向量法证明不等式(完整版)
向量模长不等式
向量模长不等式引言向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于多个领域。
向量的模长是指向量的长度或大小，它在向量运算和几何中起到重要的作用。
本文将围绕向量模长不等式展开讨论，探讨向量模长不等式在数学和物理中的应用。
向量模长定义和性质向量的模长（或向量的长度）是向量的起点到终点的距离，用 |v| 表示。
向量的模长可以是非负实数，永远不会是负数。
对于一个向量 v = (x, y, z)，其模长的计算公式如下：|v| = √(x^2 + y^2 + z^2)向量的模长具有以下性质： - 如果一个向量的模长等于零，则该向量为零向量。
- 如果两个向量的模长相等，则这两个向量相等。
- 如果一个向量的模长为 1，则称其为单位向量。
向量模长不等式的证明方法向量模长不等式是指两个向量的模长之间的关系。
在证明向量模长不等式时，一般可以使用以下方法： 1. 代数法：通过对向量进行数学运算，使用代数形式证明不等式的成立。
2. 几何法：通过几何图形的分析，探索向量模长的几何性质，从而得出不等式的成立。
3. 向量法：将不等式转换成向量的形式，通过向量运算和性质的推导，证明不等式的成立。
向量模长不等式的应用向量模长不等式在数学和物理中有广泛的应用。
以下是其中的一些应用场景：1. 空间几何中的应用在空间几何中，向量模长不等式可以用于判断三角形的形状。
根据向量的模长不等式，可以得到以下结论： - 如果一个三角形的某两边之和小于第三边的长度，则该三角形不成立。
- 如果一个三角形的某两边之和等于第三边的长度，则该三角形是一个等腰三角形。
- 如果一个三角形的某两边之和大于第三边的长度，则该三角形是一个锐角三角形。
2. 向量运算中的应用向量模长不等式在向量的加法和减法中有重要的应用。
根据向量的模长不等式，可以得出以下结论： - 两个向量之和的模长不会大于两个向量模长之和。
- 两个向量之差的模长不会小于两个向量模长之差。
3. 物理学中的应用向量模长不等式在物理学中也有广泛的应用。
柯西不等式向量形式证明
柯西不等式向量形式证明对于n维实（或复）向量空间V中的任意两个向量某和y，有：某⋅y，≤，某，，y。
其中，某⋅y表示某和y的内积，某，和，y，分别表示向量某和y的范数。
接下来，我将证明这一不等式的向量形式。
证明：1. 首先，我们知道任意向量某都可以表示为实数λ1, λ2, ..., λn与向量基v1, v2, ..., vn的线性组合。
也即某= λ1v1 + λ2v2 + ... + λnvn2.类似地，向量y可以表示为实数μ1,μ2,...,μn与同一组向量基的线性组合。
也即y = μ1v1 + μ2v2 + ... + μnvn3.利用内积的双线性性质，我们可以展开某⋅y为：某⋅y = (λ1v1 + λ2v2 + ... + λnvn)⋅(μ1v1 + μ2v2 + ... + μnvn)= λ1μ1(v1⋅v1) + λ1μ2(v1⋅v2) + ... + λnμn(vn⋅vn)= ∑∑λiμj(vi⋅vj)4. 由于内积的对称性，即vi⋅vj = vj⋅vi，上式可以简化为：某⋅y = ∑∑λiμj(vi⋅vj)= ∑∑λjμi(vj⋅vi)5. 对于任意的实数λj和μi，不等式，λjμi(vj⋅vi)，≤ ，λjμi，vi，vj，始终成立。
将其代入上式可得：某⋅y，= ∑∑，λjμi(vj⋅vi)。
≤ ∑∑，λjμi，vi，vj。
= (∑λj^2，vi，vj，)^(1/2) (∑μi^2，vi，vj，)^(1/2)6. 基于向量范数的定义，某，^2和，y，^2可分别表示为∑λj^2，vi，vj，和∑μi^2，vi，vj。
因此，上式进一步化简为：某⋅y，≤ (∑λj^2，vi，vj，)^(1/2) (∑μi^2，vi，vj，)^(1/2) =，某，，y。
综上所述，柯西不等式的向量形式得证。
证明三角不等式
证明三角不等式三角不等式是数学中一条基本不等式，通常用于比较三边长度之间的大小关系。
其表述为：对于任意三角形ABC，有AB+BC>AC，AC+BC>AB，AB+AC>BC。
证明三角不等式可以采用多种方法，其中一种常见的方法是利用向量的性质。
假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)和C(x3,y3)，则向量AB可以表示为v1=(x2-x1, y2-y1)，向量AC可以表示为v2=(x3-x1, y3-y1)。
根据向量的加法，有v1+v2=(x3-x1+x2-x1, y3-y1+y2-y1)=(x3-x2, y3-y2)。
因此，向量v1和v2的和指向了点B和C之间的向量。
根据向量的模长，有AB=|v1|，AC=|v2|，BC=|v1+v2|。
利用向量的余弦定理，可得：cos∠BAC = (v1 v2) / (|v1| |v2|)cos∠ABC = ((-v1) (v1+v2)) / (|v1| |v1+v2|)cos∠ACB = ((-v2) (v1+v2)) / (|v2| |v1+v2|) 其中，表示向量的点积。
