向量法证明不等式(完整版)

向量法证明不等式

向量法证明不等式

第一篇：

向量法证明不等式

向量法证明不等式

高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=

2，3时的情况.

设a，b是欧氏空间的两向量，且a=。

因此，原不等式等价于证明a?b?a?b，其中a?b，向量 a和b不可能同向，不取等号。

二利用a?b?ab证明不等式

2222例2 、已知实数mnx满足m?n?a,x??b

（a?b），求mx?n得最大值

?解析：

构造向量a?0，求证：

4a0矛盾，

故a=0时，4a0，

∴存在m，当-1

第五篇：

不等式的证明．

3．在横线上填写恰当的符号

2x

2若x∈r，且x≠

1，那么，1?x．

若0＜a＜

1，那么－a)． 1413

若a＞0，a≠

1，那么loga_____loga．

当x≥1时，那么x5＋x4＋x32＋x＋

1．

4．设p＝a2b2＋

5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，则实数a，b满足的条件为________．

5．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为2lg_____lg＋lg．提升你的能力！基础巩固题

1．设0＜a＜

2，下列不等式成立的是

1111?1?a2?1?a2?1?a21?a2?1?ab．1?a1?a a．1?a

．1?a2?11111?a2?1?a21?a21?a1?a1?ad．1?a

2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是

11?a．ab

11?b．a?ba

．｜a｜＞｜b｜

d．a2＞b2

3．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是XX?mXX?m1?a．bb?mb．bb?m

XX?ma?ma11b?mb ．bb?md．

4．设a、b∈r，用不等号连接下列两个式子，a2＋b2＋ab＋

1_____a＋b．

5．已知a＞b＞，求证：

a2b＋b2＋2a＞ab2＋b2＋a2

综合应用题

11?

1．a，b∈r，那么ab成立的一个充分非必要条件是

a．a＞bb．ab＜0．0＜a＜bd．a＜b

2．设0＜a＜b＜

1，则a＋b，2ab，a2＋b

2，2ab中最大的值是

ab a．a2＋b2b．a＋b．2abd．2

3．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是

a．a＞b＞2＞abb．a＞2＞ab＞b

a?ba?b

．a＞2＞b＞abd．a＞ab＞2＞b

4．若x为正数，且x3－x＝

2，则x与5的大小关系为_____．

a2b2

5．设a b ，求证：

a?b+b? a+2b+.

6．已知a＞b＞＞0，求证:XXbb＞13

探索创新题

1x?1

1．1

1．设a＞0，a≠

1，x＞0，比较2logax与loga2的大小，并证明你的结论．

2．1

2．甲、乙两个粮油公司，同时在某地按同一批发价格购进粮食，他们各购粮两次，已知每次批发价格互不相同，甲公司每次购粮为1万千克，乙公司每次用1万元购粮，试比较这两种购粮方法，哪一种购粮方法购得的粮食平均批发价格较低，并证明你的结论．试试你的身手！

1．

2．

向量法证明不等式

附送：

向量法证明正弦定理

向量法证明正弦定理

三级

记向量i，使i垂直于a于，△ab三边ab,b,接着得到正弦定理其他步骤

在锐角△ab中，证明asina=bsinb=sin=2r：

任意三角形ab,

4

过三角形ab的顶点a作b边上的高，垂足为d.当d落在边b上时，向量ab与向量ad的夹角为90°-b，向量a与向量ad的夹角为90°-，由于向量ab、向量a在向量ad方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量a*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*os=向量的a绝对值*向量ad的绝对值*os所以

sinb=bsin即bsinb=sin当d落在b的延长线上时，同样可以证得第五篇：

用正弦定理证明三重向量积

用正弦定理证明三重向量积

作者：

光信1002班李立

内容：

通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——?a?b。

首先，根据叉乘的定义，a、b、a?b可以构成一个右手系，而且对公式的观察与分析我们发现，在公式中，a与b是等价的，所以我们不妨把a、b、a?b放在一个空间直角坐标系中，让a与b处于ox面上，a?b与z轴同向。如草图所示：

其中，向量可以沿着z轴方向与平行于ox平面的方向分解，即：?z?x

将式子带入三重向量积的公式中，发现，化简得：

（a?b）?xab这两个式子等价

现在我们考虑?刚好被a与b反向夹住的情况，其他的角度情况以此类推。

由图易得，?与a、b共面，a与b不共线，不妨设??xa?b，

a,x

?,b,x

?，所以：

在三角形中使用正弦定理，得

a?b）?sin

?sin

?

?b,x?

又因为a?b）??absina,b

所以，解得k=ab，于是解得：

x= bxosb,xaxosa,x

?b?x a?x

由图示和假定的条件，?在a和b方向上的投影皆为负值，所以x，都取负值，

所以，

（a?b）?xab

其他的相对角度关系，以此类推，也能得到相同的答案，所以：?a?b，命题得证。

小结论：

当直观解答有困难时，可以通过分析转化的方法来轻松地解决。

向量法证明正弦定理