新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练14(附解析)

强化训练14立体几何——大题备考

第二次作业

1．[2022·广东深圳二模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面P AD是正三角形，M是侧棱PD的中点，且AM⊥平面PC D.

(1)求证：平面P AD⊥平面ABCD；

(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．

2．[2022·河北唐山二模]如图，△ABC是边长为43的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G是△ABC的中心，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PG⊥平面AB C.

(1)证明：PB⊥AC；

(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．

3.[2022·山东淄博三模]已知如图，在多面体ABCEF 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，D 为AB 的中点，EF ∥CD ，EF ＝1，BF ⊥平面AEF .

(1)证明：四边形EFDC 为矩形； (2)当三棱锥A - BEF 体积最大时，求平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值．

4．[2022·山东德州二模]《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．在《九章算术·商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”P - ABCD ，底面为边长为2的正方形，侧棱P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，E 、F 为边

BC 、CD 上的点，CE → ＝λCB → ，CF → ＝λCD →

，点M 为AD 的中点．

(1)若λ＝1

2

，证明：平面PBM ⊥平面P AF ；

(2)是否存在实数λ，使二面角P - EF - A 的大小为45°？如果不存在，请说明理由；如

果存在，求此时直线BM 与平面PEF 所成角的正弦值．

强化训练15 统计、统计案例与概率——小题备考

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)

1．[2022·山东潍坊三模]某省新高考改革方案推行“3＋1＋2”模式，要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门．某学生各门功课均比较优异，因此决定按方案要求任意选择，则该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为( )

A ．12

B ．13

C ．16

D ．112

2．[2022·山东威海三模]甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A 查到共有840人参与评价，其中好评率为95%，乙在网站B 查到共有1 260人参与评价，其中好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为( )

A ．88%

B ．89%

C ．91%

D ．92% 3．[2022·辽宁葫芦岛一模]有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据，y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1，2，…，n )c 为非零常数，则( )

A ．两组样本数据的样本方差相同

B ．两组样本数据的样本众数相同

C ．两组样本数据的样本平均数相同

D ．两组样本数据的样本中位数相同 4．[2022·辽宁辽阳二模]为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为( )

A ．40%

B ．50%

C ．60%

D ．65% 5．[2022·河北保定二模]某研究机构为了了解初中生语文成绩的平均分y (单位：分)与

每周课外阅读时间x (单位：分钟)是否存在线性关系，搜集了100组数据(∑i ＝1

100

x i ＝3 000，

∑i ＝1

100

y i ＝7 900)，并据此求得y 关于x 的回归直线方程为y ＝0.3x ＋a.若一位初中生的每周课外阅读时间为2个小时，则可估计她的语文成绩的平均分为(

)

A ．70.6

B ．100

C ．106

D ．110 6．[2022·山东青岛一模]甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为( )

A ．0.36

B ．0.352

C ．0.288

D ．0.648 7．[2022·湖北武汉模拟]通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：

已知χ2

＝n （ad －bc ）2

（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）

，

则以下结论正确的是(A .根据小概率值α＝0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关

B .根据小概率值α＝0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001

C .根据小概率值α＝0.01的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”

D .根据小概率值α＝0.01的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”

8．[2022·湖南长沙模拟]第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行．某特许产品100件，其中一等品98件，二等品2件，从中不放回的依次抽取10件产品(每次抽取1件).甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，记取出的二等品件数为X ，则下列结论正确的是( )

A .甲与乙相互独立

B ．甲与乙互斥

C .X ～B(10，0.02)

D ．E(X)＝0.2

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)

9．[2022·辽宁大连二模]为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量(单位：kg )互不相等，且从小到大分别为x 1，x 2，…，x 10，则下列说法正确的有( )

A .x 1，x 2，…，x 10的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度

B .x 1，x 2，…，x 10的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度

C .x 10－x 1可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度

D .x 1，x 2，…，x 10的中位数为x 5 10．[2022·山东枣庄三模]下列结论正确的有( ) A .若随机变量ξ，η满足η＝2ξ＋1，则D(η)＝2D(ξ)＋1