由于余弦函数在[0,π]上单调递减，可得：∠BAC < ∠ABC,∠ACBcos∠BAC > cos∠ABC,cos∠ACB将上面的式子代入，则有：AB/AC = |v1|/|v2| = sin∠ACB/sin∠BAC < sin∠ABC/sin∠BAC = BC/ABAC/BC = |v2|/|v1+v2| = sin∠ABC/sin∠ACB < sin∠ABC/sin ∠BAC = AB/BCBC/AB = |v1+v2|/|v1| = sin∠BAC/sin∠ACB < sin∠ABC/sin ∠ACB = AC/BC由于sin函数在[0,π]上单调递增，因此可以得到：sin∠BAC < sin∠ABC, sin∠ACBsin∠ACB < sin∠BAC, sin∠ABCsin∠ABC < sin∠BAC, sin∠ACB将上述结论代入，即可得到三角不等式：AB+BC > ACAC+BC > ABAB+AC > BC证毕。
向量在不等式证明中的应用
这个不等式说明了，向量的模长是非负的。
矩阵不等式指的是对于任意的矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，有：
$$|\mathbf{A} \mathbf{B}| \leq |\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{B}|$$
这个不等式说明了，在将向量看做矩阵的一种情况下，矩阵的乘积的模长是小于等于矩阵的模长的乘
当然，在证明不等式时还有很多其他的技巧和方法。比如，可以利用数学归纳法证明某些结论对于所有的正整数都成立。也可以利用数学归纳法证明某些结论对于所有的自然数都成立。
向量在不等式证明中的应用
向量在不等式证明中经常被用到。在数学中，向量是一种线性代数中的数据类型，可以表示空间中的一个点，也可以表示空间中的一个方向和大小。
在证明不等式时，通常会用到向量的几何意义，即表示空间中的点或方向。通常会用到的不等式有三角不等式，奇偶性不等式，以及把向量看做矩阵的乘积时用到的矩阵不等式。
三角不等式指的是对于任意三个向量$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, 和 $\mathbf{c}$，有：
$$|\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$$
这个不等式说明了，向量的模长是可以相加的。
奇偶性不等式指的是对于任意的向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，有：
向量解决不等式
向量解决不等式
向量在解决不等式问题时，主要用途是作为连接不同问题之间的桥梁，或者作为创造新的解题方法的工具。
以下是一个使用向量来解决不等式问题的简单例子。
例题：设a, b, c, d是实数，且a²+ b²= c²+ d²。
我们需要证明：ac + bd ≥√(a²+ b²) * √(c²+ d²)。
证明：为了证明这个不等式，我们可以构造两个向量并用向量的点积来进行证明。
设向量A = (a, b)，向量B = (c, d)。
根据向量点积的定义，向量A与向量B的点积为a*c + b*d。
由于$a^2 + b^2 = c^2 + d^2$，根据向量的模长公式，我们可以得到向量A 的模为√(a²+ b²)，向量B的模为√(c²+ d²)。
根据向量点积的性质，当两个向量的模长确定时，它们的点积取得最大值当且仅当这两个向量是共线的，并且它们的方向相同。
因此，向量A与向量B的点积不大于√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2)。
整理上述不等式，我们可以得到ac + bd ≥√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d²)。
因此，我们证明了给定的不等式。
向量法证明不等式(精选多篇)
向量法证明不等式(精选多篇)第一篇：向量法证明不等式向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈r，i=1，…，n)规定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即例1设a，b，c∈r+，求证：(a+b+c)≤++≤.证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，则由综上，原不等式成立.点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.作单位向量j⊥acj(ac+cb)=jabjac+jcb=jabjcb=jab|cb|cos(π/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)即|cb|sinc=|ab|sinaa/sina=c/sinc其余边同理在三角形abc平面上做一单位向量i,i⊥bc,因为ba+ac+cb=0恒成立，两边乘以i 得i*ba+i*ac=0①根据向量内积定义，i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。
向量三角形不等式
向量三角形不等式嘿，你们知道吗？我觉得向量三角形不等式这个东西可有意思啦！有一天呀，我在数学课上听到老师讲向量三角形不等式。
一开始我还不太懂呢，但是老师给我们举了个很有趣的例子。
就像我们玩拼图游戏一样，假设有三个小拼图块，分别代表三个向量。
我们把它们拼在一起，要拼成一个三角形哦。
老师说呀，这个向量三角形不等式就是告诉我们，三角形的两边之和一定是大于第三边的哦。
比如说，有个向量 A 就像一个小箭头，从这里指向那里，它的长度是 3 厘米。
