3 和 2C . 3和4D . 4 和 4212 1f x dx-f 1 Af(：) f (2) 2.已知求积公式163 6 ，则 A =()1 1 12A .6B .3C2 D . 3为 2x 2 x 3 0 2x 1 2x 2 3x 3 3A .l o X= 0,l 1为 0B .1。
X 。
= 0,h X1C . l o X o= 1,l 1为 1D .l 0 X= 1I 1 X 1 1f x4.设求方程的根的牛顿法收敛， 则它具有（) 敛速。
3.通过点x o ，yo X l，y i的拉格朗日插值基函数l o x,h x 满足(5.用列主元消元法解线性方程组x ( 3x 2 2作第一次消元后得到的第3个方程（X 2 X 3 22x 2 1.5x 3 3.5C .2x 2 X 3 3 D X 2 0.5X 3 1.5曲為viZk#、填空1.设x2.3149541...,取5位有效数字，则所得的近似值x=2•设一阶差商则二阶差商X1,X2f X1,X2,X3X2X1X2,X3X3X22f(X ) 3x 5, x kkh, k 0,1,2,…,则 f X n , x n 1,X n 2X n ，人 1,x n 2 , x n 3若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 -塞德尔迭代都12•—阶均差 f x 0,x 118•设 X (2, 3,7)T ,则 ||X|13.设 X (2, 3,1)T,则 Mik||X ||4.2 求方程x x 1-25的近似根，用迭代公式x■x 1.25，取初始值沧1，那么X15. 解初始值问题 y' f (x, y)y(x o )Y o近似解的梯形公式是Y k 16、 ，则A 的谱半径；打=7、9、 解常微分方程初值问题的欧拉(Euler )方法的局部截断误差为y 10—10、为了使计算x 1_2(x J? (x的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写11•设 X (2,3, 4)[则IIX 11I|X||213.已知n 3时，科茨系数C 。
31，C13C/ 3，那么C 3314.因为方程2x在区间1,2上满足，所以X 0在区间内有根。
15.取步长h 0-1，用欧拉法解初值问题的计算公式16.设 X 2.40315是真值 X 2.40194的近似值, 位有效数字。
17.对 f(X )x3 x 1,差商 f[Q 1,2,3])。
XnC k n)19•牛顿一柯特斯求积公式的系数和k 020.若a=2.42315是2.42247的近似值，则a 有()位有效数字•2i.lo(x),h(x), ,ln (x)是以0,1, ,n为插值节点的Lagrange 插值基函数，则25、数值计算中主要研究的误差有nl j (x)j 027、 设lj(x)(j0,1,2L n)是区间⑻可上的一组n 次插值基函数。
则插值型求积公式的代数精度为nA jAj型求积公式中求积系数 A j ___________ ；且j 0____ 。
28、 辛普生求积公式具有—次代数精度，其余项表达式为 ______________________________ 。
229、 f (x) x 1,则 f [1,2,3] ________ , f[1,2,3,4] ________ 。
30、 设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则 x*有 _____ 位有效数字。
31设 f(x) x 3x 1 ,则差商(均差)f[0,1,2,3] _________ f[0,1,2,3,4]__32.求方程xf(x)根的牛顿迭代格式是 ____________nil i (x)i().22.设f (x)可微，则求方程xf(x)的牛顿迭代格式是( ).23. (k 1)(k)迭代公式入BX收敛的充要条件是24. 解线性方程组 Ax=b (其中A 非奇异，b 不为0)的迭代格式9x 1 x 28组x 1 5X 24，解此方程组的雅可比迭代格式为(X (k 1) Bx (k)中的B 称为( ).给定方程26、设lj(X )(j0,1,2L n)是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则I j (X i )(i, j0,1,2L n)；3.推导常微分方程的初值问题y' f(x, y)yd 。
) y 。
的数值解公式:(提示：利用Simpson 求积公式。
)X 1 2x 23x3142为 5x 2 2X 3 184.利用矩阵的LU 分解法解方程 组 3X1 X 2 5X 3 200,0,0，应用雅可比迭代公式、高斯—塞德尔迭代公式分别计算7.用牛顿法求方程x 3 3x 1 0在1,2之间的近似根(1 )请指出为什么初值应取 2? ( 2)请用牛顿法求出近似根，精确到 0.0001.33•已知1 23 4则州 三、计算题3 f(x) x , x °1•设 1 彳 9,x 1I x 24 419(1)试求f X 在4 1 4上的三次Hermite 插值多项式 x使满足34.方程求根的二分法的局限性是 _________H(X j ) f(X j ), j 0,1,2,…H (xj f(xd (2)写出余项R (x ) f (x) H (x)的表达式以升幕形式给出。
2.已知 鈕右- 3 < 1眼E 满足 八'，试问如何利用八"构造一个收敛的简单迭代函数-0, 1…收敛?y5.已知函数 Y n 1 y n 1 -(y n 1 4y n 『n 1)求分段线性插值函数，并计算f匸5的近似值.10x-| x2 2x37.2x-i 10x2 2x38.36.已知线性方程组x-i x2 5x3 4.2(1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；( 于初始值1X (保留小数点后五位数字)X8.写出梯形公式和辛卜生公式, 并用来分别计算积分 1丄dx1 X9 •用二次拉格朗日插值多项式 L 2(X )计算 sin 0.34 的值。