B .若随机变量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ<6)＝0.84，则P(3<ξ<6)＝0.34

C .若样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，n)线性相关，则用最小二乘估计得到的回归直

线经过该组数据的中心点(x － ，y －

)

D .根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712.依据α＝0.05的独立性检验(x 0.05＝3.841)，可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.05

11．[2022·福建福州三模]某质量指标的测量结果服从正态分布N(80，σ2

)，则在一次测量中( )

A .该质量指标大于80的概率为0.5

B .σ越大，该质量指标落在(70，90)的概率越大

C .该质量指标小于60与大于100的概率相等

D .该质量指标落在(75，90)与落在(80，95)的概率相等 12．[2022·山东淄博三模]甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )

A .事件

B 与事件A i (i ＝1，2，3)相互独立

B .P(A 1B)＝5

22

C .P(B)＝2

5

D .P(A 2|B)＝8

45

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2022·河北石家庄二模]某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1 200、1 000、800，为迎接春季运动会的到来，根据要求，按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，则高一年级应抽选的人数为________．

14．[2022·全国乙卷]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．

15．[2022·山东济南二模]2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m ，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数

强化训练14 立体几何

1．解析：（1）证明：因为AM ⊥平面PCD ， 所以AM ⊥CD ，

又底面ABCD 为正方形，

所以AD ⊥CD ，又AD∩AM ＝A ，

所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以平面PAD ⊥平面ABCD ；

（2）取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ， 则以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系：

设AB ＝2，则A （1，0，0），B （1，2，0），C （－1，2，0），P （0，0，

3 ），D （－1，0，0），M （－12) ，0，3

2 ），

所以AM

→ ＝（－32 ，0，32 ），PB → ＝（1，2，－ 3 ），PC → ＝（－1，2，－3 ），

设平面PBC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），

则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·

n ＝0PC →·

n ＝0 ，即⎩⎨⎧x ＋2y －3z ＝0－x ＋2y －3z ＝0 ，

令z ＝ 3 ，则y ＝32 ，x ＝0，则n ＝（0，3

2 ，

3 ）， 设AM 与平面PBC 所成角为θ，

所以sin θ＝|cos 〈AM →

，n 〉|＝|AM →·n||AM →|·|n| ＝3

23·212

＝77 .

2．解析：（1）证明：连接BF ，由△ABC 为等边三角形，F 为AC 的中点，所以BF ⊥AC ，

由PG ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PG ⊥AC ，

又PG∩BF ＝G ，PG ，BF ⊂平面PBF ，所以AC ⊥平面PBF ， 又PB ⊂平面PBF ，所以PB ⊥AC ；

（2）依题意PF ＝2 3 ，GF ＝2，在Rt △PFG 中，PG ＝2

2 ， 以F 为坐标原点，以FB

→ 为x 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，

则A （0，－2 3 ，0），C （0，2 3 ，0），B （6，0，0），E （3，－ 3 ，0），P （2，0，2 2 ）

FP

→ ＝（2，0，2 2 ），FE → ＝（3，－ 3 ，0），由（1）可知，AC → ＝（0，4 3 ，0）是平面PBF 的一个法向量，

设平面PEF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧n·

FP →＝2x ＋22z ＝0n·FE →＝3x －3y ＝0 ，令x ＝

2 ，则n ＝（ 2 ， 6 ，－1），

所以cos 〈AC → ，n 〉＝AC →·

n |AC →|·|n | ＝63 ，所以sin 〈AC

→ ，n 〉＝

1－cos2〈AC

→，n 〉 ＝33

，

所以平面PEF 与平面PBF 所成二面角的正弦值为3

3 .

