研究生矩阵论试题及答案

09级-研-矩阵论试题及参考答案
一（15分）设实数域上的多项式
321()223p x x x x =+++，322()23p x x x x =+++ 323()45p x x x x =-+--，324()367p x x x x =-++
（1）求线性空间()1234span ,,,W p p p p =的一组基和维数； （2）求多项式32()41p x x x =++在你所求基下的坐标。

解：（1）11111
0021130
1012246001233570
00r A -⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪-- ⎪ ⎪
=−−→
⎪ ⎪
-- ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
123,,p p p 是W 的一组基，dim 3W =；
（2）123()()()()p x p x p x p x =++，p 的坐标为(1,1,1)T x =。

或：x^3+1 , x^2 , x+1.这三个基形式是最简单的。

坐标为（1，4，0）。

二（15分）(1)设2
T ()tr()F
f X X
X X ==,其中()m n ij m n X x R ⨯⨯=∈是矩阵变量，求
df
dX ； （2）设()m n
ij m n A a R ⨯⨯=∈，12(,,,)T n n x x x x R =∈ 是向量变量，()F x Ax =，求T dF dx
.
解 （1）211
()m n
ij i j f X x ===
∑∑，
2ij ij
f
x x ∂=∂， ()22ij m n ij
m n
df f x X dX x ⨯⨯⎛⎫
∂=== ⎪ ⎪∂⎝⎭；
(2) 11
1()n k k k n mk k k a x F x Ax a x ==⎛⎫
⎪ ⎪==
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
∑∑ ，1,1,2,,i i mi a F i n x a ⎛⎫∂ ⎪
== ⎪∂ ⎪
⎝⎭ ， 11111(,,)n T n
m mn a a dF F F A dx x x a a ⎛⎫
∂∂ ⎪
=== ⎪∂∂ ⎪⎝⎭。

三（15分）已知微分方程组
0d d (0)x
Ax t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩
，200031011A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （1）求矩阵A 的Jordan 标准形J 和可逆矩阵P 使1
P AP J -= （2）求矩阵A 的的最小多项式)(λA m （3）计算矩阵函数At
e ； （4）求该微分方程组的解。

解：（1）
3(2)I A λλ-=-，rank(2)1I A -=，2λ=对应两个线性无关的特征向量
A 的Jordan 标准形J 2212⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
12212P AP J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中101111110P -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（不唯一）
（2）由A 的Jordan 标准形知
2()(2)A m λλ=-
（3）210
00101At t e e t t t t ⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
（方法不限）
如用代定系数法：(),()t f e r a b λλλλ==+
由(2)(2),(2)(2)r f r f ''==可求得22(12),t t a t e b te =-=
210
00101At t e aI bA e t t t t ⎡⎤⎢⎥=+=+-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
（4）2202()t At
t t e x t e x e e ⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
四（15分）已知矛盾方程组b Ax =
12121
2121231
x x x x x x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩ （1）求A 的满秩分解FG A = （2）求A 的广义逆+
A ；
（3）求该方程组的最小二乘解LS x 。

解 （1）A 是列秩的，故
111223F ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，
1001G ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（不唯一） （2）69914T
A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11491963T
A A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
15411()3303T T A A A A +--⎛⎫
== ⎪-⎝⎭
；
（3）2103LS x A b +
⎛⎫
== ⎪⎝⎭
五（10分）设91210
81110401
00
1A -⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
， （1）写出A 的4个盖尔圆；
（2）应用盖尔圆定理证明矩阵A 至少有两个实特征值。

解（1）1234:94;:82;:41;:11;G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤ （2）它们构成两个连通部分112324,
S G G G S G == ，且12,S S 均关于实轴对称，故2S 中
只有一个特征值且必为实数，1S 中有三个特征值，故至少有一个实特征值。

六（10分）设122102011A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，用Schmidt 正交方法求A 的QR 分解。

解：见教材P118例题
七（10分）设矩阵m n
r
A R
⨯∈的奇异值分解为000r
T A U V ∑⎛⎫=
⎪⎝⎭
, 证明:（1）写出A +
的表达式；
（2）证明{}
12()|0span(,,,)n
r r n N A x R Ax v v v ++=∈==
解 (1) 1000T
r A V U ∑-+
⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）设V ()n r r v v v v v ,,|,,,121 +=()21|V V ≡，由000r
T U AV ∑⎛⎫=
⎪⎝⎭
()12220|000
0r
T
T T
U AV U AV U AV AV ∑⎛⎫=⇒=⇒= ⎪⎝
⎭
即),,1(0n r i Av i +==，这说明n r r v v v ,,,21 ++为0=Ax 的基础解系，得证。

八（10分）设n 阶矩阵,A B 满足AB BA =，证明：
（1）列空间()()()R A B R A R B +⊂+，()()()R AB R A R B ⊂ ； （2）矩阵秩不等式()()()()r A B r A r B r AB +≤+-。

(提示：用维数定理) 证：（1）设12(,,,)n A ααα= ，12(,,,)n B βββ= ，则有
11222(,,,)n A B αβαβαβ+=+++
(),x R A B ∀∈+ 111222()()()n n n x k k k αβαβαβ=++++++
11221122()()n n n n k k k k k k αααβββ=++++++ ()()R A R B ∈+ 所以，()()()R A B R A R B +⊂+；因AB 的列都是由A 的列的线性组合，又AB BA =， 所以AB 的列也都是由B 的列的线性组合。

因此，()()()R AB R A R B ⊂ 。

（2）由()()()R A B R A R B +⊂+知
[]()dim ()dim ()()r A B R A B R A R B +=+≤+
由()()()R AB R A R B ⊂ 知
[]dim ()dim ()()R AB R A R B ≤
由维数定理
[][]()dim ()()dim ()dim ()dim ()()r A B R A R B R A R B R A R B +≤+=+-
dim ()dim ()dim ()()()()R A R B R AB r A r B r AB ≤+-=+-。

证毕。

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