还有个向量 B 呢，它的长度是 4 厘米。
那么当我们把这两个向量首尾相接的时候，它们组成的这条边和另外一个向量 C 相比，就有个规律啦。
向量 A 和向量 B 组成的这条边的长度肯定要比向量 C 的长度大哦，不然这个三角形就拼不起来啦，就像我们拼图的时候，如果一块太大，另外两块太小，就没法拼成一个完整的三角形啦。
我就想呀，这个向量三角形不等式在生活中也有很多例子呢。
比如说我们走路去学校，从家到商店是一段路，就像一个向量，从商店到学校又是一段路，也是一个向量。
那么我们从家直接到学校的这条路，就相当于三角形的第三条边。
我们都知道，我们走家到商店再到学校的路程肯定是要比直接从家到学校的路程长的呀，这就是向量三角形不等式在生活中的体现呢。
还有哦，我们搭积木的时候也能发现。
假如有三根小木棍，我们把它们当成向量。
当我们把两根小木棍接起来和第三根小木棍比较的时候，也会发现接起来的那两根加起来要比第三根长，不然就搭不成一个三角形的架子啦。
我觉得学习向量三角形不等式虽然一开始有点难理解，但是通过这些有趣的例子，我就慢慢明白啦。
它就像一个小秘密，等着我们去发现它在生活中的各种用处呢。
我以后还要继续学习更多关于向量的知识，看看它还能给我带来哪些惊喜。
你们说，向量是不是很有趣呀？说不定我们以后还能发现更多它的好玩之处呢！怎么样，大家有没有对向量三角形不等式有点了解啦？我们可以一起讨论哦，看看谁还能找到更多关于它的例子呢！嘻嘻。
Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用
Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用摘要:Cauchy-Schwarz不等式有多种证明方法而且应用广泛.本文归纳了几种Cauchy-Schwarz不等式的典型证明方法,并探讨了Cauchy-Schwarz不等式的应用.关键词:Cauchy-Schwarz不等式;向量空间;内积一、Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法1.第一种证明方法定理1对任意的向量α,β有|(α,β)|≤|α||β|.当且仅当α,β线性相关时,等号才成立.证明当β=0时,不等式成立.设β≠0.令t是一个实变数,作向量γ=α+tβ.不论t取何值,一定有(γ,γ)=(α+tβ,α+tβ)≥0.即(α,α)+2(α,β)t+(β,β)t2≥0(1)取t=.代入(1)式,得(α,α)-≥0,即(α,β)2≤(α,α)(β,β).两边开方便得|(α,β)|≤|α||β|.当α,β线性相关时,等号显然成立.反过来,如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或者β=0,或者α-β=0,也就是说α,β线性相关.2.第二种证明方法引理:设V是欧氏空间,ξ,η是V的单位向量,那么,|(ξ,η)|≤1.证明ξ,η既是单位向量,则有(ξ,ξ)=1,(η,η)=1,而|ξ,η|2≥0,即|ξ,η|2=(ξ-η,ξ-η)=(ξ,ξ)+(η,η)-2(ξ,η)=2-2(ξ,η)≥0所以,(ξ,η)≤1;又|ξ,η|2≥0,即|ξ,η|2=(ξ+η,ξ+η)=(ξ,ξ)+(η,η)+2(ξ,η)=2-2(ξ,η)≥0所以,(ξ,η)≥-1.总之,|ξ,η|≤1.定理2设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等号成立当且仅当α,β线性相关.证明10若α,β中有一个是零向量,则结论显然成立;20设α,β都不为零,今将α,β单位化,令ξ=,η=,则由引理.知|(ξ,η)| ≤1,而(α,β)=(|α|ξ,|β|η)=|α||β|(ξ,η)所以,|(α,β)|≤|α||β|(ξ,η)≤1.再设ξ与η的夹角为θ,则θ的余弦为cosθ==(ξ,η)由此可知,|(α,β)| ≤|α||β|(ξ,η)=1cosθ=±1≤1ξ=±η,此即知α与β线性相关.3.第三种证明方法定理3设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等号成立当且仅当α,β线性相关.证明x1,x2∈R取,则(x1α+x2 β,x1α+ x2 β)≥0,即(α,α)x12+2(α,β)x1x2+(β,β)x22≥0,而此式左端恰为关于x1,x2的半正定二次型,故其矩阵的行列式≥0,即(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)≥0则得|(α,β)|≤|α|| β|,且等号成立(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)=0α,β线性相关.二、Cauchy-Schwarz不等式的应用Cauchy-Schwarz不等式在不同的空间对应着不同的形式,下面是它在不同空间上的几种变形.母不等式:设V是欧氏空间,若ξ,η∈V,则(ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)(2)上式等号成立的充要条件是ξ,η线性相关.变形一:取V=Rn,令ξ=(a1,a2,…,an),η=(b1,b2,…,bn)则有(a1b1+…+anbn)≤(a12+a22+…+an2) (b12+b12+…+bn2)(3)等号成立的充要条件bi=cai(i=1,2,…n),c是为常数.