3．解析：（1）证明：因为∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝2，D 为AB 的中点， 所以CD ⊥AB ，且CD ＝BC sin30°＝1，

又因为EF ＝1，所以CD ＝EF ，因为EF ∥CD ， 所以四边形EFDC 为平行四边形，

因为BF ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BF ⊥EF ，所以CD ⊥BF ，

因为BF∩AB ＝B ，BF ，AB ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF, DF ⊂平面ABF ， 所以CD ⊥DF ，所以四边形EFDC 为矩形．

（2）由（1）可知，EF ⊥平面ABF ，BF ⊥平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以BF ⊥AF ，AB ＝2BC2 - CD2 ＝2 3 ，

所以三棱锥A - BEF 的体积

V ＝13 S △ABF·EF ＝16 AF·BF≤112 （AF2＋BF2）＝112 AB2＝1， 当且仅当AF ＝BF 时等号成立，此时FD ⊥AB ，

据（1），以D 为坐标原点，分别以DA ，CD ，DF 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D - xyz 如图所示.

由已知可得下列点的坐标：A （ 3 ，0，0），B （－ 3 ，0，0），F （0，0，3 ），E （0，－1， 3 ），

所以AB

→ ＝（－2 3 ，0，0），AE → ＝（－ 3 ，－1， 3 ）， 设平面ABE 的法向量为m ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧m·

AE →＝0m·AB →＝0 ，

即⎩⎨⎧－3x －y ＋3z ＝0

－23x ＝0

，取y ＝ 3 ，则x ＝0，z ＝1， 所以平面ABE 的一个法向量为m ＝（0， 3 ，1）， 因为BF

→ ＝（ 3 ，0， 3 ）是平面AEF 的法向量， 设平面AEF 与平面ABE 夹角为θ，则cos θ＝|m·BF →||m|·|BF →| ＝32·6 ＝2

4 ，

故平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值为2

4 .

4．解析：（1）证明：λ＝1

2 时，点E 、F 为BC 及CD 的中点． 连接AF 与BM 交于点G ，

在△ABM 和△DAF 中，AB ＝AD ，AM ＝DF ，∠BAM ＝∠ADF ＝90°， 所以△ABM ≌△DAF ，于是∠ABM ＝∠FAD. 而∠FAD ＋∠BAF ＝90°， 所以∠ABM ＋∠BAF ＝90°，

故∠AGB ＝90°，即BM ⊥AF.

又PA ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BM.

因为BM ⊥PA ，BM ⊥AF ，PA ⊂平面PAF ，AF ⊂平面PAF ，PA∩AF ＝A ， 所以BM ⊥平面PAF.

又因为BM ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面PAF.

（2）连接AC ，交EF 于点Q ，连接PQ ，记BD 与AC 交于点O ，如图：

因为CE

→ ＝λCB → ，CF → ＝λCD → ， 所以EF ∥BD ， 因为AC ⊥BD ，

所以AC ⊥EF ，从而PQ ⊥EF ， 所以∠AQP 为二面角P - EF - A 的一个平面角．

由题意，∠AQP ＝45°，从而AQ ＝PA ＝2， 所以CQ ＝2 2 －2，

于是λ＝CE CB ＝CQ CO ＝22－2

2 ＝2－ 2 ，

所以CF ＝CE ＝4－2 2 ，BE ＝DF ＝2 2 －2.

如图，以AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴建立空间直角坐标系，

于是P （0，0，2），E （2，2 2 －2，0），F （2 2 －2，2，0），B （2，0，0），M （0，1，0）

BM → ＝（－2，1，0），PE → ＝（ 2 ，2 2 －2，－2），PF →

＝（2 2 －2，2，－2），

设平面PEF 的一个法向量是n ＝（x ，y ，z ），

由⎩⎪⎨⎪⎧n·PE →＝2x ＋（22－2）y －2z ＝0n·

PF →＝（22－2）x ＋2y －2z ＝0 ，得：⎩⎨⎧x ＝y z ＝2x ，

取x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2 ，则n ＝（1，1， 2 ）. 所以直线BM 与平面PEF 所成角为θ，则

sin θ＝|cos 〈n ，BM → 〉|＝|n·BM →||n|·|BM →| ＝

⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋14×5 ＝510 .