插值节点和相应的函数值是（ 0，0），(0.30，0.2955),( 0.40，0.3894)。
10.用二分法求方程f （x ） X 0在 HO 1.5］区间内的一个根，误差限102。
11.用高斯-塞德尔方法解方程组 4X 1 2X 2 X 311 X 1 4X 2 2x 318 2X 1 X 2 5X 322（°） /c c c\T，取x（0,0,0），迭代三次（要求按五位有效数字计算）.。
12求系数A , A 2和A 3,使求积公式1 1f(x)dx A 1f( 1) 1A 2f( 3)1 AJ （丄）对于次数2的一切多项式都精确成立3X 1 2X 2 10X 3 1510X 1 4X 2 X 3 513. 对方程组 2X 1 10X 2 4X 3 8试建立一种收敛的 Seidel 迭代公式，说明理由1 f(x)dxAf ( 0.5) Bf (X 1) Cf (0.5)宀14. 确疋求积公式 1的待定参数，使其代数精度尽量高, 数精度.y 3X 2y 0 X 1 15.设初值问题 并确定其代.（1） 写出用Euler 方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式; y （o ）1（2）写出用改进的 Euler 法（梯形法）、步长 h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解 y 1, y 2,保留两位小数。
16.取节点X 。
0, X 1 0・5, X 2 1，求函数y e X 在区间［°,1］上的二次插值多项式P 2（X ），并估计误差。
17、已知函数y f （x ）的相关数据屈 P （-）由牛顿插值公式求三次插值多项式^（刈，并计算2的近似值。
曲 為 viZk#3x 3 1515y y x 1,18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h°」,y （°）1.-12 4 5451（1）用拉格朗日插法求f （x ）的三次插值多项式；（2）求X ,使f （x ） 0确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度轨-h ）+珈（可）1+評1亠評12x 1 3x 2 18为 3x 23%x-! x 2 x ；3 619.确定求积公式hhf(x)dx A °f( h) Af(0) AJ(h)o2% 3x 2 4X 3 6,3为 5x 2 2x 3 5, 求它的拟合曲线（直线）。
用列主元消去法解线性方程组4为 3x 2 30x 3 3222.已知20、已知一组试验数据如下 11•试求x1，X 2使求积公式1 f (x)3[ f (1) 2f(xJ 3仏)]的代数精度尽量高，并求其代数精度。
•取步长h=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题2x 5yy(1) 1y'(1 x 2)x (0,0.6)。
123 45445 6 8S.5.用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵 A 的行列式detA 的值.中待定参数 A 的值（i °，1,2），使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度24、用Gauss 消去法求解北 為 viZmf-用牛顿（切线），3o1求形如y a —bx 拟合函数。
30、用二次拉格朗日插值多项式L 2（X ）计算sin°.34。
插值节点和相应的函数值如下表。
31、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长h 0.232、讨论用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组 Ax=b 的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。
其中30 2 A 0 2 1 2 12简述题：叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么?y y x,y(0) 1.x (0,0.8)。
曲 為 viZk#1数值分析复习题答案、选择题 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 、填空 1、2.3150 2、 f X 2,X 3f X 1,X 2 532 11 X 3X 14 16f 冷冷乂彳 3、6 和 144、1.5y k5、 X k 』k f X k 1, yk 1 6、(A).67、23,fy 10 (x 1)f x 0 f x 1111. 9 和 29 ; 12.怡 X113. 8收8、Xn, X n 1 ,Xn0 ； Xn,人 1, X n 2 , X n30.1y k1 y k 1.1- 21 0.1k 一 f 1 f2 0 y 0 114. 15.X n f (X n )X n 1 X n21.x ； 22. 1 f (X n )； 23. (B) 1 ; 24、 敛 9、 10、 b ,k 0,1,2L;16、3 ；17、 1；18、 7;19、1 ; 20. 3k 1 X 1£(8 x 2k))k 1 X 2 £(4 xH迭代矩阵， 5 ;25.相对误差 绝对误差1, i j, 26 . 0, i j 1； 27.至少是 n l k (x)dx b-a ；28. 3 b a 180 (b f (4)( ), (a,b)；29. 1 0 ； 30、X n 14； 31、1，0； 32、 X n f(X n ) 1fg ； 33、 7, 6 ； 34、收敛速度慢，不能求偶重根。