变形二:取V是定义在[a,b]上一切连续实函数所构成的实线性空间,设f(x), g(x)∈V,则有[f(x)g(x)dx]2≤f 2(x)dxg2(x)dx(4)变形三:取V 为概率空间,对任意属于V 的随机变量ξ与η都有|Eξη|2 ≤Eξ2Eη2(5)等号成立的充要条件是P(η=t0 ξ)=1,t0是某一常数.例1若x1,x2,…,xn均为正数则有(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2(6)证明由(2)式令a1=,a2=,…,an=.b1=,b2=,…,bn=,则有(•+•+…+•)2=n2.而(++…+)(++…+)=(x1+x2+…+xn)(++…+)所以(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2.显然等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.例2已知a、b、c、x、y、z都是实数,并且a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=1求证:|ax+by+cz|≤1.证明由不等式(3)有(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)所以,|ax+by+cz|2≤1,即|ax+by+cz|≤1.例3当2x+4y=1时,求证x2+y2≥.证明由不等式(3)有(2x+4y)2≤(22+42)(x2+y2),所以1≤20(x2+y2)所以(x2+y2)≥例4已知a、b、c为正数,求证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.证明由不等式(3)有(ab+bc+ca)2≤(a2+b2+c2)(b2+c2+a2),即(ab+bc+ca)2≤(a2+b2+c2)2.因为a、b、c为正数,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.例5设ai≥0,i=1,2,…,n,则ai≤(ai2),且等号成立的充要条件是a1=a2=…=an.证明设二维离散型随机变量ξ,η的联合概率分布为P(ξ=xi,η=yi)=P(ξ=xj,η=yj)=0 (i≠j)i=1,2,…,n;j=1,2,…,n则ξ、η的边际概率分布分别为Pξ(ξ=xi)=,Pη(η=yj)=令xi=ai≥0,yj=1有Eξη=ai•=•aiEξ2=ai2•=•ai2Eη2=yi•=1=1由不等式(5)有(ai)2≤ai2且等号成立的充要条件是==…= 开方得ai≤(ai2)且等号成立的充要条件是a1=a2=…=an.例6设a、x、y是同时大于1(或小于1)的正数,且logaxyj=9,求证:logxa+logya+logja≥1.证明左边=++.由不等式(6)有(loga.x+loga y+loga j)(++)≥j2即logaxyj•(++)≥9.有已知logaxyj≥9所以(++)≥1即logxa+logya+logja≥1例7设a>0,b>0,且a+b=1,求证(a+)2+(b+)2≥.证明由不等式(7)有≥所以≥所以(a+)2+(b+)2≥.又因为(a-b)2≥0,所以a2+b2-2ab≥0.所以(a+b)2-4ab≥0.所以1-4ab≥0.所以ab≤.所以(a+)2+(b+)2≥=例8设α,β是欧氏空间V中的向量,则有|α|-|β|≤|α±β|≤|α|+|β|.证明由Cauchy-Schwarz不等式得-|α||β|≤(α,β)≤|α||β|,|α|2+|β|2-2|α||β|≤|α|2+|β|2+2|(α,β)|≤|α|2+|β|2+2|α||β|,则(|α|-|β|)2≤(α±β,α±β)≤(|α|+|β|)2,即得|α|-|β|≤|α±β|≤|α|+|β|例9设有n阶实对称矩阵A,若A≥0,则有trA≥0和(trA)E ≥A.证明因为A≥0,所以A半正定,故存在n阶矩阵Q=q11…q1n………qn1…qnn=a1…an其中a1=(qi1,…,qin)是第i个行向量(i=1,2,…,n),使得A=Q'Q于是trA=tr(Q'Q)=||Q||F2≥0.又n维列向量X=(x1,…,xn)∈Rn,有X'AX=X'Q'QX=(QX)'(QX)=||QX||22于是QX=q11x1+…+q1nxn ………qn1x1+…+qnnxn=(a1,X)…(an,X)由Cauchy-Schwarz不等式知,|(ai,X)|≤||ai||2||X||2所以||QX||22=|(ai,X)|≤(||ai||22)||X||22=||QX||F2||X||22即||QX||22≤||QX||F2||X||22=(trA)||X||22=(trA)X'X 从而X'AX≤(trA)X'X=X'(trA)EX故有(trA)E≥A.Cauchy-Schwarz不等式应用非常广泛,利用Cauchy-Schwarz不等式可以解决一些复杂不等式的证明.(作者单位:湖南女子职业大学)。
“向量法”解不等式探析
【 关键 词 】 等 式 ； 不 向量 ； 造 ； 形 构 变
一
由性 质 Ｉｌ・ｌ ≤ Ｉ Ｉ ・Ｉ Ｉ ，Ｉ Ｊ ， ｍ ， Ｊ ｌ 得 ３ ＋Ｙ ）≥１ （ ＋ ． ２ ．变 形 构 造 先 对 要 证 不 等 式 进 行 重 新 “塑 造 ”， 要 是 通 过 对 所 证 主
＋ ≤． 、ｂ １ ２ ｌ＋
设 ０ ， ２ ｎ ， ４∈ Ｒ，求 证 ： １４ ＋ ａ ａ １口 ，３ Ⅱ Ⅱｎ ２ ３≤
代 人 不 等 式 Ｉｌ ，Ｉ≤ Ｉ Ｉ ・Ｉ Ｉ 整 理 即得 ・ｌ Ｊ ， 小 Ｊ ｌ
学 ４２
需
・ 孵
．
【 考文 献 】 参 ［］ １ 刘海 燕． 用 微 分 学 证 明 不 等 武 ［ ］ 牡 丹 教 育 学 院 利 Ｊ．
＋ ≥ ＋
构 造恰 当 的 向量 ． 者 经 过 多 年 精 心 总 结 ， 括 出 以 下 两 种 笔 概
方法： １ ．直接 构 造 直 接构 造 出 ａ・ ６或 Ｉ ｂｌ ｌ 西ｌ 不 等 式 的 一 ａ・ 或 ａ・ ２为
如 ０ ａ 故 原 不 等式 成立 ．
１ ＝ ２ Ｉ ＝ 口＋ １＝ ２， 卅ｌ √ ，ｎＩ ｂ＋ √
由性 质 ｍ ・ ≤ ｌｌ ・Ｉ ｌ得 ｎ ， Ｊｌ Ｊ ， ｌ
１
。 ＋
故需（ 只证 ） 而 （ ）
・
．
．
３ １＋２ ＋４ （ ８ ）＞（ １十２ ＋４ 。 ， ）
构 造 向量 Ｊ ＝（ ， ， ） ， ＝（ ， ， ） ， ｌ １２ ４。 ， ｌ １１１ ，
数 学 学 习与 研 究 ２ １． ００ ３
例 ５ 设 厂 ）＝ｌ 十 （ ｇ 一 求 证 ： ≠０时 ，厂 当 ２（ ）＜ （ ｘ ． ，２ ） （ Ⅱ∈Ｒ） 其 中 ０＜ ≤ １ 口 ，
用向量方法解决不等式
线 ，均 可与 ｌＡ台ｌ ＩＡｅｌ构成 三角形的三边 ，而三角形的三边性 质有 ，两边之和大 于第 三边 、两边 之差 小 于第 三边．取 等条 件是 ，三角形 退化 为 三点 在一 条 直 线 上 ，即 任意 俩 向量 平 行 时 ．
第一类题型 ，其实就是从 向量 角度考 虑的柯 西不等 式 ， 柯 西 不 等 式 的题 型 种 类 繁 多 ，有 整 式 形 、分 式 型 、无 理 式 型 、 参数型等等 ，但无 论怎 么变形 ，都 是 考虑 如何 构造 向量 ，然 后 利 用 公 式 ．
例 １ 整 式 型
已知 ｛ Ｌ ＋ ；三 ＋ 墨 ｉ三 ＝ｌ，求 ＋），＋ｚ的
即（ ＋ ＋ ）≥
≥
＝寻．
例 ４ 无 理 型
已知 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，且 均为 正数 ，求 ，／３ａ＋１＋ ６＋１＋
３ｃ＋１的最 大 值 ．
解 构 造 向量 Ａ（ Ⅱ＋１， ６＋１
＋
） ≤ ＩＡｌ ·
ＩＢＩ ＝（３口＋１＋３６＋１＋３ｃ＋１）（１＋１＋１）＝６ Ｘ３＝１８，
已知 ｎ＇ｂ，ｃＥＲ¨证 明 Ⅱ＋Ｄ ＋ ０ 十 Ｃ ＋ Ｃ十０ ≥÷．
＝ （Ⅱ＋ｂ＋ｃ） ＋（Ｉ＋２＋３） ＝ ７．
例 ６ 求 ＋ｌ６＋ （ 一４） ＋３６的最 小 值 ． 解 此题 可 以 化 为
（ 一０） ＋（０±４） ＋ｊ（ｘ一４） ＋（０±６）２．
因 此 ，可 以看 成 是 一 个 动 点 Ａ（ ，０）到 两 个 定 点 Ｂ（０， ±４），Ｃ（４，４－６）的最 小 距 离 ．
即 三 角 形 ＡＢＣ 中 ，边 长 ＢＣ为 定 长 ，另 外 两 边 的 最 短 距 离 ，取等时 Ｃ在 ＡＢ上 ，且 Ａ与 在动点 Ｃ的轨迹两侧．
向量法证明不等式的不二选择
、 ／
≤
．
丽
： Ｖ
、 。 ／ 、 ／
… ） ＋ …＋ ）６＋ ； …＋ ： ． ≤（ ＋ （ ６＋ ６ ）
… ・
ｎｂ ｌＩＩｌ Ｓ ， ・ ａ・ Ｃ ￣［＞ － ＿ ６ Ｏ
由上 ，我们 就可 以利用 向量模 的和 与和向量 的模 的不
（ｌ１ ２ ａｂ＋ ６ ｎ … ｌ ） ＋ …＋ （ ６十 ６ ） ６ ≤（ ＋ ）６＋ ； …＋ ：． 当且 仅当 ｂ
２
＝ …
ａ 时等号成立・ 柯西 不等式 ） ｎ （
证明： 令ｍ＝ Ⅱ， … ，ｎ，＝ ６，２… ， ， （ｌ 啦， ａ）， （１ ， ｂ） ｌ ｂ
即（ｌ１ ａｂ＋
等号成 立 当且仅 当ｍ与， 线 ， ｌ 共 即
等式及数量积 的不等式建立 一系列ｎ 不等式 ，进 而构造ｎ 元
维向量来证 明其他 不等式． 点评 ：由此可 以发现柯 西不等 式所能证 明的不等式都
可 以通 过 构 造 向量 来证 明 ．
利用向量模的和与和向量的模的不等式（ ｌ Ｉ 即 ｍ。 ＋ Ｉ２ …＋ｍ ｌ ｍｌ ２…堋 ） ｍ ｌ ｌ ≥Ｉ 棚 ＋ ＋ Ｉ
斗
血
、 ／
＋ 、
≤、 、 ／ ／
．
证 明 ： 证 左 边 ， ＝ ０ｂ ， （ ，）ｐ （ ，） 先 设埘 （， ）肛 ６ ｃ ，： ｃ ａ ，
｝｝ ＋．
证 ： ｎｎｌｂ ＝， ｃ， 明 … １ｓ＝ａ １ ｝故 ＝ Ｓ ｉ 。 ｃ ｌ ６ｃ ＝
则 只 需证 ＋ ＋ ＜ ＋ ＋ ． ｂ ｃ ∞ 曲 ａ ｂ Ｃ
肛（ ， ， ， … ） ．
３且仅 当Ｊ与， ， ｌ ｌ 共线 ， 等号成 立 ， 即
怎样用向量方法解决不等式问题
又由 b c a 及 0, 0 得
a 2a , (b c ) a ( )(a b c )
同理可得
b 2b , (c a) b ( )(a b c) c 2c , (a b) c ( )(a b c)
普○ 通○ 高○ 中○ 课○ 程○ 标○ 准○ 校○ 本○ 教○ 材 ○
解读《不等式选讲》
第三章
怎样用向量方法解决不等式问题
有些不等式证明问题若按常规的证不等式的思想，则很难处理或者是 论证过程很冗长，若运用向量来处理此类问题，则问题变得很容易，解答 过程也非常简洁.运用向量证明不等式主要是运用向量中的两个重要不等 式，即|m|-|n|≤|m n|≤|m|+|n|和 m n ≤|m| |n| (m n) ≤ |m| |n| .下面谈谈向量法在不等式证明及在求最值中的应用.
a b c 1 1 1 2 2 ......（1） 2 b c a a b c
【例 10】设 a, b, c R ，求证：
（ 《中等数学》2002 年 1 期数学奥林匹克问题高 110）. 证明：构造向量 m
2
a b c 1 1 1 , , , n b , c , a , a b c
将上述三个不等式相加，得
a b c 2 . (b c ) a (c a ) b (a b) c
于是原不等式得证. 变题 1：在不等式（5）中，若取 1, 0 ，即得([荷兰]O.Bottema 等著， 《几何不等式》 ， 北京大学出版社)
【例 3】已知 a, b, c, d 都是实数，且 a 2 b 2 1, c 2 d 2 1 ， 求证： ac bd 1. 证明：设 m a, b , n c, d , 则|m|
利用初等数学的方法证明schwarz不等式
利用初等数学的方法证明schwarz不等式Schwarz不等式是一种经典的数学不等式，它描述了两个向量内积的上限，并且在数学和物理学中有着广泛的应用。
在本文中，我们将使用初等数学的方法来证明Schwarz不等式。
首先，我们定义两个向量a和b，它们的长度分别为|a|和|b|。
那么它们的内积可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a和b之间的夹角。
我们将证明，对于任意向量a和b，有如下不等式成立： |a·b| ≤ |a||b|为了证明这个不等式，我们可以使用平面几何中的投影方法。
具体地，我们可以将向量b投影到与向量a垂直的方向上，得到一个新的向量b'。
然后，我们将a和b'的长度相乘，得到一个数c=|a||b'|cos θ'，其中θ'是a和b'之间的夹角。
由于b'是b在a方向上的投影，所以θ'是b和a之间的夹角。
因此，我们有：a·b = |a||b|cosθ = |a||b' cosθ'| = c现在，我们来考虑|a·b|和|a||b|之间的关系。
由于|cosθ'| ≤1，所以c ≤ |a||b'|。
又因为|b'|是b在a方向上的投影，所以它小于或等于|b|。
因此，我们有：c = |a||b'|cosθ' ≤ |a||b|cosθ = |a·b|这样，我们就证明了Schwarz不等式。
它可以被解释为，两个向量内积的绝对值不大于这两个向量长度的乘积。
这个不等式在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在向量分析、波动论、量子力学等领域中都有着重要的地位。
向量绝对值不等式-概述说明以及解释
向量绝对值不等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在引言部分，我们将介绍向量绝对值不等式的概念和相关性质。
向量绝对值不等式在数学中是一个重要的不等式类型，它在解决许多实际问题和数学证明中起着重要的作用。
向量绝对值是指一个向量中的元素的绝对值的总和。
对于一个n维向量v=(v1,v2,...,vn)，其绝对值记作v ，定义为：v = v1 + v2 + ... + vn在本文中，我们将研究向量绝对值的性质及其应用。
首先，我们将介绍向量绝对值的定义，并探讨其在向量运算中的基本性质。
然后，我们将重点研究向量绝对值不等式，包括它的证明方法和应用场景。
通过研究向量绝对值不等式，我们可以解决一些数学问题，例如优化问题、约束条件问题等。
此外，在物理学、经济学、计算机科学等领域中，向量绝对值不等式也有广泛的应用。
本文旨在通过介绍向量绝对值不等式的概念和性质，让读者对该不等式有一个清晰的理解。
通过学习和应用向量绝对值不等式，读者可以提升数学建模和问题求解的能力，同时为自己的学术研究和职业发展打下坚实的基础。
接下来的章节将详细介绍向量绝对值的定义与性质，以及向量绝对值不等式的证明方法和应用。
最后，我们将对本文进行总结，并展望向量绝对值不等式在未来的研究和应用方向。
希望本文能够对读者理解和掌握向量绝对值不等式有所帮助，并为相关领域的研究和实践提供一定的指导和启示。
文章结构部分的内容应该包括对整个文章的结构安排进行说明，以便读者了解整篇文章的内容框架和逻辑顺序。
在文章结构部分，可以简要介绍各个章节的主题和内容，让读者对文章的组织和大致内容有所了解。
下面是对文章1.2 文章结构部分内容的一个可能的描述：「文章结构」部分将会对整篇文章的组成进行介绍。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
其中引言部分将概述本文的研究背景和目的，并简要介绍全文的结构。
正文部分将分为两个小节，分别讨论向量绝对值的定义与性质，以及向量绝对值不等式的证明与应用。
向量形式的基本不等式
也可以由实数型的基本不等式得到：ａ２＋ｂ２＝
｜ａ｜２＋｜ｂ｜２≥２｜ａ｜｜ｂ｜≥２ａ·ｂ． 我们权且称不 等 式 （＊）为 向 量 基 本 不 等 式，
类比基本不等式的变式可得向量基本不等式的几
种变式：
（１）２（ａ２＋ｂ２）≥（ａ＋ｂ）２ （２）ａ２＋ｂ２≥－２ａ·ｂ （３）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ （４）（ａ－ｂ）２≥－４ａｂ
Ｓｍｉｎ 表示Ｓ 所有可能取值中的最小值．则下列命题
正确的是
（写出所有正确命题的编号）．
①Ｓ 有５个不同的值；
②若ａ ⊥ｂ，则Ｓｍｉｎ与｜ａ｜无关； ③若ａ∥ｂ，则Ｓｍｉｎ与｜ｂ｜无关； ④若｜ｂ｜＞４｜ａ｜，则Ｓｍｉｎ＞０； ⑤若｜ｂ｜＝２｜ａ｜，Ｓｍｉｎ＝８｜ａ｜２，则ａ 与ｂ 的夹角
为π４ ．
趣的是，将 基 本 不 等 式 中 的 实 数ａ、ｂ 类 比 为 向 量
ａ、ｂ，也 有 向 量 形 式 下 的 基 本 不 等 式 成 立 ：ａ２ ＋ｂ２ ≥
２ａ·ｂ
（＊）
事实上，由（ａ－ｂ）２＝｜ａ－ｂ｜２≥０，展 开 得ａ２
－２ａｂ＋ｂ２≥０，移 项 得ａ２＋ｂ２≥２ａ·ｂ，等 号 成 立 当
且仅当向 量ａ 与ｂ 相 等 ．
＞ａ２＋ｂ２＋２ａ·ｂ＞４ａ·ｂ．所以Ｓｍｉｎ ＝４ａ·ｂ． 记向 量ａ 与ｂ 的夹 角 为θ，
所以４｜ａ｜｜２ａ｜ｃｏｓθ＝４｜ａ｜２，从而
ｃｏｓθ＝
１２ ，得θ ＝
π ．故选 ３
Ｂ．
例２ （２０１４高考数学安徽卷理科第１５题）已 知两个不 相 等 的 非 零 向 量ａ，ｂ，两 组 向 量 ｘ１，ｘ２， ｘ３，ｘ４，ｘ５和ｙ１，ｙ２，ｙ３，ｙ４，ｙ５均由２个ａ 和３个ｂ排 列 而 成．记 Ｓ＝ｘ１ｙ１ ＋ｘ２ｙ２ ＋ｘ３ｙ３ ＋ｘ４ｙ４ ＋ｘ５ｙ５，
向量的范数不等式
向量的范数不等式介绍如下：
向量的范数是用来衡量向量大小的一种方法，它可以是0范数、1范数、2范数等等。
向量的范数不等式是数学中常用到的一个不等式，它类似于三角不等式，用来估计范数之间的大小关系，从而有助于我们更好地理解向量的性质。
在介绍向量的范数不等式之前，我们需要先了解一些基础概念，包括向量的模、向量的长度、向量的模长等。
在二维空间中，向量可以表示为(x,y)，其中x和y分别表示向量在x和y方向上的投影长度，向量的模等于向量的长度，可以表示为||v||。
在向量的范数不等式中，我们主要使用的是向量的p范数。
向量的p范数表示为||v||p，其中p是一个正实数，它等于各个分量的p次方之和的p次方根。
例如，向量v(1,2,3)的3范数可以表示为||v||3=6.928。
对于一个向量v和一个正实数p，我们可以得到向量的范数不等式：||v||p ≤ ||v||q，其中p ≤ q，p和q都是正实数。
这个不等式告诉我们，当p小于或等于q时，向量的p范数不会超过向量的q范数。
换句话说，向量的p范数越小，向量越容易被q范数限制。
这个结论在实际问题求解过程中具有很大的意义。
例如，在机器学习中，我们通常使用L2范数作为模型的正则化项，来防止模型过度拟合。
向量的L2范数不等式告诉我们，如果一个向量的L1范数很小，那么它的L2范数也会很小，从而模型正则化的效果会更加显著。
总之，向量的范数不等式是一种用来估计向量范数大小关系的重要工具，它有助于我们更好地理解向量的性质，在实际问题中具有广泛的应用。
最新向量法证明不等式计算方法
最新向量法证明不等式计算方法向量法会怎样证明不等式呢?这类的不等式有有哪些解答窍门呢?下面就是学习啦给大家的向量法证明不等式内容，希望大家喜欢。
高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)规定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即例1设a，b，c∈R+，求证：(a+b+c)≤++≤.证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，则由综上，原不等式成立.点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.作单位向量j⊥ACj(AC+CB)=jABjAC+jCB=jABjCB=jAB|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)即|CB|sinC=|AB|sinAa/sinA=c/sinC其余边同理在三角形ABC平面上做一单位向量i,i⊥BC,因为BA+AC+CB=0恒成立，两边乘以i得i*BA+i*AC=0①根据向量内积定义，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC 代入①得csinB-bsinC=0所以b/sinB=c/sinC类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sinA=b/sinB,所以a/sinA=b/sinB=c/sinC 步骤1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0猜你感兴趣：1.构造函数证明不等式2.证明向量共面3.xx成人高考理科数学考试复习资料4.xx高考易犯的低级错误5.xx成人高考理科数学考试复习讲义。
向量法证明不等式(完整版)
向量法证明不等式向量法证明不等式第一篇：向量法证明不等式向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=。
因此，原不等式等价于证明a?b?a?b，其中a?b，向量 a和b不可能同向，不取等号。
二利用a?b?ab证明不等式2222例2 、已知实数mnx满足m?n?a,x??b（a?b），求mx?n得最大值?解析：构造向量a?0，求证：4a0矛盾，故a=0时，4a0，∴存在m，当-1第五篇：不等式的证明．3．在横线上填写恰当的符号2x2若x∈r，且x≠1，那么，1?x．若0＜a＜1，那么－a)． 1413若a＞0，a≠1，那么loga_____loga．当x≥1时，那么x5＋x4＋x32＋x＋1．4．设p＝a2b2＋5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，则实数a，b满足的条件为________．5．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为2lg_____lg＋lg．提升你的能力！基础巩固题1．设0＜a＜2，下列不等式成立的是1111?1?a2?1?a2?1?a21?a2?1?ab．1?a1?a a．1?a．1?a2?11111?a2?1?a21?a21?a1?a1?ad．1?a2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是11?a．ab11?b．a?ba．｜a｜＞｜b｜d．a2＞b23．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是XX?mXX?m1?a．bb?mb．bb?mXX?ma?ma11b?mb ．bb?md．4．设a、b∈r，用不等号连接下列两个式子，a2＋b2＋ab＋1_____a＋b．5．已知a＞b＞，求证：a2b＋b2＋2a＞ab2＋b2＋a2综合应用题11?1．a，b∈r，那么ab成立的一个充分非必要条件是a．a＞bb．ab＜0．0＜a＜bd．a＜b2．设0＜a＜b＜1，则a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中最大的值是ab a．a2＋b2b．a＋b．2abd．23．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是a．a＞b＞2＞abb．a＞2＞ab＞ba?ba?b．a＞2＞b＞abd．a＞ab＞2＞b4．若x为正数，且x3－x＝2，则x与5的大小关系为_____．a2b25．设a b ，求证：a?b+b? a+2b+.6．已知a＞b＞＞0，求证:XXbb＞13探索创新题1x?11．11．设a＞0，a≠1，x＞0，比较2logax与loga2的大小，并证明你的结论．2．12．甲、乙两个粮油公司，同时在某地按同一批发价格购进粮食，他们各购粮两次，已知每次批发价格互不相同，甲公司每次购粮为1万千克，乙公司每次用1万元购粮，试比较这两种购粮方法，哪一种购粮方法购得的粮食平均批发价格较低，并证明你的结论．试试你的身手！1．2．向量法证明不等式附送：向量法证明正弦定理向量法证明正弦定理三级记向量i，使i垂直于a于，△ab三边ab,b,接着得到正弦定理其他步骤在锐角△ab中，证明asina=bsinb=sin=2r：任意三角形ab,4过三角形ab的顶点a作b边上的高，垂足为d.当d落在边b上时，向量ab与向量ad的夹角为90°-b，向量a与向量ad的夹角为90°-，由于向量ab、向量a在向量ad方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量a*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*os=向量的a绝对值*向量ad的绝对值*os所以sinb=bsin即bsinb=sin当d落在b的延长线上时，同样可以证得第五篇：用正弦定理证明三重向量积用正弦定理证明三重向量积作者：光信1002班李立内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——?a?b。
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向量法证明不等式
向量法证明不等式
第一篇：
向量法证明不等式
向量法证明不等式
高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=
2，3时的情况.
设a，b是欧氏空间的两向量，且a=。
因此，原不等式等价于证明a?b?a?b，其中a?b，向量 a和b不可能同向，不取等号。
二利用a?b?ab证明不等式
2222例2 、已知实数mnx满足m?n?a,x??b
（a?b），求mx?n得最大值
?解析：
构造向量a?0，求证：
4a0矛盾，
故a=0时，4a0，
∴存在m，当-1
第五篇：
不等式的证明．
3．在横线上填写恰当的符号
2x
2若x∈r，且x≠
1，那么，1?x．
若0＜a＜
1，那么－a)． 1413
若a＞0，a≠
1，那么loga_____loga．
当x≥1时，那么x5＋x4＋x32＋x＋
1．
4．设p＝a2b2＋
5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，则实数a，b满足的条件为________．
5．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为2lg_____lg＋lg．提升你的能力！基础巩固题
1．设0＜a＜
2，下列不等式成立的是
1111?1?a2?1?a2?1?a21?a2?1?ab．1?a1?a a．1?a
．1?a2?11111?a2?1?a21?a21?a1?a1?ad．1?a
2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是
11?a．ab
11?b．a?ba
．｜a｜＞｜b｜
d．a2＞b2
3．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是XX?mXX?m1?a．bb?mb．bb?m
XX?ma?ma11b?mb ．bb?md．
4．设a、b∈r，用不等号连接下列两个式子，a2＋b2＋ab＋
1_____a＋b．
5．已知a＞b＞，求证：
a2b＋b2＋2a＞ab2＋b2＋a2
综合应用题
11?
1．a，b∈r，那么ab成立的一个充分非必要条件是
a．a＞bb．ab＜0．0＜a＜bd．a＜b
2．设0＜a＜b＜
1，则a＋b，2ab，a2＋b
2，2ab中最大的值是
ab a．a2＋b2b．a＋b．2abd．2
3．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是
a．a＞b＞2＞abb．a＞2＞ab＞b
a?ba?b
．a＞2＞b＞abd．a＞ab＞2＞b
4．若x为正数，且x3－x＝
2，则x与5的大小关系为_____．
a2b2
5．设a b ，求证：
a?b+b? a+2b+.
6．已知a＞b＞＞0，求证:XXbb＞13
探索创新题
1x?1
1．1
1．设a＞0，a≠
1，x＞0，比较2logax与loga2的大小，并证明你的结论．
2．1
2．甲、乙两个粮油公司，同时在某地按同一批发价格购进粮食，他们各购粮两次，已知每次批发价格互不相同，甲公司每次购粮为1万千克，乙公司每次用1万元购粮，试比较这两种购粮方法，哪一种购粮方法购得的粮食平均批发价格较低，并证明你的结论．试试你的身手！
1．
2．
向量法证明不等式
附送：
向量法证明正弦定理
向量法证明正弦定理
三级
记向量i，使i垂直于a于，△ab三边ab,b,接着得到正弦定理其他步骤
在锐角△ab中，证明asina=bsinb=sin=2r：
任意三角形ab,
4
过三角形ab的顶点a作b边上的高，垂足为d.当d落在边b上时，向量ab与向量ad的夹角为90°-b，向量a与向量ad的夹角为90°-，由于向量ab、向量a在向量ad方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量a*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*os=向量的a绝对值*向量ad的绝对值*os所以
sinb=bsin即bsinb=sin当d落在b的延长线上时，同样可以证得第五篇：
用正弦定理证明三重向量积
用正弦定理证明三重向量积
作者：
光信1002班李立
内容：
通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——?a?b。
首先，根据叉乘的定义，a、b、a?b可以构成一个右手系，而且对公式的观察与分析我们发现，在公式中，a与b是等价的，所以我们不妨把a、b、a?b放在一个空间直角坐标系中，让a与b处于ox面上，a?b与z轴同向。
如草图所示：
其中，向量可以沿着z轴方向与平行于ox平面的方向分解，即：?z?x
将式子带入三重向量积的公式中，发现，化简得：
（a?b）?xab这两个式子等价
现在我们考虑?刚好被a与b反向夹住的情况，其他的角度情况以此类推。
由图易得，?与a、b共面，a与b不共线，不妨设??xa?b，
a,x
?,b,x
?，所以：
在三角形中使用正弦定理，得
a?b）?sin
?sin
?
?b,x?
又因为a?b）??absina,b
所以，解得k=ab，于是解得：
x= bxosb,xaxosa,x
?b?x a?x
由图示和假定的条件，?在a和b方向上的投影皆为负值，所以x，都取负值，
所以，
（a?b）?xab
其他的相对角度关系，以此类推，也能得到相同的答案，所以：?a?b，命题得证。
小结论：
当直观解答有困难时，可以通过分析转化的方法来轻松地解决。
向量法证明正弦定理。